(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

LÊ HỒNG LINH

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN ĐƠN TRỊ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. Trần Xuân Quý
2. TS. Đỗ Thị Phƣơng Quỳnh

THÁI NGUYÊN - 2021


Mục lục

Danh mục các ký hi u viet tat

ii

LỜi mƠ đau

1

Chương 1. M t so kien th c chuan bị

4

1.1

M t so khái ni m và ket quả trong không gian xác suat . . . .

4

1.1.1

Không gian xác suat . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Bien ngȁu nhiên

7

1.1.3

M t so dạng h i tụ của dãy các bien ngȁu nhiên............11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

M t so ket quả ve ánh xạ đa trị và toán tử ngȁu nhiên..................13

1.3

M t so ket quả ve điem bat đ ng cho toán tử tat định...................17

Chương 2. Điem bat đ ng cua toán t ngȁu nhiên đơn trị

21

2.1

Phương trình tốn tử ngȁu nhiên........................................................21

2.2

Điem bat đ ng của toán tử ngȁu nhiên đơn trị..............................34

Ket lu n

42

Tài li u tham khao

43

i


Danh mục các ký hi u viet tat
N

T p hop các so tụ nhiên

R

T p hop các so thục

R+

T p hop các so thục dương

C[a, b]

Không gian các hàm so liên tục trên [a, b]

L(X)

Khơng gian các tốn tử tuyen tính liên tục từ X vào

X0LX(Ω) T p hop các bien ngȁu nhiên X-giá trị
A, F
B(X)
A⊗F

σ-đại so
σ-đại so Borel của X
σ-đại so tích của các σ-đại so A và F

2X

Ho các t p hop con khác rőng của X

C(X)

Ho các t p hop con đóng khác rőng của

X
CB(X)

Ho các t p hop con đóng khác rőng và bị ch n của

X d(a, B) Khoảng cách từ điem a đen t p hop B
d(A, B)

Khoảng cách giữa hai t p hop khác rőng A, B

H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai t p hop đóng A, B
Gr(F)

Đo thị của ánh xạ F

µ

Đ đo Lebesgue

P

Đ đo xác suat

p-lim

Giói hạn của sụ h i tụ theo xác suat

h.c.c.

Hau chac chan


LỜi mƠ đau
Các nghiên cứu ve định lý điem bat đ ng cho toán tử ngȁu nhiên đưoc
khỏi đau bỏi O. Hans và A. Spacek trong những năm 1950 (xem [8]). Ho đã
chứng minh định lý điem bat đ ng cho ánh xạ co ngȁu nhiên, đó chính là phiên
bản ngȁu nhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach. Sau các cơng trình của Spacek
và Hans, phiên bản ngȁu nhiên của các định lý điem bat đ ng noi tieng khác
cũng đưoc chứng minh. Lý thuyet phương trình tốn tử ngȁu nhiên và điem bat
đ ng ngȁu nhiên thục sụ đưoc tiep thêm sức mạnh sau sụ ra đòi của cuon
sách Random integral equations (1972) và bài báo tong ket Fixed point
theorems in probabilistic analysis (1976) của A. T. Bharucha-Reid (xem [6]).
Nhieu tác giả đã thành công trong vi c mỏ r ng các ket quả ve điem bat đ ng
ngȁu nhiên đã có ho c chứng minh phiên bản ngȁu nhiên của các định lý
điem bat đ ng cho toán tử tat định (chȁng hạn, xem [9, 13]). Vào những năm
1990, m t so tác giả như: H. K. Xu, K. K. Tan, X. Z. Yuan đã chứng minh các
định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong quát, trong đó các tác giả chỉ ra rang
vói m t so đieu ki n nào đó, neu các quỹ đạo của tốn tử ngȁu nhiên có
điem bat đ ng tat định thì tốn tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng ngȁu nhiên
(chȁng hạn, xem [10, 13]). Gan đây, m t so tác giả như N. Shahzad, D.
O’Regan, R. P. Agarwal đã đưa ra m t so định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên
tong quát mỏ r ng các ket quả của các tác giả trưóc và trên cơ sỏ đó phiên
bản ngȁu nhiên của nhieu định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định đã đưoc
chứng minh. Neu lóp các tốn tử ngȁu nhiên thỏa mãn các đieu ki n của

định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong quát là r ng rãi thì vi c ngȁu nhiên hóa
các định lý điem bat đ ng cho tốn tử tat định khơng cịn nhieu thú vị, vi c
chứng minh sụ ton tại điem bat đ ng của toán tử ngȁu
1


nhiên thục sụ trỏ thành vi c chứng minh sụ ton tại điem bat đ ng của m t
toán tử tat định. Tốn tử ngȁu nhiên có the đưoc xem như m t ánh xạ bien mői
phan tử của không gian metric thành m t bien ngȁu nhiên. Mői phan tử của
khơng gian metric có the đưoc xem như m t bien ngȁu nhiên suy bien nh n
giá trị là phan tử đó vói xác suat 1. Từ cách quan ni m như v y ta coi không
gian metric X như t p con (gom các bien ngȁu nhiên suy bien) của khơng
gian các bien ngȁu nhiên
X-giá trị LX(Ω). Vói f là m t toán tử ngȁu nhiên
0
liên tục từ X vào
X chúng ta có the xây dụng đưoc m t ánh xạ Φ từ LX(Ω) vào LX(Ω) mà hạn
0

0

che của Φ trên X trùng vói f và f có điem bat đ ng ngȁu nhiên khi và chỉ khi
Φ có điem bat đ ng. Dụa trên thục tien đó cùng vói các ket quả ve điem bat
đ ng của ánh xạ trong không gian metric xác suat, O. Hadzic và E. Pap đã
có những liên h ứng dụng sang lý thuyet điem bat đ ng của toán tử ngȁu
nhiên (xem [7]).
Trong phạm vi của lu n văn thạc sĩ Tốn hoc, tác giả t p trung trình bày
lại ket quả nghiên cứu ve điem bat đ ng của toán tử ngȁu nhiên đơn trị. N i
dung của lu n văn bao gom phương trình tốn tử ngȁu nhiên và điem bat đ
ng của toán tử ngȁu nhiên. Cau trúc lu n văn gom 2 chương.

Chương 1. Tác giả trình bày m t so khái ni m cơ bản ve không gian xác
suat: bien ngȁu nhiên và sụ h i tụ của dãy các bien ngȁu nhiên; toán tử ngȁu
nhiên và điem bat đ ng của toán tử ngȁu nhiên. Những ket quả đó chỉ đưoc
trích dȁn và khơng có chứng minh chi tiet.
Chương 2. Tác giả trình bày các ket quả nghiên cứu của tác giả ve phương
trình tốn tử ngȁu nhiên. N i dung chính của chương này là các định lý ve sụ
ton tại nghi m ngȁu nhiên của phương trình tốn tử ngȁu nhiên. M t so ket quả
liên quan đen bài toán điem bat đ ng của toán tử ngȁu nhiên. Áp dụng các ket
quả ve phương trình tốn tử ngȁu nhiên cho bài tốn điem bat đ ng ngȁu nhiên
và mỏ r ng m t so định lý điem bat đ ng cho toán tử ngȁu nhiên. Phiên bản
ngȁu nhiên của m t so định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định cũng đưoc
trình bày.


Đe hoàn thành đưoc lu n văn m t cách hoàn chỉnh, ngoài sụ nő lục hoc hỏi


của bản thân, em ln nh n đưoc sụ hưóng dȁn và giúp đõ nhi t tình của TS.
Tran Xuân Quý và TS. Đő Thị Phương Quỳnh. Em xin chân thành bày tỏ lòng
biet ơn sâu sac đen thay và xin gửi lịi tri ân nhat của em đoi vói những đieu
thay đã dành cho em.
Em xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin, q thay
cơ giảng dạy lóp Cao hoc Tốn K13 (2019 - 2021) Trưòng Đại hoc Khoa
hoc - Đại hoc Thái Nguyên đã t n tình truyen đạt những kien thức quý báu cũng
như tạo đieu ki n cho em hồn thành khóa hoc.
Tơi xin cảm ơn Ban Giám hi u Trưịng THPT Tran Hưng Đạo, Que Võ, Bac
Ninh đã tạo đieu ki n cho tơi trong suot q trình hoc t p.
Tơi xin gửi lịi cảm ơn chân thành nhat tói gia đình, bạn bè và đong nghi p,
những ngưịi đã đ ng viên, hő tro và tạo đieu ki n cho tơi trong suot q
trình hoc t p và thục hi n lu n văn.

Thái Nguyên, ngày 21 tháng 05 năm 2021
Hoc viên

Lê Hong Linh


Chương 1
M t so kien th c chuan bị
Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày các khái ni m và ket quả cơ bản
liên quan tói phan chính của lu n văn. Bao gom, không gian xác suat, ánh xạ
đa trị, toán tử ngȁu nhiên và m t so ket quả ve điem bat đ ng của toán tử tat
định. Hau het các khȁng định trong chương này chỉ đưa ra mà khơng trình bày
chứng minh chi tiet, các ket quả này đưoc trích dȁn rõ nguon tài li u.

1.1

M t so khái ni m và ket qua trong không gian xác suat

Trong chương này chúng ta nhac lại m t vài định nghĩa cơ bản ve lý
thuyet xác suat: bien ngȁu nhiên, m t so dạng h i tụ của dãy các bien ngȁu
nhiên.
1.1.1

Không gian xác suat

Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là t p khác rőng. M t σ− đại so F trên Ω là ho
các t p hop con của Ω thỏa mãn
(i) T p ∅ ∈ F ;
(ii). Neu A ∈ F thì phan bù A ∈ F ;
(iii). Neu A1, A2, . . . là dãy đem đưoc các t p hop trong F thì hop của chúng

A1 ∪ A2 ∪ · · · cũng thu c F .
Ví dụ 1.1.2. R đưoc định nghĩa là t p hop các so thục. Ho các t p Borel F =
B(R) là σ− đại so trên R trong đó B(R) là σ− đại so chứa tat cả các đoạn trên


R.
Định nghĩa 1.1.3. Cho F là m t σ− đại so trên Ω. Đ đo xác suat P là ánh xạ
P : F −→ [0, 1] thỏa mãn
(i). P(Ω) = 1;
(ii). Neu A1, A2, . . . là t p rịi nhau từng đơi m t (nghĩa là Ai ∩ A j = ∅ vói i ≠ j)
⊂ F thì
P(A1 ∪ A2 ∪ . . .) = P(A1) + P(A2) + · · · .
(Ω, F , P) đưoc goi là không gian xác suat. T p hop thu c F đưoc goi là
bien co. Bien co A xảy ra hau chac chan khi P(A) = 1.
Ví dụ 1.1.4. Chúng ta đưa ra khoảng cách có đ dài bang m t đơn vị Ω = [0, 1]
vói σ− đại so F = B([0, 1]) là t p hop các t p Borel B ⊂ [0, 1] và đ đo
Lebesgue P = Leb trên [0, 1]. Khi đó (Ω, F , P) là m t không gian xác suat.
Nhac lại rang Leb là đ đo duy nhat đưoc định nghĩa trên t p Borel sao cho
vói bat kì [a, b]
Leb[a, b] = b − a.
Định lý 1.1.5. Neu A1, A2, . . . là dãy tăng các bien co, nghĩa là A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ,
thì
P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = lim P(An).
n→∞

Tương tụ, neu A1, A2, . . . là dãy giảm các bien co, nghĩa là A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , thì
P(A1 ∩ A2 ∩ . . .) = lim P(An).
n→∞

Chŕng minh. Neu A1 ⊂ A2 ⊂ . . . thì

A1 ∪ A2 ∪ . . . = A1 ∪ (A2 \ A1) ∪ (A3 \ A2) ∪ . . . .
Trong đó, các t p A1, A2 \ A1, A3 \ A2, . . . rịi nhau từng đơi m t. Do đó, theo
định nghĩa của đ đo xác suat
P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = P(A1 ∪ (A2 \ A1) ∪ (A3 \ A2) ∪········)
= P(A1) + P(A2 \ A1) + P(A3 \ A2) + · · ·
= lim P(An).
n→∞


Ta có
P(A1 ∪ A2 ∪ · · · + An) = P(A1 ∪ (A2 \ A1) ∪ (A3 \ A2) ∪ · · · + P(An \ An−1)
= P(A1) + P(A2) − P(A1) + · · · + P(An) − P(An−1)
= P(An).
Neu A1 ⊃ A2 ⊃ · · · thì
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ) = lim P(An).
n→∞

Áp dụng lu t De Morgan ta có
Ω \ (A1 ∩ A2 ∩ · · · ) = (Ω \ A1) ∪ (Ω \ A2) ∪ · · · .
□
Bo đe 1.1.6 (Borel- Cantelli). Cho A1, A2, . . . là dãy các bien co sao cho
P(A1) + P(A2) + · · · < ∞
và đ t Bn = An ∪ An+1 ∪ · · · thì
P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = 0.
Chŕng minh. Vì Bn là dãy giảm các bien co, theo ket quả Định lý 1.1.5 suy ra
rang
P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = lim P(Bn) = lim P(An ∪ An+1 ∪ · · · )
n→∞

.

n→∞

.

“ lim P(An) + P(An+1) + · · · = 0.
n→∞

.
∞
Đȁng thức cuoi cùng đúng do chuői n 1 P(An ) là h i tụ. Bat đȁng thức trên đúng
=
do tính chat c ng tính dưói
P(An ∪ An+1 ∪ . . .) “ P(An) + P(An+1) + · · · .
Suy ra P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = 0.

□


1.1.2

Bien ngȁu nhiên

Định nghĩa 1.1.7. Neu F là σ− đại so trên Ω thì hàm ξ : Ω −→ R đưoc goi
là F − đo đưoc neu {ξ ∈ B} ∈ F vói mői t p Borel B ∈ B(R). Neu (Ω, F ,
P) là khơng gian xác suat thì hàm ξ đưoc goi là bien ngȁu nhiên.
Chú ý 1.1.8. Đe cho ngan gon, ta ký hi u {ξ ∈ B} thay vì viet
{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}.
Định nghĩa 1.1.9. σ− đại so σ(ξ) sinh bỏi bien ngȁu nhiên ξ : Ω −→ R đưoc
định nghĩa là lóp tat cả các t p có dạng {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}, trong đó B là t p

Borel trong R.
Định nghĩa 1.1.10. σ− đại so σ({ξi : i ∈ I}) sinh bỏi ho các bien ngȁu nhiên
{ξi : i ∈ I} đưoc định nghĩa là σ− đại so nhỏ nhat chứa tat cả bien co có dạng
{ω ∈ Ω : ξi(ω) ∈ B} trong đó B là t p Borel trong R và i ∈ I.
Nh n xét 1.1.11. Ta goi f : R −→ R là hàm Borel neu nghịch ảnh f

−1

(B) vói

moi t p Borel B trong R là t p Borel. Neu f là hàm Borel và ξ là bien ngȁu
nhiên thì f (ξ) là σ(ξ)− đo đưoc.
Th t v y, neu B là t p Borel trong R và f : R −→ R là hàm Borel thì f −1(B)
cũng là t p Borel. Do đó
{ f (ξ) ∈ B} = {ξ ∈ f −1(B)}
thu c σ− đại so σ(ξ) sinh bỏi ξ. V y f (ξ) là σ(ξ)− đo đưoc.
Bo đe 1.1.12. (Doob - Dynkin)
Cho ξ là bien ngȁu nhiên. Khi đó mői bien ngȁu nhiên σ(ξ)− đo được η có
the viet η = f (ξ) với f : R −→ R là hàm Borel.
Định nghĩa 1.1.13. Giả sử ξ : Ω −→ R là bien ngȁu nhiên, xác định đ đo xác
suat như sau
Pξ(B) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}.


Trên R xác định σ− đại so của t p Borel B ∈ B(R). Ta định nghĩa Fξ là hàm
phân phoi của ξ, ký hi u Fξ : R −→ [0, 1] xác định bỏi
Fξ(x) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ x}.
Nh n xét dưói đây cho ta biet đưoc m t so tính chat của hàm phân phoi của
bien ngȁu nhiên.
Nh n xét 1.1.14. Hàm phân phoi Fξ là không giảm, liên tục phải và thỏa mãn

lim Fξ(x) = 0, lim F (x) = 1.
ξ

x→−∞

x→+∞

Th t v y, neu x “ y thì {ω ∈ Ω : ξ(ω) “ x} ⊂ {ω ∈ Ω : ξ(ω) “ y}. Do đó
Fξ(x) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ x} “ P{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ y} = Fξ(y).
Đieu đó có nghĩa là Fξ khơng giảm.
Tiep theo, ta lay dãy bat kỳ x1 “ x2 “ . . . và đ t
lim xn = x.

n→∞

Khi đó, ta có dãy bien co
{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ x1} ⊃ {ω ∈ Ω : ξ(ω) “ x2} ⊃ · · · .
Lay giao ta đưoc
{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ x} = {ω ∈ Ω : ξ(ω) “ x1} ∩ {ω ∈ Ω : ξ(ω) “ x2} ∩ · · · .
Từ Định lý 1.1.5 ta suy ra rang
Fξ(x) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ x} = lim P{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ xn} = lim Fξ(xn).
n→∞

Đieu đó chứng tỏ rang Fξ là liên tục giảm. Do các bien co
{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ −1} ⊃ {ω ∈ Ω : ξ(ω) “ −2} ⊃
···
là dãy giảm vói giao bang ∅ và
{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ 1} ⊂ {ω ∈ Ω : ξ(ω) “ 2} ⊂ ·
··

n→∞


là dãy tăng vói hop bang Ω. Theo Định lý 1.1.5 ta có
lim Fξ(x) = lim Fξ(−n) = lim P{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ −n} = P(∅) = 0,
x→∞

n→∞

n→∞

lim Fξ(x) = lim Fξ(n) = lim P{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ n} = P(Ω) = 1.
x→∞

n→∞

n→∞

Vì Fξ là hàm không giảm.
Định nghĩa 1.1.15. Neu hàm Borel fξ : R −→
∫ R sao cho vói bat kỳ t p Borel
B∈
P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}
fξ(x)dx
=
R
B

thì ξ đưoc goi là bien ngȁu nhiên vói hàm phân phoi liên tục tuy t đoi và fξ
đưoc goi là hàm m t đ của ξ. Neu dãy hữu hạn ho c vô hạn các so thục phân

bi t x1, x2, . . . sao cho vói bat kỳ t p Borel B ⊂ R
P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} = X

P{ω ∈ Ω : ξ(ω) = xi}

{ω∈Ω:ξ(ω)∈B}

thì ξ đưoc goi là có phân phoi rịi rạc vói giá trị x1, x2, . . . và P{ω ∈ Ω : ξ(ω)
=
xi} đưoc goi là hàm “khoi lưong” xác suat của ξ tại xi.
Nh n xét 1.1.16. (i). Giả sử rang ξ là có phân phoi liên tục vói m t đ fξ.
Neu fξ liên tục tại x thì
d
dxF (x) = (x).
fξ
ξ
(ii). Giả sử rang neu f có phân phoi rịi rạc vói giá trị x1, x2, . . . thì Fξ là
hang so vói mői khoảng cách (s, t] khơng chứa bat kỳ xi và có bưóc nhảy
P{ω ∈ Ω : ξ(ω) = xi} tại mői xi.
Định nghĩa 1.1.17. Hàm phân phoi đong thòi của bien ngȁu nhiên ξ1, . . . , ξn
là đ đo xác suat Pξ1,...,ξn ∈ Rn sao cho
Pξ1,...,ξn (B) = P{ω ∈ Ω : (ξ1(ω), . . . , ξn(ω)) ∈ B}
vói moi t p Borel B ∈ Rn. Neu đó là hàm Borel fξ1,...,ξn : Rn −→ R sao cho
∫
P{ω ∈ Ω : (ξ1(ω), . . . , ξn(ω)) ∈ B} =
fξ1,...,ξn (x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn
B

vói bat
kỳ t p Borel B ∈ Rn, khi đó fξ1,...,ξn đưoc goi là hàm m t đ đong thòi của

ξ1, . . . , ξn.


Định nghĩa 1.1.18. Bien ngȁu nhiên ξ : Ω −→ R đưoc goi là khả tích neu
∫
|ξ|dP < ∞
Ω

∫

thì E(ξ) = ξdP ton tại và goi là kỳ vong toán (giá trị trung bình) của ξ. Ho
Ω

các bien ngȁu nhiên khả tích ξ : Ω −→ R đưoc ký hi u L1 ho c L1(Ω, F , P).
Ví dụ 1.1.19. Hàm chỉ tiêu 1A của t p A có giá trị bang 1 trên A và có giá trị
bang 0 trên phan bù Ω \ A của A. Vói bat kỳ bien co A ta có
∫
E(1A) =
1AdP = P(A).
Ω

Ta nói rang η : Ω −→ R là hàm b c thang neu
n
X
η = ηi1Ai .
i=1

Trong đó η1, . . . , ηn là các so thục và A1, . . . , An là các bien co rịi nhau

từng đơi m t. Khi đó
E(η) = ∫
Ω

∫
n
X
ηi 1AidP
i=1
=

ηdP
=

Ω

n

Xi

ηiP(Ai).

=1

Nh n xét 1.1.20. Vói bat kỳ hàm Borel h : R −→ R sao cho h(ξ) khả tích thì
E(h(ξ)) =∫ h(x)dPξ(x).
R
n

Th t v y, neu h là hàm b c thang h =

.=
i

hi1Ai trong đó h1, . . . , hn là các so

thục và A1, A2, . . . , An là các t p Borel rịi nhau từng đơi m t phủ R thì
n

E(h(ξ)) =

n

n

∈ Ω : ξ(ω) ∈ Ai} =
i=1
i=1
i=1
∫ h(x)dPξ(x).
n∫
X
h(x)dPξ(x) =
=
X hiE(1Ai (ξ))

i=1
Ai

=

1

X hiP{ω

R

X hiPξ(Ai)


Tiep theo, moi hàm Borel khơng âm h có the đưoc xap xỉ bỏi dãy các hàm b c
thang không giảm. Do đó đȁng thức trên đúng vói moi hàm Borel h. Vì có the
chia thành hai phan dương và âm, h = h+ − h−, trong đó h+, h− “ 0.


Đ c bi t, Nh n xét 1.1.20 suy ra rang neu ξ có phân phoi liên tục tuy t đoi
vói m t đ fξ thì

∫+∞
E(h(ξ)) = h(x) fξ(x)dx.
−∞

Neu ξ có phân phoi rịi rạc vói (hữu hạn ho c vô hạn) các giá trị phân bi t
từng đôi m t x1, x2, . . . thì
E(h(ξ)) =

X h(xi)P{ω

∈ Ω : ξ(ω) = xi}.

i

Định nghĩa 1.1.21. Bien ngȁu nhiên ξ : Ω −→ R đưoc goi là bình phương
khả tích neu
∫
|ξ|2dP < ∞,
Ω

khi đó phương sai của ξ đưoc định nghĩa bỏi
D(ξ) =

∫
(ξ − E(ξ))2dP.
Ω

Ho các bien ngȁu nhiên bình phương khả tích ξ : Ω −→ R đưoc ký hi u là
L2(Ω, F , P) ho c L2.
Các nh n xét dưói đây như là các khȁng định và nó có ứng dụng cho vi c
chứng minh các định lý trong phan sau của lu n văn.
Nh n xét 1.1.22. Neu ξ là bien ngȁu nhiên bình phương khả tích, thì ξ khả tích.
Th t v y, sử dụng bat đȁng thức Schwarz [E(ξη)]2 “ E(ξ2)E(η2) vói η = 1.
Neu ξ là bình phương khả tích thì
[E(|ξ|)]2 = [E(1|ξ|)]2 “ E(12 )E(ξ 2 ) = E(ξ2 ) < ∞,
nghĩa là ξ khả tích.
1.1.3

M t so dạng h i tụ cua dãy các bien ngȁu nhiên

Cho X1, X2, . . . , Xn, . . . là dãy các bien ngȁu nhiên phụ thu c vào chỉ so
n. Mục đích nghiên cứu xem khi n khá lón thì Xn có tính chat gì đ c bi t hay

khơng. Trưóc het ta can định nghĩa sụ h i tụ của Xn ve m t bien ngȁu nhiên
khác có ý nghĩa như the nào. Trong mục này trình bày ba kieu h i tụ cơ bản
nhat.
Định nghĩa 1.1.23 (H i tụ theo xác suat). Dãy X1, X2, . . . các bien ngȁu nhiên
h i tụ theo xác suat tói bien ngȁu nhiên Z khi n → ∞ neu:
Vói moi ε > 0, P{|Xn − Z| > ε} → 0 khi n → ∞.
Khȁng định Xn h i tụ tói Z theo xác suat nghĩa là : vói ε, δ cho trưóc
nhỏ tùy ý, thì vói xác suat ít nhat là 1 − δ ta sẽ có |Xn − Z| “ ε neu n đủ lón.
Định nghĩa 1.1.24 (H i tụ hau chac chan). Dãy X1, X2, . . . các bien ngȁu nhiên
h i tụ hau chac chan (hcc) tói bien ngȁu nhiên Z khi n → ∞ neu
P(ω : lim Xn(ω) = Z(ω)) = 1.
Định nghĩa 1.1.25 (H i tụ trung bình cap p). Dãy X1, X2, . . . , các bien ngȁu
nhiên h i tụ theo trung bình cap p tói bien ngȁu nhiên Z neu
E|Xn − Z| p → 0 khi n → ∞.
Như v y khi Xn h i tụ tói Z theo nghĩa bình phương trung bình thì bình
phương khoảng cách giữa Xn và Z lay "trung bình" sẽ nhỏ tùy ý khi n khá
lón.
Ví dụ 1.1.26. Giả sử Xn là bien ngȁu nhiên ròi rạc đưoc xác định như sau:
1
1
P{Xn = 1} =
,
P{Xn = 2} = 1 − .
n
n
Chứng minh rang Xn h i tụ tói hang so 2 theo nghĩa bình phương trung bình.
LŐI GIÂI .
1

1
1
2
E |Xn − 2| = (1 − 2) n + (2 − 2) 1 −n =n → 0
2

khi n → ∞.

2

□


Ví dụ 1.1.27. Giả sử Xn là bien ngȁu nhiên ròi rạc đưoc xác định như sau:
1
1
P{Xn = 0} = 1 − , P{Xn = n} = .
n
n
Chứng minh rang Xn h i tụ tói 0 theo xác suat, nhưng khơng h i tụ tói 0
theo nghĩa bình phương trung bình.
LŐI GIÂI . Ta có P{|Xn | > ε} = P{Xn = n}
=
n
tụ

1

→ 0 khi n → ∞, do đó Xn h i

tói 0 theo xác suat. M t khác
1
1
+ n2 = n → ∞
n
n
khi n → ∞, do đó Xn khơng h i tụ tói 0 theo nghĩa bình phương trung bình.
E |Xn |2 = 0 1 −

1.2

□

M t so ket qua ve ánh xạ đa trị và toán t ngȁu nhiên
Cho X là m t không gian metric, σ-đại so Borel B(X) của X là σ-đại so

nhỏ nhat chứa tat cả các t p mỏ của X. Trong suot lu n văn, khi nói đen σ-đại
so các t p con của khơng gian metric chúng ta hieu đó là σ-đại so Borel.
Không gian metric khả ly và đay đủ đưoc goi là không gian Polish. Cho (X,
A) và (Y, B) là các khơng gian đo đưoc. Khi đó, σ-đại so trên X × Y ký hi u
bỏi A ⊗ B, đưoc xác định là σ-đại so nhỏ nhat chứa các t p A × B, trong đó
A ∈ A, B ∈ B. Vói hai khơng gian tơpơ X, Y bat kỳ ta có B(X × Y) chứa
B(X) ⊗ B(Y). Tuy nhiên, neu X và Y là các không gian Polish thì B(X × Y)
= B(X) ⊗ B(Y) (xem [10]).
Cho (X, d) là m t không gian metric. Khoảng cách giữa hai t p con
khác rőng A, B của X đưoc xác định bỏi
d(A, B) = inf{d(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.
Khoảng cách từ điem a ∈ X đen t p B ⊂ X đưoc xác định bỏi d(a, B) =
inf{d(a, b)|b ∈ B}. Khoáng cách Hausdorff giữa hai t p đóng A, B ∈ C(X)
đưoc xác định bỏi

H(A, B) = max{supd(a, B), supd(b, A)}.
a∈A

b∈B


Cho (Ω, A) là không gian đo đưoc và X là không gian metric. Ánh xạ ξ :
Ω → X goi là A-đo được neu
ξ−1(B) = {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ A
vói moi B ∈ B(X). Neu (Ω, A, P) là không gian xác suat, ξ : Ω → X là ánh
xạ A-đo đưoc thì ξ đưoc goi là m t bien ngȁu nhiên nh n giá trị trong X
hay bien ngȁu nhiên X-giá trị. T p hop các bien ngȁu nhiên X-giá trị đưoc ký
hi u 0là LX(Ω).
M t trong các công cụ quan trong đe chứng minh sụ ton tại nghi m của m t
phương trình tốn tử ngȁu nhiên hay sụ ton tại điem bat đ ng của tốn tử ngȁu
nhiên đó là các định lý ve sụ ton tại hàm chon đo đưoc của m t ánh xạ đa trị.
Trong mục này chúng tôi sẽ trích dȁn các ket quả mà chúng tơi sẽ sử dụng
trong các phan sau của lu n văn.
Cho (Ω, A) là không gian đo đưoc và X là không gian metric. Ánh xạ đa trị
F : Ω → 2X goi là A-đo được neu
F−1(B) = {ω ∈ Ω|F(ω) ∩ B ≠ ∅} ∈ A
vói moi B là t p con mỏ của X. Trong m t so tài li u, tính đo đưoc của F cịn
đưoc goi là đo được yeu . Đo thị của ánh xạ F là m t t p con của Ω × X xác
định bỏi
Gr(F) = {(ω, x)|ω ∈ Ω, x ∈ F(ω)}.
Ánh xạ u : Ω → X goi là m t hàm chon của ánh xạ đa trị F : Ω → 2X neu
u(ω) ∈ F(ω) vói moi ω ∈ Ω.
Các định lý sau đây sẽ đưoc sử dụng đe chứng minh các ket quả ỏ các
chương sau của lu n văn.
Định lý 1.2.1. Cho (Ω, A) là không gian đo được, (X, d) là không gian

metric khá ly và F : Ω → C(X) là ánh xạ đa trị. Xét các khȁng định sau:
(1). F là A-đo được;
(2). Với mői x ∈ X, ánh xạ ω ›→ d(x, F(ω)) là A-đo được;


(3). Gr(F) là t p A ⊗ B(X)-đo được.
Khi đó, ta có a) ⇔ b) ⇒ c).
Định lý 1.2.2. Cho (Ω, A, P) là không gian xác suat, X là không gian Polish
và F : Ω → 2X là ánh xạ đa trị. Neu Gr(F) là t p A ⊗ B(X)-đo được thì ton
tại bien ngȁu nhiên X-giá trị ξ : Ω → X sao cho ξ(ω) ∈ F(ω) h.c.c.
Bo đe 1.2.3. Cho (X, d) là không gian metric khá ly, ξ : Ω → X và F : Ω →
C(X) là các ánh xạ đo được. Khi đó, ω ›→ d(ξ(ω), F(ω)) là ánh xạ đo được.
Cho (Ω, A, P) là không gian xác suat và X, Y là các không gian metric.
Định nghĩa 1.2.4. Ánh xạ f : Ω × X → Y đưoc goi là tốn tr ngȁu nhiên từ X
vào Y neu vói mői phan tử x ∈ X ánh xạ ω ›→ f (ω, x) là m t bien ngȁu nhiên
Y-giá trị. Toán tử ngȁu nhiên từ X vào X đưoc goi là toán tr ngȁu nhiên trên X.
Toán tử ngȁu nhiên từ X vào R đưoc goi là hàm ngȁu nhiên.
Vói mői x co định, f (ω, x) là m t bien ngȁu nhiên nh n giá trị trong Y. Do
đó, ta có the coi toán tử ngȁu nhiên từ X vào Y như m t quy tac cho tương
ứng mői phan tử x ∈ X m t bien ngȁu nhiên nh n giá trị trong Y. Nói cách
khác, tốn tử ngȁu nhiên từ X vào Y chính là ánh xạ từ X0 vào LY(Ω).
Ví dụ 1.2.5. Cho Xt(ω), t ∈ R+ là m t q trình ngȁu nhiên. Khi đó, (ω, t) ›→
Xt(ω) là m t toán tử ngȁu nhiên từ R + vào R. Do đó, tốn tử ngȁu nhiên là m t
khái ni m mỏ r ng của quá trình ngȁu nhiên.
Ví dụ 1.2.6. Cho X là khơng gian metric, ( fn )∞n=1 là dãy ánh xạ tat định từ
X vào R và (αn )n∞=1 là dãy các bien ngȁu nhiên nh n giá trị thục. Giả sử
∈ mői x X ∞chuői αn(ω) fn(x) h i tụ theo xác suat ve bien ngȁu nhiên
rang vói
fx(ω).

.

n 1

=

Khi đó, phép tương ứng
∞

(ω, x) ›→ fx(ω) =X αn(ω) fn(x)
n=1

xác định m t toán tử ngȁu nhiên từ X vào R.


Định nghĩa 1.2.7. Cho f , g : Ω × X → Y là hai toán tử ngȁu nhiên. Toán tử
ngȁu nhiên f goi là m t bán sao của tốn tử ngȁu nhiên g neu vói moi x ∈ X ta
có f (ω, x) = g(ω, x) h.c.c., trong đó t p các ω mà f (ω, x) ≠ g(ω, x) nhìn
chung phụ thu c vào x.
Theo quan điem xác suat, neu hai bien ngȁu nhiên bang nhau h.c.c. thì ta có
the coi chúng trùng nhau. Vì cả tốn tử ngȁu nhiên và bản sao của nó xác
định cùng m t ánh xạ từ X0 vào LY(Ω) nên nhieu khi chúng ta có the đong
nhat tốn tử ngȁu nhiên vói bản sao của nó.
Định nghĩa 1.2.8. Ánh xạ T : Ω × X → 2Y đưoc goi là tốn tr ngȁu nhiên đa
trị từ X vào Y neu vói mői phan tử x ∈ X ánh xạ đa trị ω ›→ T (ω, x) là A-đo
đưoc.
Định nghĩa 1.2.9. Cho f : Ω × X → Y là tốn tử ngȁu nhiên, T : Ω × X → 2Y
là tốn tử ngȁu nhiên đa trị. Khi đó, vói mői ω ∈ Ω, các ánh xạ x ›→ f (ω, x)
và x ›→ T (ω, x) tương ứng đưoc goi là quỹ đạo của f và T tại ω.
Định nghĩa 1.2.10. (a). Tốn tử ngȁu nhiên f : Ω × X → Y đưoc goi là đo

được neu ánh xạ f : Ω × X → Y là A ⊗ B(X)-đo đưoc.
(b). Toán tử ngȁu nhiên đa trị T : Ω × X → 2Y đưoc goi là đo được neu ánh xạ
đa trị T : Ω × X → 2Y là A ⊗ B(X)-đo đưoc.
(c). Toán tử ngȁu nhiên f : Ω × X → Y đưoc goi là liên tnc neu vói mői ω quỹ
đạo f (ω, .) của f là toán tử liên tục từ X vào Y.
(d). Tốn tử ngȁu nhiên đa trị T : Ω × X → C(Y) đưoc goi là liên tnc neu vói
mői ω quỹ đạo T (ω, .) của T là toán tử liên tục từ X vào C(Y) (vói
khoảng cách Hausdorff trên C(Y)).
(e). Tốn tử ngȁu nhiên f : Ω × X → Y đưoc goi là Lipschitz neu vói mői ω
quỹ đạo f (ω, .) là toán tử Lipschitz; nghĩa là, ton tại so thục L(ω) sao cho
vói moi x, y ∈ X ta có
d( f (ω, x), f (ω, y)) “ L(ω)d(x, y).


(f). Tốn tử ngȁu nhiên f : Ω × X → Y đưoc goi là co neu f là toán tử
Lipschitz vói L(ω) ∈ [0; 1) vói moi ω.
Nh n xét 1.2.11. Vói tốn tử ngȁu nhiên, tính Lipschitz kéo theo tính liên tục,
tính liên tục kéo theo tính đo đưoc (Định lý 1.2.13).
Ví dụ 1.2.12. Cho (Ω, A, P) = ([0; 1], B, µ), trong đó B là σ-đại so
Borel, µ là đ đo Lebesgue trên [0; 1] và X = Y = [0; 1]. Hai toán tử
ngȁu nhiên f , g : Ω × X → Y đưoc xác định bỏi
f (ω, x)
=

x.ω
ω


1

neu x ≠

và

g(ω, x) = x.ω ∀ω ∈ Ω, ∀x ∈ X.

neu x = ω

Khi đó, g là m t bản sao của f , g là tốn tử ngȁu nhiên liên tục, f khơng là
tốn tử ngȁu nhiên liên tục, g là toán tử ngȁu nhiên đo đưoc và Lipschitz
vói L(ω) = ω.
Định lý 1.2.13. Cho X, Y là các không gian Polish và f : Ω × X → Y là tốn
tr ngȁu nhiên liên tnc. Khi đó, f là tốn tr ngȁu nhiên đo được. Hơn nra, neu
ξ : Ω → X là bien ngȁu nhiên thì ánh xạ ω ›→ f (ω, ξ(ω)) là m t bien ngȁu
nhiên Y-giá trị.

1.3

M t so ket qua ve điem bat đ ng cho toán t tat định

Phan này trình bày m t so khái ni m và định lý điem bat đ ng cho toán tử
tat định của các tác giả khác mà chúng ta sẽ sử dụng ỏ các chương sau của
lu n văn.
Định nghĩa 1.3.1. Cho X là không gian metric, C là t p con đóng của X.
(a). Ánh xạ f : C → X goi là có điem bat đ ng neu ton tại phan tử x ∈ C
sao cho f (x) = x. Ta goi x là điem bat đ ng của f .
(b). Hai ánh xạ f , g : C → X goi là có điem bat đ ng chung neu ton tại phan
tử x ∈ C sao cho f (x) = g(x) = x. Ta goi x là điem bat đ ng chung của f
và g.

(c). Ánh xạ đa trị T : C → 2X goi là có điem bat đ ng neu ton tại phan tử
x ∈ C sao cho x ∈ T (x). Ta goi x là điem bat đ ng của T .
(d). Hai ánh xạ đa trị S , T : C → 2X goi là có điem bat đ ng chung neu ton
tại phan tử x ∈ C sao cho x ∈ S (x) và x ∈ T (x). Ta goi x là điem bat đ ng
chung của S và T .
(e). Ánh xạ đơn trị f : C → X và ánh xạ đa trị T : C → 2X goi là có điem
trùng nhau neu ton tại phan tử x ∈ C sao cho f (x) ∈ T (x). Ta goi x là
điem trùng nhau của f và T .
Định lý 1.3.2 (Định lý 2.1, Chang S. S. (1983) 1). Cho (X, d) là không gian
metric đay đủ và f : X → X là tốn tr thóa mãn
d( f (x), f (y)) “ a. max{d(x, f (x)) + d(y, f (y))}
1
+b. max{d(x, y), d(x, f (x)), d(y, f (y)), [d(x, f (y)) + d(y, f (x))]}
2
+c.[d(x, f (y)) + d(y, f (x))]
với moi x, y ∈ X, trong đó a > 0, b “ 0, c > 0 và a + b + 2c = 1. Khi đó, f có
duy nhat điem bat đ ng.
Định nghĩa 1.3.3. Cho X là không gian metric. Hai ánh xạ f , g : X → X đưoc
goi là giao hoán neu
f (g(x)) = g( f (x)) vói moi x ∈ X.
Định lý 1.3.4 (H quả 3, Itoh S., Takahashi W. (1978) 2). Cho K là t p con
khác rőng, compact và loi của không gian Banach khá ly X; f và g là các ánh
xạ tr K vào K trong đó f liên tnc và g khơng giãn. Neu f và g giao hốn thì f
và g có điem bat đ ng chung.
Định nghĩa 1.3.5. Cho (X, d) là không gian metric. Các ánh xạ f : X → X và
T : X → CB(X) goi là tương thích neu vói moi x ∈ X ta có f (T (x)) ∈ CB(X);
1

Chang S. S. (1983), "Some random fixed point theorems for continous random operators", Pacific J. Math.

105 (1), pp. 21–31.
2
Itoh S., Takahashi W. (1978), "The common fixed point theory of singlevalued mappings and multivalued
mappings", Pacific J. Math. 79 (2), pp. 493–508.


đong thịi, vói moi dãy (xn) trong X sao cho T (xn) → M ∈ CB(X) và f (xn) →
x0 ∈ M ta có H(T ( f (xn)), f (T (xn))) → 0.
Định lý 1.3.6 (Định lý 2, Kaneko H., Sessa S. (1989) 3). Cho (X, d) là không
gian metric đay đủ, f : X → X, T : X → CB(X) là các ánh xạ liên tnc, tương
thích thóa mãn T (X) ⊂ f (X) và
H(T (x), T (y)) “ λ. max{d( f (x), f (y)), d( f (x), T (x)), d( f (y), T (y)),
1
.[d( f (x), T (y)) + d( f (y), T (x))]}
2
với moi x, y ∈ X, trong đó 0 “ λ < 1 và T (X) = ∪ T (x). Khi đó, f và T
x ∈X
có duy nhat điem trùng nhau.
Định lý 1.3.7 (Định lý 1.4, Khan A. R., Akbar F., Sultana N., Hussain N. (2006)
4

). Cho (X, d) là không gian metric, f : X → X và T : X → C(X) là các ánh
xạ thóa mãn T (X) ⊂ f (X), trong đó T (X) ∪ T (x). Neu T (X) ho c f (X) là
x ∈X
=
t p hợp đay đủ đong thời thóa mãn
H(T (x), T (y)) “ λ. max{d( f (x), f (y)), d( f (x), T (x)), d( f (y), T (y)),
1
.[d( f (x), T (y)) + d( f (y), T (x))]}

2
với moi x, y ∈ X, trong đó 0 “ λ < 1, thì f và T có điem trùng nhau.
Định lý 1.3.8 (H quả 2.6, Singh S. L., Ha K. S., Cho Y. J. (1989) 5). Cho
(X, d) là không gian metric đay đủ; S , T : X → C(X) là các ánh xạ thóa mãn
H(S (x), T (y)) “ λ. max{d(x, y), d(x, S (x)), d(y, T (y)),
1
.[d(y, S (x)) + d(x, T (y))]}
2
với moi x, y ∈ X, trong đó 0 < λ < 1. Khi đó, S và T có điem bat đ ng chung.
3

Kaneko H., Sessa S. (1989), "Fixed point theorems for compatible multi-valued and single-valued mappings",

Internat. J. Math. Math. Sci. 12 (2), pp. 257–262.
4
Khan A. R., Akbar F., Sultana N., Hussain N. (2006), "Coincidence and invariant approximation theorems for
generalized f -nonexpansive multivalued mappings", Internat. J. Math. Math. Sci., Hindawi Publ. Corp.,
Article
ID17637, 2006, pp. 1–18.
5
Singh S. L., Ha K. S., Cho Y. J. (1989), "Coincidence and Fixed points of nonlinear hybrid contractions",
Internat. J. Math. Math. Sci. 12 (2), pp. 247–256.