(SKKN mới NHẤT) SKKN tìm hiểu bài toán cự trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HỐ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Người thực hiện: Lê Đức Huy
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn học

THANH HOÁ NĂM 2018

1

download by :


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Xuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toán cực trị là mơ hình đơn
giản của các bài tốn kinh tế trong cuộc sống. Với tinh thần đổi mới giáo dục
trong các đề thi học sinh giỏi, đại học của những năm gần đây, bài tốn cực trị
nói chung được đưa vào thường xuyên. Điều đó đặt ra cho quá trình giảng dạy
bộ mơn Tốn học cần phải chú ý rèn luyện cho học sinh những dạng toán này,
nhằm đáp ứng với đòi hỏi của thực tiễn và đưa giáo dục nói chung và Tốn học
nói riêng gần hơn với cuộc sống.
Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chất lượng bài giảng, chất
lượng quá trình giáo dục tơi mạnh dạn đưa ra ý tưởng “Tìm hiểu bài tốn cực

trị hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy”.
II. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp giải bài tốn cực trị
hình học giải tích.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1.Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Các phương pháp giải bài tốn cực trị trong hình học giải tích.
2.phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích
được giảng dạy tại trường.
IV.Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phương pháp thống kê Toán học
V.Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Có hệ thống bài tập hay, khó.
Phương pháp giải đa dạng , gắn gọn.

2

download by :


PHÂN 2: NỘI DUNG
I.

Cơ sở lý luận

1. Các tính chất của Bất đẳng thức
Điều kiện

Nội dung

2. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số

xác định trên tập D

Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

trên D nếu

Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên D nếu

Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự.
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)
Cho n số khơng âm:
3

download by :


khi đó ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho hai bộ n số:

khi đó ta có bất đẳng thức:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
5. Định lý Nếu hàm số

.
liên tục trên đoạn

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn

thì hàm số tồn tại

.

6. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng

Khi đó

đi qua

nhận

làm vector chỉ phương.

có phương trình tham số là:

7. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng

đi qua điểm

nhận

tuyến. Khi đó

có phương trình tổng qt là:

làm vector pháp

8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng

có phương trình tổng qt: ax + by + c = 0 và điểm

. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
bằng cơng thức:

được tính

.

9. Góc giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng

lần lượt có phương trình

4

download by :

Gọi

là góc giữa hai đường thẳng đã cho. Khi đó:
.

10. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Cho đường thẳng

đi qua

nhận

pháp tuyến. Khi đó đường thẳng

làm vector

có phương trình tổng qt là:

11. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mặt phẳng
cách từ điểm M đến

và điểm

. Khoảng

được tính bằng cơng thức
.

II. Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài.
Các bài tốn về cực trị hình học giải tích là dạng bài tập khó được xuất hiện
nhiều trong các đề học sinh giỏi của trường, tỉnh và trong các kì thi quan trọng.
Đây là một dạng khó nên đa số học sinh khi gặp dạng tốn này cịn lúng túng
và không giải được. Học sinh chưa biết phối hợp một cách khéo léo giữa lý
thuyết, các bài tập cơ bản để hình thành tư duy để giải quyết các bài tốn khó.
Từ thực tế trên, sau đây Tơi xin trình bày phương pháp bài tốn cực trị hình
học giải tích trong mặt phẳng Oxy.
III. Một số dạng bài tốn cực trị hình học giải tích trong chương trình phổ
thơng
1.Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị
Bài 1.Cho đường thẳng

. Tìm điểm

sao

cho:
a)

nhỏ nhất.

b)

lớn nhất.

Lời giải
a)Phân tích:
5

download by :


Nếu hai điểm A, B khác phía so với đường thẳng
giao điểm của đường thẳng

thì điểm M cần tìm chính là

với đường thẳng AB.

Nếu hai điểm A, B cùng phía so với đường thẳng

(Hình 1) khi đó ta thực

hiện theo các bước sau
A

B
5

a  ;
2

b 5.


M


Hình 1

Bước 1: Xác định điểm

là điểm đối xứng với A qua

Bước 2: Từ đánh giá:
khi và chỉ khi

.

hằng số. Dấu bằng xảy ra

thẳng hàng. Nên ta đi viết phương trình đường thẳng

.
Bước 3: Điểm

.

Với thuật toán trên ta đi đến lời giải chi tiết cho câu a) như sau:
Đặt
Ta có:

.

Như vậy hai điểm
Gọi

nằm về một phía so với đường thẳng

là điểm đối xứng với A qua

.

.

Đường thẳng
Gọi

. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

Do I là trung điểm của
Từ đó

nên ta có:

.

6

download by :


Đường thẳng
Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ phương trình:

Trong trường hợp câu b) thì thuật tốn lại có sự khác biệt so với câu a). Nếu
hai điểm A; B mà nằm về hai phía so với
xứng với A qua

thì ta lại phải đi tìm điểm

đối

. Sau đó ta sử dụng đánh giá:
hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

thẳng hàng. Từ đó tìm ra tọa độ của M.
Nếu hai điểm

nằm về cùng một phía so với

thì ta có ngay đánh giá:

hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Do đó điểm M cần tìm là giao của

với

Sử dụng kết quả câu a) ta có hai điểm
có đánh giá:

thẳng hàng.

.
nằm về cùng phía so với

nên ta

hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

thẳng hàng.
Ta có

nên

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Để củng cố thuật tốn trên các em học sinh làm thêm một số bài tập:
Bài 2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
cắt Ox; Oy lần lượt tại

. Đường thẳng

đi qua M

.

a)Tìm

để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất?

a) Tìm

đạt giá trị nhỏ nhất?

7

download by :

b) Tìm

đạt giá trị nhỏ nhất?

a) Lời giải 1
Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có:
Nhận thấy tam giác

vng tại

nên:

Mặt khác do

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

Từ đó suy ra:

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

bằng. Khi đó kết hợp với

xảy ra dấu

ta có hệ phương trình:

Bình luận: Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM và nhận thấy tính hiệu
quả cao, lời giải gọn gàng và đẹp. Vấn đề là học sinh cần tìm hiểu được nhiều
cách giải cho một đề toán. Do vậy một trong những thủ thuật của người thầy
(theo cá nhân tôi) là sau lời giải một bài toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn

biến tâm lý: Còn lời giải nào khác nữa khơng?. Câu hỏi đó làm cho học sinh có
hứng thú tìm tịi, và phải làm cho học sinh thấy được chúng ta khơng nên bằng
lịng theo kiểu “ăn xổi”.
a) Lời giải 2
Từ kết quả

ta rút ra:

Theo bài ra do

8

download by :


Từ đó:
Ta đi khảo sát hàm số

trên miền

.

Lại có:

Lập bảng biến thiên ta có:

Suy ra:
Với

. Vậy các giá trị cần tìm là:

Bình luận: Lời giải 2 có vẻ phức tạp, tuy nhiên việc sử dụng đạo hàm vào
bài toán cực trị cũng cần hết sức chú ý vì đây cũng là một cơng cụ rất mạnh
trong chương trình tốn phổ thông mà học sinh cần được trang bị và thành thạo.
b) Lời giải 1
Gọi

là chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB

9

download by :


Sử

dụng

hệ

thức

lượng

trong

tam

giác

vuông

OAB

hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Tức là

ta

có:
.

.

Vậy ta có hệ phương trình:

Vậy các giá trị cần tìm là:
Bình luận: Trong câu b) ta đã sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu luôn
nhỏ hơn độ dài đường xiên. Giống như câu a) ta lại có một câu hỏi: Cịn lời giải
nào khác nữa khơng? Và cứ như vậy học sinh sẽ có sự hứng thú nhất định và
các em trở thành những nhà thám hiểm thực sự trong kho tàng kiến thức!
Để ý thấy:

gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thức

Bunhiacopxki? Do đó gợi ý cho ta lời giải thứ 2 như sau:
b) Lời giải 2
Theo bài ra do
Xét:

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình:

10

download by :


Vậy các giá trị cần tìm là:
Bình luận: Thật gọn, đẹp! Cịn có cách giải khác nữa khơng?
Đối với câu c) Giáo viên sẽ tránh cho học sinh một sai lầm khi sử dụng bất
đẳng thức AM-GM thông qua lời giải 1 của câu c) như sau:
c) Lời giải 1
Ta có

(Theo bất đẳng thức AM-GM)

Mặt khác

(Theo bất đẳng thức AM-GM)

Từ đó suy ra:

đánh giá

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cả hai

cùng xảy ra dấu bằng. Điều đó tương đương với

Dễ nhận thấy hệ trên vô nghiệm. Như vậy lời giải là sai!
c) Lời giải 2
Ta có
Mặt khác
Do
Ta được
Ta đi khảo sát hàm số

với

Ta có

Lại có

11

download by :


Ta có bảng biến thiên
a

2
-

0

+

Từ đó ta có kết luận:

Bài 3. Bài tốn về góc sút và khung thành.
Cho hai điểm A, B nằm về cùng phía so với đường thẳng
thẳng

. Tìm trên đường

điểm M sao cho M nhìn xuống A, B một góc lớn nhất?

Nhận xét: Bài số 9 là một bài khá lý thú, gây hứng thú và tị mị cho người
làm tốn. Dễ nhận thấy một vài trường hợp đặc biệt như khi

là tiếp tuyến của

đường tròn đường kính AB thì điểm M cần tìm chính là tiếp điểm. Vậy trong các
trường hợp cịn lại thì ta xử lý thế nào?
N


I
M

A
B

Dựng đường tròn đi qua A, B và tiếp xúcvới
Xét điểm N trên
Ta có

tại M. Ký hiệu là đường tròn (C)

và khác M. Gọi I là giao của (C) và NB
(cùng chắn cung AB)

12

download by :


Mặt khác:
Vậy M là điểm cần tìm
2.Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sử dụng phương pháp hình
giải tích
Bài 1. Cho

. Tìm:

của biểu thức

.

Lời giải
Nhận xét: điều kiện của đầu bài thoả mãn phương trình của một đường
trịn:

có tâm
Gọi

là một giá trị của biểu thức. Dễ nhận thấy

đường trịn

Vì

.

có tâm

. Do đó ta được

.

là một giá trị của biểu thức điều đó tương đương với

phải có điểm chung. (*)
(*)

13

download by :


So sánh các kết quả của (1); (2) và (3) ta có
Bình luận: Như vậy ta đã sử dụng phương pháp của hình học giải tích để tìm
Max của biểu thức A nhờ những nhận xét về điều kiện và đầu bài. Sẽ tương đối
khó khăn khi đi tìm một phương pháp khác cho bài số 10! Với bài 10 ta có thể
khái qt hố thành bài tập như sau:
Bài 2 Cho

thoả mãn điều kiện P. Trong đó P có thể biến đổi về phương

trình của một đường trịn

trong đó biểu thức
trịn

nào đó. u cầu tìm min, max của biểu thức

cũng biến đổi được đưa về phương trình của một đường

nào đó.
Quay lại Bài 1 ta có thể nhận thấy biểu thức A có thể được biến đổi nhờ

điều kiện của đầu bài.
Thực vậy: Từ giả thiết ta có
Như vậy nếu gọi
đường thẳng
tâm

là một giá trị của biểu thức A. Điều đó chứng tỏ giữa
và đường trịn

có

phải có điểm chung (**)

14

download by :


Vậy

.

Bình luận: Với việc đưa biểu thức A về dạng phương trình đường thẳng thì ta
phải xử lý ít trường hợp hơn so với việc đưa biểu thức A về phương trình của
đường trịn.
PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1.Cho hai điểm

và đường thẳng

đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số:
Bài 2.Cho hai điểm
điểm

. Tìm điểm
)

và đường thẳng

. Tìm

đạt giá trị lớn nhất?

Bài 3.Cho hai điểm

và đường thẳng

. Tìm

sao cho :

a)

đạt giá trị nhỏ nhất.

b)

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4 .Trong mặt phẳng toạ độ
điểm

, viết phương trình đường thẳng

và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho

đi qua
đạt

giá trị nhỏ nhất?

15

download by :


Bài 5.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
, cắt chiều dương của các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N khác
gốc toạ độ sao cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 6.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
, cắt chiều dương của các trục Ox, Oy tại các điểm A; B khác gốc toạ độ

sao cho

đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 7.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
kiện:

với điều

.

Bài 8.Cho đường trịn:

. Tìm điểm H trên

đường trịn (C) sao cho tam giác HAB có diện tích là lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 9.Cho đường trịn:

. Viết phương

trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
diện tích tam giác IAB lớn nhất ở đây I là tâm đường trịn (C).
Bài 10.Cho đường thẳng:

. Tìm

đạt giá trị nhỏ nhất (Đ/s:

sao cho

).

PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN
Chuyên đề được thực hiện tại lớp 11A1 năm học 2017-2018. Để đánh giá
kết quả của chuyên đề tôi thực hiện cho học sinh làm dạng bài trong chuyên đề
trước và sau khi giảng dạy kết quả thu được là khả quan. Trước khi giảng dạy thì
chỉ có một số em làm được sau khi giảng dạy chuyên đề thì đa số các em đã định
hình phương pháp làm và thực hiện thành thạo.
Kết quả cụ thể được thống kê trong bảng sau
KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A1

Điểm
Trước

0

7

6

5

4

3

2

1

2

3

5

27

10

6

0
16

download by :


Sau

3

5

7

15

5

5

3

0

Như vậy nhìn vào bảng thống kê đa số học sinh đã hiểu và vận dụng và thực
hiện được bài tốn cực trị trong hình giải tích (Oxy).
PHÂN 5: KẾT LUẬN
1. Chun đề có giá trị thực tiễn trong cơng tác giảng dạy và học tập của học
sinh và giáo viên.
2. Phù hợp với khả năng nhận thức và tiếp thu của học sinh.
3. Chuyên đề sẽ được mở rộng ra các bài tốn cực trị trong khơng gian.
4. Do trình độ nên chun đề có thể cịn một số khiếm khuyết, rất mong sự
đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để chuyên đề có giá trị cao hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hạ Vũ Anh - Phương pháp Vectơ và phương pháp toạ độ trong hình học
2. Nguyễn Minh Hà (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Bình - Bài tập nâng cao và
một số chuyên đề hình học 10.
3. Trần Văn Hạo (Chủ biên) - Đại số 10.
MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
V. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI

TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy”
I. Cơ sở lý luận.
II.Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài.
III. Một số dạng bài tốn cực trị hình học giải tích trong chương

Trang
1
1
1
1
1
1
2
2
4
4

17

download by :


trình phổ thơng
1. Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị

4

2. Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sử dụng phương

11

pháp hình giải tích
PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG
PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN
PHẦN 5: KẾT LUẬN.
TÀI LIỆU THAM KHẢO

13
15
15

XÁC NHẬN CỦA HỆU TRƯỞNG Thanh Hố, ngày 25 tháng 05 năm 2018
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Lê Quốc Tuấn

Lê Đức Huy

18

download by :