(SKKN CHẤT 2020) hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức vi et vào giải một số dạng toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (190.26 KB, 49 trang )

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Qua một số năm giảng dạy môn Toán 9 bản thân tôi thấy việc vận dụng hệ
thức Vi et vào giải toán các em làm chưa linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng
hệ thức Vi et vào giải nhiều loại bài toán trong khi đó hệ thức Vi et có ứng dụng rất
rộng rãi trong việc giải toán. Đặc biệt trong những năm gần đây các đề thi vào
THPT áp dụng hệ thức Vi et để giải chiếm 1 đến 2 điểm trong đề thi.Vậy tại sao ta
không ôn luyện cho học sinh những dạng toán, những bài tập có vận dụng của hệ
thức Vi et để giải? Bản thân tôi luôn suy nghĩ trong điều kiện kinh tế gia đình của
nhiều em học sinh còn nhiều khó khăn nên sự quan tâm và tạo điều kiện cho con
em mình học tập còn nhiều hạn chế.Vì vậy phần nhiều học sinh còn thiếu tài liệu
học tập và sách nâng cao để học. Do đó việc ôn tập, hướng dẫn cho học sinh vận
dụng hệ thức Vi et vào giải toán là rất cần thiết đối với các em bởi các dạng toán
liên quan đến hệ thức Vi et rất đa dạng phong phú, thời lượng học theo chương
trình lại rất ít chỉ có 01 tiết lý thuyết và 01 tiết luyện tập trên lớp. Do đó nếu không
được hướng dẫn thì học sinh sẽ không khỏi lúng túng khi gặp một số dạng toán lạ
hoặc một bài toán khó.Vì vậy sự định hướng trước cho học sinh khi gặp các bài
toán liên quan đến hệ thức Vi et là một việc làm thiết thực. Từ thực tế nêu trên để
dạy học sinh lớp 9 phần hệ thức Vi et và hướng dẫn học sinh lớp 9 ôn thi vào 10 có
kết quả cao tôi đã nghiên cứu đề tài: ‘Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et
vào giải một số dạng toán’.
2. Tên sáng kiến:
Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải một số dạng toán
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên : Phan Thị Huệ
- Địa chỉ tác giả sáng kiến : Giáo viên trường THCS Tân Phong - Bình
Xuyên-Vĩnh Phúc
- Số điện thoại : 0914792223
E mail :
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Táá́c giảả̉ sáá́ng kiếá́n kinh nghiệệ̣m: Phan Thịệ̣ Huệệ̣.

Giáá́o viên: Trườờ̀ng THCS Tân Phong - Bìờ̀nh xuyên -Vĩĩ̃nh Phúá́c.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến :
Sáá́ng kiếá́n kinh nghiệệ̣m đượệ̣c áá́p dụệ̣ng trong lĩĩ̃nh vựệ̣c giảả̉ng dạệ̣y môn Toáá́n,
vấá́n đềờ̀ đượệ̣c giảả̉i quyếá́t làờ̀ Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải một
số dạng toán bậệ̣c THCS
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thư:
1

download by :

Sáá́ng kiếá́n kinh nghiệệ̣m đượệ̣c áá́p dụệ̣ng lầờ̀n đầờ̀u ngàờ̀y 27/3/2014.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung của sáng kiến
7.1.1. Cơ sở lí luận:
Đểả̉ pháá́t huy tíá́nh tíá́ch cựệ̣c, tựệ̣ giáá́c, chủả̉ độệ̣ng củả̉a họệ̣c sinh nhằm bồi dưỡng vàờ̀
pháá́t triểả̉n tríá́ tuệệ̣ vàờ̀ năng lựệ̣c hoạệ̣t độệ̣ng củả̉a họệ̣c sinh làờ̀ nhiệệ̣m vụệ̣ trọệ̣ng tâm trong
quáá́ trìờ̀nh dạệ̣y họệ̣c làờ̀ nộệ̣i dung củả̉a việệ̣c đổi mớá́i phương pháá́p dạệ̣y họệ̣c.
Dạệ̣y họệ̣c Toáá́n làờ̀ dạệ̣y cho họệ̣c sinh phương pháá́p họệ̣c toáá́n vàờ̀ giảả̉i toáá́n đểả̉ vậệ̣n
dụệ̣ng kiếá́n thứá́c đãĩ̃ họệ̣c vàờ̀o giảả̉i toáá́n thựệ̣c tếá́ cuộệ̣c sốá́ng. Nộệ̣i dung kiếá́n thứá́c toáá́n họệ̣c
đượệ̣c trang bịệ̣ cho họệ̣c sinh THCS ngoàờ̀i việệ̣c dạệ̣y líá́ thuyếá́t còờ̀n phảả̉i chúá́ trọệ̣ng tớá́i
việệ̣c dạệ̣y họệ̣c sinh phương pháá́p giảả̉i mộệ̣t sốá́ bàờ̀i toáá́n, nhưng đểả̉ nắm vữĩ̃ng cáá́ch giảả̉i
1 dạệ̣ng toáá́n nàờ̀o đóá́ đòờ̀i hỏả̉i họệ̣c sinh phảả̉i biếá́t vậệ̣n dụệ̣ng kiếá́n thứá́c đãĩ̃ họệ̣c mộệ̣t cáá́ch
linh hoạệ̣t, sáá́ng tạệ̣o, tíá́nh cẩn thậệ̣n, kếá́t hợệ̣p vớá́i sựệ̣ khéo léo vàờ̀ kinh nghiệệ̣m đãĩ̃ tíá́ch
luỹ đượệ̣c đểả̉ giảả̉i quyếá́t cáá́c bàờ̀i tậệ̣p cóá́ liên quan. Thông qua việệ̣c giảả̉i bàờ̀i tậệ̣p cáá́c em
đượệ̣c rèn luyệệ̣n kĩĩ̃ năng vậệ̣n dụệ̣ng kiếá́n thứá́c đãĩ̃ họệ̣c vàờ̀o giảả̉i bàờ̀i tậệ̣p, kĩĩ̃ năng trìờ̀nh
bàờ̀y, kĩĩ̃ năng sửả̉ dụệ̣ng máá́y tíá́nh bỏả̉ túá́i, đồ dùng dạệ̣y họệ̣c. Do đóá́ nâng cao năng lựệ̣c tư
duy, óá́c tưởả̉ng tượệ̣ng, sáá́ng tạệ̣o, rèn khảả̉ năng pháá́n đoáá́n, suy luậệ̣n củả̉a họệ̣c sinh.
7.1.2. Cơ sở thựự̣c tiễn:
Cáá́c bàờ̀i toáá́n úá́ng dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi ét cóá́ mộệ̣t vịệ̣ tríá́ quan trọệ̣ng trong chương

trìờ̀nh dạệ̣y họệ̣c toáá́n THCS. Họệ̣c sinh vậệ̣n dụệ̣ng nhữĩ̃ng ứá́ng dụệ̣ng củả̉a hệệ̣ thứá́c Vi - ét
như: Nhẩm nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh bậệ̣c hai trong cáá́c trườờ̀ng hợệ̣p a + b + c = 0 ; a - b
+ c = 0 , hoặệ̣c cáá́c trườờ̀ng hợệ̣p màờ̀ tổng vàờ̀ tíá́ch củả̉a hai nghiệệ̣m làờ̀ nhữĩ̃ng sốá́ nguyên
vớá́i giáá́ trịệ̣ tuyệệ̣t đốá́i không quáá́ lớá́n. Tìờ̀m đượệ̣c hai sốá́ biếá́t tổng vàờ̀ tíá́ch củả̉a chúá́ng.
Biếá́t cáá́ch biểả̉u diễn tổng cáá́c bìờ̀nh phương, cáá́c lậệ̣p phương củả̉a hai nghiệệ̣m qua cáá́c
hệệ̣ sốá́ củả̉a phương trìờ̀nh còờ̀n lúá́ng túá́ng, khóá́ khăn trong quáá́ trìờ̀nh vậệ̣n dụệ̣ng vàờ̀o giảả̉i
cáá́c bàờ̀i toáá́n cóá́ liên quan.
Cáá́c bàờ̀i toáá́n vềờ̀ nhữĩ̃ng ứá́ng dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi et rấá́t phương phúá́ đa dạệ̣ng, nóá́
đòờ̀i hỏả̉i phảả̉i vậệ̣n dụệ̣ng nhiềờ̀u kiếá́n thứá́c, cáá́ch linh hoạệ̣t, sáá́ng tạệ̣o, độệ̣c đáá́o; yêu cầờ̀u
họệ̣c sinh phảả̉i cóá́ óá́c quan sáá́t nhạệ̣y bén, giúá́p họệ̣c sinh pháá́t triểả̉n tư duy.
Nhữĩ̃ng ứá́ng dụệ̣ng củả̉a hệệ̣ thứá́c Vi ét đốá́i vớá́i họệ̣c sinh THCS làờ̀ khóá́ vàờ̀ mớá́i cáá́c
em thườờ̀ng gặệ̣p khóá́ khăn trong việệ̣c đi tìờ̀m lờờ̀i giảả̉i củả̉a bàờ̀i toáá́n nàờ̀y; cóá́ nhữĩ̃ng bàờ̀i
toáá́n cáá́c em không biếá́t bắt đầờ̀u từờ̀ đâu? Vậệ̣n dụệ̣ng kiếá́n thứá́c gìờ̀ trong chương trìờ̀nh
đãĩ̃ họệ̣c? Làờ̀m thếá́ nàờ̀o đểả̉ tìờ̀m đượệ̣c giáá́ trịệ̣ củả̉a tham sốá́ m thỏả̉a mãĩ̃n điềờ̀u kiệệ̣n củả̉a bàờ̀i
toáá́n ấá́y? Đặệ̣c biệệ̣t nóá́ mang nộệ̣i dung sâu sắc trong việệ̣c giáá́o dụệ̣c tư tưởả̉ng qua môn
toáá́n; hìờ̀nh thàờ̀nh cho họệ̣c sinh thóá́i quen đi tìờ̀m mộệ̣t giảả̉i pháá́p tốá́i ưu cho mộệ̣t công
việệ̣c cụệ̣ thểả̉ trong cuộệ̣c sốá́ng sau nàờ̀y.
Vớá́i thờờ̀i gian hạệ̣n chếá́ vàờ̀ mong muốá́n nghiên cứá́u sâu hơn nên đềờ̀ tàờ̀i nàờ̀y chỉả̉
tậệ̣p trung vàờ̀o vấá́n đềờ̀:
2

download by :

7.1.3. Hướng dẫn học sinh vân dụng hệ thức Vi et vào giải một số dạng toán.
a. Hệự̣ thứứ́c Vi ét:
ax2 + bx + c = 0 a 0

thì

- Nếứ́u phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0

thì

S2- 4P 0

Vàờ̀ ngượệ̣c
nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh bậệ̣c ba

+) Hệự̣ quảả̉ 1: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 a 0

+) Hệự̣ quảả̉ 2: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 a 0

+)

Hệự̣ quảả̉ 3
thì phương trình phân tich được thành

b. Tìm hai sớứ́ biếứ́t tổng vàà̀ tích củả̉a chúng:
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S vả tích u.v = P
nghiệm của phương trình bậc hai:

Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm củ

Như vậệ̣y khi biếá́t tổng vàờ̀ tíá́ch hai sốá́ thìờ̀ ta sẽĩ̃ tìờ̀m đượệ̣c hai sốá́ đóá́ thông qua việệ̣c giảả̉i phương trìờ̀nh bậệ̣c hai. Điềờ̀u kiệệ̣n đểả̉ cóá́ hai sốá́ làờ̀:

* Mộự̣t sớứ́ ví dụự̣

3

download by :

* Dạự̣ng I: Vận dụự̣ng hệự̣ thứứ́c Vi et vàà̀o việự̣c nhẩm nghiệự̣m củả̉a phương trình
bậc hai
Hệự̣ quảả̉ 1: Nếá́u phương trìờ̀nh ax2 + bx + c = 0 a 0

ax2 + bx + c = 0 a 0

thìờ̀ phương trìờ̀nh cóá́ mộệ̣t
Hệự̣ quảả̉ 2: Nếá́u phương trìờ̀nh ax2 + bx + c = 0 a 0

3
thìờ̀ phương
nh cóá́axmợ
: Nếu
phươngtrìờ̀trình
+

Hệự̣ quảả̉ 3
thì phương trình phân
+)
Có nghiệm x 1
+)
Có nghiệm x 1
+. Ví dụự̣ 1: Tíá́nh nhẩm nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh ( Bài 31 - SGK Toán 9 - Trang 54)
a) - 5x2 + 3x + 2 = 0
b) 2008x2 + 2009 x + 1 = 0
c) 3x2 - 1 - 3 x - 1 = 0

d) m - 1 x2 - 2m + 3 x + m + 4 = 0
Hướng dẫn cáá́ch giải:
- Muốá́n giảả̉i phương trìờ̀nh trên ta làờ̀m như thếá́ nàờ̀o ?
- Họệ̣c sinh nêu cáá́ch làờ̀m làờ̀ dùng công thứá́c nghiệệ̣m đểả̉ giảả̉i cáá́c phương trìờ̀nh nàờ̀y
- Cóá́ em đãĩ̃ pháá́t hiệệ̣n cáá́ch làờ̀m làờ̀ vậệ̣n dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi ét vàờ̀o tíá́nh nhẩm cáá́c
nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh bậệ̣c hai ax2 + bx + c = 0 a 0 cóá́
trìờ̀nh cóá́ mộệ̣t nghiệệ̣m
trìờ̀nh cóá́ mộệ̣t nghiệệ̣m
Khi đóá́ cáá́c em đềờ̀u nhậệ̣n thấá́y cáá́ch vậệ̣n dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi ét vàờ̀o nhẩm nghiệệ̣m
củả̉a phương trìờ̀nh bậệ̣c hai cáá́c em đãĩ̃ trìờ̀nh bàờ̀y lờờ̀i giảả̉i như sau:
Giảả̉i:
a) - 5x2 + 3x + 2 = 0 (a = - 5; b = 3; c = 2)
-

Vìờ̀

a + b + c = 5 + 3 + 2 = 0 phương trìờ̀nh cóá́ hai nghiệệ̣m làờ̀ x1 = 1; x2

b) 2008x2 + 2009 x + 1 = 0 (a = 2008; b = 2009; c = 1)
a - b + c = 2008 - 2009 + 1 = 0phương trìờ̀nh cóá́ hai ng

Vìờ̀

1

x2

c) 3x2 - 1 - 3 x - 1 = 0

.

2008
a

3; b = - 1 -

3;c=-1

4

download by :

Vìờ̀ a b c

d)
m - 1 x2

Vìờ̀
phương trìờ̀nh cóá́ hai nghiệệ̣m làờ̀: x1

1;

Sau khi tính được nghiệm củủ̉a phương trình xong tơi đã u cầu cáá́c em
sử dụng máá́y tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra cáá́c nghiệm vừa tìm
được ở phần a và b.
Kếứ́t luận:
- Khi giảả̉i mộệ̣t phương trìờ̀nh bậệ̣c hai ta cầờ̀n chúá́ ýá́ vậệ̣n dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi et đểả̉
tíá́nh nhẩm nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh nếá́u cóá́ thểả̉. Nếá́u không tíá́nh nhẩm đượệ̣c

nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh thìờ̀ ta mớá́i dùng công thứá́c nghiệệ̣m đểả̉ giảả̉i.
- Việệ̣c vậệ̣n dụệ̣ng hệệ̣ quảả̉ củả̉a hệệ̣ thứá́c Vi et vàờ̀ tíá́nh toáá́n cho phép tíá́nh nhanh
chóá́ng nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh.
Cáứ́c em có nhận xét gì nếứ́u ta thay đổi yêu cầà̀u củả̉a bàà̀i toáứ́n như sau:
+. Ví dụự̣ 2: Giảả̉i phương trìờ̀nh
a) 5x3 - 6x2 + 8x - 7 = 0
Hướứ́ng dẫẫ̃n cáứ́ch giảả̉i:
Hãĩ̃y vậệ̣n dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi – ét vàờ̀o tíá́nh nhẩm cáá́c nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh
bậệ̣c ba: ax3 + bx2 +cx + d = 0 a 0
+) Có nghiệm
+) Có nghiệm
- Khi đóá́ cáá́c em trìờ̀nh bàờ̀y lờờ̀i giảả̉i như sau:
Giảả̉i:
b) 5x3 - 6x2 + 8x - 7 = 0 cóá́ tổng cáá́c hệệ̣ sốá́ a + b + c + d = 5 - 6 + 8 - 7 = 0
nên phương trìờ̀nh có nghiệm x 1 khi đóá́ phương trìờ̀nh 5x3 - 6x2 + 8x - 7 = 0 5x3
- 5x2 - x2 - x + 7x - 7 = 0
5x2 . x - 1 - x. x - 1 + 7. x - 1 = 0 x 1 . 5x2 - x + 7 = 0
x-1=0
5x2 - x + 7= 0
+) Giảả̉i phương trìờ̀nh

a-b

+) Giảả̉i phương trìờ̀nh 2
5

download by :

Ta cóá́
phương trìờ̀nh

x
2

Vậệ̣y phương trìờ̀nh
cóá́ a - b + c - d = 4 - 2 + 8 - 10 = 0
nên phương trìờ̀nh có nghiệm x 1 khi đóá́ phương trìờ̀nh 4x3 +2x2 + 8x +10 = 0 4x3

b) 4x3 +2x2 + 8x +10 = 0

+ 4x2 - 2x2 +2 x + 10x +10 = 0
4x2 . x + 1 - 2x. x + 1 + 10. x + 1 = 0 x
+ 1 4x2 - 2 x + 10 = 0
x-1=0
4x2 - 2 x + 10 = 0

+) Giảả̉i phương trìờ̀nh
+) Giảả̉i phương trìờ̀nh 2
Ta cóá́2 2 4.4.10 4 160 164 0
phương

x

241

2

Vậệ̣y phương trìờ̀nh

Như vậy:
- Qua 2 víá́ dụệ̣ trên tôi đãĩ̃ hướá́ng dẫĩ̃n cho họệ̣c sinh cáá́ch giảả̉i phương trìờ̀nh bằng
cáá́ch vậệ̣n dụệ̣ng hệệ̣
thứá́c Vi ét vàờ̀o tíá́nh nhẩm nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh bậệ̣c hai vàờ̀ phương trìờ̀nh
bậệ̣c ba mộệ̣t ẩn.
- Chúá́ ýá́ trong quáá́ trìờ̀nh giảả̉i phương trìờ̀nh chúá́ng ta nên vậệ̣n dụệ̣ng linh hoạệ̣t hệệ̣ thứá́c
vi ét đểả̉ nhẩm nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh bậệ̣c hai bậệ̣c ba mợệ̣t ẩn.
3. Ví dụự̣ 3: Giảả̉i phương trìờ̀nh x4 + x +1 5x2 - 6x - 6 = 0 Giảả̉i


6

download by :

Nhậệ̣n thấá́y x = - 1 không làờ̀ nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh nên ta chia 2 vếá́ củả̉a

phương trìờ̀nh cho
Đặệ̣t y
bằng phương pháá́p nhẩm nghiệệ̣m ta tíá́nh đượệ̣c y1 1 vàờ̀ y2
+) Vớá́i
Giảả̉i phương trìờ̀nh nàờ̀y ta đượệ̣c 2 nghiệệ̣m x1
+) Vớá́i
Giảả̉i phương trìờ̀nh nàờ̀y ta đượệ̣c 2 nghiệệ̣m
Vậệ̣y phương trìờ̀nh đãĩ̃ cho cóá́ 4 nghiệệ̣m x1
x4

3

Qua víá́ dụệ̣ 3 tôi đãĩ̃ hướá́ng dẫĩ̃n cho họệ̣c sinh cáá́ch giảả̉i phương trìờ̀nh
bằng cáá́ch vậệ̣n dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi ét vàờ̀o tíá́nh nhẩm nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh bậệ̣c
hai mộệ̣t ẩn vàờ̀ hướá́ng dẫĩ̃n cáá́ch biếá́n đổi linh hoạệ̣t (đặệ̣t ẩn phụệ̣) đểả̉ đưa phương
trìờ̀nh bậệ̣c 4 vềờ̀ phương trìờ̀nh bậệ̣c hai mộệ̣t ẩn cóá́ thểả̉ nhẩm nghiệệ̣m đượệ̣c qua đóá́ cáá́c
em đượệ̣c rèn luyệệ̣n kĩĩ̃ năng biếá́n đổi vàờ̀ trìờ̀nh bàờ̀y lờờ̀i giảả̉i, vậệ̣n dụệ̣ng kiếá́n thứá́c,
khảả̉ năng phân tíá́ch, dựệ̣ đoáá́n. . .
Phương pháứ́p chung:
- Vận dụng cáá́c hệ quả củủ̉a hệ thức Vi ét để tính nhẩm cáá́c nghiệm củủ̉a
phương trình bậc hai, bậc ba. Hoặc cáá́c phương trình đưa được vềề̀ dạng cơ bản
để tinh nhẩm nghiệm.
*. Dạự̣ng II: Vận dụự̣ng hệự̣ thứứ́c Vi et vàà̀o việự̣c tìm 2 sớứ́ khi biếứ́t tổng vàà̀ tích
củả̉a chúng:
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai
nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 Sx P 0


+. Ví dụự̣ 1:
a) Tìờ̀m 2 sớá́ biếá́t tổng củả̉a chúá́ng bằng 27 vàờ̀ tíá́ch củả̉a chúá́ng bằng 180.
b) Tìờ̀m 2 sốá́ biếá́t tổng củả̉a chúá́ng bằng 1 vàờ̀ tíá́ch củả̉a chúá́ng bằng 5.
Hướng dẫn cách giải: Tìờ̀m 2 sốá́ biếá́t tổng củả̉a chúá́ng bằng 27 vàờ̀ tíá́ch củả̉a
chúá́ng bằng 180.

7

download by :

Tứá́c làờ̀ ta cầờ̀n tìờ̀m 2 sốá́ x1 vàờ̀ x2 biếá́t
đảả̉o thìờ̀ x1 vàờ̀ x2 làờ̀ 2 nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh bậệ̣c hai

như sau:
Giảả̉i:
a) Vìờ̀ 2 sốá́ cầờ̀n tìờ̀m cóá́ tổng bằng 27 vàờ̀ tíá́ch bằng 180
Nên 2 sốá́ làờ̀ nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh: x2 - 27x + 180 = 0
Ta cóá́: = 272 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0
phương trìờ̀nh cóá́ 2 nghiệệ̣m x1
Vậệ̣y không cóá́ hai sốá́ cầờ̀n tìờ̀m làờ̀ 15 vàờ̀ 12.
b) Vìờ̀ 2 sốá́ cầờ̀n tìờ̀m cóá́ tổng bằng 1 vàờ̀ tíá́ch bằng 5, Nên 2 sốá́ làờ̀ nghiệệ̣m củả̉a
phương trìờ̀nh:
x2 - x + 5 = 0

Ta cóá́:

=

Vậệ̣y không cóá́ hai sốá́ nàờ̀o thoảả̉ mãĩ̃n điềờ̀u kiệệ̣n đềờ̀ bàờ̀i.
Khai tháá́c ví dụ 1 tơi nêu ra ví dụ sau:
2. Ví dụự̣ 2:
a) Tìờ̀m cáá́c cạệ̣nh củả̉a hìờ̀nh chữĩ̃ nhậệ̣t biếá́t chu vi làờ̀ 100 m vàờ̀ diệệ̣n tíá́ch
bằng 621 m2
b) Tìờ̀m cáá́c cạệ̣nh củả̉a hìờ̀nh chữĩ̃ nhậệ̣t cóá́ chu vi làờ̀ 20 cm vàờ̀ diệệ̣n tíá́ch
bằng 32cm2
Hướứ́ng dẫẫ̃n cáứ́ch giảả̉i - Bàờ̀i toáá́n cho biếá́t gìờ̀ ? cầờ̀n tìờ̀m gìờ̀?
- Nếá́u gọệ̣i cáá́c cạệ̣ch củả̉a hìờ̀nh chữĩ̃ nhậệ̣t làờ̀ a vàờ̀ b ta cóá́ điềờ̀u gìờ̀?
.
2. a b
a.b 621
a b 50

- Vậệ̣y

a.b 621

x - 50x + 621 = 0 )
2

Vớá́i gợệ̣i ýá́ trên tôi cho cáá́c em thảả̉o luậệ̣n 5 phúá́t vàờ̀ đạệ̣i diệệ̣n 1 em trìờ̀nh bàờ̀y lờờ̀i
giảả̉i.

Giảả̉i
a)

2. a b
a.b 621

Gọệ̣i

8

download by :

Nên a vàờ̀ b làờ̀ 2 nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh bậệ̣c hai:
phương trìờ̀nh cóá́ 2 nghiệệ̣m
Vậệ̣y độệ̣ dàờ̀i cáá́c cạệ̣nh củả̉a hìờ̀nh chữĩ̃ nhậệ̣t làờ̀ 27 (m ) vàờ̀
b) Gọệ̣i
2. a b 20
a.b 32

Nên a vàờ̀ b làờ̀ 2 nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh bậệ̣c hai: x2 - 10x + 32 = 0
Ta cóá́: '
5 2 1.32
7 0
phương trìờ̀nh vô nghiệệ̣m
Vậệ̣y không tồn tạệ̣i hìờ̀nh chữĩ̃ nhậệ̣t nàờ̀o cóá́ chu vi làờ̀ 20 cm vàờ̀ diệệ̣n tíá́ch bằng
32 cm2.
Kếá́t luận : Muốá́n tìờ̀m hai sốá́ khi biếá́t tổng vàờ̀ tíá́ch củả̉a chúá́ng, ta áá́p dụệ̣ng hệệ̣
thứá́c Vi et đểả̉ đưa vềờ̀ dạệ̣ng phương trìờ̀nh bậệ̣c hai mộệ̣t ẩn rồi giảả̉i.
* Dạự̣ng III: Vận dụự̣ng hệự̣ thứứ́c Vi et vàà̀o việự̣c tìm hệự̣ thứứ́c liên hệự̣ giữa cáứ́c
nghiệự̣m không phụự̣ thuộự̣c vàà̀o tham sốứ́.
- Xét cáá́c bàờ̀i toáá́n đốá́i vớá́i cáá́c nghiệệ̣m củả̉a mộệ̣t phuơng trìờ̀nh chứá́a tham sốá́.
Tìờ̀m hệệ̣ thứá́c liên hệệ̣ giữĩ̃a 2 nghiệệ̣m không phụệ̣ thuộệ̣c vàờ̀o tham sốá́.
Muốá́n giảả̉i bàờ̀i toáá́n nàờ̀y trướá́c hếá́t ta phảả̉i đặệ̣t điềờ̀u kiệệ̣n đểả̉ phương trìờ̀nh đãĩ̃
cho cóá́ nghiệệ̣m, sau đóá́ áá́p dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi et đểả̉ tíá́nh tổng vàờ̀ tíá́ch cáá́c nghiệệ̣m củả̉a
phương trìờ̀nh (S vàờ̀ P)
+) Nếá́u tổng vàờ̀ tíá́ch không chứá́a tham sốá́ thìờ̀ ta cóá́ ngay hệệ̣ thứá́c liên hệệ̣ giữĩ̃a 2
nghiệệ̣m không phụệ̣ thuộệ̣c vàờ̀o tham sốá́.
+) Nếá́u tổng vàờ̀ tíá́ch cóá́ chứá́a tham sốá́ thìờ̀ khửả̉ tham sốá́ từờ̀ S vàờ̀ P. Từờ̀ đóá́ tíá́nh
đượệ̣c hệệ̣ thưc phảả̉i tìờ̀m
+. Ví dụự̣ 1: Cho phương trìờ̀nh: x2 - 2 m + 1 x + m - 4 = 0 (1)
a) CMR: Phương trìờ̀nh (1) luôn cóá́ hai nghiệệ̣m phân biệệ̣t.
b) CMR: Giáá́ trịệ̣ biểả̉u thứá́c A = x1 1 - x2 + x2 1 - x1
Giảả̉i
a)Xét phương trìờ̀nh:
Ta cóá́:
'm + 11. m 4 m m 5

Vậệ̣y phương trìờ̀nh cóá́ 2 nghiệệ̣m phân biệệ̣t vớá́i mọệ̣i giáá́ trịệ̣ củả̉a m
b) - Áp dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi

ta cóá́:

x1 x2
x.x
1

Khi đóá́ A x1 1 - x2

2m 2

2

9

download by :

x1 x1 x2 + x2 x1 x2 x1 + x2 2x1 x2 2m 2 2 m 4 10 m R Vậệ̣y giáá́ trịệ̣ biểả̉u thứá́c

A không phụệ̣ thuộệ̣c vàờ̀o m.
+. Ví dụự̣ 2: Cho phương trìờ̀nh: x2 - 2m - 1 x + m2 - m - 1 = 0 (1)
a) CMR: Phương trìờ̀nh (1) luôn cóá́ hai nghiệệ̣m phân biệệ̣t.
b) Gọệ̣i x1; x2 làờ̀ nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh. Tìờ̀m hệệ̣ thứá́c liên hệệ̣ giữĩ̃a cáá́c
nghiệệ̣m không phụệ̣ thuộệ̣c vàờ̀o m.
Giảả̉i
a) Xét phương trìờ̀nh:
Ta cóá́:
Vậệ̣y phương
b)

x2 - 2m - 1 x + m2 - m - 1 = 0

ta cóá́:
Khi đóá́
thuộệ̣c vàờ̀o m.
* Cách 2:
- áá́p dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi et cho phương trìờ̀nh *
Từờ̀ 1 m
x x 1
1

x1 . x2

Khi đóá́

x1 x 2

2

thuộệ̣c vàờ̀o m
Kếứ́t luận: Muốn chứng minh biểu thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ
thuộc vào tham số ta áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng và tích các nghiệm
rồi thay vào biểu thức cần chứng minh và rút gọn và kết luận.
1. Bàà̀i 1: Cho phương trìờ̀nh: x2 - 2 m - 1 x + m2 + 3 m + 2 = 0 (1)
Vớá́i giáá́ trịệ̣ nàờ̀o củả̉a m thìờ̀ phương trìờ̀nh (1) cóá́ hai nghiệệ̣m phân biệệ̣t?
2) Gọệ̣i x1; x2 làờ̀ nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh. Tìờ̀m hệệ̣ thứá́c liên hệệ̣ giữĩ̃a cáá́c
nghiệệ̣m không phụệ̣ thuộệ̣c vàờ̀o m.
2. Bàà̀i 2 : Cho phương trìờ̀nh: x2 - 2 m - 1 x + 3 m - 2 = 0 (1)
1)

4x1 . x2

10

download by :

Vớá́i giáá́ trịệ̣ nàờ̀o củả̉a m thìờ̀ phương trìờ̀nh (1) cóá́ nghiệệ̣m kép.
2) Gọệ̣i x1; x2 làờ̀ nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh. Tìờ̀m hệệ̣ thứá́c liên hệệ̣ giữĩ̃a cáá́c
nghiệệ̣m không phụệ̣ thuộệ̣c vàờ̀o m.
*. Dạự̣ng IV: Vận dụự̣ng hệự̣ thứứ́c Vi et vàà̀o việự̣c tính giáứ́ trị biểu thứứ́c củả̉a
cáứ́c nghiệự̣m - tìm điều kiệự̣n để 2 nghiệự̣m liên hệự̣ vớứ́i nhau theo mợự̣t hệự̣ thứứ́c cho
trướứ́c.
+. Ví dụự̣ 1: Cho phương trìờ̀nh x 2
4x
1
0 1
a) Giảả̉i phương trìờ̀nh 1
1)

b)

B x13

Gọệ̣i x1; x2 làờ̀ hai nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh

1 . Tíá́nh giáá́ trịệ̣ củả̉a biểả̉u thứá́c:

x23

Hướứ́ng dẫẫ̃n cáứ́ch giảả̉i:
- Khi tôi nêu víá́ dụệ̣ cáá́c em đãĩ̃ nhanh chóá́ng vậệ̣n dụệ̣ng công công thứá́c
nghiệệ̣m đểả̉ giảả̉i phương trìờ̀nh tìờ̀m đượệ̣c nghiệệ̣m đốá́i vớá́i phầờ̀n a.
-

Đốá́i vớá́i biểả̉u t

củả̉a hai lậệ̣p phương A3 B 3 A B A 2 AB B2 ; A3 B 3 A B 3 3AB A B
hoặệ̣c thay vàờ̀o trựệ̣c tiếá́p đểả̉ tíá́nh. Khi đóá́ cáá́c em cóá́ thểả̉ trìờ̀nh bàờ̀y lờờ̀i giảả̉i như sau
Giảả̉i:
a) Xét phương trìờ̀nh x 2 4 x 1 0 1
Ta cóá́:
Phương
2 3

x
2

2 3

1

Vậy phương trình có nghiệm
b) áá́p dụệ̣ng đinh líá́ Vi
Khi đóá́ B x13 x23 = x13 3 x12 . x1
= x1

x2

3

3 x1 .x2 x1

x2

= 43 3.1. 464 12 52

Vậệ̣y

B

x13 x23

52

Hoặệ̣c họệ̣c sinh cóá́ thểả̉ thay trựệ̣c tiếá́p x1
ta cóá́
B

x13 x23

2

33

2

33

2

3 ; x2

8 12 3 18 3 3

2

3 vàờ̀o biểả̉u thứá́c B

8 12 3

18 3 3

11

download by :

8

123

18 33

8 123

18 33

52

Vậệ̣y
+. Ví dụự̣ 2:
Tìm
1 + x12 1 + x22

(hoặệ̣c a.c < 0).
Sau đóá́ áá́p dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi et đểả̉ tíá́nh tổng vàờ̀ tíá́ch củả̉a 2 nghiệệ̣m. Kếá́t hợệ̣p vớá́i
điềờ̀u kiệệ̣n (hệệ̣ thứá́c) giảả̉i hệệ̣ phương trìờ̀nh gồm điềờ̀u kiệệ̣n vớá́i tổng vàờ̀ tíá́ch cáá́c nghiệệ̣m
chúá́ng ta tìờ̀m đượệ̣c tham sốá́ thỏả̉a mãĩ̃n điềờ̀u kiệệ̣n bàờ̀i toáá́n ta cóá́ lờờ̀i giảả̉i như sau:
Giảả̉i:
a) Xét phương trìờ̀nh x2 - 2x - 2m = 0
Ta cóá́: '
1 2 1.2m 1 2m
Đểả̉ phương trìờ̀nh đãĩ̃ cho cóá́ 2 nghiệệ̣m phân biệệ̣t

'>0

1 + 2m > 0

1
m>- 2

- Khi đóá́ phương trìờ̀nh cóá́ 2 nghiệệ̣m x1, x2 thoảả̉ mãĩ̃n: x1 + x2 = 2 vàờ̀ x1 x2 = -2m
- Đểả̉ phươntg trìờ̀nh cóá́ 2 nghiệệ̣m thoảả̉ mãĩ̃n điềờ̀u kiệệ̣n 1 + x12 1 + x22 = 5
x12

x 22 x12 x22 1 5

x1

x2

2

Thay x1 + x2 = 2 vàờ̀ x1 x2 = -2m vàờ̀o *

2x1 x2 x12 x22 4 *

cóá́ 4 4m 4m2

4

4m 4m2

0

m0m
1

Kếá́t hợệ̣p vớá́i m

1

2 ta cóá́ m = 0 thỏả̉a mãĩ̃n.

Vậệ̣y m = 0 thìờ̀ phương trìờ̀nh đãĩ̃
1 + x12 1 + x22 = 5 .

+. Ví dụự̣ 3:
Tìờ̀m cáá́c giáá́ trịệ̣ củả̉a m đểả̉ phương trìờ̀nh cóá́ nghiệệ̣m vàờ̀ tíá́nh cáá́c nghiệệ̣m củả̉a phương
trìờ̀nh theo m .
2. Tìờ̀m giáá́ trịệ̣ củả̉a m đểả̉ phương trìờ̀nh cóá́ hai nghiệệ̣m sao cho mộệ̣t nghiệệ̣m gấá́p đôi
nghiệệ̣m kia.
Giảả̉i:
1.- Đểả̉ phương trìờ̀nh mx 2 2mx 1 0 * cóá́ nghiệệ̣m
1.

12

download by :

- Khi

x
2

m mm 1
m

2) áá́p
x1

x2

2
1

x1 . x2

m

-

Đểả̉ phương trìờ̀nh cóá́ hai nghiệệ̣m sao cho mộệ̣t nghiệệ̣m gấá́p đôi nghiệệ̣m kia,

giảả̉ sửả̉ x1 2x2

khi đóá́ ta cóá́ hệệ̣ phương trìờ̀nh :

Vậệ̣y vớá́i
nghiệệ̣m kia.
Hoặc các em có thể thay trực tiếp 2 nghiệm vừa tìm được và cho
đó ta cùng tìm được giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.
Giảả̉i phương trìờ̀nh khi m = 0
2) Gọệ̣i x1 vàờ̀ x2 làờ̀ cáá́c nghiệệ̣m củả̉a phương trìờ̀nh. Tìờ̀m m đểả̉ phương trìờ̀nh cóá́
nghiệệ̣m thỏả̉a mãĩ̃n x2 5 x1 4
Hướứ́ng dẫẫ̃n cáứ́ch giảả̉i:
Đối với phần 2 ta cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm từ đó áp
dụng hệ thức Vi - et tính tổng và tích các nghiệm x1, x2 của phương trình, và kết
1)

hợp với điểu kiện bài toán x2

5 x1 4 rồi giải hệ phương trình x1 x
x1 . x2 2 m 15 từ đó

tìm được giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.
Giảả̉i:

x
2

13

download by :

1) Thay m = 0 vàờ̀o phương trìờ̀nh ta đượệ̣c x 2 2 x 15 0
Giảả̉i

Vậệ̣y v
2) Xét phương trìờ̀nh
Ta cóá́:
vìờ̀ m2 0
+) áá́p dụệ̣ng hệệ̣ thứá́c Vi et cho phương trìờ̀nh *

Đểả̉ phương trìờ̀nh *
vàờ̀ 3

Từờ̀ 1

Thay
1 m

x1

5m 3

.

2

2

1 m . 5 m 3 4 2 m 15
5m 5m 2 3 3m 8m 60 5m 2 6
m 63 0

Giảả̉i phương trìờ̀nh nàờ̀y ta đượệ̣c
Vậệ̣y vớá́i m 3
+. Ví dụự̣ 5
x+2 x+4 x+6 x+8

Giảả̉i:
- Xét phương trìờ̀nh x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 = 1 1
x + 2 x + 8x + 4 x + 6 = 1
2

x

y y

8 -1=0

y 2 8y - 1 = 0

2

10x 16 x

14

download by :

(SKKN CHẤT 2020) hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức vi et vào giải một số dạng toán

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về