Đề khảo sát chất lượng theo khối thi đại học môn: Toán Khối D42685

Đề KTCL theo khối thi đại học

Trường THPT Hàm Rồng

Năm học 2008-2009

Môn : Toán - Khối D
Thời gian làm bài : 180 phút
Ngày thi : 14-03- 2009

A. phần chung cho tất cả các thí sinh:
2x 1
(C)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y
x 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
OAB vuông tại O.

Câu II: (2 điểm)
1. Giải phương trình:

cos 2 x.cos x  1
 21  sin x 
sin x  cos x

 x 2  y 2  xy 3
2. Giải hệ phương trình: 2
x  1  y 2  1  4

C©u III: (2 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA mf(ABCD) và SA = a.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC.
1. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mf(BMN).
2. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD.
Câu IV: (2 điểm)


1. Tính tích phân:

e
2

cos x



sin x . sin 2 xdx

0

2. Chøng minh r»ng: e x  cos x  2  x 

x2
2

x  R.

B. phần tự chọn: (Thí sinh chỉ làm một trong hai câu Va hoặc Vb)

Câu Va: (2 điểm) Theo chương trình cơ bản.
1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương
trình x  22   y  12  25 theo một dây cung có độ dài bằng 8.
2. Lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. HÃy tính
xác suất để lập được số tự nhiên chia hết cho 5.
Câu Vb: (2 điểm) Theo chương trình nâng cao.
1. Cho ABC biết: B(2; -1), đường cao qua A có phương trình d1: 3x - 4y + 27 = 0,
phân giác trong góc C có phương trình d2: x + 2y - 5 = 0. Tìm toạ ®é ®iĨm A.
0
1
2
1004
2. TÝnh tỉng: S  C 2009
 C 2009
 C 2009
 ...  C 2009

..............HÕt.............
DeThiMau.vn


Đáp án đề KTCL theo khối thi đại học
Môn: toán khối D
Ngày thi : 14-03- 2009
Nội dung

Trường THPT Hàm Rồng

Năm học 2008-2009
Câu

I
2điểm

ý
1.

KS HS y

Điểm

2x 1
x 1

1. Tập XĐ : D = R\{1}
2. Khảo sát sự biến thiên :
a/ Các giới hạn và tiệm cận:
+ lim y 2 => y = 2 lµ tiƯm cËn ngang.
x 

+ lim y  ; lim y   => x = 1 là tiệm cận đứng.
x 1

x 1

b/ Lập bảng biến thiªn:
y'  

1

 x  1

2

0, 25

 0 x  1

Bảng biến thiên :
x
y
2
y



1




HS nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1;
HS không có cực trị.
3. Đồ thị :

2
0,25

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận
giao điểm hai tiệm cận I(1; 2) làm
tâm đối xứng

0,5

2

2x 1

(1)
y
Toạ ®é giao ®iĨm A, B lµ nghiƯm cđa hƯ: 
x 1
y x m
(2)
Phương trình hoành độ giao ®iÓm: x 2  (m  3) x  1  m  0, x  1 (*)
  m 2  2m  5  0 m  R. , (*) kh«ng cã nghiƯm x= 1.

=> (*) cã 2 nghiệm phân biệt là xA và xB
=> A(xA; xA + m), B(xB; xB + m),
x A  xB  3  m
 x A .x B  1  m

Theo ®Þnh lÝ viÐt: 

DeThiMau.vn

0,25
0,25


Câu II

2 điểm

1

Để OAB vuông tại O thì OA.OB 0  x A x B  x A  m x B  m   0

0,25

 2 x A x B  m x A  x B   m 2  0  m  2

0,25


cos 2 x.cos x  1
 21  sin x 
§K: x    k
sin x  cos x
4
Pt  1  sin x 1  sin x cos x  1  21  sin x sin x  cos x 

0,25
0,25



x    k 2
1  sin x  0
1  sin x  0





2
sin x  cos x  sin x cos x  1  0 1  sin x cos x  1  0  x    k 2


2.

 x 2  y 2  xy  3
 2
 x  1  y 2  1  4

0,5

(1)
(2)

(2) <=> x 2  y 2  2 x 2  1. y 2  1  14  xy  2 xy 2 xy 4 11 (3)
Đặt xy = p.

0,25

 p  11
p  3

p 2  p  4  11  p   2
 p  35 / 3
3 p  26 p  105  0

3  2

0,25

(1) <=> x  y 2  3xy  3
* p=xy = -35/3 (lo¹i)
* p=xy = 3 => x  y  2 3
 xy  3

1/ Với

x y 2 3

Câu III
2 điểm

1.

xy  3

x y 3

2/ Víi 







 x  y  2 3

VËy hƯ cã hai nghiƯm lµ: 3; 3 , 3; 3 .
Gắn hệ trục toạ độ như hình vÏ:
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), C(a; a; 0),
S(0; 0; a), M(0; a/2; 0), N(a/2; a/2; a/2)

x y 3

0,25
z

0,25

S

BN , BM    a4 ; a2 ; a4 
2

2


1
a3
VBMND  BN , BM BD 
6
24
2
1
a 3
S BMN BN , BM

2
4 2
1
Mặt khác, VBMND S BMN .d D, ( BMN ) 
3
3V
a 6
 d D, ( BMN )   BMND . 
S BMN
6




2.





2






cos MN , BD 



MN .BD

0,25

N

A
M

D

1



 e



2

y

0,25

C

B

x
0,25
0,5



1
   MN , BD  120 0
2
MN . BD

 MN , BD   60 0

IV
2 ®iĨm

0,25

0,5




2

2

 sin x . sin 2 xdx   e cos x . sin 2 xdx   sin x. sin 2 xdx

cos x

0

0





2

* I1   e
0

cos x

0



2

. sin 2 x.dx  2  e
0

cos x

2

. sin x. cos x.dx  2  e cos x . cos x.d (cos x)

DeThiMau.vn

0

0,25


x

t 0
2
x 0 t 1

Đặt cosx = t.

 t1 1 t 
1
 I 1  2 t.e dt  2 t.d (e )  2 t.e   e dt   2e  2e t  2


0 0
0
0
0


1

1

t



t



2

1
* I 2   sin x.sin 2 xdx 
2
0




 e
2

cos x

1
sin 3 x 

 cos x  cos 3x dx   sin x 
2



 sin x . sin 2 xdx  2 

0

2

2

0

0,25


2
2
3
 0

3

2 8

3 3

0,5

x2
x2

 .e x  cos x  2  x   0
2
2
2
x
XÐt hµm sè: f ( x)  e x  cos x  2  x  , x  R.
2
f ' ( x)  e x  sin x  1  x  f ' ' ( x)  e x  1  cos x  0 x  R
e x  cos x  2  x

0,25

=> f(x) là hàm số đồng biến và f(x) = 0 cã tèi ®a mét nghiƯm.
KiĨm tra thÊy x = 0 lµ mét nghiƯm cđa f’(x).
=> f’(x) = 0 có duy nhất một nghiệm x = 0.
Bảng biến thiên :
x

0

f’(x)
0
+

0,25

f(x)

0

0,25

 f ( x)  0 x  R  e x  cos x  2  x 

Va
2 ®iÓm

1

2

x
2

x  R.

0,25

d: a(x - 1)+ b(y -2) = 0 <=> ax + by - a - 2b = 0 ĐK: a2 + b2 > 0
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm
I(2; -1) của (C) đến d bằng 3.
d I , d  

2a  b  a  2b
a b
2

2

0,25

 3  a  3b  3 a 2  b 2

a  0
 8a  6ab  0  
a   3 b
4

2

I
5

A
C

3
4

H

5

D

0,25

 a = 0: chän b = 1 => d: y - 2 = 0
3
4

 a = - b : chän a = 3, b = - 4 => d: 3x - 4 y + 5 = 0.

2

Vậy có hai đường thẳng thoả mÃn bài toán có phương trình là:
y - 2 = 0 và 3x - 4 y + 5 = 0.
Gäi A lµ biến cố lập được số tự nhiên chia hết cho 5, có 5 chữ số khác nhau.

0,5

* Số cách lập số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau: A85  A74  5880 sè

0,25

* LËp sè tù nhiªn chia hết cho 5 có 5 chữ số khác nhau:
gọi số có dạng a1a2a3a4a5. Có các trường hợp sau:

DeThiMau.vn


0,25

+ a5 = 0: chän a1a2a3a4 cã A74 c¸ch.
+ a5 = 5: chọn a1 có 6 cách ( vì a1  0, a1  a5)
chän a2a3a4 cã A63 c¸ch.

0,25

=> cã A74 + 6. A63 = 1560 sè

=> P(A) = 1560 13
5880

Vb
2 điểm

1

0,25

49

+Đường thẳng BC vuông góc AH: 3x - 4y + 27= 0 nên có véc tơ chỉ
phương là: U 3;4 .
A

Đường thẳng BC qua B(2; -1)
=> phương tr×nh BC:

B'

x  2 y 1

3
4

0,25

d2
I

 BC : 4 x 3 y 5 0

+ Toạ độ điểm C lµ nghiƯm cđa hƯ:

B

4 x  3 y  5  0
 x  1

 C (1;3)

x  2 y  5  0
y  3

H

C

0,25

d1

+ Gäi B’ lµ ®iĨm ®èi xøng cđa B qua d2, I lµ giao điểm của BB và d2.
+ Đường thẳng BB vuông góc d2: x + 2y - 5 = 0 nªn cã véc tơ chỉ
phương là: U ' 1;2 .
BB qua B(2; -1) => phương trình BB:

x 2 y 1
BB': 2 x  y  5  0


1
2

2 x  y  5  0
x  3

 I (3;1)
x 2 y 5 0
y 1

+ Toạ độ ®iĨm I lµ nghiƯm cđa hƯ: 

xB'  2 xI  xB  4
 B' (4;3)
 yB'  2 yI yB 3

+ Vì I là trung điểm BB nên:

0,25

+ Đường AC qua C và B nên có phương trình: y - 3 =0.
y 3 0
x  5

 A(5;3)
3 x  4 y  27 0
y 3

+ Toạ độ điểm A là nghiệm cđa hƯ: 

2

0,25

0
1
2
1004
(1)
S  C 2009
 C 2009
 C 2009
 ...  C 2009
2009
2008
2007
1005
<=> S  C 2009
 C 2009
 C 2009
 ...  C 2009
(2) (v× C nk  C nnk )

0,5

2009
0
1
2
1004

1005
2009
(1) + (2): 2S  C 2009
 C 2009
 C 2009
 ...  C 2009
 C 2009
 ...  C 2009
 1  1

0,5

 S  2 2008

Ngµy 07 tháng 03 năm 2009
Người ra đề

Nguyễn Hữu Thận
DeThiMau.vn