CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI & HỆ THỨC VIÉT

Chuyên đề Giải, biện luận ph ơng trình bậc hai
Hệ thức viét
A.Lý thuyết
1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) (1) trong đó a, b, c là các
hệ số đẵ biết, x là ẩn.
2. Công thức nghiệm:

= b
2
4ac

< 0 phơng trình vô nghiệm

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= -
a
b
2


> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1

a
b
2
+
=
; x
2

a
b
2

=
.

= b
2
ac. (
2bb =

)

< 0 phơng trình vô nghiệm.

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= -
a

b'

> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a
b
x


+


=
1
; x
2

a
b ''
=
.
3. Hệ thức Vi-ét:
* Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thì







=
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
*ứng dụng:
+Nhẩm nghiệm:
- Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
=
a
c

- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x

1
= - 1; x
2
=
a
c

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S
2
4P

0 thì hai số đó là
hai nghiệm của phơng trình X
2
SX + P = 0 .
4. Một số bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
1) Phơng trình có nghiệm:
0

,
; 2) Phơng trình có nghiệm:
0>

,
;
3) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

=



0
0
21
a
c
xx .
,
4) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu:





=



0
0
21
a

c
xx .
,
;
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai & H thc Viet
1
5) Phơng trình có hai nghiệm dơng









=
=+



0
0
0
21
21
a
c
xx
a

b
xx
.
,
; 6) Phơng trình có hai nghiệm âm









==
=+=



0
0
0
21
21
a
c
xxP
a
b
xxS

.
,
;
5.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi- ét:
1)
P
S
xx
xx
xx
=
+
=+
21
21
21
11
.
;
2)
( )
PSxxxxxxxxxxxx 2222
2
21
2
2121
2
221
2
1

2
2
2
1
=+=++=+
;
3)
2
2
2
21
2
2
2
1
2
2
2
1
211
P
PS
xx
xx
xx

=
+
=+
).(

;
4)
( )
( )
PSSPSSxxxxxxxxxxxxxxxx 3332
32
21
2
221
2
1212
2
221
2
121
3
2
3
1
==+++=++=+ )(.).().)((
;
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai & H thc Viet
2
B.Bài tập áp dụng.
Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau:
TT PTBH KQ TT PTBH KQ
1 x
2
- 11x + 30 = 0 5; 6 41 x
2

- 16x + 84 = 0
2 x
2
- 10x + 21 = 0 3; 7 42 x
2
+ 2x - 8 = 0
3 x
2
- 12x + 27 = 0 3; 9 43 5x
2
+ 8x + 4 = 0
4 5x
2
- 17x + 12 = 0 12/5;1 44
x
2
2(
)23 +
x + 4
6
=
0
5 3x
2
- 19x - 22 = 0 22/3;-1 45 11x
2
+ 13x - 24 = 0
6
x
2

- (1+
2
)x +
2
= 0
2
;1
46 x
2
- 11x + 30 = 0
7 x
2
- 14x + 33 = 0 47 x
2
- 13x + 42 = 0
8 6x
2
- 13x - 48 = 0 48 11x
2
- 13x - 24 = 0
9 3x
2
+ 5x + 61 = 0 49 x
2
- 13x + 40 = 0
10
x
2
-
3

x - 2 -
6
= 0
50 3x
2
+ 5x - 1 = 0
11 x
2
- 24x + 70 = 0 51 5x
2
+ 7x - 1 = 0
12 x
2
- 6x - 16 = 0 52
3x
2
- 2
3
x - 3 = 0
13 2x
2
+ 3x + 1 = 0 53
x
2
- 2
2
x + 1 = 0
14 x
2
- 5x + 6 = 0 54

x
2
- 2
( )
13
x - 2
3
= 0
15 3x
2
+ 2x + 5 = 0 55 11x
2
+ 13x + 24 = 0
16 2x
2
+ 5x - 3 = 0 56 x
2
+ 13x + 42 = 0
17 x
2
- 7x - 2 = 0 57 11x
2
- 13x - 24 = 0
18
3x
2
- 2
3
x - 2 = 0
58 2x

2
- 3x - 5 = 0
19 -x
2
- 7x - 13 = 0 59 x
2
- 4x + 4 = 0
20
2
x
2
2(
)13
x -3
2
= 0
60 x
2
- 7x + 10 = 0
21 3x
2
- 2x - 1 = 0 61 4x
2
+ 11x - 3 = 0
22 x
2
- 8x + 15 = 0 62 3x
2
+ 8x - 3 = 0
23 2x

2
+ 6x + 5 = 0 63 x
2
+ x + 1 = 0
24 5x
2
+ 2x - 3 = 0 64 x
2
+ 16x + 39 = 0
25 x
2
+ 13x + 42 = 0 65 3x
2
- 8x + 4 = 0
26 x
2
- 10x + 2 = 0 66 4x
2
+ 21x - 18 = 0
27 x
2
- 7x + 10 = 0 67 4x
2
+ 20x + 25 = 0
28 5x
2
+ 2x - 7 = 0 68 2x
2
- 7x + 7 = 0
29 4x

2
- 5x + 7 = 0 69 -5x
2
+ 3x - 1 = 0
30 x
2
- 4x + 21 = 0 70
x
2
- 2
3
x - 6 = 0
31 5x
2
+ 2x -3 = 0 71 x
2
- 9x + 18 = 0
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai & H thc Viet
3
32 4x
2
+ 28x + 49 = 0 72 3x
2
+ 5x + 4 = 0
33 x
2
- 6x + 48 = 0 73 x
2
+ 5 = 0
34 3x

2
- 4x + 2 = 0 74 x
2
- 4 = 0
35 x
2
- 16x + 84 = 0 75 x
2
- 2x = 0
36 x
2
+ 2x - 8 = 0 76 x
4
- 13x
2
+ 36 = 0
37 5x
2
+ 8x + 4 = 0 77 9x
4
+ 6x
2
+ 1 = 0
38
x
2
2(
)23 +
x + 4
6

= 0
78 2x
4
+ 5x
2
+ 2 = 0
39 x
2
- 6x + 8 = 0 79 2x
4
- 7x
2
- 4 = 0
40 3x
2
- 4x + 2 = 0 80 x
4
- 5x
2
+ 4 = 0
Bài tập 2. Tìm x, y trong các trờng hợp sau:
a) x + y = 17, x.y = 180 e) x
2
+ y
2
= 61 , x.y = 30
b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40
c) x + y = 30, x
2
+ y

2
= 650 g) x - y = 5, x.y = 66
d) x + y = 11 x.y = 28 h) x
2
+ y
2
= 25 x.y = 12
Bài tập 3.Không giải phơng trình,hãy tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau.
a) x
2
+ 6x + 8 = 0 e) x
2
+ 13x + 42 = 0
b) 11x
2
+ 13x - 24 = 0 f) 11x
2
- 13x - 24 = 0
Tính giá trị của biểu thức A = x
1
2
+ x
2
2
.
Bài tập 4.a)Tìm một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:
6
23 +
và
6

23
.
b)Không giải phơng trình, hãy tìm tổng lập phơng các nghiệm của phơng trình sau: 3x
2
- 5x - 2 = 0.
Bài tập 5.Với giá trị nào của b thì phơng trình:
a) 2x
2
+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5.
b) bx
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.
c) ( b - 1 )x
2
- ( b + 1 )x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 6.Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k phơng trình:
a) 7x
2
+ kx - 23 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
b) 12x
2
+ 70x + k
2
+ 1 = 0 không thể có hai nghiệm dơng.
c) x
2
- ( k + 1 )x + k = 0 có một nghiệm bằng 1.
Bài tập 7.Chứng tỏ rằng các phơng trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
a) x
2

- 4x m
2
= 0 d) x
2
+ ( m + 3 )x + m + 1 = 0
b) 2x
2
- 3x + m - 1 = 0 e) x
2
- ( 1 + 2m )x + m = 0
c) x
2
+ 2( m - 2 )x + m
2
= 0 f) ( 2m
2
+1 )x
2
- 2( m
2
+ 2 )x + 1 = 0
Bài tập 8.Tìm điều kiện m để các phơng trình sau đây có nghiệm,vô nghiệm.
a) x
2
+ x - m = 0 d) x
2
- ( m - 1 )x + 1 = 0
b) 2x
2
- 3x + m - 1 = 0 e) x

2
+ 2x + m
2
= 0
c) x
2
+ 2( m - 2 )x + m
2
= 0 f) ( m
2
+1 )x
2
- 2( m + 3 )x + 1 = 0
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai & H thc Viet
4
Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có
nghiệm kép.
a) 3x
2
- 2x + m = 0 c) 4x
2
+ mx + m
2
= 0
b) 5x
2
+ 18x + m = 0 d) 4x
2
+ mx - 5 = 0
Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - 3 )x

2
- 2( a - 1 )x + a - 15 = 0 .
a)Giải phơng trình khi a = 13.
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 11.Cho phơng trình: x
2
+ ( m + 1 )x + m = 0 .
a)Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm.
b)Tính y = x
1
2
+ x
2
2
theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình đẵ cho.
Bài tập 12.Cho phơng trình: x
2
- 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0 .
a)Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình theo m.
b)Tìm m sao cho 10 x
1
x
2
+ x
1
2

+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x
2
+ mx + 12 = 0 .
a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 14.Cho phơng trình: x
2
- 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0 .
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc vào k.
c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức
2
311
2121
=++
xxxx
.
Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x
2
- 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0 .
a)Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b)Trong trờng hợp có nghiệm hãy tính theo m tổng S và tích P của các nghiệm.
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng S và tích P.
Bài tập 16.Cho phơng trình: x
2
- (2m + 3 )x + m - 3 = 0 .

a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 17.Cho phơng trình: x
2
- 2( m - 1 )x + m - 1 = 0 .
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm bằng nhau.
Bài tập 18.Cho phơng trình: x
2
+
3
x -
5
= 0 , gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
. Không giải phơng trình
tính giá trị của các biểu thức sau;
a)
21
11
xx
+
b)
2
2
2
1
xx +

c)
2
2
2
1
11
xx
+
d)
3
2
3
1
xx +
Bài tập 19.Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1 )x + m - 4 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai & H thc Viet
5
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình, chứng minh rằng biểu thức
)1()1(
1221
xxxxA +=
không phụ

thuộc vào giá trị của m.
Bài tập 20.Cho phơng trình: x
2
- m x + m - 1 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A =
2
2
2
1
xx +
.
Bài tập 21.Cho phơng trình: x
2
-2(m+1)x + m
2
+4m-3 = 0.
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?
b)Xác định m để hiệu giữa tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nhất?
Bài tập 22. Cho phơng trình : x
2
+(2m-5)x-3n = 0
a)Giải phơng trình khi m=3 và n=2/3
b) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2
c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?

Bài tập 23. Cho phơng trình: x
2
2(m-1)x +2m 3 = 0
a) Chứng minh với với mọi m phơng trình luôn có nghiệm
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và khi đó hãy tính nghiệm còn lại.
Bài tập 24. Cho phơng trình : x
2
2(m+1)x +m
2
+ 2 =0
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

b)Tìm m để hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
- x
2
=4
Bài tập 25. Cho phơng trình : x
2
-4x +m =0 (1)
a)Tính hoặc của phơng trình (1) theo m
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm ?
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x

1
và x
2
thảo mãn
12
2
2
2
1
=+ xx
d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
và x
2
, hãy tìm giá trị của m để biểu thức A=x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ
nhất .
Bài tập 26. Cho phơng trình x
2
-8x +m =0 (1)
a)Giải phơng trình (1) khi m = 12
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c)Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x

2
thoả mãn: x
1
- x
2
=2
Bài tập 27. Cho phơng trình : x
2
2(a-1)x + 2a 5 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a.
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai & H thc Viet
6
b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1,
, x
2
thoả mãn : x
1
< 1 < x
2
.
Bài tập 28. Cho phơng trình : x
2
+ mx + m-2 =0.
a)Giải phơng trình (1) với m=3.
b)Tìm giá trị của m để các nghiệm x
1
,

x

2
của phơng trình (1) thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 4.

Bài tập 29. Cho phơng trình: x
2
+ ( m + 1 )x + m - 1 = 0 (1)
a. Chứng minh phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
+ 4 x
1
x

2
đạt giá trị lớn nhất
Bài tập 30. Cho phơng trình x
2
- 2mx + m
2
- m +1 =0(1)
a.Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép.
b. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
2
+x
2
2
- x
1
x
2
= 15
Bài tập 31. Cho phơng trình x
2
- (k+1)x+k = 0 (1) ( ẩn x, tham số k).
a. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k ?
b. Gọi x
1
, x

2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Hãy tìm k để A= x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
+2005 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất ấy ?
Bài tập 32. Cho phơng trình (ẩn x tham số m): x
2
+ 4x 2m = 0 (1)
a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b)Giải phơng trình với m = 6
Bài tập 33. Cho phơng trình : 2x
2
+ (2m - 1)x+ m - 1 =0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài tập 34. Cho phơng trình: x
2
+ 2(m+1)x + m
2
+ 4 m + 3 = 0 (1) (x là ẩn, m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt?

b)Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1) Tìm m để biểu thức A= 2x
1
+2x
2
- x
1
x
2
+7 = 0
Bài tập 35. Cho phơng trình :
052)1(2
2
=+ mxmx
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a.
b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 <1<x2.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
Bài tập 36. Cho phơng trình:
08
2
=+ mxx
a) Giải phơng trình (1) khi m = 12.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
2
21
= xx

Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai & H thc Viet
7