(SKKN mới NHẤT) SKKN sử dụng các tính chất định tính hình học nhằm giúp học sinh lớp 12 giải bài toán hình học giải tích trong khô

MỤC LỤC
Nội dung
1. MỞ ĐẦU
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO

download by :

Trang
1
1
1
2
3
18
20
20
20


1. MỞ ĐẦU
* Lý do chọn đề tài:

Hình giải tích trong không gian (hay phương pháp tọa độ trong không gian)
là một phần quan trọng trong chương trình học Tốn THPT. Đặc biệt với xu thế
hiện nay, các bài tập về tọa độ trong không gian không thể thiếu trong các đề thi
THPT quốc gia, đề thi học sinh giỏi các cấp... Khi giải các bài tốn hình hình
giải tích trong không gian, học sinh đôi khi quên chú ý đến những tính chất hình
học của nó, mà những tính chất đó giúp ta đơn giản hơn trong việc tính toán
cung như giải quyết chúng. Các em thường áp dụng phương pháp tọa độ hay
giải tích để giải quyết. Nhưng trong nhiều bài toán nếu học sinh biết khai thác
các tính chất định tính hình học khơng gian thuần túy của chúng thì sẽ định
hướng được lời giải ngắn gọn và độc đáo. Đặc biệt với những bài toán cực trị
trong hình giải tích học sinh có thể sử dụng các cơng cụ giải tích để xét sự biến
thiên và tìm cực trị của một số đại lượng như độ dài, khoảng cách, góc... Mặc dù
cách giải đó khá rõ ràng nhưng lại phải tính tốn phức tạp, thậm chí rất dài dịng.
Chính vì thế, việc nắm chắc các kiến thức hình học của nó và khai thác đúng
mực sẽ đưa tới những phương án giải quyết vô cùng hữu hiệu.
Đề tài “Sử dụng các tính chất định tính hình học nhằm giúp học sinh lớp
12 giải bài tốn hình giải tích trong khơng gian” được viết với mong muốn
giúp các em học sinh khối 12 nắm chắc các kiến thức định tính cơ bản về hình
học khơng gian lớp 11 và biết cách khai thác chúng vào giải quyết các bài tốn
hình học giải tích trong khơng gian.
* Mục đích nghiên cứu
Trang bị cho học sinh về phương pháp sử dụng những tính chất hình học
khơng gian vào giải nhanh các dạng tốn hình giải tích trong khơng gian mang
lại hiệu quả rõ nét trong việc giải đề thi THPT Quốc gia.
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải tốn. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác
nhau.
* Đối tượng nghiên cứu
Các bài tốn về hình giải tích trong khơng gian.
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối THPT qua các năm

giảng dạy.
* Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học.
Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những khó khăn của học sinh trong q
trình giải quyết một số bài tốn về hình hình giải tích trong khơng gian. Từ đó
đề xuất phương án giải quyết tổng kết thành kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu :
- Mặt phẳng
đi qua điểm
và nhận
làm vectơ pháp
tuyến có phương trình dạng:
1

download by :


- Phương trình tham số của đường thẳng
chỉ phương

đi qua điểm

và có vectơ

là:

- Phương trình chính tắc đường thẳng
chỉ phương

đi qua điểm

và có vectơ

là:

- Phương trình tâm
bán kính là:
- Phương trình :
với
là
phương trình mặt cầu tâm
, bán kính
.
2.1.2. Các kiến thức khác
- Các tính chất định tính hình học phẳng, hình học khơng gian như quan hệ song
song, quan hệ vng góc, góc, khoảng cách, độ dài đoạn thẳng, đường thẳng,
mặt phẳng, mặt cầu, đường tròn...
- Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
cho bởi
công thức

- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
( đi qua
* Cho

và có vectơ chỉ phương ,
ta có:

;

là trung điểm

thì

qua

và có vectơ chỉ phương

)

.

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiến hành khảo sát
chất lượng học tập của học sinh hai lớp 12A5 và 12A8 trường THPT Hậu Lộc 4
làm thử 1 đề thi tự luận (tuyển chọn một số bài tập hình giải tích có nhiều cách
giải) cho học sinh làm và thu được kết quả như sau:
Sĩ
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Lớp
số
SL % SL
%
SL

%
SL
%
SL %
12A5
38
0
0
5
13,1
20
52,7
10
26,3
3
7,9
12A8
40
2
5
8
20
25
62,5
5
12,5
0
0
Tôi nhận thấy học sinh đa phần chỉ dùng công cụ giải tích hay đại số để
giải quyết các bài tốn, dẫn tới lời giải dài dòng, mất thời gian. Nhiều học sinh

không giải hết đề hoặc cho kết quả sai. Như vậy số lượng học sinh vận dụng các
tính chất định tính hình học khơng gian để giải các dạng này không nhiều do
chưa nắm vững được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết.
2

download by :


Để thực hiện để tài vào giảng dạy, trước hết tơi nhắc lại các kiến thức về
hình học tọa độ, tiếp đó đưa ra các tính chất thơng dụng về hình học khơng gian
thuần túy và ví dụ cụ thể để hướng dẫn học sinh thực hiện, cuối cùng tôi đưa ra
bài tập tổng hợp để học sinh rèn luyện.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
2.3.1. Giải pháp 1: Sử dụng các tính chất của tứ diện, hình chóp.
Giáo viên yêu cầu học sinh nắm chắc các tính chất của tứ diện,hình chóp
bất kỳ hay tính chất của các tứ diện, hình chóp đặc biệt (tứ diện đều, tứ diện
vng, hình chóp đều, hình chóp có tính chất đặc biệt).
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
Viết
phương trình mặt phẳng
qua
cắt các trục
lần lượt tại
sao cho
A.
C.

B.

D.

Giải:
Gọi là trực tâm của tam giác
.
Theo tính chất tứ diện vng nên ta có chân
đường cao kẻ từ
trùng với trực tâm của
đồng thời:

z
C

H

x

O
Mà ta tính được
nên
trùng
A
với . Vậy
I
y
Khi đó
qua
và nhận
B
làm véc tơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình
là:
Chọn C.
*Nhận xét: Học sinh có thể giải quyết bài tốn theo phương pháp tọa độ, sử
dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn. Tuy nhiên cách giải đó tương
đối dài và dễ sai sót. Ở đây ta sử dụng tính chất của tứ diện vng vào giải quyết
bài tốn.
Ví dụ 2 (Đề THPTQG năm 2017). Trong
không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Gọi
là điểm
khác
sao cho
đơi một vng góc
nhau và
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện
. Tính
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Giải:
Xét tứ diện

có
đơi một
vng góc và
đều cạnh bằng
nên gọi là

3

download by :


trọng tâm của

thì

và đường thẳng

là trục đường trịn

ngoại tiếp
.
Gọi D là điểm đối xứng của O qua mặt phẳng
Khi đó tứ diện
có
đơi một vng góc
Nếu là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
thì đối xứng với qua mặt phẳng
Vì
là hình chóp tam
giác đều nên J là giao điểm của ba mặt phẳng trung trực của OA, OB, OC (có

phương trình lần lượt là
,
,
)
.
Vì G là trung điểm của IJ nên

.Vậy

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ

. Chọn B.
, cho các đường thẳng
Lấy các điểm

,
ABCD.
A.

trên
.

sao cho
B.

. Tính thể tích

.

C.

.

trên

của khối tứ diện
D.

.

Giải:
Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD,
là khoảng cách giữa
và
, là
góc giữa
và
.
Trước hết ta vận dụng một công thức
quen thuộc:
Nhận thấy
Lấy

nên

.

Các véctơ chỉ phương của
lượt là
. Tính được

và

lần

. Vậy
Suy ra

(đvtt). Chọn D.

* Nhận xét: Trong ví dụ trên, rõ ràng nếu giải quyết bài tốn theo lối suy
nghĩ thơng thường là quy về tọa độ của các đỉnh và áp dụng tích hỗn tạp của các
véc tơ để giải là gần như không thể, vì tọa độ các đỉnh của tứ diện khơng cố
định. Tuy nhiên nếu nhận thấy độ dài các cạnh AB, CD không đổi và nằm trên
các đường thẳng cố định thì việc tìm ra lời giải là có cơ sở.
4

download by :


Ví dụ 4. Trong khơng gian với hệ tọa độ
, cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết
A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ đỉnh S
biết thể tích khối S.ABC bằng 36 và đỉnh S có
hồnh độ dương.
A. S(8; 8 ; 8).
B. S(9; 9 ; 9).
C. S(2; 2 ; 2).
D. S(5; 5 ; 5).
Giải:

Phương trình
có trọng tâm
và

S

A

C
G
B

Do hình chóp S.ABC đều nên SG qua G và vng góc với (ABC)

Ta có : VS.ABC=36=

SABC

.

Do S có hồnh độ dương nên:
Chọn B.
* Nhận xét: Ví dụ trên học sinh thường nghĩ tới hướng áp dụng tích hỗn
tạp để giải quyết. Tuy nhiên rất khó thực hiện vì tạo độ điểm S có 3 thành phần
đề chưa biết. Ở đây ta đã khai thác tính chất của hình chóp tam giác đều. Học
sinh cần nhận thấy tam giác ABC đều và từ đó áp dụng cơng thức tính thể tính
của khối chóp để suy ra chiều cao(học ở mơn Hình khơng gian).
Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ
A

, cho tứ diện ABCD với

,

,
,
. Điểm M thuộc
phần trong của tứ diện ABCD . Tính tổng khoảng
cách từ M đến các mặt của tứ diện ABCD.
A.

H3
M

B.

C.

H2

H4

D

B

D.

H1

Giải:
Gọi
lần lượt là hình chiếu của M
xuống các mặt của tứ diện. Ta dễ có ABCD là tứ
diện đều cạnh bằng 2 suy ra

C

.

Mặt khác:
5

download by :


Do các mặt bên của tứ diện có diện tích bằng nhau nên suy ra:
(hằng số). Chọn D.
* Nhận xét: Điểm mấu chốt của ví dụ trên là ta đã sử dụng phương pháp
cộng thể tích của một khối đa diện. Bên cạnh đó việc phát hiện ra tứ diện ABCD
đều cạnh a rồi sử dụng công thức công thức

khiến bài toán được giải

quyết một cách ngắn gọn.
2.3.2. Giải pháp 2: Sử dụng các tính chất về khoảng cách.
Trước hết, giáo viên cần cung cấp cho học sinh những kiến thức liên quan
đến tính chất của khoảng cách, quan hệ giữa đoạn vng góc và độ dài đường
xiên, các tính chất về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, 1 mặt phẳng,
khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa 2 mặt phẳng song

song, tính chất đối xứng...
Bên cạnh đó từ sự định hướng của giáo viên, học sinh cần phải biết xây dựng
hướng giải. Giáo viên có thể gợi ý các khâu vẽ hình và áp dụng cho học sinh.
Ví dụ 1. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và
đường thẳng

. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,

song song với d và khoảng cách giữa d và (P) là lớn nhất.
A.
B.
C.
D.
Giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên d,
H
mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi
đó khoảng cách giữa d và (P) là
khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên
(P), ta có
Suy ra HI lớn nhất khi
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua
A và nhận
làm véc tơ pháp
I
tuyến.
A

d

P

Vì H là hình chiếu của A trên d nên
là véc tơ chỉ phương của d
Vậy

Chọn D.
* Nhận xét: Ngoài cách giải trên, có thể giải bài tốn theo phương pháp
giải tích như sau :
Phương trình (P) qua A có dạng:
6

download by :


Vì (P)//d nên
Lấy

, ta có khoảng cách giữa d và (P) bằng:

Nếu

Nếu

Khảo sát hàm số

, ta được f(t) đạt max

Lúc đó chọn a = 7, b = -5 và b = 1, ta có (P): 7x + y -5z -77 = 0

* Rõ ràng việc tìm ra tính chất hình học giúp ta giải quyết bài toán một
cách nhẹ nhàng hơn khá nhiều.
Ví dụ 2. Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng

và

hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A và cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất,
nhỏ nhất.
Giải:
* Gọi d là đường thẳng đi qua A và
B
cắt  tại M
Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi
đó
.
Vậy
lớn nhất bằng BA
Δ
. Điều này xảy ra
K
d

P

A

H

M

. Phương trình đường
thẳng d là
* Lại có
Mặt phẳng (P) chứa d và  có PT là:
Gọi K là hình chiếu của B trên (P)
. Vậy
. Lúc đó d là đường thẳng đi qua A và K.
Ta tìm được phương trình (P) là:
và

nhỏ nhất bằng BK

7

download by :


Vậy khi

nhỏ nhất, ta có phương trình đường thẳng d là:

Ví dụ 3 (Sách bài tập hình học nâng cao 11). Trong không gian với hệ
trục tọa độ Oxyz cho hai điểm
và
. Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ
đến (P) đạt giá trị lớn
nhất.

K
Giải:
Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của K lên
đường thẳng MN và (P). Khi đó khoảng
cách từ K đến (P) là KH.
Theo tính chất của đường vng góc và
đường xiên, ta có
. Mà KI khơng
H
đổi nên KH đạt max bằng KI khi và chỉ khi
N
I
H trùng với I. Vậy mp(P) cần tìm đi qua I
M
và vng góc với KI.
P
Vậy phương trình (P) là: x + y – z + 3 = 0.
* Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy rõ ràng các cách giải theo phương
pháp sử dụng các tình chất hình học(từ việc dựng hình) là rất khác biệt và bất
ngờ. Dù rằng việc học sinh sử dụng bất đẳng thức hay phương pháp hàm số
trong các bài toán cực trị cũng tương đối rõ ràng. Nhưng chắc chắn học sinh sẽ
lúng túng trong qua trình biến đổi và tính tốn. Vì thế việc định hướng lời giải từ
việc khai thác các tính chất hình học của chúng là vơ cùng quan trọng.
Ví dụ 4 (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2013). Trong khơng gian với
hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
Viết phương trình mặt
phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 15 và khoảng
cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng 2.
Giải:
Giả sử ta xác định được mặt phẳng (P)

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu của A, B trên (P).
Ta có :
Mà
Như vậy dấu đẳng thức ở (1) phải xảy ra.
Điều đó tương đương với

tại điểm H thỏa mãn

8

download by :


Gọi

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng đi qua H nhận
làm
vtpt, nên có phương trình
.
* Nhận xét: Trong ví dụ trên, đa phần học sinh đều sử dụng phương pháp
gọi phương trình mặt phẳng (P) dưới dạng tổng qt rồi sử dụng cơng thức tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải quyết. Ở đây ta nhận thấy
nên suy ra 4 điểm A, B, H, K thẳng hang và H trùng với K. Từ
đó giải quyết bài tốn một cách nhanh chóng.
Ví dụ 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
,
. Giả sử C, D là 2 điểm di động thuộc mặt phẳng
sao cho

và A, C, D thẳng hàng. Gọi
lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD. Khi đó tổng
giá trị bằng bao nhiêu?
A.

B.

C.

,

lần
có

D.

Giải:

Gọi H là hình chiếu vng góc của B lên đường thẳng CD, khi đó ta có :
.
Do đó u cầu bài tốn trở thành tìm H để khoảng cách BH là lớn nhất hay nhỏ
nhất.
Ta thấy BH nhỏ nhất đúng bằng khoảng cách từ B đến mp (P), ta có
.
Hơn nữa BH lớn nhất chính là khoảng cách từ B đến A, ta có
.
9

download by :

Vậy

. Chọn A.

2.3.3. Giải pháp 3: Sử dụng các tính chất về góc
Trong phần này, học sinh cần nắm vững các cách xác định góc cũng như
các cơng thức tính góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng,
giữa 2 mặt phẳng. Nắm vững các tính chất về góc, các tính chất của đường phân
giác.
Ví dụ 1. Trong khơng gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Tìm tọa độ điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho tồn tại các điểm
tương ứng thuộc các tia
để tứ giác
là hình thoi.
A.
B.
C.
D.
Giải:
là giao của phân giác trong
với
. Ta có:
.
Gọi là giao điểm phân giác trong
và

. Ta có:

.
* Phân tích: Trong ví dụ này ta
đã sử dụng tính chất hình học của đường phân giác trong trong tam giác (đã học
từ lớp 8). Từ đó có thể tìm được tọa độ chân đường phân giác E của tam giác.
Việc còn lại là sử dụng phương pháp tọa độ trong khơng gian để tìm giao điểm
C của đường thẳng AE và mặt phẳng (P).
Ví dụ 2. Trong khơng gian tọa độ
, cho
O
v1
. Lập phương
v3

trình đường thẳng d qua O có vectơ chỉ phương
tạo với
những góc bằng nhau.
Giải:
Nhận xét rằng
.
Chọn các điểm A, B, C thỏa mãn
. Hình chóp
O.ABC có OA = OB = OC nên chân đường cao
kẻ từ O trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp

v2

A

C
H
B

10

download by :


và các cạnh bên tạo với đường cao đó các góc bằng nhau. Như vậy đường
thẳng d cần tìm là đường cao kẻ từ O.
Ta tìm được
.
Suy ra phương trình đường thẳng d là:
* Nhận xét: Trên đây là một ví dụ khá hay. Cách giải quyết theo hướng
dựng hình và sử dụng tính chất về góc của hình chóp đều cho ta 1 lời giải rất
gọn gàng và sáng tạo. Học sinh cần nhớ một số thao tác vận dụng các tính chất
đó.
Ví dụ 3 (Sách bài tập hình học nâng cao 12). Trong không gian với hệ
tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với (P) một
góc nhỏ nhất.
Giải:
Giả sử

,

d

K

.Lấy K cố
định trên d khác A. Gọi H là hình chiếu
của K lên (P), I là hình chiếu của H trên
thì HI và KI cùng vng góc với nên
là góc giữa (P) và (Q).
Ta có

A
H
Δ

I

P

Vậy

nhỏ nhất khi I trùng với A hay
tại A.
nằm trong (P) qua A và
vng góc với d. Ta tìm được vectơ chỉ
phương của là
.
Mp(Q) cần tìm qua

, có vectơ pháp tuyến là

có phương trình
Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ

nên

, cho 2 đường thẳng

và mặt phẳng
A.

biết mặt phẳng
B.

chứa

Tính

và tạo với
C.

một góc lớn nhất.
D.

Giải:
,
có véctơ chỉ phương lần lượt là:
.
Vẽ đường thẳng d bất kỳ song song với
và
cắt tại K. Gọi A là điểm cố định trên d và H

la hình chiếu của A trên
. Ta có góc giữa
và
là góc
.

d2
d

H

d1
P

download by :

K I

11


Kẻ

. Do tam giác HKT vuông tại T nên:
(không đổi).

Vậy góc
bằng góc

lớn nhất khi và chỉ khi HK = KT, hay H trùng với T. Góc lớn nhất

. Khi đó
cần tìm chứa và vng góc với mặt phẳng

hay nó có 1 véctơ pháp tuyến là
Ta có:
.
Vậy phương trình mặt phẳng
là:
Khi đó
Chọn B.
*Nhận xét: Hai ví dụ trên là các câu hỏi tương đối khó trong một số đề thi.
Học sinh thường vận dụng các cơng thức về góc rồi đánh giá cực trị của nó theo
các phương pháp giải tích và bất đẳng thức. Ở đây tôi đã hướng dẫn học sinh
giải quyết theo 1 cách đi mới. Tất nhiên ở đây tơi khuyến khích học sinh tìm tịi
được nhiều hướng giải khác nhau.
2.3.4. Giải pháp 4: Sử dụng các tính chất của mặt cầu
Trước khi đi vào các ví dụ cụ thể, giáo viên cần trang bị cho học sinh một
số tính chất của mặt cầu như vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng, đường
thẳng, điều kiện tiếp xúc, các cách xác định tâm và bán kính...
Ví dụ 1. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
và tọa độ hai điểm
. Mặt cầu
đi qua
hai điểm
và tiếp xúc với
tại điểm . Biết rằng
luôn thuộc một
đường trịn cố định. Tính bán kính của đường trịn đó?
A.

B.

C.

D.

Giải:
B
Ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm
là
giao điểm của
và
. Do đó theo tính
A
I
chất của phương tích ta được:
. Mặt khác vì
là tiếp
tuyến của mặt cầu
cho nên
D
.
P
C
Do vậy
cho nên
(Là
một giá trị khơng đổi).
Vậy ln thuộc một đường trịn cố định tâm với bán kính
.Chọn D.

*Nhận xét: Ví dụ đã sử dụng tính chất phương tích của một điểm đối với
một đường tròn để giải. Rõ ràng biết vận dụng hợp lý các tính chất định tính
hình học vào giải các bài tốn cho được cách giải rất ngắn gọn.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và mặt
cầu
và. Ba mặt phẳng thay dổi đi qua M và đơi
một vng góc với nhau, cắt
theo ba đường trịn. Tổng bình phương của ba
bán kính đường trịn tương ứng là:
12

download by :


A. 4.
B. 1.
C. 10.
D. 11
Giải:
Mặt cầu
có tâm
, bán kính
Gọi
là ba mặt đơi một vng góc thỏa
mãn bài tốn và
lần lượt là hình chiếu vng
góc của I trên
. Suy ra
là tâm của

các đường tròn giao tuyến.
Xét đường tròn giao tuyến nằm trong mặt phẳng
có
. Tương tự ta có
.
Suy ra
Chọn D.
*Nhận xét: Bài tốn trên đã sử dụng đến tính
chất về vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu,
cơng thức liên hệ giữa bán kính mặt cầu và đường
trịn giao tuyến:
O
Ví dụ 3. Trong khơng gian tọa dộ Oxyz, cho các
điểm
. Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện OABC (O là gốc tọa độ).
Giải:
Ta có
nên tam giác ABC vng tại A. Tương
I
tự ta cũng có tam giác OBC vng tại O.
B
C
Vì thê A, O cùng nhìn BC dưới một góc vng.Suy ra
A và O thuộc mặt cầu đường kính BC tâm
. Từ
A
đó bán kính mặt cầu là
.
Ví dụ 4 (Đề THPTQG năm 2017). Trong không

gian Oxyz, cho điểm
, mặt cầu (S):
và mặt phẳng
Gọi là đường thẳng qua M, nằm trong (P) và cắt (S) tai 2
điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết có vectơ chỉ phương là
Tính
A. T = 0.
B. T = 1.
C. T = -1.
Giải:
(S) có tâm O(0 ; 0 ; 0), bán kính R = 3.
Nhận thấy M(1 ; 1; 2) thuộc (P) và M nằm trong mặt
cầu (S) nên luôn cắt (S) tạ 2 điểm A, B.
Gọi H là hình chiếu vng góc của O trên . Khi
đó H là trung điểm của AB. Ta có
Suy ra
Khi đó

có vectơ chỉ phương là

D. T = -2.

.
13

download by :


Suy ra a = -1, b = 0 và T = -1. Chọn C.
Ví dụ 5 (Đề THPTQG năm 2017). Trong không gian với hệ tọa độ

,
cho hai điểm
và mặt cầu
.
Mặt phẳng
đi qua
và cắt
theo giao tuyến là đường
trịn có bán kính nhỏ nhất. Tính
.
A.
B.
C.
D.
Giải:
Ta có phương trình AB:
(S) có tâm I(1 ; 2 ; 3) và bán kính R = 5.
Gọi H là hình chiếu vng góc của I trên
AB, suy ra H(t ; 1 – t ; 2t)
Vì
suy ra t = 1. Từ đó
Gọi K là hình chiếu của I trên (P). Ta có
Suy ra (P) ln cắt (S)
theo giao tuyến là 1 đường trịn có bán kính

Vậy

Khi đó (P) nhận
làm vecto pháp tuyến. Suy ra phương trình của (P):
.

. Chọn A.
Ví dụ 6. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
và các điểm
. Gọi M là một

điểm bất kỳ thuộc mặt cầu
A.
B.
Giải:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C.
D.

Ta thấy cả A và B cùng nằm ngồi mặt cầu đồng thời
cách giải là tìm C sao cho
sau: Lấy điểm C trên IA sao cho

.

. Mục đích

với mọi điểm M thuộc mặt cầu bằng cách
và
đồng dạng với nhau tức là
.

Vậy
khi đó
.

Chọn D.
2.3.5. Giải pháp 5: Sử dụng tính chất của vectơ, độ dài đoạn thẳng
Ví dụ 1 (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2016). Trong không gian với
hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4;1;5), B(3;0;1),C(1;2;0) và mặt phẳng (P) có
phương trình: 3x  3y  2z  37  0 . Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng (P)
    
sao cho biểu thức S = MA.MB  MB.MC  MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
14

download by :


Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra G  2;1; 2 
Ta có:

   
   
   
S  MG  GA MG  GB  MG  GB MG  GC  MG  GC MG  GA
        
 3MG2  2MG GA  GB  GC  GAGB  GBGC  GCGA
     
 3MG2  GAGB  GBGC  GCGA







 





 





     

Do GAGB
.  GB.GC  GC.GA không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi MG đạt
giá trị nhỏ nhất , khi đó M là hình chiếu của G lên (P).


Từ M thuộc mặt phẳng (P) và véc tơ MG cùng phương với véc tơ nP (3; 3; 2)
Ta tìm được M(4;7; 2)
*Nhận xét: Bài toán trên đã sử dụng quy tắc cộng vectơ và tính chất trọng
tâm trong tam giác. Giáo viên cần trang bị cho học sinh những tính chất điển
hình của phép tốn vectơ và biết cách vận dụng chúng một cách hợp lý.
Ví dụ 2 (Sách bài tập HH 12 nâng cao). Trong không gian tọa độ Oxyz,
cho mặt phẳng
và hai điểm
. Tìm
điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho

đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Thay tọa độ 2 điểm A, B vào vế trái của phương trình mp(P), ta thấy trái dấu. Vì
thế A và B nằm về hai phía so với mp(P).
B
Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua (P). Theo
tính chất khoảng cách trong tam giác ta có:
(khơng đổi)
A'
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 điểm A’, B, M
M
thẳng hàng và điểm M nằm ngoài đoạn thẳng
H
A’B.
P
Vậy
lớn nhất bằng A’B khi và chỉ
A
khi M là giao điểm của đường thẳng A’B và
mp(P). Ta có

và phương trình đường thẳng AB’ là

Từ đó thay x, y, z ở trên vào PT mp(P) tìm được t = 1. Vậy
* Nhận xét: Ví dụ trên là ví dụ khá quen thuộc đã từng gặp trong các đề thi
từ trước tới nay. Học sinh cần nắm vững cách dựng hình và áp dụng tính chất
bất đẳng thức về khoảng cách các đoạn thẳng trong tam giác.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mặt cầu
( S ) : x 2  y 2  z 2  x  4 y  2  0 và hai điểm A(3;-5;2), B(7;-3;-2). Tìm điểm M trên
(S) sao cho biểu thức MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.

Giải:
Gọi I là trung điểm của AB thì I (5;-4;0).
Ta có :
15

download by :


nhỏ nhất khi và chỉ khi IM nhỏ nhất.
(S) có tâm

,bán kính

. Do

,

Nên I nằm ngồi (S) .Từ đó nếu gọi M0 là giao điểm của đoạn thẳng IJ với (S)
thì với mọi điểm M thuộc (S) ta ln có bất đẳng thức đúng sau:
Đẳng thức chỉ xảy ra khi
Vậy
nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn IJ với (S)
Ta có pt

Tọa độ M là nghiệm của hệ:
Do M thuộc đoạn IJ nên chỉ nhận M(2;0;0)
* Nhận xét: Ví dụ trên có sử dụng phương pháp tâm tỉ cự của vectơ và
quan hệ giữa các dây cung trong mặt cầu. Đây là một lớp bài tập khá phổ biến.
Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa dộ
, cho tứ diện

có
. Các điểm
di chuyển trong khơng
gian thỏa mãn
Biết rằng mặt phẳng trung
trực của
luôn đi qua một điểm
cố định. Vậy
sẽ nằm trong mặt phẳng
nào dưới đây:
A.
B.
C.
D.
Giải:
Từ
suy ra:

Trong đó

là trung điểm đoạn

phẳng trung trực của

và

là trọng tâm tứ diện

đi qua trọng tâm

Khi đó mặt

Vậy điểm

phẳng
Chọn A.
Ví dụ 5 (Đề minh họa THPTQG 2018). Trong không gian
điểm
giác
A.
C.

,

thuộc mặt
, cho hai

. Đường thẳng đi qua tâm đường trịn nội tiếp của tam

và vng góc với mặt phẳng
.

có phương trình là
B.

.

D.

.

.
16

download by :


Giải:
Ta có
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
là
Chú ý: Với là tâm đường trịn nội
tiếp
ta có đẳng thức vectơ sau:
Tọa độ
thỏa mãn hệ:

Khi đó, xét tam giác

Tâm nội tiếp của tam giác là

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
2.3.6. Giải pháp 6: Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tam giác
có
tam giác
. Phương trình đường thẳng
A.

.

B.

.

. Chọn A.

là (

. Gọi
là gốc tọa độ)

C.

.

D.

là trực tâm
.

Bài 2. Cho
có đỉnh
, trực tâm
và
là
trung điểm BC. Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp
.
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại
gốc tọa độ O. Biết
. Gọi M là trung điểm của
cạnh SC. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích
khối chóp S.ABMN
Bài 4. Cho mặt cầu
tâm I và điểm
. Từ M kể 2 tiếp tuyến MA, MB đến (S) sao cho 4 điểm M, I, A, B
đồng phẳng. Tính AB.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Bài 5. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
, song song với mặt
phẳng
và có tổng khoảng cách từ các điểm
tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vectơ chỉ phương của là?
A.
.
B.
.
C.
.
D.

17

download by :


Bài 6. Lập phương trình đường thẳng d đi qua

và cắt d’:

sao cho góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
lớn nhất.
Bài 7. Gọi là đường thẳng đi qua điểm
có hình chiếu trên mặt
phẳng
là . Giả sử giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khoảng
cách từ điểm

tới
là và . Tính giá trị của
?
A.

B.

C.

D.

Bài 8. Cho tam giác ABC, biết

và đường phân giác

ngồi của góc A có phương trình

Tìm tọa độ điểm A.

Bài 9. Cho mặt phẳng
. Có tất cả bao nhiêu mặt cầu có
tâm nằm trên mặt phẳng
và tiếp xúc với ba trục tọa độ
?
A. 8 mặt cầu
B. 4 mặt cầu
C. 3 mặt cầu
D. 1 mặt cầu
Bài 10. Cho hai điểm

. Gọi

là mặt cầu tâm

đi

qua hai điểm
sao cho
nhỏ nhất.
là điểm thuộc
, giá trị lớn
nhất của biểu thức
là
A. .
B. .
C.
.
D. .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào việc dạy một số tiết tự
chọn trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tơi cho tiến hành kiểm tra khả năng
tiếp thu kiến thức của học sinh trên các lớp tôi dạy bằng một đề kiểm tra 15 phút
(trắc nghiệm gồm 5 câu, mỗi câu 2 điểm):
ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT:
Câu 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
và cắt các trục
Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (khác gốc O) sao cho H là trực tâm của tam giác
ABC.
A.

B.
.
C.
.
D.
.
Câu 2. Cho ba điểm
. Biết điểm
thuộc mặt phẳng (P):
và
Tính
A.
.
B.
C.
.
D.
.
Câu 3. Cho tam giác ABC, với
và
. Viết
phương trình đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác ABC.
A.

B.

C.

D.

18

download by :


Câu 4. Cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng qua
sao cho
các trục tọa độ tại các điểm
sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ tới
lớn nhất. Thể tích khối tứ diện
là?
A.

B.

C.

cắt
là

D.

Câu 5. Cho điểm
và mặt phẳng
có phương trình
. Mặt cầu
đi qua , tiếp xúc với
và có bán kính nhỏ nhất.

Điểm
là tâm của
, tính giá trị của biểu thức
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Kết quả thu được như sau:
Sĩ
10 điểm
8 điểm
6 điểm
4 điểm trở xuống
Lớp
số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A5
38

2
5,3
8
21
25
65,8
3
7,9
12A8
40
5
12,5
15
37,5
19
47,5
1
2,5
Thông qua bảng số liệu có thể khẳng định một điều: Việc triển khai các
buổi học mở rộng mang lại hiệu quả rất nhiều. Và điều này sẽ càng phù hợp hơn
đối với chương trình SGK mới, nó có thể được thực hiện rất tốt cho các chuyên
đề tự chọn của học sinh. Đó cũng là điều mong mỏi của tôi khi viết sáng kiến
kinh nghiệm này. Mong muốn có những chủ đề tự chọn của học sinh vừa bám
sát chương trình học - thi, vừa có thể cung cấp cho các em một hệ thống các tri
thức phương pháp .
Thực tế cho thấy, học sinh rất hào hứng và thích thú khi thực hiện đề tài
này và kết quả tương đối khả quan. Nếu như trước đó, học sinh thường làm các
dạng bài tập trên rất mất thời gian và việc lựa chọn để có kết quả gọn là rất khó
hầu như các em chán nản. Sau khi áp dụng đề tài này thì kết quả có sự tiến bộ rõ
rệt và thời gían làm bài giảm được nhiều .

19

download by :


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Kiến thức được trình bày trong đề tài đã được giảng dạy cho các em học
sinh khá, giỏi ôn thi THPT QG. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập
một cách say mê, hứng thú.
Với chuyên đề này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp,
luôn luôn không ngừng tìm tịi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp,
xâu chuỗi chúng lại và cho học sinh các bài tập định hướng để các em học tập,
tìm hiểu.
Tuy vậy, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan và khách quan nên đề
tài khơng tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự
góp ý của quý thầy cô giáo và các em học sinh để đề tài ngày hồn thiện hơn, có
ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.
3.2. Kiến nghị
Cần tăng cường hơn nữa hệ thống ví dụ giải bài tốn hình học tọa độ trong
khơng gian bằng phương pháp sử dụng các tính chất hình học của nó và hệ
thống bài tập trên sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để học sinh có thể tự
nghiên cứu và vận dụng véc tơ trong q trình giải tốn.
Nhà trường nên tạo điều kiện cho Giáo viên mở lớp bồi dưỡng học sinh
khá, giỏi, phụ đạo cho học sinh yếu để các em có khả năng tìm hiểu sâu hơn
kiến thức.
Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi
thẳng thắn với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp
với từng đối tượng học sinh.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 21 tháng 5 năm 2018
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Văn Tuấn

20

download by :


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sách giáo khoa hình học 11, hình học 11 nâng cao.
[2] Sách giáo khoa bài tập hình học 11, bài tập hình học 11 nâng cao.
[3] Tạp chí Tốn học và tuổi trẻ.
[4] Đề thi tuyển sinh Đại Học và Cao Đẳng các năm; đề thi học sinh giỏi.
[5] Hướng dẫn ôn thi THPT QG năm học 2016 – 2017, 2017 – 2018.
[6] Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào
ĐH – CĐ (Tủ sách Toán học và tuổi trẻ - Tập 2).
[7] Tài liệu trên internet.

21

download by :