Toán Phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số41007

Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ

Πη↑←νγ πη÷π λ↑νγ γι÷χ → χηνγ mινη β⊇τ →…νγ τηχ →≠ι σ

L⊇ ΞΥℜΝ ∠ẠΙ
(GV Tr✦νγ ΤΗΠΤ Chuyν ς✧νη Πηχ)

Trong c〈χ ðề thi tuyểν sinh v◊ο ∠ạι họχ, Cao ðẳνγ, chνγ ta gặπ kh〈 nhiềυ b◊ι to〈ν chứνγ
minh bấτ ðẳνγ thứχ (B∠T) ðạι số. V◊ ðy cũνγ l◊ b◊ι to〈ν thuộχ dạνγ kh⌠ vớι c〈χ th sinh. ∠ể giπ
c〈χ em c⌠ c〈χη nhν phong ph h⌡n về c〈χ ph⌡ng ph〈π chứνγ minh B∠T, ti xin giớι thiệυ thm
về ph⌡νγ ph〈π λợνγ γι〈χ ðể χηứνγ mινη Β∠T ðạι số m◊ c⌡ sở xuấτ ph〈τ củα chνγ bắτ nguồν từ
c〈χ B∠T quen biếτ trong tam gi〈χ.
Do khuν khổ χủα β◊ι viếτ νν χ〈χ kếτ quả v◊ B∠Τ χ⌡ βảν τρονγ ταm γι〈χ khng chứνγ minh lạι.
Sau ðψ, ti xin ða ra m τ s d νγ b◊ι to〈ν ði ν ηνh th hi ν cho ph⌡ng ph〈π ν◊ψ

Dạνγ 1: Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ τηοả mν ξ+ψ+ζ= ξψζ ”
Khi ð⌠ tồn tạι ταm γι〈χ νηọν ABC sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC.
 
Thậτ vậψ, tồν tạι Α, Β , Χ   0;  sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC.

 2

ξψ

Từ ξ  ψ  ζ  ξψζ  ζ 

ξψ  1

 tan Χ   tan( Α  Β )  Α  Β  Χ  

Th δ 1. Cho x,y,z l◊ χ〈χ σố τηựχ δ⌡ng thoả mν ðiềυ κιệν ξ+ψ+ζ=ξψζ.

ξ

Chứνγ mινη ρằνγ

1 ξ
ξ

L ι γι ι. Ta c⌠

1 ξ

2



2

ψ



1 ψ

2

ζ



1 ζ

2



3 3
2

tan Α
 sin Α . T⌡νγ τự
2
1  tan Α

Khi ð⌠ Β∠Τ cầν chứνγ minh  sin Α  sin Β  sin Χ 

ψ
1 ψ

3 3
2

2

ζ

 sin Β v◊

1 ζ

2

(ðy l◊ B∠T c⌡ bảν trong tam gi〈χ).

B◊i to〈n ðợχ chứνγ minh. ∠ẳνγ τηứχ ξảψ ra khi v◊ χηỉ κηι tam gi〈χ ABC ðềυ, hay
1

* ∠ể  τηm ρằνγ

1 ξ

2

1



 χοσΑ v◊ δο χοσΑ  χοσΒ  χοσΧ 

2

 sin Χ .

1  tan Α

3
2

ξ ψ ζ  3.

, nν τα χ⌠ β◊ι το〈ν

sau:
Th δ 2. Cho x,y,z l◊ χ〈χ σố τηựχ δ⌡ng thoả mν ðiềυ κιệν ξ+ψ+ζ=ξψζ.
Chứνg minh rằνγ

1
1 ξ

2



1
1 ψ

2



1
1 ζ

2



3
2

1

DeThiMau.vn


Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ

Dạνγ 2: Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ τηοả mν ξy+yz+zx= 1 ”
Khi ð⌠ tồn tạι ταm γι〈χ ΑΒΧ σαο χηο ξ  tan

Α
2

Β

, ψ  tan

, ζ  tan

2

Χ
2

(HS tự chứνγ minh)

Th δ 3. Cho c〈χ σố τηựχ δ⌡νγ ξ,ψ,ζ τηοả mν ξψ+ψζ+xz=1. Chứνγ mινη ρằνγ
ξ
1 ξ

L ι γι ι. Ta c⌠

ξ

1 ξ

2

ψ



1 ψ

2

ψ



2

1 ψ

ζ



2

1 ζ

2



3 3
4

Α
Β
Χ 3 3
2  sin 2  sin 2  sin 2  4
1 ζ

ζ

1
3

∠ẳνγ thứχ xảψ ra khi v◊ chỉ khi ξ  ψ  ζ 

(ðpcm).

.

Th δ 4. Cho x,y,z d⌡ng thỏα mν ðiềυ kiệν ξ+ψ+ζ=1.
Chứνγ minh rằνγ:

xy
xy  z



L ι γι ι. Viếτ lạι giả τηιếτ nh sau:
Tồν τạι ταm γι〈χ ΑΒΧ σαο χηο:

Lχ ð⌠

xy
xy  z



xy
z 
xy
1
z

yz

yz
yz  x
xy

xz

.

z

xz  y
xy



y

 tan

x

xz



2

yz

.

z

3



xz



x

yz

.

y

x

 1 (*)

A xz
B xy
C
;
 tan ;
 tan
2
2
2
y
z

2C
2  sin C .
2
2C
1

tan
2
tan

Cνγ vớι B∠T c⌡ bảν trong tam gi〈χ sin

A
2

 sin

B
2

 sin

C



2

3
2

, ta suy ra ðpcm.

Nh ν ξτ: Mấυ chốτ củα lờι giảι trn l◊ ða giả τηιếτ x+y+z=1 về dạνγ (*). Cνγ vớι  tởνγ nh
vậψ ta giảι ðợχ b◊ι to〈ν sau:
Th δ 5. Cho x,y,z d⌡ng thỏα mν ðiềυ kiệν ξ+ψ+ζ=1.

Tm γι〈 τρị λớν νηấτ χủα biểυ thứχ

P

x
x  yz



y
y  xz



xyz
z  xy

L ι γι ι. Vớι phπ ðổι biếν nh th dụ 4, ta biếν ðổι P nh sau:
xy
P

1
1
z  cos2 A  cos 2 B  1 sin C  1  1 (cos A  cos B  sin C)


yz
xz
xy
2

2
2 2
1
1
1
x
y
z

Ta c⌠ cos A  cos B  sin C  sin

AB

 2cos
 2cos
3
2

C
2


3  4cos

A BC
4


3  4cos   2 3
6

2
DeThiMau.vn


Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ

Do ð⌠ P  1 

1
3 3
3
2 3
 1
2
4
2 

.


∠ẳνγ thứχ xảψ ra khi v◊ chỉ khi A  B, C 

AB

3

Dễ thấy khi ð⌠ x  y  2 3  3, z  7  4 3 . Vậψ

min P  1 


6

,C 

3 3
4

2
3

.

Th δ 6. Cho c〈χ số d⌡ng a,b,c thoả mν ðiềυ kiệν abc+a+c=b. Chứνγ minh rằνγ
2



2

α 1

L ι γι ι. Từ γιả τηιếτ συψ ρα αχ 
;

1

 tan

Β

; χ  tan

Χ



β

χ
β

 1 , nν τồν τạι ταm γι〈χ ΑΒΧ σαο χηο

2Β
2Χ
 3χοσ
2 β
2
2
2
2
2
2
1
Χ
ΑΒ
Χ 1
ΑΒ

10

2Χ
2 ΑΒ
Π   3sin
 2 sin χοσ
 3  3  sin  χοσ
3
  χοσ
3
2
2
2
2 
3
2
 2 3

α  tan

Α

α

2
3
10
.



2
2
β 1 χ 1 3

. Khi ð⌠ Π  2 χοσ2

Α

 Χ 1
ΑΒ
Α  Β
0
sin  χοσ

10
 2 3

2
P
 
  Χ 1.
3

Α
Β
2
χοσ
sin 2  3
1


2

 2sin

2

Khi ð⌠ α 

; β= 2 ; χ=

2

1

.

2 2

Dạνγ 3: Trong B∠T c⌠ giả thiếτ “x,y,z l◊ χ〈χ σố δ⌡νγ thoả mν ξ 2  ψ 2  ζ 2  2ξψζ=1 ”
Khi ð⌠ tồn tạι tam gi〈χ nhọν ABC sao cho ξ  χοσΑ; ψ=χοσΒ; ζ=χοσΧ (HS tự chứνγ minh)
Th δ 7. Cho c〈χ số d⌡ng x,y,z thoả mν ξ 2  ψ 2  ζ 2  2ξψζ=1 .
3

a) Chứνγ minh rằνγ: xy  yz  xz 
b) Tm gi〈 trị nhỏ nhấτ củα Π 

4

1
1 ξ

2



1
1 ψ

2

1
1 ζ

2
2
2
2  (ξ  ψ  ζ ) .

L ι gi ι. Tồn tạι tam gi〈χ nhọν ABC sao cho ξ  χοσΑ; ψ=χοσΒ; ζ=χοσΧ .
a) Ta c⌠ xy  yz  xz 
b) Π 

1
2 1
2 3
(x  y  z)  (cos A  cos B  cos C) 
3
3
4

(ðpcm).

1
1
1
2
2
2


 (sin Α  sin Β  sin Χ )  3
2
2
2
sin Α sin Β sin Χ

Ta c⌠: sin 2 Α  sin 2 Β  sin 2 Χ 
ℑp dụνγ B∠T c si:

9
4

v◊

1
2



sin Α

1
1

4
2
2
sin Β sin Χ

13
3
2
 sin Α  , cνγ c〈χ B∠T t⌡ng tự ta suy ra Π 
2
4
2
16sin Α
9

3
DeThiMau.vn


Chuyν ðề γửι β〈ο το〈ν ηọχ τυổι τρẻ

∠ẳνγ thứχ xảψ ra khi v◊ chỉ khi x=y=z=1/2. Vậψ min Π 

13

.

4

Dạνγ 4: Mộτ σố δạνγ γιả τηιếτ κη〈χ
Th δ 8. Cho a , b, c  (0;1) . Chứνγ mινh rằνγ:

abc  (1  a)(1  b)(1  c)  1

 
 2

L ι γι ι. ∠ặτ a  sin 2 x, b  sin 2 y, c  sin 2 z; x, y, z   0; 
Vế tr〈ι củα B∠T trở th◊νη P  sin x.sin y.sin z  cos x.cos y.cos z
Ta c⌠ P  sin x.sin y  cos x.cos y  cos(x  y)  1 , suy ra ðπχm.
Th δ 9. Cho a,b,c,d d⌡ng thoả mν

1
1 α


4

1
1 β


4

1
1 χ


4

1
1 δ

4

1

Chứνγ minh rằνγ αβχδ  3 .

 
L ι γι ι. ∠ặτ α 2  tan ξ; β 2  tan ψ; χ 2  tan ζ; δ 2  tan ζ , trong ð⌠ ξ, ψ, ζ, τ   0;  .


2

Giả τηιếτ ð χηο τρở τη◊νη χοσ2 ξ  χοσ2 ψ  χοσ2ζ  χοσ2 τ  1
ℑπ δụνγ Β∠T Cσι χηο χ〈χ σố thựχ d⌡νγ τα ðợχ
2
2
2
2
23
2
23
2
sin ξ  1  χοσ ξ=χοσ ψ  χοσ ζ  χοσ τ  3(χοσψ.χοσζ.χοστ ) . Suy ra sin ξ  3(χοσψ.χοσζ.χοστ ) .

Nhν τừνγ ϖế củα c〈χ Β∠T t⌡ng tự ta ðợχ:
2
4
2
2
2
2
2
4
(s ινξ.sin ψ.σινζ.σιντ )  3 ( χοσξ.χοσψ.χοσζ.χοστ )  tan ξ.tan ψ.tan ζ.tan τ  3 ηαψ λ∝ αβχδ  3 .

Cuốι χνγ ξin ðα ρα mộτ σố β◊ι τậπ χηο χ〈χ βạν λυψệν τậπ.
B◊ι 1. Cho c〈χ σố τηựχ δ⌡νg x,y,z thoả mν ξ+ψ+ζ =xyz.
Chứνγ mινη ρằνγ (ξ  1)(ψ  1)( ζ  1)  6 3  10
B◊ι 2: Cho c〈χ số thựχ d⌡ng x,y,z d⌡νγ τηỏα mν ξ 2  ψ 2  ζ 2  2ξψζ=1 . Chứνγ minh
a) xyz 

1

3
b) x 2  y 2  z 2 

8

4

B◊ι 3: Cho a,b,c thuộχ κηοảνγ (0;1) thỏα mν ab+bc+ca=1. Chứνγ minh rằνγ
a
1 a

2



b
1 b

2

c



1 c

2



3  1 a



4 

2


a

1 b

2

b



2
1 c 
c




B◊ι 4. Cho c〈χ σố δ⌡νγ α,β,χ τηοả mν 2009αχ+αβ+βχ=2009. Tm gi〈 trị lớn nhấτ củα
Π

2
2



α 1

2β

2

2

β  2009

2



3
.
2
χ 1

4
DeThiMau.vn