Chuyên đề Phương trình bậc hai hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chuyên đê

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1.Tóm tắt lý thuyết

1.1. Cách giải phương trình bậc hai: ax” + bx + ce=0(az
* Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x; =
* Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = ch

—b+VA

0) A= bŸ - 4ac

2a

oy aoe VA

7

2

2a

a

* Nếu < 0 thì phương trình vơ nghiệm
oo

;
1.2. Chú ý : Trong trường hợp hệ sô b là sơ chăn thì giải phương trình trên băng cơng thức nghiêm
thu gọn.
A =b’-ac
.
.
.
.
—b'+VA'
* Nêu ' > 0 phương trình có hai nghiém phan biét x; = aba’ ;X
a

2

_ abv
a

* Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: xị = xa = ”
* Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
1.3. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nêu x:; xa là hai nghiệm của phương trình thì :
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uy = P, ta giải phương trình : X?-X.S+P=0

Nếu a - b + c =0 thì phương trình có hai nghiệm : x, =—1;x¿ =

x

®

3. Nêu a + b + c =0 thì phương trình có hai nghiệm : x, = l;x; =

Ị|ỊC

(Điều kiện để có u và v là S’ > 4P)

1.4. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax”+bx+c = 0 (a # 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm)

Om
Œ—À Chà +> C2 DO

.
.
.
.
.
.
.

Vô nghiệm
Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)
Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)
Hai nghiệm cùng dâu
Hai nghiệm trái dâu
Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)
Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)

9. Hai nghiệm đối nhau

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn © a.c < 0 và S<0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn © a.c < 0 và S >0

4. Tính giá trị các biểu thức nghiệm
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức
có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rồi tính giá trị của biểu thức
2. Bài tập vận dụng

Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phương trình x” +zzm0w+1)x+ 5+

220 =0 Có một nghiệm x = -

5 . Tim nghiệm kia.
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài tập 2: Cho phương trình xỞ+zmx+3=0

(1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm băng 1? Tìm nghiệm kia.

Bài (tập 3: Cho phương trình x-8x+m+5=0

(1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của
phương trình trong trường hợp này.

Bài tập 4: Cho phương trình (m—4)x”—2mx+m—2=0 —

(1)

a) m =? thi (1) có nghiệm là x = A/2.
b) m=?

thi (1) c6 nghiém kép.

Bai tap 5: Cho phuong trinh x*-2(m+1)x+m—-4=0

(1)

a) Chung minh (1) cé hai nghiém voi moi m.

b) m =? thi (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Giả sử x,,x; là nghiệm của phương trình (1) CMR:

M =(1—x,)x,+(1—x,)x, khong phu thudc m.

Bài tập 6: Cho phương trình x“—2ø#—1)x+m—3=0

(1)

a) Chứng minh (I) có nghiệm với mọi m.

b) Đặt M = xỶ +x;j (x,,x; là nghiệm của phương trình (1)). Tìm min M.
Bài tập 7: Cho

3 phương trình

x +axt+b-1=0();
x +bx+c-1=0(2);
x’ +ext+a—1=0(3).
Chứng minh rằng trong 3 phương trình ít nhất một phương trình có nghiệm.
Bài tập 8: Cho phương trình

x-(a-l)x-a +a-2=0
a) Chứng minh (1) có

(1)

hai nghiệm trái dấâuvới mọi a.

b) x,,x; là nghiệm của phương trình (1) . Tìm min B = xỶ + x;.
Bài tập 9: Cho phương trình xˆ—2(z-1)x+2ø-5=0
a) Chứng minh (lI) có

hai nghiệm

(1)

với mọi a.

b)a= ? thì (1) có hai nghiệm x,,x, thoa man x,
c) a= ? thì (1) có hai nghiệm x,,x„ thoả mãn x/ +x¿ = 6.
Bài tập 10: Cho phương trình
2x° +(2m—1)x+m-1=0

(1)

a)mm = 2 thì (1) có hai nghiệm x,,x, thoa man 3x, —4x, =11.
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b) Chứng minh (1) khơng có hai nghiệm dương.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa +x,, x, không phụ thuộc m.
Goi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vơ lý
Bài tập 11: Cho hai phương trình
x*—(2m+n)x— 3m = 0()
x’ —(m+3n)x—6=0(2)

Tìm m và n để (1) và (2) tương đương .
Bài tập 12: Cho phương trình
ax’ +bx+c =0(a #0)

(1)

điều kiện cần và đủ để phương trình (1) cé nghiém nay gap k lan nghiém kia 1a kb” —(k +1)’ac = O(k #0)
Bai tap 13: Cho phuong trinh mx? +2(m—4)x+m+7=0

(1)

a)

Tim m để phương trình có hai nghiệm

phân biệt XisX;.

b)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm

x,,x; thoả mãn x¡—2x; =0.

c)

Tìm một hệ thức giữa x,,x„ độc lập với m.

Bài tập 14: Cho phương trình x” —(2„+3)x+m”+3m+2=0
a)

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.

b)

Tim m để phương trình có hai nghiệm đối nhau .

c)

(1)

Tìm một hệ thức giữa x,,x„ độc lập với m.

Bai tap 15: Cho phuong trinh (m—2)x7 +2(m—4)x+(m—4)(m+2)=0 —
a)

V0i gid tri nao cua m thi phuong trinh (1) co nghiém kép.

b)

Giả sử phương trình có hai nghiệm

c)

Tính theo m biểu thức A=

*x,,x„. Tìm một hệ thức giữa x,,x, độc lập với m.

+
X,+1

(1)

1
x, +1

9

d) Timm
dé A =2.
Bài tập 16: Cho phuong trinh x*-mx-4=0

(1)

a)

CMR phương trình

b)

Tìm giá trị lớn nhât của biêu thức A = mat

c)

`

cp

tae

ÂU

có hai nghiệm phân biệt với mọi .
sa

2

,

2(x,

+x,)+7

X: +4;

.

Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên.

Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phương trình xŸ + kx+7 =0 có hai nghiệm hơn kém nhau một
VỊ.

Bài tập 18: Cho phương trình x“—-(w+2)x+m+1=0

(1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dau.
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

đơn


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
c) Tim m để phương trình có nghiệm âm.

Bài tập 19: Cho phương trình x—-(@n+l)x+m=0 —

(1)

a)

CMR phuong rinh (1) ln có nghiệm phân biệt với mọi m

b)

Gọi x,,x, là hai nghiệm của phương trình . Tính xý +x; theo m.

c)

Tim m để phương trình (1) có hai nghiệm x,,x, thoaman

Bài tập 20: Cho phương trình x“ +(2m+1)x+m°+3m=0 —
a)

b)

x, +x; =5.
(1)

Giải phương trình (1) với m = -3.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó băng 4. Tìm hai nghiệm đó .

Bai tap 21: Cho phuong trinh x7-12x+m=0 —

(1)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x,,x, toa man x, =x, .

Bài tập 22: Cho phương trình (w—2)xˆ—2zmx+1=0 —
a)

Giải phương trình với m = 2.

b)

Tìm m đề phương trình có nghiệm.

c)

d)

(1)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x,,x; thoa man (1+ 2x,)(1+2x,)=-1.

Bài tập 23: Cho phương trình xÝ—2ø—1)x+m—3=0 —

(1)

a)

Giải phương trình với m = 5.

b)

CMR phương trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với mọi m.

Cc)

Tinh

d)

Tim m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.

A=

+44
XX

theo m.

Bài tập 24: Cho phương trình (w—2)x“—2zmx+m—4=0 —
a)

(1)

Tìm m đề phương trình (1) là phương trình bậc hai.

b)

Giai phuong trinh khi m = 5 .

c)

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khơng âm.

Bai tap 25: Cho phuong trinh x°+ px+q=0

(1)

a)

Giai phuong trinh khi p = -(3+3)

b)

Tìm p, q để phương trình (1) có hai nghiệm : x, =—2,x, =1

c)

;q= 34/3.

CMR : nêu (1) có hai nghiệm dương x,,x; thì phương trình 4x” + px+1=0

có hai nghiệm dương

N35 X4
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

d)

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3x,va3x, ; z và z

: xi a :

Bài tập 26: Cho phương trình
x° =(2m—1)x—m =0

a)

(1)

CMR phương trinh (1) lu6n có hai nghiêm phân biệt với mọi m.

b)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x¡— +; =l;

C)

Tìm m để xŸ + x? —6x,x, đạt giá trị nhỏ nhật.

Bài tập 27: Cho phương trình

xˆ-20n+1)x+2m+10=0

(1)

a)

Giải phương trình với m = -6.

b)

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x,,x;. Tìm GTNN của biểu thức A =x) + x5 +10x,x,

Bài tập 28: Cho phương trình

(m+1)x°—(2m—3)x+m+2=0 —

a)

Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dâu.

b)

Tìm m để (1) có hai nghiệm

x,,x;

(1)

. Hãy tính nghiệm này theo nghiệm Kia.

Bài tập 29: Cho phương trình
x×20n—2)x+(”

)

z

eo:

"

A

+2m— 3) =0

TA

.—

(1)

l1

Ll

x

4¿

x+x

Tìm m đê (1) có hai nghiệm x,,x„ phân biệt thoả mãn —+—— =

a

Bai tap 30: Cho phuong trinh
x*+mx+n=0

có 3mˆ=

lồn.

CMR hai nghiệm của phương trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.
Bai tap 31:

Goi x,,x„ là các nghiệm của phương trình 2xˆ - 3x—- 5 = 0. Khơng giải phương trình , hãy

1
1
tính

: a) —+—;
1X

Bai tap 32:

ae

c)

3,
3
xỊ +^5

d) x—x
ro

:

b)243 và2 + A3.

CMR tổn tại một phương trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là:

Sis

car

Bai tap 33:

;

Lap phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a) V3 va2v3
Bai tap 33:

b) @&—x,)
ro“

») BB

c)

.

2+3

Lap phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a)

Bình phương của các nghiệm của phương trình x”—2x—1=0;

b)

Nghịch đảo của các nghiệm của phương trình

W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

x” +zz—2=0
Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài tập 34:

Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phương trình

x’ +mx+n=0

cing lam van.

Bai tap 35: Cho phuong trinh

x —2mx+(m-1ly =0
a)

(1)

Giai phuong trinh (1) khim=-1.

b)
Xác định m dé phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình phuong
nghiệm cịn lại.
Bài tập 36: Cho phương trình
2x* —5x+1=0

(1)

Tinh x,/x, +x,.Jx, ( Với x,„ +, là hai nghiệm của phương trình)
Bài tập 37: Cho phương trình
(2m—1)x”—2mx+1=0

(1)

a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoang (-1; 0 ).
b)Xác định m để phương trình có hai nghiệm x,,x, thoả mãn lx — x3 | =]
Bai tap 38 : Cho phuong trinh x” - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham sô).
Chứng minh rằng phương trình ln ln có nghiệm.
Bài tập 39:
Tìm các giá rị của a để ptrình :
(a* —a-3)x* +(a+2)x—3a?

=0

Nhận x=2 là nghiệm .Tìm nghiệm cịn lại của ptrình ?
Bài tập 40

Xác định giá trị của m trong phương trình bậc hai : x7 —8x+m =0 để 4 + 43 là nghiệm

của phương trình . Với m vừa tìm được , phương trình đã cho cịn một nghiệm nữa . Tìm nghiệm cịn lại

ay?

Bài tập 4l:

2

—

Cho phương trình: X ~20#+l)x+z—4=Ơ

z

(1), (m là tham số).

1)

Giải phương trình (1) với m = -5.

2)

Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm ”!?`2 phân biệt mọi m.

3)

).

Tìm m dé "1 ~ x,| đạt giá trị nhỏ nhất ( ”!' `2 là hai nghiệm của phương trình (1) nói trong phan 2/

Bai tap 42:

Cho phuong trinh +? +bz+c=0
1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2
2. Tìm b,c đê phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng băng ]
Bài tập 43:

Cho phương trình x”— 2mx + m — m + 1 =0 với m là tham sô và x là ân sô.

W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a) Giải phương trình voi m = 1.
b) Tìm m đê phương trình có hai nghiệm phân biỆt xi ,X¿.
c) Với điêu kiện của câu b hay tim m dé biéu thitc A = x; x2 - x1 - X2 dat gid tri nhoé nhật.

Bai tap 44:
Cho phuong trinh ( an x) : x* - 2mx? + m?— 3 =0
1)
2)

Giai phuong trinh voi m = V3
Tìm

m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài tập 45:
1)

Tìm

Cho phương trình ( ân x) : x7 - 2mx + m”— 3 =0

(1)

m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng nhau

2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ây là số đo của 2 cạnh góc vng của một tam
giác vng có cạnh huyện băng 3.
Bài tập 46:
x, =

1

4
345

Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:
`
4
va x, =———

3—/5

4

Tinh : P = | ——

pm

a

\"

4

———

("|

\"

Bài tập 47: Tìm m để phương trình : x”—2x— |x — | +7 =0 có đúng hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 48: Cho hai phương trình sau :

x —m—3)X+6=Ơ Tân „m là tham số )
2x +x+m-—5=0

Tìm m để hai phương trình đã cho có đúng một nghiệm chung.
Bai tap 49:

Cho phuong trinh ; x? —2(¢m+1)x+m’ -1=0

véix 1a an, m 1a tham sé cho truéc

1)

Giải phương trình đã cho kho m = 0.

2) _

Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương x,,x„ phân biệt thoả mãn điều kiện

x xy = A42
Bai tap 50:

Cho phuong trinh :

(m+2)x° +(1-2m)x+m-—3=0

(x 1a an; m là tham số ).

1)

Giải phương trình khi m = - 3

2)

CMR phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.

3)
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba
lân nghiệm Kia.
Bài tập 51:
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

l)

Cho a,b,

2)

Cho

c, là các số dương thoả mãn đăng thức za?+””—-ab=c?”.

x’ —2x+(a—c)(b—c)
=0 cé hai nghiém phân biệt.
phương

trình x-x+jp=0

có hai nghiệm

duong

x,,x,

. Xdc

CMR

phương trình

định giá trị của p khi

x' +3; —x —x; đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 52:

Cho phương trình x“+x— =0.
a) Chứng

minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu .

b) Gọi +x, là nghiệm âm của phương trình . Hãy tính giá trị biểu thức:
Bài tập 53:

P= Vx +10x, +13 +4%,

Cho phương trình với ân số thực x:
x-2(m-2)x+m

-2=0.

(1)

Tim m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Bài tập 54:

Cho phương trình : x7 + 2(m-l) x+2m
a)

-5=0.

(1)

CMR phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b)

Timm dé2nghiém x,,x, cla (1) thod man: x7 +.x5 =14.

Bai tap 55:

a) Choa= Vl1+6V2,b=V11—6V2 .CMR a,,b 1a hai nghiém cua phuong trinh bac hai v6i hé s6 neuyén.
b)

Cho c=4/6V3 +10,d = /6V3—-10 . CMR c?,đ?là hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số

nguyên.
Bài tập 56:

Cho phương trình bậc hai:
x*+2@n+1)x+m”h+m+I=0_

(xlà ân, m là tham số).

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
2)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m đề phương trình có 2 nghiệm x,,x„ thoả mãn :

3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số y =

x, + |x, | =3.

x°>+2(m4+)xt+m +m4+1

chứa đoạn [2;3].
Bài tập 57:Cho phương trình : xŸ - 2(m-1) x +2m - 3 =0.
a)

Tìm m đề phương trình có 2 nghiệm trái dâu.

b)

Tìm m đề phương trình có 2 nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

Bài tập 58:

Cho phương trình : x*° +6x+6a—a* =0.

1)

Với giá trị nào của a thi phương trình có nghiệm.

2)

Giả sử x,,x; là nghiệm của phương trình nay. Hay tim gia tri cla a sao cho x, = x; —8x,

Bài tập 59: — Cho phương trình :
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

mx7 -5x—(m+5)=0_
a)

(1) trong đó m là tham số, x là ân.

Giải phương trình khi m = 5.

b)

Chứng tỏ rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m.

c)

Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x,,x,

, hay tinh theo m giá trị của biểu

thức B = I0x,x; —3(xŸ +x?) . Tìm m để B =0.
Bài tập 60:

a)

Cho phương trình :x*`—2mx+m —I=0

(m]à tham số „x là ấn số). Tìm tất cả các giá trị nguyên của

b)

Cho a, b,c, d e R. CMR ít nhất một trong 4 phương trình sau có nghiệm

m đê phương trình có hai nghiệm +x,,x, thoả mãn điêu kiện 2000 < x¡ < x; < 2007

ax’ +2bx+c=0;
bx’ +2cx+d =0;
cx’ +2dx+a=0;
dx’ +2ax+b=0;

W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HOC247-

Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.
I.Luyện Thị Online

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi - Tiết kiệm 90%
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPỀTQG các mơn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vat Ly, Hoa Hoc va Sinh Hoc.

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Déo va Thầy Nguyễn Đức Tan.
IILKhoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chun Gia
-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG.
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.

Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cần cùng
doi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí

HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học

với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 10