skkn một số bài TOÁN cực TRỊ TRONG HÌNH học GIẢI TÍCH lớp 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (457.01 KB, 32 trang )
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán
quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,….
Ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên
quan đến một điều kiện cực trị. Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương
trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đẳng.
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng
toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi.
Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy,
véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài
toán quen thuộc.
Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp
các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở
ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo
nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu. Được sự động viên, giúp đỡ
của các thầy trong hội đồng bộ môn Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng
nghiệp trong tổ Toán – Tin học trường THPT Trần Phú. Tôi đã mạnh dạn viết
chuyên đề “ Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA
ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi.
- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập nhiều
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo,
tự học và yêu thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên
đề.
- Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý
kiến cuả đồng nghiệp.
2. Khó khăn.
- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập
- Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong hình học không gian,
không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ trong
không gian.
- Đa số học sinh yếu môn hình học.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 1/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
3. Số liệu thống kê
Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến Cực trị trong hình
học số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:
Không
nhận
biết
được
Số lượng
Tỉ lệ ( %)
Nhận biết,
nhưng không
biết vận dụng
Nhận biết và
biết vận dụng
,chưa giải được
hoàn chỉnh
20
22,2
9
9,9
60
66,7
Nhận biết và
biết vận dụng
, giải được
bài hoàn
chỉnh
1
1.1
III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận.
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy
luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có
được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay
kiến thức nâng cao).
Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian
để giải các bài toán được đặt ra.
2. Nội dung.
2.1. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.
a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của
M lên (α).
Viết phương trình đường thẳng
MH(qua M và vuông góc với (α))
Tìm giao điểm H của MH và (α).
Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với
M qua mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình
chiếu H của M lên (α), dùng công thức trung
điểm suy ra tọa độ M’.
b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:
Viết phương trình tham số của d
Gọi H d có tọa độ theo tham số t
H là hình chiếu
vuông góc của điểm M
lên d khi ud MH 0
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 2/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Tìm t, suy ra tọa độ của H.
2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện
cho trước.
Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, ..An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn =
k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d
hay mặt phẳng (α) sao cho k1 MA1 k2 MA2 ... kn MAn có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n 0
Biến đổi
k1 MA1 + k 2 MA 2 +...+ k n MA n = (k1 + k 2 +...+ k n )MI = k MI
Tìm vị trí của M khi MI đạt giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d :
x- 4
y+1 z
=
= và hai điểm A 0;1;5 ,
1
1
1
B 0;3;3 . Tìm điểm M trên d sao cho
1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
2) MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
1) Gọi điểm I thỏa IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4)
Khi đó MA + MB MI + IA + MI IB 2 MI có giá trị nhỏ nhất
<=> MI nhỏ nhất <=> M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d.
x = 4 + t
Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d: y = -1 + t
z = t
Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) khi M là hình chiếu vuông góc
của I lên đường thẳng d thì IM.u 0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1
Vậy M( 5; 0; 1).
2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = 0
Ta có: (0 –x; 1 –y; 5 – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0)
=>x = 0; y =
13
7
13 7
, z = , vậy J(0; ; )
5
3
5 3
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 3/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Khi đó MA - 4MB MJ+ JA- 4(MJ JB) 3MJ 3 MJ có giá trị nhỏ nhất
khi M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d.
18
17
;t) khi M là hình chiếu
5
5
vuông góc của J lên đường thẳng d thì JM.u 0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1
Vậy M( 5; 0; 1) thì MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất.
Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), JM = ( t+ 4; t -
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm A 1;0;1 ,
B -2;1;2 , C 1;-7;0 . Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :
1) MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất.
2) MA -2MB 3MC có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
1) Gọi điểm G thỏa GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm của tam giác ABC
và G(0;-2;1)
Ta có MA + MB MC = MG + GA + MG GB MG GC = 3 MG có giá trị
nhỏ nhất khi
M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α)
MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto chỉ phương
x = 2t
Phương trình tham số MG y = -2-2t
z = 1+3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0 17t 17 0 t 1
Vậy với M(-2; 0; -2) thì MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất.
2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2IB 3IC 0
Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)
23
3
x = 4; y = - ; z = - , vậy I(4; 23 ; 3 )
2
2
2
2
Ta có: MA -2MB 3MC = MI+IA -2(MI IB) 3(MI IC ) = 2MI có giá trị
nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α)
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 4/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
x = 4+2t
23
Phương trình tham số MI: y = -2t
2
3
z = 2 +3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
73
73
23
3
0t
2t) 3( 3t) 10 0 17t
2
34
2
2
5
245 135
;
) thì MA -2MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Vậy với M( ;
17
34
17
2(4 2t) 2(
Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+
….+ kn = k . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) sao cho
tổng T = k1MA12 k2 MA22 ... kn MAn2 đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn
nhất
Lời giải:
- Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n 0
- Biến đổi : T = k1MA12 k 2MA 22 ... k nMA 2n =
= (k1 +...+ k n )MI 2 + k1IA12 k 2IA 22 .. k nIA 2n + 2 MI(k1 IA1 +..+ k n IA n )
= kMI 2 + k1IA12 k 2IA 22 ... k nIA n2
Do k1IA12 k 2IA 22 ... k nIA 2n không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất
khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay
đường thẳng.
Chú ý:
- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI
nhỏ nhất
- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi
MI nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1),
B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
2) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn
nhất.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 5/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Giải:
3 3
1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và I(2; ; )
2 2
2 2
Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA) +(MI + IB)
IA 2 + IB2 +2MI 2 +2MI(IA + IB) = IA 2 + IB2 +2MI 2
Do IA 2 + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ
nhất, hay M là hình chiếu vuông góc củaI lên (α)
Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp n α (1; 2; 2)
x = 2+t
3
Phương trình tham số MI: y = + 2t
2
3
z
=
+2t
2
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
3
3
2 t 2( 2t) 2( 2t) 7 0 9t 9 0 t 1
2
2
1 7
M (1; ; )
2 2
1 7
Vậy với M (1; ; ) thì MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
2 2
Nhận xét:
AB 2
2
2
2
Với I là trung điểm AB thì MA + MB = 2MI +
, do AB2 không
2
2
2
2
đổi nên MA + MB nhỏ nhất khi MI có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình
chiếu vuông góc của I lên (α).
2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = 0
Hay (1 x; 2 y; 1 z) (3 x;1 y; 2 z) (1 x; 2 y;1 z) (0;0;0)
3 x 0
3 y 0 J(3; 3;0)
z 0
Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) 2 - (MJ + JB) 2 (MJ + JC) 2
J A 2 JB2 JC 2 MJ 2 + 2MJ(JA JB JC)
JA 2 JB2 JC 2 MJ 2
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 6/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Do JA 2 JB2 JC 2 không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất khi MJ nhỏ
nhất hay M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (α).
Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp n α (1; 2; 2)
x = 3+t
Phương trình tham số MJ: y = -3+ 2t
z = 2t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
3 t 2( 3 2t) 2.2t 7 0 9t 4 0 t
4
9
23 35 8
; ; )
9
9 9
23 35 8
Vậy với M ( ; ; ) thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.
9
9 9
M(
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình:
x-1 y-2
z-3
=
=
và các
1
2
1
điểm A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2 IB = 0
Hay: ( x;1 y; 2 z) 2(2 x; 1 y; 2 z) (0;0; 0)
4 x 0
3 y 0 I(4; 3;6)
- 6+z 0
Ta có MA2 - 2MB2 = (MI + IA) 2 2(MI + IB) 2
IA 2IB MI + 2MI(IA 2 IB) IA 2 2IB2 MI 2
Do IA 2 - 2 IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất khi MI2 có giá trị nhỏ
nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
2
2
2
x = 1+t
Đường thẳng d có vtcp u (1; 2;1) , phương trình tham số d: y = 2+ 2t
z = 3+ t
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 7/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
M d M(1 t; 2 2t; 3 t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) khi M là hình chiếu
vuông
góc
của
I
lên
đường
thẳng
d
thì
2
1 2 7
IM.u 0 6t 4 0 t M ( ; ; )
3
3 3 3
1 2 7
3 3 3
Vậy với M ( ; ; ) thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
Nhận xét:
Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M
Với M d M(1 t; 2 2t; 3 t)
Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2
= - 6t2 – 8t +5
Xét hàm số f (t ) 6t 2 – 8t 5, t R
Có đạo hàm f '(t ) 12t – 8t , f '(t ) 0 t
2
3
Bảng biến thiên
t
f’(t)
+
2
3
0
23
3
f(t)
Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất khi t
1 2 7
3 3
3
2
3
Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất khi M ( ; ; )
2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm
tam giác ABC và G(2; 1; 1).
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) 2 + (MG + GB) 2 +(MG + GC) 2
2
2
2
2
= GA GB GC +3MG + 2MG(GA GB GC)
= GA 2 GB2 GC 2 +3MG 2
Do GA 2 GB2 GC 2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG
nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông
góc của G lên đường thẳng d.
M d M(1 t; 2 2t; 3 t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 8/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì
1
1 5
GM.u 0 6t 3 0 t M ( ;1; )
2
2 2
1 5
Vậy với M ( ;1; ) thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
2 2
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai
điểm A,B không thuộc (α) . Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá
trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai
phía với (α). Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao
điểm của (α) và AB.
2. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một
phía với (α). Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α). Do MA +
MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là
giao điểm của (α) và A’B.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có
phương trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2). Tìm
điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất
Giải:
Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía
của (α).
Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi
M là giao điểm của AB và (α).
Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB (1; 1;0) làm vecto chỉ phương
x 2 t
Phương trình tham số của AB: y t
z 2
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
3t 2 0 t
2
3
4 2
3 3
Hay M ( ; ; 2) là điểm cần tìm.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 9/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm
A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất
2) MA - MC có giá trị lớn nhất.
Giải:
1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một
phía của (α).
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi
M là giao điểm của A’B với (α).
Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận n (1; 1;2)
làm vecto chỉ phương
x 1 t
Phương trình tham số AA’: y 2 t
z 1 2t
Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình
1
3 3
1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0 6t – 3 = 0 hay t = H( ; ; 0)
2
2 2
x A ' = 2x H x A 2
Do H là trung điểm AA’ nên y A ' =2y H y A 1 A '(2; 1; 1)
z = 2z z 1
H
A
A'
A’B có vtcp A'B (1;0; 3)
x 2 t
Phương trình tham số A’B: y 1
z 1 3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0 5t 3 0 t
13
4
3
hay M ( ;1; )
5
5
5
13
4
;1; ) thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
5
5
Vậy với M (
2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai
phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy MA - MC MA' - MC A'C .
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 10/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn
A’C, tức M là giao điểm của
A’C và (α).
Đường thẳng A’C có vtcp A'C (1; 3; 3)
x 2 t
Phương trình tham số A’C: y 1 3t
z 1 3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0 4t 3 0 t
5
4
5
4
5 5 5
3
hay M ( ; ; )
4
4 4 4
5
4
Vậy với M ( ; ; ) thì MA - MC có giá trị lớn nhất.
Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d.
Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1. Nếu d và AB vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d
- Tìm giao điểm M của AB và (α)
- Kết luận M là điểm cần tìm.
2. Nếu d và AB không vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham
số t
- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t
- Tính tọa độ của M và kết luận.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d :
x-1 y + 2
z-3
=
=
và hai điểm C(-4; 1; 1),
2
2
1
D(3; 6; -3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
x 1 2t
Đường thẳng d có phương trình tham số y 2 2t
z 3 t
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 11/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp u (2; 2;1) và CD (7;5; 4)
Ta có u . CD = 14 -10 – 4 = 0 d CD
Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông
góc với d
(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u (2; 2;1) làm vecto pháp tuyến
Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d
và mp(P).
Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0 9t + 18 0 t 2
Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 2 2 17
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0). Hãy tìm điểm M trên trục Ox
sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
Ox có vtcp i (1;0;0) qua O(0; 0; 0), AB có vtcp AB (1;1; 2) và
i.AB 1 0 Ox và AB không vuông góc.
Ta có [i, AB]OA = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên AB và Ox chéo nhau.
x t
Phương trình tham số của Ox: y 0
z 0
M Ox M (t;0;0)
S = MA + MB = (t -3)2 0 4 (t -2)2 1 0 = (t -3)2 4 (t -2)2 1
Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất
Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các điểm Mt(t; 0) Ox và hai điểm
At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt + MtBt
Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At
qua Ox.
Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – 7 = 0
S = MtAt + MtBt nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox và At'Bt 3t - 7 = 0
7
3
7
3
hay t . Vậy M ( ;0;0) là điểm cần tìm.
Cách khác: Ta có thể tìm điểm M bằng phương pháp khảo sát hàm số.
Từ biểu thức S = (t -3)2 4 (t -2)2 1
Ta xét hàm số f t (t -3)2 4 (t -2)2 1 ( t )
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 12/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
t 3
Có đạo hàm f t
t 3
f t 0
t 3
(t 3)
t 3
2
t 3 2 4
2
t 2
4
t 2
4
t 2 2 1
t2
(t 2)
t2
2
2
0
1
(*)
1
với điều kiện 2 ≤ t ≤ 3 ta có:
2
2
2
2
(*) t 3 [ t 2 1] t 2 [ t 3 4]
t 1 [2;3]
t 3 2(t 2)
7
t 3 4 t 2
t
t
3
2(
t
2)
3
Bảng biến thiên của hàm số f(t) :
2
t
2
7
3
f’(t)
-
0
+
f(t)
38 10
3
7
Từ bảng biến thiên suy ra min f t f =
3
Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng
38 10
3
7
38 10
, đạt được tại t , tức là
3
3
7
3
M( ; 0; 0)
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d :
x-2
y-2
z -1
=
=
và hai điểm A(-1; 1; 1),
2
2
1
B(1; 4; 0). Hãy tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị
nhỏ nhất
Giải:
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 13/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
x 1 2t
Đường thẳng d có phương trình tham số y 2 2t
z 1 t
qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp u (2;2;1) và AB (2;3; 1)
u . CD = 4 + 6 – 1 = 9 ≠ 0 d không vuông góc với AB và
Ta có
[u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6 d và AB chéo nhau
- Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), do AB không đổi nên 2p
đạt giá trị nhỏ nhất khi MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét điểm M d M (1 2t ; 2+2t ;1 t ) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị
nhỏ nhất
Xét f t MA + MB = (2t 2)2 (2t 1)2 t 2 (2t )2 (2t 2)2 (t 1)2
f t = 9t 2 12t 5 9t 2 6t 5 = (3t 2)2 1 (3t 1) 2 4
Có đạo hàm f '(t )
f '(t ) 0
3t 2
(3t 2) 2 1
3t 2
(3t 2) 2 1
3t 2
(3t 2) 2 1
3t 1
(3t 1) 2 4
3t 1
(3t 1) 2 4
(3t 1)
(3t 1) 2 4
0
2
3
với t
1
3
(3t 2) 2 [(3t 1) 2 4] (3t 1) 2 [(3t 2) 2 1]
5
t 3
2(3t 2) 3t 1
1
2
2
4(3t 2) (3t 1)
t
3
2(3t 2) 3t 1 t 1
3
Bảng biến thiên của hàm số f(t) :
t
f’(t)
-
1
3
0
+
f(t)
32
Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 khi t =
1
3
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 14/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
2 4 1
Hay với M( ; ; ) thì MA + MB đạt giá nhỏ nhất bằng 3 2
3 3 3
Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số
thì việc tìm t sẽ đơn giản hơn.
Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo nhau. Tìm các điểm M d1,
N d2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.
Lời giải:
- Viết phương trình hai đường thẳng
dạng tham số
- Lấy M d1 và N d 2 ( tọa độ theo
tham số).
- Giải hệ phương trình MN.u1 0 và
MN.u 2 0 ( u1 , u 2 là các véctơ chỉ
phương của d1 và d2 ).
- Tìm tọa độ M, N và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng
d1 :
x-5 y+1 z -11
x+ 4
y-3 z - 4
=
=
=
=
, d2 :
1
2
-1
7
2
3
1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau
2) Tìm điểm M d1 và N d 2 sao cho độ dài MN ngắn nhất.
Giải:
1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp u1 (1; 2; 1)
d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp u 2 (7; 2;3)
Ta có [ u1, u 2 ] M1M 2 = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168 0
Hay d1 và d2 chéo nhau.
2). M d1 và N d 2 sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ
dài đoạn vuông góc chung của d1 và d2.
Phương trình tham số của hai đường thẳng
x 5 t
x 4 7 t
d1: y 1 2t , d2: y 3 2t
z 11 t
z 4 3t
M d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N d 2 nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 15/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
MN ( - 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)
MN.u1 0
6t ' 6t 6 0
Ta có
62
t
'
6
t
50
0
MN.u 2 0
t 2
t ' 1
Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1)
Vậy với M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng 2 21 .
x 2 t
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y 4 t và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1).
z 2
Tìm điểm M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất
Giải:
- Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông
góc của M lên AB
- Tam giác MAB có diện tích S =
1
AB.MH đạt
2
giá trị nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, hay MH là
đoạn vuông góc chung của AB và d.
Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u (1;1;0)
AB qua A(1; 2; 3) và AB (0; -2;-2) = 2u1
với u1 (0;1;1) là véc tơ chỉ phương của AB
x 1
Phương trình tham số AB y 2 t '
z 3 t '
M(2 + t; 4+ t; -2) d ,H(1; 2+ t’;3+t’) AB , MH ( -t -1; t’ – t -2; t’ +5)
MH.u 0
t ' 2t 3
t ' 3
Ta có
2t ' t 3
t 3
MH.u1 0
Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH = 2 3 , AB = 2 2
Diện tích S MAB
1
AB.MH 6
2
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 16/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
x 0
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: y t . Trong các mặt cầu tiếp xúc
z 2 t
với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S)
có bán kính nhỏ nhất.
Giải:
- Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với
Ox tại N
- Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất
là 2R = MN khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc
chung của d và Ox.
Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u (0;1; 1)
Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i (1;0;0)
[ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 0 nên d và Ox chéo nhau.
MN
( t’; -t; t – 2)
Với M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox và
MN.u 0
t t 2 0
t 1
Ta có
t
'
0
MN
.
i
0
t ' 0
Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O
1 1
2 2
MN
2
1
1
Phương trình mặt cầu (S): x 2 ( y ) 2 ( z ) 2
2
2
Mặt cầu (S) có tâm I (0 ; ; ) , bán kính R =
2
2
1
2
2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt
phẳng.
Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B. Viết
phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và cách B
một khoảng lớn nhất.
Lời giải:
Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt
phẳng (α), khi đó tam giác ABH vuông tại H và
khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB. Vậy d(B; (α))
lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt
phẳng đi qua A và vuông góc với AB.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 17/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách
điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất.
Giải:
(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D
và vuông
góc với DI.
(α) nhận DI (2; 1; -5) làm vecto pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0
2x + y – 5z + 15 = 0
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua A.
Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt
cầu (S) có bán kính lớn nhất.
Giải:
Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn nhất khi (α) qua B và vuông góc
với
AB
BA (1; 2; 2) là véctơ pháp tuyến của (α)
Phương trình (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) = 0 x + 2y + 2z – 1 = 0
11 6 1
3
R = d(A; (α))
2
2
2
1 2 2
Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Viết phương
trình mặt phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
mặt phẳng (α), K là hình chiếu vuông góc của A
lên ∆
Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì
H ≡ K, khi đó (α) là mặt phẳng đi qua ∆ và
vuông góc với AK. Hay (α) qua ∆ và vuông góc
với mp(∆, A).
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1). Viết phương
trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn
nhất.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 18/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Giải:
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất khi (α)
đi
qua hai điểm
A, B và vuông góc với mp(ABC).
AB (1; 1; 1) , AC (2; 3; 2)
(ABC) có véctơ pháp tuyến n [AB, AC ] (1;4; 5)
(α) có véctơ pháp tuyến n [n, AB] (9 6; 3) 3(3;2;1)
Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0
3x + 2y + z – 11 = 0
Ví dụ 2: Cho hai dường thẳng d1 :
x 2 y 1 z 1
x
y 3 z 1
, d2 :
1
2
2
2
4
4
1) Chứng minh hai đường thẳng trên song song với nhau.
2) Trong các mặt phẳng chứa d1, hãy viết phương trình mặt phẳng (α)
sao cho khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất.
Giải:
1) d1 qua M1(2; 1; -1), có vtcp u1 (1; 2; 2)
d2 qua M2(0; 3; 1), có vtcp u 2 (2; 4; 4)
Ta thấy u 2 2u1 và M1 d 2 nên hai đường thẳng
song song với nhau.
2) Xét (α1) là mặt phẳng chứa d1 và d2 thì (α1) có
véctơ pháp tuyến
n1 [ u1 , M1M 2 ] (8; 2;6) 2(4;1;3) 2n 2
Khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất khi (α) phải
vuông góc với (α1).
[
u
Do đó (α) nhận 1 , n 2 ] (8; 11; 7) là véctơ pháp
tuyến, qua M1(2; 1; -1).
Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0
hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0.
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α).
Tìm đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn
nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 19/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi
A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong
(α) và vuông góc với AB.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của
B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi
K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai
điểm A, K.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3).
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm
B(2;3; 5) một khoảng :
1) Nhỏ nhất .
2) Lớn nhất.
Giải:
Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến n (2; 2;1)
1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)
x 2 2 t
Phương trình BH: y 3 2t
z 5 t
Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình:
2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0 t 2 hay H(-2; 7;
3)
Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, H do vậy AH (1;4;6) là
véc tơ chỉ phương của ∆.
Phương trình của ∆:
x+3 y-3 z +3
1
4
6
2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và
vuông góc với AB.
∆ có véctơ chỉ phương u [AB, n ] (16;11; 10)
Phương trình của ∆:
x+3 y-3 z +3
16
11 10
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C(2; -1; 3), vuông
góc với đường thẳng d:
x-3 y+2 z +5
và cách điểm D(4; -2; 1) một
1
2
3
khoảng lớn nhất.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 20/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Giải:
Xét mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với d, (α) nhận u d (1;2; 3) làm véctơ
pháp tuyến, thì ∆ nằm trong (α).
Do vậy d(D; ∆) lớn nhấtkhi ∆nằm
trong (α), qua C và vuông góc với CD.
∆ có véctơ chỉ phương u [CD, n ] (1; 8;5)
Phương trình ∆:
x-2 y+1 z -3
1
8
5
x 1 t
Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d: y 0
z t
1) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua d và B.
2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho
khoảng cách từ A đến ∆1 lớn nhất.
3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho
khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất.
Giải:
1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp u d (1;0; -1) , MB (2;2;0)
[u d , MB] (2;2; 2) 2(1;1;1) 2n
(α) đi qua B nhận n (1;1;1) làm véctơ pháp tuyến
Phương trình (α): x + y + z – 1 = 0
2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆1) nhỏ nhất khi ∆1 đi qua hai
điểm B,H.
x 2 t
Phương trình tham số AH: y 1 t
z 1 t
Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình:
2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0 3t 1 0 t
8 4 4
BH ( ; ; )
3 3 3
Ta thấy u1 và u d
5 2 4
1
H( ; ; )
3 3 3
3
4
4
(2; 1; 1) u1 ∆1 nhận u1 làm véc tơ chỉ phương
3
3
không cùng phương nên d và ∆1 cắt nhau (do cùng thuộc
mặt phẳng (α))
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 21/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Vậy phương trình ∆1:
x+1 y-2 z
2
1 1
3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 )
lớn nhất
khi
K ≡ B hay ∆2 nằm trong (α)và
vuông
góc với AB.
Ta có [n , AB] (0; 4; 4) 4(0;1; 1) 4u 2 ∆2 nhận u 2 làm véc tơ chỉ
phương, mặt khác u 2 và u d không cùng phương nên d và ∆2 cắt nhau (do
cùng thuộc mặt phẳng (α))
x 1
Phương trình ∆2: y 2 t
z t
Chú ý :
Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý 2 và ý 3 trong
ví dụ 3.
Gọi ∆ là đường thẳng tuỳ ý đi qua B
và
cắt d, giả sử ∆ cắt d tại điểm
N(1+t, 0;-t), khi đó ∆ có véc tơ chỉ phương NB (2 t ;2; t )
Ta có AB (3;1;1) , [NB, AB] (2 t ;2 2t ;4 t )
[NB, AB]
(2 t ) 2 (2 2t ) 2 (4 t ) 2
3t 2 10t 12
Và d(A;∆) =
=
t 2 2t 4
NB
(2 t )2 22 (t ) 2
Xét hàm số f (t )
16t 2 64t
3t 2 10t 12
f
'(
t
)
có
, với mọi t R
(t 2 2t 4) 2
t 2 2t 4
t 2
f '(t ) 0
t 2
Bảng biến thiên của f (t )
t
f’(t)
+
-2
0
2
-
0
11
+
3
f(t)
3
1
3
Từ bảng biến thiên ta thấy:
d(A;∆) lớn nhất bằng 11 khi t = -2 N(-1; 0;2)
NB (0;2; 2) 2(0;1; 1)
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 22/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
x 1
và đường thẳng cần tìm có phương trình là: y 2 t
z t
d(A;∆) nhỏ nhất bằng
1
khi t = 2 N(3; 0;-2)
3
NB (4;2;2) 2(2; 1; 1)
và đường thẳng cần tìm có phương trình là :
x+1 y-2 z
2
1 1
Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không
song song hoặc nằm trên (α) và không đi
qua A. Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α),
đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d
là lớn nhất.
Lời giải:
Gọi d1 là đường thẳng qua A và song
song với d, B là giao điểm của d với (α).
Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình
chiếu vuông góc của B lên (P) và d1.
Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là
BH và BH ≤ BI nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp u [BI, n ] .
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d:
x-1 y-2 z -3
, mặt phẳng (α): 2x – y – z +
1
2
1
4 = 0 và điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α),
đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.
Giải:
Đường thẳng d có vtcp u (1; 2; -1), (α) có vtpt n (2; -1; 1)
x 1 t
Phương trình tham số d: y 2 2t
z 3 t
Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình:
2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0 t = -1 B(0; 0; 4)
Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 23/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
x 1 t
Phương trình tham số đường thẳng d1: y 1 2t
z 1 t
Gọi I là hình chiếu vuônggóc của B lên d1
I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
Ta có BI.u 0 -1 + t
+ 2(1+
2t) –(-5– t) = 0 t = -1 I(-2; -1; 2)
Đường thẳng ∆ có vtcp u [BI, n ] = (-5; -10; 4)
Phương trình ∆:
x+1 y-1 z -1
5 10
4
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường
thẳng ∆ :
x+1 y
z-4
= =
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song
2
1
3
song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách
giữa d và ∆ lớn nhất.
Giải:
Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= 0
=> d nằm trên (α).
n
Đường thẳng ∆ có vtcp u (2;1;-3), (α) có vtpt (1;1;-1)
x 1 2t
Phương trình tham số ∆: y t
z 4 3t
Gọi B là giao điểm của ∆ và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình:
-1+ 2t + t – (4- 3t) + 2 = 0 t =
1
1 5
B(0; ; )
2
2 2
Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆
x 1 2t
Phương trình tham số đường thẳng ∆1: y 1 t
z 2 3t
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ∆1 H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t),
3
BH (1 + 2t; t - ; -3t)
2
3
1
Ta có BI.u 0 2 + 4t + t - + 9t = 0 t =
2
28
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 24/32
tailieuonthi
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
BH =(
13
43 3
1
1
; ; ) = (26; -43; 3) = u1
14
28 28
28
28
Đường thẳng d có vtcp u d [u1 , n ] = (40; 29; 69)
Phương trình d :
x-1 y+1 z -2
40
29
69
Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song
với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và tạo với ∆2 một góc
lớn nhất.
Lời giải:
Vẽ một đường thẳng bất kỳ ∆3 song song với ∆2 và cắt ∆1 tại M. Gọi I là điểm
cố định trên ∆3 và H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(α), kẻ IJ ∆1
Góc giữa (α) và ∆2 là góc IMH
Trong
tam
giác
vuông
HMJ
có
HM MJ
không đổi
IM IM
Suy ra góc IMH lớn nhất khi MJ = MI hay H ≡
J, khi đó IMH =(∆1,∆2) và (α) là mặt phẳng chứa
cos IMH =
∆1 đồng thời vuông
góc
với mặt phẳng (∆1,∆2)
Khi đó (α) nhận [u 1 ,[u 1 , u 2 ]] làm véctơ pháp
tuyến.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d:
x-2 y+1 z-1
và hai điểm A( 3; -4; 2), B(
2
1
1
4; -3; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và tạo với d một góc
lớn nhất.
Giải:
Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có vtcp u (2; 1; 1) , AB (1;1;2)
=> n = [u, AB] (3; 3;3) 3(1;1; 1)
Mặt phẳng (α) qua điểm A và nhận [n, AB] (3; 3;0) 3(1; 1;0) làm vecto
pháp tuyến
Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = 0 hay x – y – 7 = 0
2 1 2 3
Khi đó cos((α),d) =
5
5 5
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - thị xã Long Khánh
Trang 25/32
