Tích phân đối với độ đo vecto ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên

TRIÍCÍNG DAI HOG TONG EdP
HA
NOI
DANG
H.UNG
TKAIÍG
•/
4
A
r^ni
.
v_
:J
TICH PíIATI DOI Vdl
DO DO YECTO NGAU
IHII^:!
'JA
TOAN
Tt/
NGAU
NHÍEÍT
CHÜYEH
ITGAJiH:
LY
THUY£T XAC
SÜAT
V^
THOÍÍG
)^
TOAíí
KOC.

Mr Hífü
:
1.01^0¿i
LUÁN-
AN TIEN SI
KHOA HOC
TOAK LI
HA
:ÍOI
- 1992
•1-
K]JZ LUC
Hd
DAÜ 3
CKI/Q^G
I. DO DO
VÍ.CTO
NGAU
NKl£v
VA TICH
PKAlí
NGAU
líEÍErí
•?
CUA
KA!í
TAT
DINH .
10
!

I,.
DJnh
nghía va
-tijt
so
cí¿nh ly
cd ban 10
II.
Sy hji
t'^
cua cac
dj
do vecto ngau nhien.
*
20
III Tich
phan ngau
nhien
cua
ham
tat
dj.nh
va
khcng
gian Orlicz .
•-
32
CHrfdNG
II. TICH
PHM

NGAU
KHIEK
CUA HAM NGAU
NEIEN DOI VOI
DO DO NGAU
IÍEÍÜ;N'
VECTO
?N DINH
DOI
Xl/NG . • .
.39
I.
Dp
do ngau
nhien-vecto en d¿.nh
doi
xiing

.^

^
39
II
Tich phan cua
ham khong
ngau nhien doi vdi
dj
do
ngau
nhien

Z^
" .^ .¿i
8
p
III.
Tich
phan.
ngau
nhien.
cua
ham
ngau nhien
ágo
l^p
vdi Z
.
.
• *55
IV.
Tich
phan ngau nhien cua
ham
ngau nhien phu
hj'p
vdi Z

61
F
CHtfONG
Til.

TOAN
10^
NGAU
NEIEN GIÜÁ
CAC KHONG
GIAl.^
BAIÍACH .
.
^ ?C
I.
D¿nh nghia,thi dy
va
cae
tmh chat tong quat
«-
^
70
II
SS
n'^1
ty
cur,
cae
toan tu ngau nhien
*
77
III
«^
Tac dcng
cia toan

tú ngau
nhléa lén -ur *-
bien ngau
rüiierx ^
83
p-
T.
YI5H
CHAT QUY DAO CUA TOAN
Ti/
NGAU NHIEN

97
l ac
inen tnuc chuan
bj.
97
II.
Ycájn ti nxáu
nhien
v5i
quy
d§LO
trong V C
L(X,Y)
99
III.
líjn:.
chlt (V,p)-bieu
dien

dii^íc
cua toan tú ngau
nhiea lOS
IV.
Z^'c
-^¿anh
cua
ni9t
toan tu ngau nhien v5l các
toan ti
-I-
d^^
.119
íf
NGAU NHIEN ON
DINK
DOI
XUÍÍG
122
T ^ t V ^ry
S i»C
t.
-w¿J\
/
I*
loan r¿
iirS^
nhien
Gauss díi xóng

122
11-
tcln ru igáu
nhien on
d^nh
doi
x5ng • ^ »
131
rzr >C7C
i3S
PHP LDC
^kh
3ANe
CAC
DAffl Itf CHI
DAN
~
i:?o
-3-
•^
;r
MO
DAU
Trong hdn hai the
biy quaíVc'i
su gop suc cua nhieu the he các nha
coan h9c,b9 nion
giai
tich
toan

h9C
da tro
thánh :.i9t lau
dai do
59
vdi
nh-ng
toa nha nguy nga tráng le
nhií
:
Fhlp tính \a,tich
phan,
phUdng
trinh vi phan va
d^o
han
rieng,giai tich
hará
No da tro thanh
npt
cong
c^
dac
l^c
cho nhieu nganh
¿choa h9c ky thu^t
khi xu ly các mo
hlnh
tat
dj-nh.

aiing,nhví
chúng ta deu
biet,ngau niiien
can thiep rat
mánh li'^t
vao
cupe
song chúng
ta.Vi
v^y
các no hinh tat
d^nh
khong du de phan anh
thyc
te rát
phác
t^p
khi co
stf
tac
agng
cua nhan to ngau
niiien^Phan
Ion
các
hf
thong va
h^
djng luc
trong

v^t
ly,cd hoc,Í-inh
te,
sinh
thái
¿eu la
nhüng hf
ngau
nhien.Trong
nh3ng
nam.
gan day,;:i^t
n^-t
do nhu cau
phát trien
nji
t^
cúa toan h9c,aat
khác
nhan
cung cap
z.gt
xigon.
ng5,
zjt
cong cu cho
phép :¡o
ta,phan tich,du bao va dieu
khien
các he ngau

nhien cac chuyen gia ve ly thuyet xac suat dang
ichan
trucng xay dung
toa lau dai giai tich nr:au nhien
vcl
hy
V9ng
rang tudng
lai
no cung
se co
:n9t tac
voc
.to Idn
khong
kesi.Gó
the tin chao
rang,ly
thuyet
09
do,tich ph'an
ngau
nhi?n,phudng
trinh vi phan ngau nhien va toan tu
ngau
nhi*en
se la
nhUng
toa nha chmh trong lau
dai

do raa nh5ng
ngüc?i
d=t
nen
laong
cho chung la
V;'¿ener,lto
va
Skorokhod.
Ve
n^t
l^-ch
su,
tich
phan ngau niiien dau tien trong ly thuyet xáe
suát
la tich phan cua
:n9t han
tat-
d^-nh(khong
ngau nhien) bmh phudng
Izha "ich
doi
v5i
quá trinh chuyen
d9ng 3roa'n
do V-iéner
dUa
ra
[62] •

Tich phan ngau nhien Wiener da
dii^c 30 r9ng
cho nhieu qua trinh ngau
nhien khác.
Levy [29"]
xay
d\ing
tich phan ngau nhien
¿oi vo'i
quá trlnh
gia
50 d9C
l^p,
kol-"ogorov [22"]
xay
diíng
tich phan ngau nhien doi
vái
X
, . . / . /
cua
-rlnh
gia so truc giao,tích phan nay cong
ri9t
vai tro
then
chot
y
trong
ly thuyet các quá trinh

dling.
j
:-I¿rt buce ngo^t
then chot da
(xzcz thuc hien
bci
Ito nhem
thu'c
hifn
cua
zrinh lAy
tich phan ngau nhien cho ca cac
haní
nrau nhien
.
Trong
ccng
trinh noi
tiengr2ol
Ito da xay dung tich phan ngau nhien doi vdi
quá -rlnh chuyen
d9ng Brov n
cho các
ham
ngau nhien
phü htíp(
adapted)
vci
cuy
dfo binh

phudng khá
tich.Tich
phan
Itcmgay
nay da
trá
thanh
nrín ngü
thong dung cua cac chuyen gia ve he
d9ng Idc
ngau nhien va
cd
hpc
ngau
nhi'en.iügn t§ii,co mjt huáng
nghien
cúu
dang thu
hut sií
cuan
ta-Ti
cua nhieu
nguol
la
nham ^6
bo gia thiet phu hdn trong
d^-nh
nghia
tich
phan

Ito.M9t
so tich phan Ito suy
r9ng
da duoc dua
ra,dan
J J
^
den
nhung sií
phat trien ly thuyet thu
v^.,
trong do dang chú y nhat la
tich
phan Skorokhod, tich phan
Oga-\'/a
va tich
Tjhan
Stratonovich. (Xin
xe-
{l'^^fS}^
'
[^^]
^^- ^^^"
-i^^
¿
dó
).
:.9X
h-cng
md rpng :-;hac

la
:>:ay
dung tich phan ngau nhien cho cac
cua
zT^nn rong cusí
he:.
.Cn^ng
h^n^.ift
ly "cnuyet
ve
ti en
phan
ngcu nniei
cua cac
hain nüau
nhien kha doán
l^y
doi vci
^:9t seni.nartingale
da
dd^c
nghien cuu khá ran
rg ¿ My,Fháp( xeni hichteler
["4"]
va thu
:nuc ó
do
)'
-5-
^ ^ r

y^ y^
J
*¡9t hiiéng mé rjng
khác nua la xay
dtíng
tich phan ngau nhien
b9i,
tiep
t'^c
c'ong
vifc
cua Ito
\2.1~\
doi
v5i
qua trinh tong quat hdn (
xem[26 j
[_27j
va
thu
3^c
t^
do ).
•TÍch
phan ngau nhien Wiener
cháng
cua la tich phan doi
vcl ag
do
ngáu

nhi*en
ca::: sinh bci quá trinh chuyen
d9n^
Brov/n.Dp
do ngau nhien
nay co tính chat
laj.
giá
tr^.
tren các
t^p
rbi nhaiia
nhüng bien
.
/
ngáu nhien
djc
l^p.iu
tuíng
ve
dj
do ngau nhien co tinh chat nay
lan
•
dáu tien xuat hien trong cong trinh cua Sochner
|_3 J . Urbanik £53]
sú
"'
d'jing
no

trong ly thuyet
d^
bao qua trinh dung
ch^.t
khong ton
t^i
nioaen'
cap
¿.
Tich phan ngau nhien cúa các
ha;n
tat
d4.nh
doi
véi d9
do ngau
nrie'n
ce
tmh chat nay
duf'c
nghien cuu
bói Urbanik
va
'úoyczynsid.
£58]
,
5u
r:c
r9ng tich
phan ngáu nhien kieu náy cho

cae háa
tat
á:^nh
nhfin
giá
tr;i.
tren khong gian
Banaeh diíjíc th^te hifn
boi
Hoff.riann-Jorgensen
[le],
Okasalii [33'}
va
ícosinsld.
[36,
3?']
Ghüdng
I va chudng II cua
lu|.n
án dánh cho
vifc
nghien cúu
ág
do
vec to ngau nhien
nhf.n
giá
tr^.
trong khong gian
Banaeh

va tich phán
cúa han gia
tri.
th^c
( ngáu nhien va khong ngáu nhien) doi vdi chung.
Va chúng toi cung
chi
xet
cae 09
do ngáu niiien co tmh chat:
üiá
tr^
trin các
tjp
rdi nhau la nhúng bien ngáu nhien
090
l^p
,
Dp
do vec
te
ngau nhien
npt
n^t
la
su^
T^Ó
rjng tií
nhien cua
d9

do
"^ ^
1
^
«
^
j
ngáu nhien giá
tr^.
thyc nói c tren.M^t
khác cung co the coi no la
sü
nio rjng * *
ngau nhien'
'
hay
sii
ngau nhien hoa cua khai
nifm 09
do vectc
nh^n
gia
tr^
trong
^:hong
gian
Banaeh du^-c n¿;'hien
cúu rat
ky"
trong giai

tich
ha:n( xen Fia"]
).
Tiet
1 cúa
chudng
I trlnh b¿y
d^nh
nghia
va
nijt
so tinh chat ed han cua
dj
do vecto ngáu nhien va tich phán cua
hám
/ '
J
, ,
y/
tat
dj-nh
gia
trj th^jíc
doi
v5i chúng.Tiet
2
chiidng
I dua ra
rn9t
so

kieu
h9i
t'^
cua
dj
do vecto ngau nhien va quan
h|
giúa cae iiieu h9i
t^
ay.Trong
tiet 3 chudng I chúng toi
mo
ta khong gian các
haii
kha tich
doi
véi mpt láü
các
dj
do vecto ngáu
nlaien
sinh boi
m^t
h9
nao do
cae
i
J
phan bo ehia vo
h^n.

Chudng II danh cho viec xay
d^ng
tich phán ngáu nhien
(
udZ
§
dó u la
ham
ngau nhien con Z
lá ¿9
do vecto ngau nhien on
dJ.nh,aoi
'£.\in^ tuy
y.Tiet
1 trlnh bay
d^nh
nghia va cac tính chat quan
tr9ng
cua cac do do Z . Quá trlnh
V.iener
nh^n
giá
tr^.
trong khong gian
Banaeh
P
diia
ra bci
N.V.Thu
fh^l

Is.
.r:9t tru'cJng agp
rieng cua cac do do ngau
^ ^/ ^ .
«
/ ^^
nhien Gauss doi
rAng
Z
. I»hd
lá
:^gt bucc
trung gian
,
trong tiet 2
chung toi khao sat trudc het trucng hcp u la ha:: khong ngau
nhi^n.Tie'p
theo trong tiet 3.
dj.nh
nghia va
tich
chat cua tich phán ngáu nhien
í'
udZ
diídc
thiet
lf.p
trong hai
triiong
h9'p:

u
090 l§p v§i Z
, Z
n
/ 7
lay
giá
trj
trong khong gian Banaeh
lo^
t^-on
di.nh
va
trüdng
h^p
u
•<.
la phu hdp vdi
h9
19c sinh ra bci Z
,
¿ lay giá tri trong khong
giaa
T)
"O
y^
Banaeh
q-trdn
deu hoa ( q
\

p neu p < 2
,
q
r.
2 neu
p zi
2.
)
.Kdn
nüa,
khi Z la do do ngáu nhien vecto
iviener
,tích
-ohán ludZ dtfdc
xáy
P
"
J
P
'
d^ng
theo
cach
tiep
c^n
Ogav;a [32 "j
cho
i^.gl
harringáu
nhien u

dgc
l|p
vai
Z ,khong
can gia thiet
gi
ve hlnh
hpc
cua
kh'ong
gian Banaeh.
-7-
Bai toan xay
difng
tich phán ngáu nhien Skorokhod cho
ág
do
ncáu nhie'n
vecto
uauss
hay con dang DO
ngo.
Trong giai
tich
toan
hpe,
chúng ta biet rang tich phan
ch^ng
qua la
mjt

lo^
toan tú tuyen tính
dfc bi^t
nhun
quan
trpng nhat.i^y
thuyet
các
toan
tú tuyen tính tong quat da ducc ap dung rat
hifu
qua
o.e
nghien
cuu
cae
phudng trinh vi phan va
d^o
ha;/.
rie'ng.Tüdng ty
nhu
v5y,tieh
\
r^
^ . ' . .
->
^
y.
phan
nj-'au

nhien
cúng
lá
:-:o"t vi
du quan
tr9ng
cúa toan tú ngau nhien.
Do
uo
r:pt
-5'
thuy-^t
tong quat ve toan tu ngau
nnien
co the va can
phai
phát
trien,
cúng nhu
ung
dung vao các phudng trlnh vi phan ngau nhien
M^t
khac toan tú ngau nhien cúng la
nipt sy
no
rpng td
nhien cúa các
/ T ^' / Sí ^ ^ ^ J ^ ^
toan tú tuyen tính khi chuyen tí?
ao

hmh tat
d^-nh
sang no
hlnh ngau
nhien.C-ia su
rang
i gt
he thong
diidc -:io
ta
ooi
toan tu A: X
—^ Y
trong do

lá
t§^p
hcp cái váo( input) con '1 la
t^p
h^'p
cai
ra(output)
A
dude ggt
lá quy
lu'^t
tac
djng
cua he thong hay ed cau bien doi cái
vao thanh cai ra. Trong r.o hlnh tat

d4nh,cai
ra hoán toan
düoc
xac
/
V X
^
/
y^
S^
^
J
d}.nh
bci cai váo va quy
lu^t
tac
dpng.
Trong
;ao
hlnh ngáu
nhie]:^,bie't
V . ^ 4 ^ , ^ c
y>^^
dupc
cri.
vao X va cuy
lu'^t tac d9ng
A ta chí nhieu
lar:
bie't du9'e

•pnan
co xac suat cua
caí
ra
na thoi.^;nut
v^y,n:9t
toan tu ngau
nnien
A la -;t
pnep tuong ung
T.OI
X
^
A
ot oien
ngau
nnien
Ax co
tr^
trong
-^ .
?
-^ ^ ^/
khong gian
Y.Toan
tú ngau nhien tuyen tinh giua cae khong gian
Hilbert
düfc
nghien cúu dáu tien bci
S::oro::hod

£441 •
T:r
ong các chudng 3,4 va
5
chúng
t?i
se danh cho viec nghien cúu các
toan
tú
n'ck^:^
nhien(tuyen
tinh)
giua hai khong gian
Banaeh.
y!
i
.
I
Chudng
III trlnh báy các vi
d^,cáe
tính chat chung cua toan tu
ngáu
nhie'n,di.nh
nghía 4
lo^
hfi ty
cúa day cac toan tú ngau nhien va
inci
quan he giua cac

Ic^
h9i
tu
ay.Chung
toi da
ág.t düoc :ii9t
so ket
qua DUCC
uau
trong
viec
d^nh
ngnia
tac
aong
cua
::;ot
tran tu ngau
nnien
iu
X váo Y
Ion zgt
bien ngau
nl:ien ce
tr^
treh
X./cu
tran tu ngáu nhien
lá toan tú tich phán ngau nhien
thi

tac
d^ng
náy cho ta
d^-uh
nghia
i
'^ ^ ^
tich phan ngau nhien cua
'.^gt ha::i
ngau nhien.
Trong
chudng 4
chúng toi
nhin injt
tran tú ngau nhien tu
k saiig
Y
nhü
. ^ s
J:"
ys ; J / . ^ ' 2
lá
:zgt
trucng ngau nhien düoc
chi
so hca boi
t^p
tha so
X.Suan
diem

y<~
/ -^
-
1 \
y\
^
nay dan den cac cau hoi ve tmh chat quy
d=^.o
cua trüdng ngau nhien
^
J
, ^ -
?.
X
. ,
V
-
.
-)
nay nal
toan
ngnien
cuu tmh cnat cuy
u^o
cua truong ngau nhien aa thu
nut su cuan ta
tá~
cua
nhi^u
tac gia nhü

r
ernique
,Kono ,karcu3
,^ud;
sy
7
.
y^
^ .
?
/
(x5n/23
J va tnu
j-ue
t^i
dp
j.^ac
tac
gia
nay ue
c^.p
chu yeu
toi
tinh chat
bj.
ch^
hay tinh chat lien tuc cua cuy'
d^o
v5i
í^p

tham
so
la knong
gian netric
compact khong co cau truc tuyen tmh.
i^hieu
dieu
iiien düp'c
dua ra
dais
bao sü ton
t^i
ni9t
ban sao cúa A c6 quy
d^o
nam
trong
mpt lóp
con V các
toan
tu tuyen tinh lien tuc hoac lá dan bao
£ü
ton
tp.
cua
3:91
"^9 '^^
í^don
tren V
có

cung phán bo
hüu
h^
chie'u
v5i
A.
chudng
cuoi
eíing
nghien cúu
n9t láp '.úik
quan
tr9ng
cae toan tú
ngau nhien: Lop
cae toan
tú ngáu nhien on
d4.nh.Da
chúng
ziinh dü9'c
rang
luoi toan
tú ngau nhien on
dj.nh,doi
xúng cháp
nh|in iri9t
bieu dien
düci
d^g
liipt tich

phan ngáu
nhien.Trong trtfdng
h^p
toan tú ngáu nhien
~ -• ^ " „ • "—
r,
• •
,- -' ,- «
• •
-» . •
-1.
- ^
V-
•• -^ > ! ^
t.n

c.
-•.
-
- ;^ ! c Tp . ,q ^
r,
n rr
"1'
;^ TTi
ngau
nnicH
cu
j
^.it:.
C^J.J

C.*_L
U-C
t ^,* '-'-¿¿j *,ni.(' yn5
n*i.j
v-ac
.:et
qua cnu yeu cua
lu^n
an
ua au¿;c -oao
cao
.nao
lu^
c
-
Xe :^
na
klc
suat
t^.i
Vien
Tc£n trvcng
I-^.i
h9c
tcng
hjfp Wroclaw,Halan
nár.
h9c
1-S5/19S6
va

h9i thac
::ác suat
qaoc tei
t^i
Trung tan
Toan quíc
te'
¿anach naír
1990.
-cji
t:;ao
Aac
suat
-/let
na:-; na:^
x9c^,n^i
ngn^
t-iai
.,icn
toan
c'jc
j.r>i
hpc
cúa
Khoa Toán-Cd-Tin hjc
DHTH
Há nji 1959,3991
/
J
,

ac ke't
qua náy
dude
c'ong
bo
trong
các
cong trlnh
[49 -
:?7]
"D,
"1
T-*
y
/
.ac -'^ua
t-Thon^
ke
*

/
.
.^.
«^
-
ri ^-!^
-^^j.
i-^-'C
i,ong
•-9_-'

es.
i'•9—
-¿=-0
»-u.
^
t-
.& '.'^c c
ou.
_^
e
ÍJ^
_
es » »
CIÜ
MTuug,C-iac
su
Tien sy :':gu7£in
u-j-j
Tien
da
iir.uyen
i;nich,dcnr
vi-sn -/a
t^c
nnung
uieu
r:i^n
t u¿in
l;i
rnc

tac
gia :;can
tnarh ban
-u~n
veo:
/
l'c
-ia clian
thanh
ca.n
dn Giác sü Tien
¿v
?:^uvon
V?n Thu,^iác sü
Tien
j ;^ w ;/'v
j-::^r.
.r-an
:.nu u5 cr.c
n.nieu
y
r^in
cuy
r:
= u t
tac
gia
hoan
thien lu^n
an.

Tac
gi.a
curg
x:.n
zr.e^n
thanh
ca^'
dn
cac
thunh ^len
trcng
.lei-ms ,.ac
/
^
Euat
cua
'Jrucng :;=i ri^c rong ncp
ha
191
va
.'len
Toan
ncc vr
nnung
y
I /
/* •'5 ^'*' -"-, ^ *,.,.*• ^
. * f
^
, /

'
•-r-
-
••
r^
-
•: = ??
lir,v:r'r-
''"•"ir-';"'
* r^
:• ^ ^\-
-
T
-•^r:^
*-
r^
-
- r
f^
r"-'"''j
~
^
r-
.~~^
-10-
CHÜONG
I
•^ / '^
7
^ ^

DO DO VECTO NGAU NHIEN VA TICH
PHAI^:
NGAU
I7ÍIIEN
CUA
HAi-:
TAT
DINfí
I
• Dj.nh
nghia va
rnpt
so
uinh
ly cd ban
Gia sú X lá
nipt
khong gian
Banaeh ::há
ly va (T,
^i ) ^á ngt
khbng
gian
do.i:a:t
t^n
F:
2ür —^
L''(JI)
tú
¿J/

váo knong gian
L"(J1)
o
i
o
cae bien ngáu nhien X-giá
trj dude
g^i
lá
"¡gt ág
do ngáu nhien
X-gia
tr^
neu:
Vci £ici
day
(i-
) các
t|:p
roí nhau cúa
2y
,
cac cien ngáu
nhiea
E(E^),
r(E
),
la
djc
l'^p

va
* ' OD
°=*
^(
L/E
)= Jil^^)
trong
L'^(II).
D9
do ngáu nhien X-giá
tr^.
düoc
g9i
lá doi ::üng neu vci
rioi
^
6 ZL
-^(-)
lá bien ngáu nhien
eó
phán bo dci
xúng.
Trong
lu^^n
án
náy,
chúng
toi
chu yeu se de
c^p

tci trucng hdp doi
TATI^.
^ ^ - -^
>^
T'
dieu
khiea
hpt <Lg
do
thüc
hüu
h^in
khong an
^
tren I
düp^e gji
lá
-'gt dp
ao"y^
(kie.u trajcua r
neu
j^^(E)
=.
O keo theo F(E)
=:
O
h.c.c.
va ta
ky hieu
su

J.en
náy lá
F
«
y^
»
:-:-t h9 I
F^,
s¿ 3
j các ¿o do ngáu nhien vecto ¿üoc
g9i
lá
b"-
cpng
tinh
ueu
r.Tu
vci
.:5i
day
{-L-
1 các t|p roi nhau
cuc S
[^s'
£ e ^j lá :^ct h9 cá
gia
tr4-,uSi xúng.Ngoái ra,tc
giá
thi€t
the.^

r^g
ten tvi
d;
do
di'eu
^ien
j^
che -r.gl
F^
.khi
d¿ ho
í ^
^,E
t^
\ lá
5~-c9ng
tinh
aeu
.
r.
.

_
ta co
00
ü-
,
, _
s '
:.a

Di.nh
ly 1.1 Giá sú i
F
s
6 ^ i
lá
:^ct hg
các do
ao
n-á"^
nhien X-
-11'
neu va chí
n|u
y
, s
£ J
( lá
jiA-lien tyc
aeu theo nghia sau:
Vói
m9i
t
>
O
li-
sup
PI
IIF
(E)

II
> t J
=
O
/A(^) -^0^s65
Chúng
2:inh
L-ii
sú j F 1
iá yu-lien tyc
deu va
(E
) lá
n9t
day
oo
cac
t^n
2-/-do
düpcrdi
nhau.Ta co
lim ^(
L-/
E
)
=
O
.Do
do
OO

-)
-1
lia sup ?h 21
^s^^''
•'
>
M
~ ^^"^ ^""^ '"^
í
"
^s^^^»"^)!!
•
^
^j
"°*
V^y
5
F
1 -^
S^-cJng
tinh deu-
Ngüpc
l^jgia
su
ÍE ^
lá
C^-cJng
tmh
d^u
nhüng chung khong

JÍÁ-
lien
tuc
deuJZhi
do
lini
sup P
í H
F (E)
Ij *>
t i
^ ^ ^^^
-^'9^
jU(E) ->0
s
t
\
O nao do.
V|.y
eo ton
z^
^ "^ ^
va
11191
day (A )
cae
t^p
do
dü^'c
sao cho

= [ U
r_(Aj|l
>
t]
;j.
¿ vá ju(\) 4
2"''
víi
^
00
"
o^
dpi
n.
Dát iá r
V^A
, B
.=
Í^B
.Ho
rang
/u.(B) r O
do
uó
F
(E) -
O
h^c.c.
Dat
Ez.TNB,E -b \B

s *
1"^
l'n
+
ln n+1
00
Ta có (E
)
la
aot
day cae táp rdi nhau voi
B
\
B ^ \J
JL
.Vi
• ^ •
' co
; °
fc:^nH
^^
F (3)
—
O nen F
(B
)
- )
F (2 )
.Do
tmh

S^
-cong tinh deu
s ' s n
^-^
s k
cua
I r ^
ta có
?|
llf,(\)ll> t]
-
o
(1-1)
ri-
c-'
n s
Ap
a^ng
cat aejrxg
tnue
j-ievy
ta co
Dieu nay
.lau
thuán vci
(l-l).D4.nh
ly
dude
chung
-inh.

sup
-
S
c-
Hg
cua 1.2
¿iá
sü
F
la
d^
to ngáu nhien X-gia
tr^.
doi
•i^'ú.ríg
vdi
dj
do
dieu
lüaien
iu.
.Khi
do F lá
yu-lien tyc
tüc la
p-
lin r (i:.)
-
o
jU(ii) -^

0
"^
7
/
Ket
qua sau day la
d^ng
ngau nhien cua
c^nh
ly
Vitaly-Hahn-Saks
i>j.nh
ly 1.3 Giá sú (F ) lá
ziot
day do do ngau nhien X-giá
tri,
doi
^
xúng
b^.
dieu khien bdi
eíing 1391 d9
do
j^
.Gia
sú rang vdi
mói
E
^ 2
ton tai

D-
li2¡
F (E);.i:hi
dó:
^
- n
1) (F ) lá
/U-lien tyc
deu
2>
HM
t$p
F:
X —^
L^(il)
xác dinh boi F(E)
::.
p-liis
F (E)
'^
o ' n .
la
:2ft Q9
do ngau nhien X-gia
trj.,doi
xüng vói
6.g
do dieu khien
/U-
Chúne;

siinh
1) Gia sú rang (F ) khong
jW_-lien tye deu.Khi
do ton
t§LÍ
"^ ^'^i C "^
O va
m^t
day (A ) cac
t|.p
do dude sao cho
sup
Pj
11F^(A^)||
^
3t
j ^ Zf
£ (1-2)
va
íU.(A
)
^2
vdi
^191
p.
D-j.nh
nghia
j:?t
tua khoang
cách

tren
z2
bdi d(A,B)
=:
yC(.(A A
B). ,
Bang
cach xet các lop tüdng
düdngC
dong nhat cae
dieni
A va
:;
eó d-
khoang cach bang O) ta thu
^•ú.úz ':ígt hong
gian
^etric d£.y
du (
J!
,d).
^ay gic vci
-01
k,.':y
hieu
Z.
. la
t^p
cac
uie:ri 1

(-
¿j
sao cho
H í
'n'-^
- ':.^-^ll
>
t]
<^
¿ ^'i ^^?i -^^^
>
^^-
._
la
n^t
t^p
uong.Tn^t
v^y.gia
su
h_.
^
¿,,
tüc la
-'
1
*\
va
;E.
^ I)
-?^

—>c>o.Vi i
(F
AL
) vá
y
(i^
r\E^
)
ni ni
la ^ce lac.ici xtnr ta co
"^['ly^^^
-^^(-)11
>
t] = ?pl
F^(E^
A
E)
-F^(E^
A EJ 11 > tjr
P
j
fl-^^U_.
A ^)11
>
^ "i "~> ^ -''^'^-
i
-^oc-
theo
hf
quá

1.2.V^.y
~ 'i •* —
(E)
ve
;i
r.oi
n.Cho i
—^
oo d (1-3) ta thu düdc
PÍ H
J^(„)
-
F^.(E)11
> t
j ^
£ . Do d¿ E
^
22^
.
Ko
rang
¿
-V-/2
'-^^ dj-nh
ly
5aire
fon
t^
2-^
chüa

npt
hmh
kc^
o
/
\ ^
>o,£
e
;ao cho E
¿
¿-Í
neu
k
va
(1-4)
/U(E iíiS
) < r
Chú
y rang (E
A
E
) A
E r E
HE
J
o
o
o o o
(2
\JI.

)
A
E
r
E
A
E^
ta co
>•
o o o
pJ U r (£
rM=;
-
i\a
r\i:'')\\
>
t] ^
í-
^[
11V-
^^^
-
^i:^^
^^^
II >
'] ^ ^
neu
/w.(-)
<'
r vá n

S
k . Tien theo.
vi
F
(.1)
;:;
F
(E vy
E ) -
J ^o ^o'-^n
n c
F^(E
(^z")
t-^
(1-4) ta co
pJ
||
Y^(1)
-
F^^
(E)
H
>
2tj,<¿É
neu
A^
(E)
<'
r ,
n.

S
k
. Do
he qua
1.2
véi
rnoi
rn
^1,2,
k
ton
J ^
o
-^
o
o
tp.
r^
\ O
sao cho
P Jll ^ (i^)ll > 11 ^ £
neu
>U.(í^)
<
r
•
V^
-''{fi ^aí^)ll> 3t] <3£ n?u ^^(E)
<;
nin(r^, ,r^

).
/ / /. . > ° °
Dieu náy
trai vdi
(1-2).V^y
(F ) lá
/^-lien
tuc deu.
n
•'
2) Theo
IJ véi aoi
t
"^
O,
£-
> ^ "ton
tp.
r
S
O sao
che
sup
?í 1ÍE^(E)|1 ^
t|
^ ¿
n-eu
JK(E)
< r.
Cho n

-^
c^
ta thu
d;de
PÍ||F(E)!|
> t?< L
neu
jUXE)
<
r.V^y
-14-
F
la
ix-lien tuc.P.o
rang
F lá
C9ng
tinh hüu
h^n.Giá
sú
(s^
) lá
day
00
cac tap
do
dude
rci
nhau
vá

x. =
L/^
^Zhl d6ÍF('¿
)\
lá
ooc l$p
vá
pj
1|F(E)
-
¿F(Z,
)||>
t] ^ pj H
^(OK
)|| >
t] ->
O
vi
F la
yu lien
t^e.Do
dó F lá
5~-c9ng
tinh.D4.nh
ly
düjíe
chúng
minh
^y &lc
ta

de"
c^p
¿en v±ec
tich phan cua
n9t
há.~
lihíng
ngau nhien,
/
7
gia
tr^
th^c.^üch
phan cua
ra9t háü(khong
ngau nhien)
co
tr^.
tren
ngt
^
'
^
=-
* ^
/
•
kh"oag
gian Banaeh doi vói
ngt ag

do
ngáu nhien doi
xüng,gia
tr^
th^c
düfc
xay
¿üng
bci
Eosinski £361 .
Gia
su
M-
lá
a9
do
ngáu nhien gia
tr4.
thüc.Neu
f:
i —^X
lá
r:ot
hám don
gian
f r
V
x 1
ó
do

(A,
) lá
'
Z-/
1 A i
i'
=
1
1
cae
t^p
rci
nha.u,x.
^
X thi ta
d^nh
nghia
X
y^
z
MCAnA.
)
vdi
A
A 2L
.*—'
1 1
•
Kjt
has

f:
T —^
X
gpi
lá
:-:-kha tich
neu ton
t^
-gt
day
i f 7
các
has den
gian
(í
) sao cho
n
i)
f
-^ f
M-h.k.n.
•
n
•*
ii)
Vfe spi A ^
2I/
í tiáy (
f
di-1 hgl ty

theo xac suat
i
fdM
1^
: _bhl tic
\fdH :z
p- lia
r f
<
eu
f la
: kh£
tich
ta
d^t
dí4
n
A
A
T^p
hjfp
các
han
f eo
tr^.
tren X
lá
k-kha
tich
ta

k^
hifli
la
^(:':,X)
B|.y
gic?,gia
sú F lá
¡ngt (I9
do
ngáu nhien X-gia
tr^
dci xüng vdi
d9
do dieu khien
AA,
t^eu
f lá
mgt háns th^e
ddn gian tren
T f -
¿^
u.l
(A.) rdi
nhau
thi
tich phan cua
f
tren
t^p
E

doi
v5i
F
ll
jf¿^
-
2,
\nA^r\E) .Kpt hk:n
f:
T ~»H dUpc rji ik
P-khl
J
=.
I
tich neu eo ton
tp.
day (f ) các
há:a
don gian sao cho
•1^
1) f
—^ r
yu h.k.n.
n
*
ii) vói noi
E£2L
day j
\
f dF

'I h9i
t^
theo xac
suát.Keu
f la
F-khá
t/ch
ta
d^t
ffdF -^
p-lir:
f
f dF
Chu y
no
rang neu f lá
han
ddn gian
thi f idF
vá
I
fc¿r la doi
c
E
E
xüng
09c
l^D
vá
IfdF

-
IfdF + V fdF ."í^l
bát dang
thiic hevy
ta
có
F í y Tí
dF
11
>
11 ^ 2P í 11 f fdF ¡i '^
t\
. Do
do,
dieu
kif
n
ii) tüdng
düdng
vdi dieu
ki|n
iii)
Dáy J ( í
dF I
hpi ty
theo xac
suat.^'.

,:.
Ta chóng iiinh

rang
d^nh
nghia tren la dung
dán.Muon
v^y
chí can
chüng
*
__v
_
_
>v
/
«
\ - ^ ,- , *
to rang neu
(r^)
la day han ddn gian
h9i
t^
toi O
yt>L-h.k^n.
va day
I (
f dF
^ hji
tu theo xáe suat
thi
p- lim
Cf

dF =
O.Th|t
v^y,
d^t
Z
(E) ^ \
f QF
.Ta
có Z lá
::Í9t ág
do ngáu
nhi'en
X-giá
tri.,doi
xüng voi
d9
tío dieu khien AA
.Vl
p-lin
Z (E) ton
t§á
vdi
-oi
E do
do
theo-dj^nh
ly-
I 3
Z(E)
-

p-lim
¿
(E) la
m9t dj
do ngáu nhien X-
/
•?
7
a
trj.
doi
xiing
b^.
dieu khien bci
/u.
.Do dj.nh
ly
^gorov
ta eó the
00
phán
ho^ch
T thanh cac tap rdi nhau
7 = \J E
sao cho
/u(E
)
:z
O
K-=0

i^
-'o
va f
hfi
tu deu tci O tren noi E
.Vói k>
1 ta có
n
k
^
•
P
(¿
day ta giá sú
f z
u
tr?n
tap A
A
E )
n 1 i k
<
2P i
aaxIujfl^FCE^AAj
11 >
ti
-
2PÍ
sup
¡f^(t)l H

F
(.j|l
>
t 1
^
2PJsup|f^(t)¡fiF(T)ll
>t
j
( SÚ
dyng b$t
dang thúc
v,apien[43]
)
tt\
-16*
Vl sup/f
(t)|
—>
O khi n
—*»
oo nen Z(E )
=
p-li2i
Z (E )
Z
O.Ta
*
21
'
k

11
k-
t^\
:ó /C(i^)
=
O i¿n ü(E^) =
O.Vi^y
p- lim
ff^dF
= Z(T)
= J a(E^)
-
-
O
'
k'
nhi¿ mong
ziuon.
T^p
hf^p
tat ca các
han thyc khi
tich doi vói
dg
do ngáu nhien X-giá
/
trj.
F ta ky
hi|u
lá

^ (F).Ro
rang anh
x^
f
—^
ffdF lá tuyen tính
X
\y
til «L
(F) váo
L (SI
).Whoai
ra neu E
, *,£
lá cac
t^p
r"c?i
nhau thi
X
oí
1 n '
cac bien ngau nhien
CfdF
,».»T
ffdF lá
ágc
l§p.
E E
1 • n
Mgnh

de
xe
1^
Gil sú (f )
^ •L,(F)
sao cho
f —> f
theo
d9
áo
n ^ X n
/U
TO dáy [ (I dF I
h9i ty
theo xac
suat.Khi
do
f
lá F-kha
tich
va
ffdF
=.
p-
li.^
Cf dF
Ghúnf:
.uinh ;^ia
sú 1
.

1|
vá I •
H-,
^^ cae
F-ehuan tren L
CT,^^
^U)
va
L (i2-)-Vai iioi
n ta
chon hasi
ddn gian g sao cho
ílg - f
||
<
1/n
o n
'
n n
*lj ^
va
H
Cf dF —
Cg dF[l <
1/n
(^o
d^nh
nghia
tinh
kha

tich).Gia s5
p-li:a
f^:i'^=
^ -"^^ ^9
11^
• ^nUl "^ ^ ^^ "
Í^n"^
- f H "^ 0.'
V^y
f lá F-kha
tich
vá
(fdF — J
theo
djnh
nghia .
Djnh
ly
1.^
í^eu
f la
í-kha
tich thi
vdi
zigl hájn
g
b^.
eh|n han
gf
cung

F-icha
tich
va ta co
Ppl |gf dFll
>
tj^2Phg||^|l
ffdF
II
>
t"\
(1-5)
cí do II S I ^
©ss-
sup
Ig 1
.
líói
rieng
nyi
han:
bj.
ch|ji
deu F-khá tich.
Chún^
ainh
^TUCC
het ta chúng ninh bat dang thüc (1-5) cho han g lá
•17-
-VN.
han

dda giaiuGiá
SU g
r / u.
\j/Vi fv
y
•.;'.'-i.H.
c.
^
ii \
^i^^I
No
Y.
y/dS
•
1.
1 JCy hifu J
:
1 A.
1
-
=
i
fdF
i=.
1
A.
Theo bat
dLg thác Kwapien[43]
ta co
PJIljgf «i^ll

>
*]
=*
P[|ÍZU.
fj|> tj,<¿p[-a.|u.lll |4 II >t]=2P|||g|(^.ll JfdF II y
t]
üay
gi^
gia
sá
g lá has
bj.
ch^
bit
ky.Ch9n
dáy hám ddn gian
g^
sao
ciio
Ig - g I
—5>
O
U)o
(1-3)
düng
cho hám ddn
glán
ta co
I nloo '^
^^llJ^Sn-V^'^"> *] ^< ^|ll^n-S.I|oolli^'^íl>'] -^ °

khi
n,E
—^ oo.Vfiy
dáy
j (g
fdF 7
hjii
t^
theo xác suát.Vl g f
hpi
t^
tai
gf theo
AA-d9
do nen theo
m|nh
de
1*4
ta ket
lu^
rang gf la
F-khá
tích Cho
n
-^oo»
ta thu
dtís?c (1-5) -
Kói rieng,vi haa
f
=.

1 lá F-kha tich nen
m9i
ham
bj.
ch^
lá F-kha
tich»
Dj.nh
ly 1.6 Giá sú
M
lá
m9t ág
do ngáu nhien
thy:c
doi xúng vói
09
do
dieu
khieiL
ju.
•líeu
g :
l*
—^
X lá
m9t
hám
H-kha
tich
thi

han
t^p
F
xac
dj-nh!
bSi
F(E)
- CgdM
lá
n9't dj
do ngau nhien X-giá
trj.
bj.
dieu khien bci
JJL
. Edn
nüa,a'9t
han
f:
T
—^
E la F-kha
tich
neu.
vá chi neu han fg la
K-kha
tich.Trong
trüdng
hj'p
nay ta co

i-
=
í
fg
dM
Chúng
cinh -rüéc
het ta hay
chi
ra rang p
- lid
\
gdM
Z'
khi
a(E
)
—^
O.Th^t
v|y
theo
hf
qua 1.2
kháng d4.nii
náy dung cho
ham
don gian
g.Neu
g la han
:-i-kha

tich bat
ky,eo
ton
t^
cae ham ddn
gian.
g sao cho
n-lin
\ g dM
r.
\gdl^
Dat
Y -
(
g dM
m ' J
m
j *^
n,.n
J m
n -
t
i
'
.KJ
18-
/
X
^
{ ffá>'

.
Voi noi n co dinh p-
ÜK
T
r
O
.DO
bát dang thúc Levy
n
Do dó lie
suTD
[t
X
II
>
2t1^
limsup
Phx
-T
||>t|
+
lin
P
^
j
T
I
-J?
t]
^

2P
J
11
ÍCg^
-
g)dl-l||
•>
ti
.Cho
m
—>
oo
ta thu
dtísJc
lia
PfcZ ll>2tl
= 0.
Bay gio giá sú (E ) lá dáy các
tjp
rci nhau vá E -
L/
E
*Ro
rang
n
-n-z
1
^
<
\

gdK
(
lá
dpc
l^p,doi
xúng.Ta
có
'
.
^
j
gdM
- ^\
ed*í
*
J
gdK
.vl
lim
ju(
L/
E
)
-
O ta suy ra
p-lim ¿
ígoK
-
fgdM
tic

lá
ígdM
r
T
UdM
trong
L
(Jl).
ttí^Ht.^
Je ^ -"e
^i^E^
^ ^ "*
Tiep
theo,giá
sú f lá F-kha
tich.Ton
t^
dáy f các ham ddn gian. sao
/%.*
9
cho f
-^
f
AX—h.i.c*c.
ya p-lim f dF
z
VfdF
.De
kiem tra rang
ff

dF
^
Cí
gdK
"tí.
f^g
—^
fg
jL^h.c^c.
va
(f
gdH
h9i
t^
theo xac
suat nen theo
npt
n|nii
de tüdng
tü
mfnh
de 1.4
trong^36"]
ta co fg lá
k-iiha
tich vá
ffg
d>:
-
p-

lim
ff
g
d>:
p-lim
ff
dF
=
í
fdF
.
2ígü9"c
1^
giá sú fg lá
-I-ltha
tich.Dft
A
r
/t:
]f(t)ls$
n
¡
vá f
=:
f,
1
n
f
bj
ch^

±c
do lá F-kha
tich(dj.nh
ly
1.5)
•Theo dieu vua mói chúng
/
.N
.
.,, .',, ^, •:Í
V
/
JL
ninh
ff
dF
=.
(f
g
dK
.vl
uU
¿^
A
)
-^0
khi
n,m
-^
oo cho nen

jnjn
J^nm'^
\(f
-
f_)s
d
=
\
fg
drl
—^
O
theo xac
suat.Hdn núa
f
—^
f
yu-
h.c.c^V^y
theo
n|nh
de
1.4
f lá F-khá
tich-D^nh
ly
dü^c
chúng
ninh.
Bang

l^p
lu^D
tüdng
ty
ta
ci
-19-
i>3nh Iv
1.7
uil s¿ 5
lá
d9
do
ngáu
nhien X-gia
trj.
.
.•&!
d9
do dieu kh-
ien
yU ^"eu
f lá
has th^c
F-kha tich thi hám
t^p
G rae
d4.nh bSi
fdF lá
GJ

do ngau nhien X-giá
trj.
dü9'c
dieu khien
b§i ju -
e
,
Djah
ly
l.S
-Gia
sú F lá
dg
áo ngáu nhien X-gia
trj.
¿oi
z^úng
vdi
d9
do
dieu
khien.
^ ^
(f ) lá dáy
han
i-iihá
tich sao cho lim f (t)
'Z.
f (t)
j

/U-h^c-c.
K>-í có
p—lim
ff
dF
z:
íf
dF neu vá chi neu (f
>
la F-kha tich
dSu thec
nghía sau :
Voi 291
t
*>
O
lim sup
P^
H
íf dF
I
^
t ] =.0
^(E) -^ O . p
Chung
ninh
i=ia
su ? - lim
ff
dF

:;
Cf dF
.
D^t
G
(E) r
C
f dF
.Theo
d^Tih
ly 1.7 ta có
£
lá cae dg
do
ngau
nhi&i.
X-giá
tri.,doi xiSng véi
dg
do dieu khi en
f\A^
.Tiep
theo vdi
n'oi
i:-
^ H
do
dj.nh
ly
I 5

?- lis
G
(E)
:=
G (E)
TÍf dj.nh if
I 3
ta
k^
lu§Ln.
(G ) lá
yix-lien tyc
aeu tuc lá (f ) la
J-kha
tich
deu-
n.
Sgtijíc
l^,gia
s¿ (f
), la kha tich
deu.Theo d3.nh
ly Egorov v5i moi
m
ton
t^
tlip E ^
2^
sao cho
/u(E

)
' <
m vá lim f -
f
• J m
^r\_
n
o
deu tren E
.^^t I
- (f dF, Y
-
ff dF,
X
=L
ff dF, X
=
ff dF
m
'^
n.,m
Jn'n^-Jo'n \n \o
.
c
^^ ^
Vi
lis
/w-(E
)
:; C i¿n

do tinh kha tich deu ta có
lia
Sil
í'ílU^^
- \
1|>
tU
li^
sup
PÍ|1
ff
dF
11 7
t]
=
0
sa^
mnJ
-
?^ljí^-2ll>t]=p[njf^dFlj
>
tj
vá
?< ij
T_
- 2
11
>t\
= P} IM
f.

dF 11 >
t(
""-> O
khi
m -* oc
Ecb.
nSa theo
dj.nh
ly
I.5
ta co
-20-
E
m
vl
? -
sup
If
(t) - f
(t)!
-> o
khi n
-^oo .V|y
thi
a
t,
£
•
n o
^P[üX^-^ll>3t]^lTÍp[||X^-Y^Jl>tj+.lT^^^

p[||
Y,
-XII
> t]
:.
I^
P[i|x^
-
i,^Jl>
t]+
p[
11
Y^
-
XII yt] .
Cho m -> oo ta
d^jíc
pj|(x^
-
xH
>
3t^
zi
O.
V^
p-lim
f
f^dF
= ^t^dF ^
D^inh

ly 1.9 (
d¿7ih if
hgl
ty
b^
ch^
)
Giá sú F la
ég áo ngíú
nhien X-gia
trj.
doi xúng vói dg do, dieu
khien.
yu.
Eeu
day (f )
cae haa
F-kha tich
hg± ty
yu h c.c.
tai
f va ta co
If
(t)| < g(t)
véi mji
t 5 do g la hám F-kha
tich thi
f la F-kha
tich
yái

p - lis ff dF
=
CfdF
oi
rieng, dang thuc tren xáy ra neu (f ) la dáy hám
bj
ch^
hgl
ty
tdi f
Chung minh Xac
d^nh
ham h
b¿i
h (t) :r f (t)/ g(t) neu g(t)
#
O
vá h (t)
= O iStt
g(t)
r
O Ta
có
íl
h
II .• ^
1
.Theo djnh
ly 1.5
n n oo

f
—
h g la F-kha tich vá ta có
n
n*
lim sup
P|l(
(f^dF
ll>
t"j^2
lim P
j¡) f
gdF
)1 > t(
=:
O ( theo
d^nh
ly
yu.
(E)
->0
E
/U(E)s>0
E
1.7
vá
h|
quá
l^).Dieu
náy chung to (f ) la F-khá tich deu.Ap

d^ng
djnh
ly
l.c
ta CO dieu phai chúng
minh
II.
S\í
hoi tu cua các
dp
do vecto
npiáu
nhien
J
^ . . ^ ^
J
y?
4.
>
/
Trong tiet nay chung toi sé
d4.nh
nghia
T.9"t
so
liieu h9i
tu cua
cae
09"
do vectc

n¿kz.
nhie^n
vá
nghi"en
cúu tinh
chat'
cúng nhü
:20i
quan
hf
.
r
. /
giua
cnung-
-ei-
i>inh
n^hla
iUl
Gia sú (F ) n
;^ O
lá dáy cae
d9
do ngáu nhien X-
n
''
gia tri
.la
noi
^tnr.

F
hÍL
tu tdi
t
vá viet
v-
lim F
^
T
nem
'^ '^no
"
no.
voi
üoi
E
t-
lin
F (E)
z:
F (E)
n o
/ ^ ^
Ihí
du
CLu^t.
60 Icn che cae 09
do vecto ngau nhien)
^a sú
F la

up
do ngáu nhien X-gia
trj.
sao cho E || F(E) ||<
oo^
VE¿¿J*
Xác
di-nh
has
ü
:
2/
—> ^ ^^ ^^(^)
=
E[P(^)])
-^' la m9t d9
do X-
gia
trj.
khong
ngau nhien.Th^.t
v^y
giá sú (E ) la dáy cae
t^p
rcfi nhau
CD
va. E
^ \^I1 ,?1 Eí F(E) II
< 00 do do theo
á:i.nh

ly
Hoffmann-Joxgensen.
[17]
ta
ce'
lim
E jj
F(E)
-
^^'^V'^'
" '^^^^ ^^^^' " ^ ^^^ ^^
trong
tSpo chuaa
cúa
^^g
do
X'J
dÜ9c g9i
lá dg do ky
V9ng
cua F Gia su
(F ) la dáy cac ban sao ágc
lap
cua
F.TÍí
lu'^t
so
lái^orter-
íiourier
n

X
uci
ve:
ngau nhien X-gia
tr^.
^l'/,di.nh
ly
3.1.1.
^
ta co
'n
P-
lim
¿X^k^^^]/^
- ''^-^^
^°'^
^f^
^ '^^^ ^ = ÍH ^ulA ta
*^- *
6.=
1
có
:>-
lin
G -
H •
n
D-jnh
n^hia
2>-2

Ta noi rang day (F )
hji
t^
tdi F theo phan bo neu
n o
Vdi noi
dly hiíu hgín
(E ,
,£
) trong
¿/
ta co
Xf F
(E
),
,F (E
)V
hpi tu/tci
"5^
(F
{E
),.^^F
(E
))
.
a
dáy nhü
thüo^ng if ^.f;x
, ,X:
V

/
Vol
ok/
vl
n-
ky
hi^u Iti^t
nhan bo dong
tho'i
cua (X
, ,X
)
1 n
Dinh ly
2.3
Giá sú
(F^),
n
;>.0
lá
cae
dg do ngáu nhien X-gia
trj
khi do F
hji ty
theo phan bo tdi F neu va chi neu
vói_
nSi
E,F
(E)

n
'o
•
n
hji
tu tci F (E) theo
thán
bo*.
o
Cnunrr ninh ^a
sü
(^^
,E^,.
,E^) la nft
dáy- hüu
h^n
trong
¿y ^rChj
h^
v^LtrlA
, .^,A
I
cae
t^p
roi
nhau sao
:ó co
tan ^^ -ft hg
hüu
h^

«./LrlA
. ,A
I các tap
r'di
nhau sao cho
-Z¿'
noi E.
ll hgp
cua
xjt
so
t^p
nao dó cua
LJÍT
-V^y
thi moi
^J^\'> co
"" '
f
• ^
dang
^F
(E )
- X b
F (A )
á
do
b;,
. =
O ho|c

1
iihong ph^i
ni"
rz.
ij
n.
3 ' iJ '
thu9c
n
.V^y
F
CE,)
\
/P„(AJ
n
1
n
1
B¡
I (2-1)
F (E ) F (A ).
n k
a
p
d tío B
r
(b )
Giá sü F (A)
hpi
tu theo phan bo t5i F (A) vSi n'oi

Af
¿^
.Vi
n
o
/
cae P
(A ) doc
lat)
nen
luat
phan bo cúa ( F (A
)r
—r^
(A
)
bji
t^
H-X
nx
"P
•Su tSi luat
vh^
bo cua (F (A
).,*^-,F
(A ) )
^TÍ2
dang
th^c
(2-1) ta

o i o p
suy ra luat
uhan
bo cua ( F (E
), »F
(E ) )
h9i
t^
yeu
tSi luglt
ni
n k
/
phán bo cua ( F (E
)».**,F
(E )
).Vay
F
h9i ty
tdi F theo phan bo.
o 1 o k n o
Khang
áinh.
ngüfc l§i
lá hien
nhien-
D'j.nh
ly sau day lá
mjt
minh

ho^
cho khai
nifm h9i
t^
theo phan bo.
Djnh
ly
2.4(
L~^zih.
ly gioi
h^n
trung tan cho cae
d9
do ngau nhien)
¿ia
su F lá
ág
áo ngau nhien, doi xúng X-giá
trj.
sao cho vdi noi
E ^
X-
ta có E
U FÍE)II <
oo
.IÍhQ.ái
ra gia sú rang X la khong gian
lofi
2.Elhi
do

néu
F la
m'9t
day cae ban sao
d9e
l^p
cua F thi
09
do
ngáu nhien G
-I
2^
^b-y \^^^ ^^^ ^^
theo phán bo tdi
npt
dg do
ngáu
nhi?n
Gauss doi xúng X-giá
trj
(.
hg
do ngau nhien G
düp'e g9i
la Gauss neu vdi
1191 E
£;•
2^
,G(E) lá
:ien

eó phán bo Gauss )
¡hún/'
ninh
Cíia
su
ií
lá
dj
do ngáu nhien thuc sao
crio
vdi
-'oi
A
^
G",
-23-
W(A)
ce pnan
be
Gauss vci ky
V9ng
O,phudng
sei P(A),c
dáy do do ngáu
nhien
7.
xkz
á^n^
tren
^ong

gian do
(il,
?
,P) 'o'
bieu
«L (vV)
lá
t%z
các
ha
f :
ÍT
—>
X la
W-khá
tich. Da biet rang neu f la
W-
Idia
tich
thi í
fdv,
lá
.:-9t
bien ngáu
nhie"n
Gauss X-gia
tr^.
véi
hám
d^o

trüng
l\
ext ji/:f (u/)
,x'>|
^dP(u;)j
(
xe.:.[l7]
)
-Theo
d;nh
ly
3*3
cúa
[17]
neu
X ce lo¿ii 2 thi
noi han f :
JT.
—>
X do
düjíc voU
\||
f/I
d?/
lá
\^-kha
tich vá ta co
^
]¡
f

fdí.
ji^
^
C
C J
f
y~
dP
U-2)
o
do
ü
lá
~9t
hang
s?
khong
ph^
thU9c
vao f
Ta xac d-,nh
han
G :
X "^ if(ií) ^Sí •
'
Ü(E)
-
\F(E)dW
=
I

^ / ,
./
G la
n9t ág
do ngau nhien Gauss, doi
x^ing
X-gia
trJ Th^t
v^y,ta
hay
/
o^
chúng
te ranc
neu
(E
) lá not dáy cac
tao rcíi
nhau vá E
•= \J
F.
thi
^
• oo
^
dáy bien ngau nhien G(E ) lá doc lan vá
)
^{^
) •=
G(E) trong

n ^-^^
n
L
(-TD.véi
(u
; c
¿,
(a,
)
C ^'
ta co
o,
k
k
E
erpj^i
2;
\. <G(-^) ,a^>]
=
E expji j
J^
^(E^)
,a^,^u^^
dV,
j -
*•
fe
Vl
cae ¿
í^,,)

la ¿gz
l|p
va doi xüng
n'en
dang thüc tren cho ta
^^?Í-S
fK^^^i^)'Vv^l~
^] =1T exp/i
OHE,^),au_\^
dV.
I -
Dieu nay cnung
te ÍG(Z.^)") aje if^p .Edn
nüa,
theo
d^^nh
ly
;:.5 flTl
ta
CD
" '^
CÓ
F(.)= 22 -^-::)
trong
L^(Jl)
.y^^y thi
->:
^2-2)
n-^1
^

^^-
o^^

V-
-/ ^^a
suy ra
•¿H'
lin £ ||G(E) -
2^G.(E
)||
^^ ü^ 4
ÍF^^)
"
Z^^"
'1 ^^' "^ ^
C lim
\|1F(E)
-
¿E(F._)||
^
dP
= O
,
d<¡
y y
V^y
G(E)
^ \
G(E ) trong
L^(íl)

do do trong
l'(iD.
Tiep
theo,bdi d4.nh
ly
3*¿
í-'''-^
"] ^^ ^^ -
CE)
r
L2_/
"I
^^)j/\/^^
-""^í^
t^
tdi
GCL)
theo ::han
bb -y'^.y
tü
di-ni.
ly 2.3 ta
l:ez
lu^n
G
h9i
tu
tdi G theo phan
be .iJ^nh ly :;üoc ehüng
ninh.

^
i-Í9t
d9
do ngáu nhien X-gia
tr^
G
düoc
g9i
la dong
lu^t
vdi
n9t
d^
do
ngau nhien X-gia
tr^
i
iihác
va ta viet
G
O:
F neu vdi noi day
htíu
han
(E
, ,E.
) trong
/_.
ta eo
1

K:
^(G(E^
),
,G(E.^))
=z
^
(F(E^
)
,
,F(E,_))
>._
^ ,- .^
X
.f-
-
r
xío
rang sü
n^i
tu
cur.
day (F ) uói
5"
izeo
theo su
h9i
z^
theo nhan
be
cua day

de
tci
F^.Dieu
khang
d^nh
ngüdc l§i
se nung
sau
xung
í^lnh
ly
2^5
Giá su (F ) , n
^ O
lá dáy
cae d9
do ngau nhien, dci xú
X-gia
trj.
b^
dieu
Ichien
boi
dj
do
ju{ .i-ígoai ra,lihong
gian netrie
(H
,d
car. sinh bci

JIA
(xác
d^nh
nhü trong chung ninh
dj-nh
ly
1.3)
m
kha
^ ^_,
d
ly.Khi
do eo ton
t^
dáy G cae
d^
de
ngau nhien sao cho
G
c==.
F
^ • "
n n
(n
7,0)
va (G )
h9i
tu
tal
G

^
n o
Chúnp-
ninh Giá sú
K^T
=
U,
)
lá
t'l'p
den
dúóc
trú
rn|.t
trong
C^!»
,d)
Xét
cae bien ngáu nhien
f
^ -
ÍF^(A^)|^
.Vl
F hg±
ty.
toi. F
theo
phán
bo,
ta eo

lu|"t
phán bo cua
[ hg'l ty yeu tfi lu^t
phán
cua
5^.
Theo
dí.nh
ly quen biet cua Skorokhod
cc^
t3n t=ií cae
oían
o
/
bo