Phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

1
1. PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

A. TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC
1. Đònh nghóa :
• Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng :
A > B ⇔ A – B > 0 hay A < B ⇔ A – B < 0
A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0 hay A ≤ B ⇔ A – B ≤ 0 (dạng suy rộng)
Trong đó A, B là các biểu thức chứa biến số hay các số.
2. Tính chất cơ bản :

2.1 a > 0 ⇔ a + m > b + m
2.2 Nếu m > 0 thì : a > b ⇔ am > bm
Nếu m < 0 thì : a > b ⇔ am < bm
3. Vài tính chất khác :

3.1 Nếu a > b thì b < a

3.2 Nếu a > b và b > c thì a > c

3.3 Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d
(tính chất này không áp
dụng cho phép trừ hai đẳng thức cùng chiều)
3.4 Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd

3.5 Nếu a > b và ab > 0 thì
<
11

a b

3.6 Nếu a > b > 0 và n là số nguyên dương thì : a
n
> b
n

3.7 Nếu a > b > 0 và n là số nguyên dương thì :
>
nn
ab

Ghi chú :

Các tính chất nêu trên vẫn được sử dụng đối với các bất đẳng thức
suy rộng.
4. Vài cách thông thường để chứng minh bất đẳng thức :

• Dựa vào đònh nghóa (xét hiệu hai vế)
• Dùng phương pháp biến đổi tương đương
• Dựa vào các bất đẳng thức đúng đã biết
… hoặc phối hợp các phương pháp này.


2
B. PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA
Muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta xét hiệu A – B và
chứng minh A – B ≥ 0
Lưu ý :
A

2
≥ 0 A
2
+ B
2
≥ 0
Và các hằng bất đẳng thức :
(A ± B)
2
= A
2
± 2AB + B
2
≥ 0
(A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2(AB + BC + CA) ≥ 0
1.1
Chứng minh các bất đẳng thức :
1. x
4
+ y
4
≥ x

3
y + xy
3
2. x
4
+ y
4
+ 2 ≥ 4xy
1.2

1. Cho hai số dương x, y chứng minh bất đẳng thức :
x
3
+ y
3
≥ x
2
y + xy
2

2. Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện : x
3
+ y
3
= x – y.
Chứng minh bất đẳng thức : x
2
+ xy + y
2
< 1

1.3

Chứng minh các bất đẳng thức :
1. a
2
+ b
2
+ 1 ≥ ab + a + b 2.
2
22
a
bcab2bcca
4
+
+≥+ −
1.4

Chứng minh bất đẳng thức : x
2
+ y
2
+ 4 ≥ 2(x + y) + xy
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Gợi ý :
Tách –2x thành x – 3x, đưa hiệu hai vế về dạng :
⎛⎞⎛⎞
−+ + −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
22

13 1
22
xx
y
1.5
Chứng minh rằng nếu abc = 1 và a
3
> 36 thì :
2
22
3
+
+>++
a
b c ab bc ca


3
Gợi ý :
Tách
2
3
a
thành +
22
412
aa
. Đưa hiệu hai vế về dạng :
−
⎛⎞

−− +
⎜⎟
⎝⎠
2
3
36
212
aa
bc
a

C. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dùng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải
chứng minh tương đương với một bất đẳng thức mà ta biết là đúng.
Cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn :
A
2
> B
2
⇔ A > B trong điều kiện A, B > 0
m > n ⇔ A
m
> A
n
trong điều kiện A > 1 và m, n nguyên dương
1.6
Chứng minh các bất đẳng thức :
1. (a
2
+ b

2
)(x
2
+ y
2
) ≥ (ax – by)
2

2. x + y + z ≥
++
x
yyzzx (với x, y, z ≥ 0)
1.7

Chứng minh bất đẳng thức : (a
6
+ b
6
)(a
4
+ b
4
) ≤ 2(a
10
+ b
10
)
1.8

Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :

1. Nếu
<
a
1
b
thì
+
<
+
aac
bbc

2. Nếu
>
a
1
b
thì
+
>
+
aac
bbc

1.9

Cho hai số dương a và b và
≤
xy
ab

. Chứng minh rằng :
+
≤
≤
+
xxyy
aabb

1.10

1. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng :
<<
+
++++
aa2a
abc bc abc

2. Suy ra :
<
++<
+++
abc
12
bccaab



4
Hướng dẫn :
2.

⎫
<<
⎪
++ + ++
⎪
⎪
<<
⎬
++ + ++
⎪
⎪
<<
⎪
++ + ++
⎭
aa2a
abc bc abc
bb2b
abc ca abc
cc2c
abc ab abc
⇒
<
+<<
++ +
abc
12
bcca ab

1.11

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≥ b. Chứng minh rằng :
a(a
2
– 3ab – c
2
) ≤ b(b
2
– 3ab – c
2
)
1.12

Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1 . Chứng minh rằng :
⎛⎞
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
11
11 9
xy

Hướng dẫn :
Trong điều kiện x > 0, y > 0 và x + y = 1 ta có :
(x + 1)(y + 1) ≥ 9xy ⇔ xy + x + y + 1 ≥ 9xy
⇔ 2 ≥ 8xy ⇔ 1 ≥ 4xy ⇔ (x + y)
2
≥ 4xy ⇔ (x – y)

2
≥ 0
1.13
Cho a > b > 0 và hai số nguyên dương m và n với m > n. Chứng minh
rằng :
−−
>
++
mm nn
mm nn
ab ab
ab ab

1.14

Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z. Chứng minh rằng :
−+ −≤z(x z) z(y z) xy
1.15

Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x
3
+ y
3
+ z
3
= 1.
1. Chứng minh bất đẳng thức :
≥
−
2

3
2
x
2x
1x

2. Suy ra :
++>
−−−
222
222
xyz
2
1x 1y 1z

Gợi ý :
2. Lưu ý đẳng thức không xảy ra.


5
1.16

Cho xy ≥ 1 , chứng minh bất đẳng thức :
+
−≥
+++
22
112
0
1x 1y 1xy

Hướng dẫn :
Trong điều kiện xy ≥ 1
Bất đẳng thức tương đương với :
⎛⎞⎛⎞
−+−
⎜⎟⎜⎟
++ ++
⎝⎠⎝⎠
22
11 11
1x 1xy 1y 1xy
≥ 0 ⇔ ………… ⇔
⇔
−−
≥
+++
2
22
(x y) (xy 1)
0
(1 x )(1 y )(1 xy)
⇔ xy – 1 ≥ 0
1.17
Cho x ≥ y ≥ z > 0. Chứng minh rằng :
⎛⎞ ⎛⎞
++ +≤+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
11 1 11

y (zx)(zx)
zx y zx

Hướng dẫn :
Trong điều kiện x ≥ y ≥ z > 0, chứng minh bất đẳng thức tương đương với
y
2
+ zx ≤ yz + xy ⇔ (y – x)(y – z) ≤ 0
1.18
Tìm các số nguyên x, y, z thỏa bất đẳng thức :
x
2
+ y
2
+ z
2
< xy + 3y + 2z – 3
Hướng dẫn :
Do x, y, z là số nguyên, bất đẳng thức tương đương với :
x
2
+ y
2
+ z
2
– xy – 3y – 2z + 3 ≤ -1
⇔
()
22
22

31210
44
yy
xxy y z z
⎛⎞⎛⎞
−+ + −++ −+≤
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

⇔
22
2
31(1)0
22
yy
xz
⎛⎞⎛⎞
−+−+−≤
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

Tìm được : x = 1 , y = 2 , z = 1


6
D. PHƯƠNG PHÁP TỔNG HP
Dựa vào các tính chất của bất đẳng thức và các hằng bất đẳng thức bằng
suy diễn để tìm ra bất đẳng thức phải chứng minh.
Ta thường dùng các bổ đề sau :
A

2
+ B
2
≥ 2AB (A + B)
2
≥ 4AB
++
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
2
22
AB AB
22

A +
1
A
≥ 2 (với A > 0)
+
AB
BA
≥ 2 (với AB > 0)
+≥
+
11 4
ABAB
(với A, B > 0) …
1.19

Chứng minh bất đẳng thức :
x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
≥ (x + y)(z + t)
1.20

Chứng minh rằng :
1. Nếu a + b > 2 thì a
2
+ b
2
> 2
2. Nếu a
2
+ b
2
≤ 2 thì a + b ≤ 2
1.21

Chứng minh bất đẳng thức :
x
4
+ y
4

+ z
4
≥ xyz(x + y + z)
1.22

Chứng minh rằng nếu x
2
+ y
2
= 1 thì : - 2 ≤ x + y ≤ 2
1.23

Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 thì :
−
1
2
≤ ab + bc + ca ≤ 1
Hướng dẫn :
Với a
2
+ b
2
+ c
2

= 1 ta có :
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) ≥ 0
hay
1 + 2(ab + bc + ca)
≥ 0
ab + bc + ca
≥ -
1
2
(1)


7
Mặt khác :
⎫
+≥
⎪
+≥
⎬
⎪
+≥
⎭

22
22
22
ab2ab
bc2bc
ca2ca
⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca
hay ab + bc + ca
≤ 1 (2)
1.24
Cho hai số không âm a, b. Chứng minh rằng : (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab
1.25

Cho ba số không âm x, y, z. Chứng minh rằng :
(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz
1.26

Chứng minh bất đẳng thức :
(x + y)
2
(y + z)
2
≥ 4xyz(x + y + z)
Hướng dẫn :

(x + y)
2
(y + z)
2
= (xy + y
2
+ zx + yz)
2

= [(x + y + z)y + zx]
2
≥ 4(x + y + z)y.zx = 4xyz(x + y + z)
1.27
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x + y + z = 1
Chứng minh rằng : y + z ≥ 16xyz
Hướng dẫn :
1
2
= [x + (y + z)]
2
≥ 4x(y + z) mà y + z > 0
1(y + z)
≥ 4x(y + z)
2
mà (y + z)
2
≥ 4yz
y + z
≥ 4x.4yz = 16xyz
1.28

1. Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh rằng :
+
++
+
+≥
xyyzzx
6
zxy

2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh :
++
+− +− +−
2a 2b 2c
bca cababc
≥ 6
Hướng dẫn :
2. Đặt : b + c – a = x ; c + a – b = y ; a + b – c = z thì :
2a = y + z ; 2b = z + x ; 2c = x + y
Vận dụng kết quả của câu (1)


8
1.29

Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : xyzt = 1 . Chứng minh rằng
x
2
+ y
2
+ z

2
+ t
2
+ x(y + z) + y(z + t) + z(t + x) + t(x + y) ≥ 12
Gợi ý :
x, y, z, t > 0 và xyzt = 1 cho zt = >
1
0
xy
; xy + zt = xy +
1
xy
≥ 2
1.30
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện :
+
=
112
xyz

Chứng minh bất đẳng thức :
+
+
+
−
−
xz zy
2x z 2y z
≥ 4
Hướng dẫn :

Tính z theo x, y : z =
+
2xy
xy
. Thế vào vế trái của bất đẳng thức phải
chứng minh rồi biến đổi :
xz zy x3y y3x 1 3y1 3x

2x z 2y z 2x 2y 2 2 x 2 2 y
++++
+=+=+++
−−

=
⎛⎞
⎛⎞
++ +≥+ =
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
11 3xy 3
1.24
22 2yx 2

1.31
Cho ba số dương x, y, z .
1. Chứng minh bất đẳng thức :
+
≤
+

xy x y
xy 4

2. Suy ra :
+
+
++≤
+++
111xyz
11 1111
2
xyyzzx

Gợi ý :
2. ==
+
+
+
11xy
11 xy
xy
xy xy
≤
+
xy
4



9

1.32

1. Cho hai số dương x, y . Chứng minh rằng :
+≥
+
11 4
xyxy

Đẳng thức xảy ra lúc nào ?
2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác và p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng :
⎛⎞
++≥++
⎜⎟
−−−
⎝⎠
111 111
2
pa pb pc a b c

Đẳng thức xảy ra lúc tam giác có đặc điểm gì ?
1.33

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác . Chứng minh bất đẳng thức :
+
+>++
+− +− +−
111111
abcbcacab a b c

Hướng dẫn :
Do bất đẳng thức giữa độ dài ba cạnh một tam giác, ta có :
a + b – c > 0 b + c – a > 0 c + a – b > 0
Nên :
+
+− +−
11
abcbca
≥
=
+−++−
42
abcbca b
(1)
Tương tự :
+
≥
+− +−
112
bca cab c
(2)

+≥
+− +−
112
cab abc a
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.
1.34
Cho hai số dương x,y thỏa điều kiện x+y =1. Chứng minh bất đẳng thức :

+
≥
+
22
11
6
xy x y

Hướng dẫn :
- Dùng hằng bất đẳng thức : (x + y)
2
≥ 4xy tìm được : ≥
1
4
xy

- Vận dụng bất đẳng thức :
+≥
+
11 4
abab
(với a, b > 0) :
⎛⎞
+=++ ≥+
⎜⎟
+++
⎝⎠
22 22 2
11 11 1 1 4
xy x y 2xy 2xy x y 2xy (x y)

…


10
1.35

Cho ba số x, y, z thỏa hai điều kiện :
x + y + z = 2 và xy + yz + zx = 1
Chứng minh rằng mỗi số x, y, z đều thuộc đoạn
4
0;
3
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦

Hướng dẫn :
x + y + z = 2 ⇔ 2 – x = y + z
(2 – x)
2
= (y + z)
2
≥ 4yz
4yz = 4[1 – x(y + z)] = 4[1 – x(2 – x)]
(2 – x)
2
≥ 4(x – 1)

2
⇔ x(3x – 4) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
4
3

Tương tự với y và z.
1.36
1. Chứng minh bất đẳng thức :
++
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
2
22
ab ab
22

2. Vận dụng để chứng minh rằng nếu có
+
++= +1x 1y 21z

thì có : x + y ≥ 2z
1.37

Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1. Chứng minh rằng :
⎛⎞
⎛⎞
+++≥
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠
⎝⎠
2
2
1125
xy
xy2

Hướng dẫn :
Vận dụng bất đẳng thức :
++
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
2
22
ab ab
22


22
2
11 1111
xy xy
2x y4xy
⎡⎤
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎛⎞
+++ ≥ +++

⎢⎥
⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎣⎦

()
2
1xy
xy
4xy
⎡⎤
+
=++
⎢⎥
⎣⎦
=
2
11
1
4xy
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
(do x + y = 1)
Mặt khác : (x + y)
2
≥ 4xy hay 1 ≥ 4xy ⇒ ≥

1
4
xy
(do xy > 0)
Nên :
()
⎛⎞
⎛⎞
+++≥+=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
2
2
2
111 25
xy 14
xy2 2



11
1.38

1. Chứng minh bất đẳng thức :
++ ++
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠

2
222
abc abc
33

2. Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1.
Chứng minh rằng :
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
+++++≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
2
22
111
xyz33
xyz

Hướng dẫn :
2.
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎛⎞ ⎛⎞
+++++≥ +++++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠ ⎝ ⎠
22
22
1111111

xyz xyz
xyz3xyz

=
()
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞
++ ++ ++
+++++=+++
⎢⎥
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦
2
2
1 1 11 1 xyzxyz xyz
xyz 1
3xyz3xyz

=
()
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
+++++++++ ≥ ++++ + +
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦

2
2
1xyyzzx1
1(111) 111122 2
3yxzyxz3

=
>
2
1
.10 33
3

1.39
1. Cho a > b > 0, so sánh hai số :
A =
+
++
2
1a
1aa
B =
+
+
+
2
1b
1bb

2. So sánh hai số :

A =
+1999 2001 B = 2 2000
1.40

Cho hai số nguyên m và n với m > n. Chứng minh rằng :
1. Nếu 0 < x < 1 thì x
m
< x
n

2. Nếu x > 1 thì x
m
> x
n

Hướng dẫn :
Đặt k = m – n > 0
1. Nếu 0 < x < 1 thì : 0 < x
k
< 1
k
và 0 < x
n

Nên : x
n
.x
k
< x
n

.1
k
hay x
n
.x
m – n
< x
n
.1
k

x
m
< x
n

2. Nếu x > 1 thì :
Nên : x
n
.x
k
> x
n
.1
k
hay x
n + k
> x
n

x
m
> x
n



12
1.41

1. Chứng minh bất đẳng thức : a
12
– a
9
+ a
4
– a + 1 > 0
2. Chứng minh rằng nếu có bất đẳng thức : y ≥ x
3
+ x
2
+ |x| + 1
thì có bất đẳng thức : x
2
+ y
2
≥ 1
1.42

Cho –1 ≤ x ≤ 1 và số nguyên dương n, chứng minh rằng :

(1 + x)
n
+ (1 – x)
n
≤ 2
n

Gợi ý :
Từ –1 ≤ x ≤ 1 suy ra : 0 ≤
+
1x
2
≤ 1 và 0 ≤
−
1x
2
≤ 1
Nên :
++
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
n
1x 1x
22

−
−
⎛⎞

<
⎜⎟
⎝⎠
n
1x 1x
22
…
1.43
Cho ba số không âm thỏa điều kiện : x + y + z = 1
Chứng minh bất đẳng thức : 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) ≤ x + 2y + z
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn :
Do x + y + z = 1, ta có : 1 – x = y + z
Do 0
≤ y ≤ 1 , ta có : 0 ≤ 1 – y
2
≤ 1
Từ hằng bất đẳng thức : (a + b)
2
≥ 4ab
4(1 – x)(1 – y)(1 – z) = 4[(y + z)(1 – z)].(1 – y)
≤
≤ (y + z + 1 – z)
2
.(1 – y) = (1 + y)
2
(1 – y) = (1 – y
2
)(1 + y) ≤
≤ 1 + y = x + y + z + y = x + 2y + z

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
2
1x1z
(1 y )(1 y) 1 y
xyz1
−=−
⎧
⎪
−+=+
⎨
⎪
++=
⎩
⇔ x = z =
1
2
; y = 0
1.44
Cho x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 , chứng minh bất đẳng thức :
xyz + 2(xy + yz + zx + x + y + z + 1) ≥ 0
Hướng dẫn :
Trong điều kiện : x
2
+ y

2
+ z
2
= 1 biến đổi vế trái thành :
A = (xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1) + (xy + yz + zx + x + y + z + 1)
Mà :


13
xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1 = (x + 1)(y + 1)(z + 1) (1)
Và
xy + yz + zx + x + y + z + 1 = x
2
+ y
2
+ z
2
+ xy + yz + zx + x + y + z
=
2
(x y z 1)
2
+++
(2)
Mà |x|
≤ 1 , |y| ≤ 1 , |z| ≤ 1 suy ra điều phải chứng minh.
1.45
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác thì :
ab + bc + ca ≤ a
2

+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Gợi ý :
a < b + c và a > 0 ⇒ a
2
< a(b + c) hay a
2
< ab + ca
1.46
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác . Chứng minh bất đẳng thức :
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
Hướng dẫn :
a, b, c > 0, a + b > c, b + c > a, c + a > b
a
2
≥ a
2
– (b – c)
2
hay a
2
≥ (a + b – c)(c + a – b) (1)
Tương tự :
b
2
≥ (b + c – a)(a + b – c) (2) c
2

= (c + a – b)(b + c – a) (3)
1.47
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≤ b ≤ c.
Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c)
2
≤ 9bc
Hướng dẫn :
Do a ≤ b nên : (a + b + c)
2
≤ (2b + c)
2

Ta chứng minh bất đẳng thức : (2b + c)
2
≤ 9bc
Xét hiệu hai vế : (2b + c)
2
– 9bc = (b – c)(4b – c)
Mà b
≤ c nên b – c ≤ 0, do đó ta còn phải chứng minh : 4b – c ≥ 0
Do a
≤ b nên :
4b – c = 2b + (b + b – c)
≥ 2b + (a + b - c)
Mà a + b – c > 0 nên :
4b – c
≥ 2b + (a + b – c) > 0
Bất đẳng thức được chứng minh.

14
1.48

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi là 2. Chứng minh
rằng : a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2
Hướng dẫn :
Trước hết chứng minh : a < 1; b < 1 ; c < 1
Để có :
(1 – a)(1 – b)(1 – c) > 0
⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca – abc > 0
Mà a + b + c = 2, nên : -1 + ab + bc + ca – abc > 0
Vận dụng hằng đẳng thức : (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca)
ab + bc + ca =
2222 222
(abc)(abc) abc
2

22
++ − + + + +
=−

Ta có : -1 + 2 -
222
abc
abc 0
2
++
−
>
hay 2 – (a
2
+ b
2
+ c
2
) – 2abc > 0
⇔ a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2

15
2. VÀI BẤT ĐẲNG THỨC
THƯỜNG DÙNG

A. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
1. Đònh lý :
• Với hai số không âm a và b, ta có bất đẳng thức :

ab
ab

2
+
≥

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2. Hệ quả :

• Nếu a ≥ 0, b ≥ 0 và tổng a + b = k (hằng) thì tích ab lớn

nhất khi và chỉ khi a = b :

max(ab) =
2
k
4
⇔ a = b
Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng nhau thì hình vuông có
diện tích lớn nhất.
• Nếu a ≥ b, b ≥ 0 và tích ab = k (hằng) thì tổng a + b nhỏ
nhất khi và chỉ khi a = b
min(a + b) = 2
k ⇔ a = b
Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau thì hình vuông có
chu vi nhỏ nhất.
3. Tổng quát :

• Với a
1
, a
2

, …, a
n
là n số không âm, ta có bất đẳng thức :
12 n
n
12 n
aa a
a a a
n
+
++
≥

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a
1
= a
2
= … = a
n


2.1

1. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm :
ab
ab
2
+
≥
2. Vận dụng để chứng minh bất đẳng thức Cauhy có bốn số không âm, ba

số không âm :
4
abcd
abcd
4
+++
≥

3
abc
abc
3
+
+
≥



16
2.2

1. Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức :
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
2. Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1, chứng minh bất đẳng thức :
a
4
+ b
4
+ c
4

≥ abc
2.3

1. Chứng minh rằng, nếu x > 1 thì :
x
2
x1
≥
−

2. Cho x > 1 và y > 1, chứng minh bất đẳng thức :
22
xy
y1 x1
+
−
−
≥ 8
2.4

1. Chứng minh bất đẳng thức :
2
2
a5
a1
+
+
≥ 4
2. Cho a ≥ 1 và b ≥ 1, chứng minh bất đẳng thức :
ab1 ba1

−
+−
≤ ab
Gợi ý :
1.
2
2
22
a5 4
a1
a1 a1
+
=++
++
2. a1 (a1).1−= −
2.5
1. Cho a, b, c ≥ -
1
4
và a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức :
4a 1 4b 1 4c 1 5
+
++++<
2. Cho a, b, c > 0, Chứng minh bất đẳng thức :
222
111abc
abcbcacab 2abc
+
+
++≤

+++

Hướng dẫn :
1. Lưu ý đẳng thức không xảy ra.
2. a
2
+ bc ≥ 2
2
abc
= 2a
bc
⇒
2
1
abc
+
≤
1
2a bc



17
2.6

Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z.
Chứng minh bất đẳng thức :
z(x z) z(y z) xy−+ −≤

Hướng dẫn :

Bình phương hai vế được :
z(x – z) + z(y – z) + 2
z(x z).z(y z)
−
− ≤ xy
⇔ 2z (x z)(y z)−− ≤ 2z
2
+ xy – yz – zx
⇔ 2z
(x z)(y z)−−
≤ z
2
+ (x – z)(y – z)
Đây là bất đẳng thức đúng theo bất đẳng thức Cauchy với hai số dương z
2

và (x – z)(y – z)
2.7
Gọi a, b, c là ba cạnh một tam giác và p là nửa chu vi
abc
p
2
++
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
.
Chứng minh bất đẳng thức :
(p – a)(p – b)(p – c) ≤

1
abc
8

2.8

Gọi R, r và S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường
tròn nội tiếp và diện tích một tam giác vuông. Chứng minh rằng :
R + r ≥
2S
Hướng dẫn :
Gọi a là độ dài canh huyền, b và c là độ dài hai cạnh góc vuông
R =
a
2
S =
1
(a b c)r
2
++
và S =
1
bc
2

r =
bc
abc
+
+

Nên :
R + r =
2
a bc a(a b c) 2bc a ab ca 2bc
2 a b c 2(a b c) 2(a b c)
++ + + + +
+= =
++ ++ ++

Mà theo đònh lí Pitago thì : a
2
= b
2
+ c
2
nên
R + r =
22 2
b c ab ac 2bc (b c) a(b c)
2(a b c) 2(a b c)
++++ + + +
=
++ ++

=
(b c)(a b c) b c
2(a b c) 2
+
++ +

=
++

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương b, c:


18
R + r =
bc
2
+
≥
bc 2S=
(do S =
1
bc
2
)
2.9
1. Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức :
(a + b + c)
111
abc
⎛⎞
+
+
⎜⎟
⎝⎠
≤ 9
2. Vận dụng kết quả đó để chứng minh bất đẳng thức :

xyz3
yz zx xy 2
+
+≥
++ +

với x, y, z là ba số dương.
Gợi ý :
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số dương :
3
3
abc3abc
111 111
3
abc abc
⎫
++≥
⎪
⎬
++≥
⎪
⎭
⇒
()
111
abc
abc
⎛⎞
+
+++

⎜⎟
⎝⎠
≥ 9
2.10
1. Cho x ≥ 0 và y ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức : 3x
2
+ 7y
2
> 9xy
2

2. Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức :
a
3
+ b
3
+ c
3
≥ a
2
22
bc b ca c ab++
Gợi ý :
1. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
3x
3
+ 7y
3
= 3x
3

+3y
3
+ 4y
3
≥
333
3
3x .3y .4y =
22
3
3xy 3 .4 >3xy
2
3
3
3 = 9xy
2

2. a
3
+ b
3
+ c
3
≥ 3abc ⇔ 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) ≥ a

3
+ b
3
+ c
3
+ 3abc
= (a
3
+ abc) + (b
3
+ abc) + (c
3
+ abc)
a
3
+ abc ≥ 2
32
aabc 2a bc=
b
3
+ abc ≥ 2b
2
ca c
2
+ abc ≥ 2c
2
ab ……
a
3
+ b

3
+ c
3
≥ a
2
22
bc b ca c ab++


19
2.11

Chứng minh các bất đẳng thức sau đây :
1. 4(x
2
+ y
2
)
3
≥ 27x
2
y
4

2.
69
xy
4
+
≥ 3x

2
y
3
– 16 (với y ≥ 0)
Gợi ý :
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm :
1. x
2
+ y
2
= x
2
+
22
yy
22
+
≥ 3
22
2
3
yy
x. .
22
…
2.
69
xy
4
+

≥ 3x
2
y
2
– 16 ⇔ x
6
+ y
9
+ 64 ≥ 12x
2
y
3

x
6
+ y
9
+ 64 = (x
2
)
3
+ (y
3
)
3
+ 4
3
≥ 3
693
3

x.y.4
…
2.12
Cho ba số dương x, y, z thoả điều kiện :
111
2
1x 1y 1z
+
+≥
+++

Chứng minh rằng : xyz ≤
1
8

Gợi ý :
Điều kiện đã cho tương đương với : 1 ≥ 2xyz + xy + yz + zx
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với bốn số không âm
2.13
1. Cho n số dương : x
1
, x
2
, … ,x
n
. Chứng minh rằng :
12 n
23 1
xx x

xx x
+++
≥ n
2. Cho ba số không âm z, y, z thoả điều kiện x + y + z = 1.
Chứng minh rằng : xy
2
z
3
≤
1
432

Gợi ý :
2. x + y + z = x +
yyzzz
22333
+
+++ (=1)
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho sáu số không âm.


20
2.14

1. Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1.
Chứng minh rằng : 16xyz ≤ y + z
2. Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện :
1111
3
1x 1y 1z 1t

+
++≥
++++

Chứng minh rằng : xyzt ≤
1
81

Hướng dẫn :
1. 1 = x + (y + z) ≥ 2 x(y z)
+
⇔ 1 ≥ 4x(y + z)
⇔ y + z ≥ 4x(y + z)
2
⇔ y + z ≥ 4x(2 yz )
2
⇔ y + z ≥ 16xyz
2. Nhận xét :
11 1 1
111
1x 1y 1z 1t
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
≥− +− +−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
++ + +
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
=
yzt

1y1z1t
++
+
++

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
1yzt
1x 1y 1z1t
≥++
++++
≥ 3
3
yzt
(1 y)(1 z)(1 t)
+
++

Tương tự, rồi nhân theo vế bốn bất đẳng thức tìm được :
1
(1 x)(1 y)(1 z)(1 t)++++
≥ 81
xyzt
(1 x)(1 y)(1 z)(1 t)
+
+++

xyzt
≤
1
81

21
B. BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARTZ
4. Đònh lí :
• Nếu (a ; b) và (z ; y) là hai bộ hai số thì :
(ax + by)
2
≤ (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) hay |ax + by| ≤
2222
(a b )(x y )++

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
xy
ab
=

(với qui ước a = 0 thì x = 0, b = 0 thì y = 0)
5. Tổng quát :
Nếu (a
1

, a
2
, … , a
n
) và (x
1
, x
2
, … , x
n
) là hai bộ n số thì :
(a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
)
2
≤ (a
1
2
+ a
2

2
+ … + a
n
2
)(x
1
2
+ x
2
2
+ … + x
n
2
)
hay |a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
| ≤
(
)
(

)
22 222 2
12 n12 n
a a a x x x+++ +++

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12 n
12 n
xx x

aa a
===
(với qui ước trên)
2.15
Chứng minh các bất đẳng thức :
1. (ax + by)
2
≤ (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)
2. (ax + by + cz)
2
≤ (a
2

+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
)
2.16

1. Cho hai số x, y thỏa điều kiện 4x – 6y = 1.
Chứng minh rằng : 4x
2
+ 9y
2
≥
1
8

2. Cho hai số x, y thoả điều kiện 2x + 3y = 5.
Chứng minh rằng : 2x
2
+ 3y
2
≥ 5
2.17

1. Cho a
2
+ b
2
= 1 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Chứng minh bất đẳng thức :
|ax + by + z| ≤
2
2. Cho xy + yz + zx = 4. Chứng minh bất đẳng thức :
x
4
+ y
4
+ z
4
≥
16
3



22
2.18

Cho

3
2
≤ x ≤
50
3
, chứng minh bất đẳng thức :
x1 2x3 503x12++ −+ − <
2.19

Cho ba số dương x, y, z thoả điều kiện x > z và y > z.
Chứng minh :
z(x z) z(y z) xy−+ −≤

Gợi ý :
z(xz) z(yz) z.xz yz.z−+ −= −+ − ≤
(z y z)(x z z) yx+− −+ =
2.20

Cho x + y + z = 1. Chứng minh bất đẳng thức :
x
2
+ 4y
2
+ 9z
2
≥
36
49

Gợi ý :

1 =
222
2222
11 11
1.x .2y 3z 1 x (2y) (3z)
23 23
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎡
⎤
++ ≤++ ++
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎣
⎦
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦

2.21
Cho hai số x, y thỏa điều kiện : (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 5
Chứng minh rằng : x + 2y ≤ 10
Hướng dẫn :
[1(x – 1)
2
+ 2(y – 2)

2
] ≤ (1
2
+ 2
2
)[(x – 1)
2
+ (y – 2)
2
] = 5.5
(x + 2y – 5)
2
≤ 25
x + 2y – 5
≤ |x + 2y – 5| ≤ 5
x + 2y
≤ 10
2.22
Gọi x
0
là một nghiệm của phương trình bậc hai : x
2
+ px + q = 0. Chứng
minh rằng :
x
0
2
< p
2
+ q

2
+ 1
Hướng dẫn :
x
0
2
+ px
0
+ q = 0 ⇔ x
0
2
= - (px
0
+ q)
x
0
4
= (px
0
+ q)
2
≤ (p
2
+ q
2
)(x
0
2
+ 1)

23
p
2
+ q
2
=
4
0
2
0
x
x1
+
>
(
)
(
)
22
4
00
2
0
0
22
00
x1x1
x1
x1

x1 x1
+−
−
=
=−
++

x
0
2
< p
2
+ q
2
+ 1
2.23
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác , đặt p =
abc
2
+
+
.
Chứng minh rằng :
ppapbpx<−+−+−
≤
3p

Hướng dẫn :
- Dùng biến đổi tương đương để có : ppapbpc
<

−+ −+ −
- Dùng bất đẳng thức Schwartz để có :
pa pb pc
−
+−+−≤ 3p
2.24
Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức :
xyz(x + y + z) ≤ x
3
y + y
3
z + z
3
x
Hướng dẫn :
- Chứng minh bất đẳng thức tương với :
x + y + z
≤
222
xyz
zxy
+
+

- Vận dụng bất đẳng thức Schwartz :
2
xyz
.z .x .y
zxy
⎛⎞

++
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
≤

≤
()()()
2
22
222
xyz
zxy
zxy
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
⎡
⎤
⎢⎥
++ ++
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠

⎝⎠
⎣⎦

2.25
Cho a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
= 1. Chứng minh bất đẳng thức :
(x
2
+ ax + b)
2
+ (x
2
+ cx + d)
2
≤ (2x
2
+ 1)
2

Hướng dẫn :
Vận dụng bất đẳng thức Schwartz :
(x
2

+ ax + b)
2
= (x.x + ax + b.1)
2
≤ (x
2
+ a
2
+ b
2
)(x
2
+ x
2
+ 1) (1)
(x
2
+ cx + d)
2
= (x.x + cx + d.1)
2
≤ (x
2
+ c
2
+ d
2
)(x
2
+ x

2
+ 1) (2)
Cộng (1) và (2) được điều phải chứng minh .


24
C. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
6. Đònh lí :
• Với hai số thực a, b ta có :
1. |a + b| ≤ |a| + |b|
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ab ≥ 0
2. |a – b| ≤ |a| + |b|
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ab ≤ 0
Nhắc lại :
1. |a| ≥ 0 |a| = 0 ⇔ a = 0
2. -|a| ≤ a ≤ |a| - |a| = a = |a| ⇔ a = 0
2.26
Cho hai số thực a, b. Chứng minh các bất đẳng thức :
1. |a + b| ≤ |a| + |b| . Đẳng thức xảy ra khi nào ?
2. |a – b| ≤ |a| + |b| . Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn :
1. Dùng phép biến đổi tương đương :
|a + b|
≤ |a| + |b| ⇔ (a + b)
2
≤ (|a| + |b|)
2

⇔ a
2

+ 2ab + b
2
= a
2
+ 2|ab| + b
2
⇔ ab ≤ |ab| (bất đẳng thức đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ab
≥ 0
2. Chứng minh tương tự, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ab
≤ 0
2.27
Cho |x| < 1 và |y | < 1. Chứng minh mỗi bất đẳng thức sau đây :
1. |x + y| < |1 + xy| 2.
xy
1
1xy
−
<
−

2.28

Chứng minh mỗi bất đẳng thức sau đây :
1.
2
|x| 1
1x 2
≤
+

2.
xy
1
xy
+
≤
(với |x| ≥ 2 và |y| ≥ 2)
2.29

Chứng minh rằng : -3 ≤
x|x1||x2|
|x| x 1 x 2
−
−
++
−
−
≤ 3 (với x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ 2)




25
3. VÀI PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
A. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI
Dựa vào các tính chât của bất đẳng thức để biến đổi một vế của bất đẳng
thức thành dạng tính được tổng hay tích hữu hạn. Thường thì :
• Để tính tổng hữu hạn ta biến đổi số hạng tổng quát về dạng hiệu
hai số hạng liên tiếp :

u
n
= a
n
– a
n – 1

Từ đó :
S = (a
1
– a
2
) + (a
2
– a
3
) + … + (a
n
– a
n + 1
) = a
1
– a
n + 1

• Để tính tích hữu hạn ta biến đổi số hạng tổng quát về dạng thương
hai số hạng liên tiếp :
u
n
=

n
n1
a
a
+

Từ đó : P =
12 n 1
2 3 n1 n1
aa a a

aa a a
+
+
=
• Hoặc xét tính chất của mỗi hạng tử.

3.1

Cho số nguyên n ≥ 1, chứng minh rằng :
1.
11 1
1
1.2 2.3 n(n 1)
+++ <
+

2.
11 1 1

1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 2
+++ <
−+

Hướng dẫn :
1.
111
n(n 1) n n 1
=−
++

2.
1111
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
⎛⎞
=−
⎜⎟
−+ − +
⎝⎠