Tài liệu Tiểu luận:Đánh giá mục tiêu giáo dục toán theo các mức độ nhận thức của BLOOM thông qua nội dung ppt

BÀI TẬP NHĨM
Đánh giá mục tiêu giáo dục tốn theo các mức độ
nhận thức của BLOOM thong qua nội dung


BÀI TẬP NHĨM
Học phần: Đánh giá trong dạy học tốn

Nhóm 5: Thành viên nhóm
Phạm Trọng Mạnh
Võ Hữu Quốc
Nguyễn Thị Hợp
Nguyễn Thị Thanh Ngân
Đề tài:
ĐÁNH GIÁ CÁC MỤC TIÊU GIÁO DỤC TỐN THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN
THỨC CỦA BLOOM THƠNG QUA NỘI DUNG
CHƯƠNG TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xác định số
phần tử của một tập hợp hoặc phải tính tốn xem khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu
nhiên là bao nhiêu. Chương trình tốn 11 đưa các kiến thức về tổ hợp và xác suất sẽ
bước đầu giúp chúng ta giải được một số bài toán đơn giản thuộc loại đó.
Sau khi học xong chương “ tổ hợp – xác suất ” các em học sinh phải đạt được
các mục tiêu giáo dục toán theo các mức độ của nhận thức của Bloom như sau.
A . Nhận biết .
- Kiến thức và thông tin.

1


- Kỹ thuật và kỹ năng.

B . Thông hiểu.
- Chuyển đổi.
- Giải thích.
C . Vận dụng.
- Áp dụng để giả quyết tình huống mới.
D. Những khả năng bậc cao.
- Phân tích.
- Tổng hợp.
- Đánh giá.
Nội dung cụ thể của các mục tiêu dạy học chương “ tổ hợp – xác suất ” theo các
mức độ của nhận thức của Bloom được trình bày như sau.

1. Nhận biết.
1.1 Nhận biết các kiến thức và thông tin.
Trong phạm trù này học sinh được đòi hỏi phải gọi tên, nhận biết các quy tắc,
khái niệm, các công thức. Nắm được ý nghĩa của các sự kiện chứ chưa cần phải hiểu.
Các phạm trù con của kiến thức và thơng tin tốn học bao gồm:
- Kiến thức về ngôn ngữ: Học sinh cần phải nhận diện, làm quen với các ký hiệu
thuât ngữ toán học thuần tuý.
- Kiến thức về những sự kiện toán học cụ thể: mục tiêu này học sinh cần phải gọi
tên, nhận biết và nắm được ý nghĩa của các cơng thức, những quan hệ tốn học.
- Kiến thức về cách thức và phương tiện sử dụng trong những trường hợp cụ thể:
mục tiêu này đòi hỏi học sinh phải nắm được các quy ước trong toán, các kiến thức về
phân loại…
2


- Kiến thức về các quy tắc và các tổng qt hố: Mục tiêu này địi hỏi học sinh
phải gọi ra được các quy trừu tượng của toán học để giúp mơ tả, giải thích, dự đốn các
hiện tượng hay là nhớ lại các quy tắc, các tổng quát hoá.

Sau khi học xong chương “ tổ hợp – xác suất ” học sinh cần phải :
- Nắm được hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân .
- Nắm được khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp .
- Nhớ các cơng thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp .
- Nhớ công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn.
- Nắm được các khái niệm : phép thử, không gian mẫu, kết quả thuận lợi cho một
biến cố.
- Nắm được cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển.
- Nắm được quy tắc cộng và nhân xác suất.
- Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng
của biến cố ngẫu nhiên rời rạc là: kỳ vọng ,phương sai, độ lệch chuẩn.
- Nhớ cơng thức tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn.
1.2. Nhận biết các kỹ thuât và kỹ năng.
Đây là khả năng học sinh sử dụng trực tiếp việc tính tốn, khả năng thao tác trên
các biểu diễn ký hiệu, các lời giải. Mục tiêu này bao gồm việc sử dụng các thuật tốn
như các kỹ năng thoa tác, các phép tính, những đơn giản hố và các lời giải có tính
tương tự mà học sinh đã được gặp.
Sau khi học xong chương này học sinh cần phải:
- Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các cơng thức tính số hốn vị, số chỉnh
hợp, số tổ hợp để giải các bài tốn áp dụng trực tiếp các quy tắc, các cơng thức đó hoặc
học sinh có thể giải các bài tốn tương tự ví dụ giáo viên đã ra trên lớp, mặc dù có khác
nhau về chi tiết.
3


- Biết áp dụng trực tiếp công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn
- Biết vận dụng các quy tắc cộng và nhân xác suất để giải các bài toán xác suất
đơn giản.
- Biết tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của các biến cố ngẫu nhiên rời
rạc.

Ví dụ 1:
Từ nhà An đến trường có thể đi bằng các phương tiện: đi bộ, xe đạp, xe máy.
Nếu đi bộ thì có 5 con đường, đi xe đạp có 3 con đường, đi xe máy có 2 con đường. Hỏi
A có bao nhiêu sự lựa chọn về con đường để đi từ nhà tới trường?
- Mục đích ví dụ này là để kiểm tra xem học sinh đã nắm được quy tắc cộng hay chưa,
đánh giá mức độ hiểu của học sinh về các quy tắc đếm
- Lời giải:
A đi từ nhà tới trường bằng 3 phương tiện:
Đi bộ: có 5 con đường.
Đi xe đạp: có 3 con đường.
Đi xe máy: có 2 con đường.
Theo quy tắc cộng ta có : 5 + 3 + 2 = 10 sự lựa chọn về con đường để A đi từ nhà tới
trường.
Ví dụ 2:
Ban cán sự lớp có 3 nam và 2 nữ. Giáo viên cần chọn 2 học sinh: 1 nam và 1 nữ
đi dự lễ kỷ niệm ngày nhà giáo Việt Nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm đó có bao nhiêu
cách chọn.
- Mục đích ví dụ này là kiểm tra xem học sinh đã nắm được quy tắc nhân hay chưa.

4


- Lời giải: Chọn 1 nam trong 3 nam thì có 3 cách.
Chọn 1 nữ trong 2 nữ thì có 2 cách.
Ứng với mỗi cách chọn 1 nam sẽ có 2 cách chọn học sinh nữ.
Suy ra có 3*2 = 6 cách chọn
Ví dụ 3:
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (0 ≤ k ≤ n) là:
A. n!

B.

n!
(n  k )!

C.

n!
k!(n  k )!

D.

k!
n!(n  k )!

- Mục đích ví dụ là để kiểm tra học sinh có nhớ cơng thức tính số tổ hợp hay không.
- Đáp án: C đúng.
Đưa ra đáp án A là: n! –là số hoán vị.
Đưa ra đáp án B là: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử, để HS nào nếu không học chắc
công thức sẽ nhầm lẫn giữa 3 đáp án A, B, C. Còn đáp án D đưa ra để HS nhầm lẫn
giữa n và k.
Ví dụ 4:
Em hãy khai triển đa thức (1 - x)3 nhị thức Niu - Tơn.
-Mục đích ví dụ này là để kiểm tra học sinh đã nắm được công thức nhị thức Niu-Tơn
chưa và kỹ năng khai triển nhị thức Niu - Tơn .
- Lời giải:

0
1
2 1

3
(1  x)3  C3 .13  C3 .12.( x)  C3 .1.( x)2  C3 .( x)3

5


 (1  x)3  1  3x  3x 2  x3

Ví dụ 5:
Tính kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc cho bởi bảng sau:
X

0

1

2

3

4

P

0.1

0.2

0.15

0.3

0.25

- Mục đích ví dụ này là để kiểm tra xem học sinh đã nắm được cơng thức tính kỳ vọng,
phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc.
- Lời giải:
4

Kỳ vọng là: E ( X )   X i .Pi  0.0,1  1.0,2  2.0,15  3.0,3  4.0,25  2,4
i 1

4

Phương sai của X là: V ( X )   ( X i  E ( X ))2 .Pi  1,74
i 1

2. Thông hiểu
Đây là khả năng nắm được ý nghĩa của tài liệu như chuyển đổi dữ liệu từ dạng
này sang dạng khác, từ một mức độ trừu tượng này sang mức độ trừu tượng khác, khả
năng giải thích hay suy ra ý nghĩa của các dữ liệu. Phạm trù này bao gồm các câu hỏi
để học sinh có thể sử dụng các kiến thức đã học được ở trên lớp mà không cần liên hệ
tới các kiến thức khác, các câu hỏi này nhằm xác định xem học sinh đã nắm được ý
nghĩa của các công thức mà chưa địi hỏi phải áp dụng, phân tích
Các hành vi thể hiện việc hiểu có thể chia thành ba loại theo thứ tự sau
- Chuyển đổi
- Giải thích
6

2.1 Chuyển đổi
Đây là q trình trí tuệ về sự chuyển đổi ý tưởng trong sự giao tiếp thành các
dạng song song. Học sinh được yêu cầu thay đổi từ dạng ngôn ngữ này sang dạng ngôn
ngữ khác.
Sau đây là các ví dụ có mục tiêu thuộc phạm trù chuyển đổi. Cuối phần học này học
sinh có khả năng:
- Chuyển đổi các khái niệm: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, các cơng thức tính tốn
trong đại số tổ hợp.
- Học sinh có thể đưa ra các ví dụ minh hoạ cho các khái niệm, các quy tắc tính
tốn.
Ví dụ 6:
Chứng minh rằng An+2 + An+1 = k2An
n+k
n+k
n+k
- Mục đích ví dụ này là kiễm tra khả năng nắm các công thức tính Ak , khẳ năng
n
chuyển đối các ký hiệu mang tính hình thức sang các cơng thức tốn.
- Lời giải:
An+2 + An+1 =
n+k
n+k

Ta có

=

(n + k)! (n + k)!
+
(k - 2)! (k - 1)!

1  (n + k)! k
(n + k)! 
1 =
(k - 2)!  k - 1 (k - 2)! k - 1

=

(n + k)!
k!

k2 = k2An
n+k

Ví dụ 7:
Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2
viên bi.
a) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu.
7


b) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu.
- Mục đích ví dụ này là để kiểm tra khả năng chuyển đổi ngơn ngữ bài tốn để có thể
nhận ra các biến cố xung khắc, chuyển đổi các dạng phát biểu câu hỏi a, b để nhận ra
đó là các biến cố đối của nhau.
- Lời giải.
a) Gọi A là biến cố “chọn được 2 viên bi màu xanh”
B là biến cố “chọn được 2 viên bi màu đỏ”
C là biến cố “chọn được 2 viên bi màu vàng”
H là biến cố “chọn được 2 viên bi cùng màu”
Lúc đó ta có H= A  B  C và các biến cố A, B, C là xung khắc.

Như vậy ta có P(H) =P(A  B  C ) = P(A) + P(B) + P(C)
Mặt khác ta lại có: P(A) =
Vậy P(H) =

C2 6
C2 3
C2 1
4
=
, P(B) = 3 =
, P(C) = 2 =
2
2
C2 36
C9 36
C9 36
9

6
3
1
5
+
+
=
36 36 36 18

c) Biến cố chọn được 2 viên bi khac màu chính là biến cố H
Suy ra ta có P( H ) = 1 -

5
18

Ví dụ 8:
Giải bất phương trình

4
An+4
15
<
(n + 2)! (n - 1)!

- Mục đích của ví dụ này nhằm đánh giá khả năng biến đổi công thức A k sang dang
n
tường minh, đánh giá khả năng biến đổi từ phương trình lạ về dạng phương trình quen
thuộc.
- Lời giải.
8


Điều kiện n  N.
Ta có A4 = (n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)
n+4

(n + 2)! = (n - 1)!n(n + 1)(n + 2 )
4
(n + 4)(n + 3)(n + 2 )(n + 1) (n + 4)(n + 3)
An+4
Suy ra
=

=
(n + 2 )!
(n - 1)!n(n + 1)(n + 2)
(n - 1)!n

Khi đó bất phương trình được biến đổi về dạng

(n + 4)(n + 3)
15
<
 (n + 3)(n + 4) < 15n
(n - 1)!n
(n - 1)!
 n2 - 8n + 12 < 0  2 < n < 6
Vậy bất phương trình có nghiệm n = 3, n = 4, n = 5
2.2 Giải thích
Giải thích là việc xác định làm rõ và hiểu các ý tưởng chính trong một giao tiếp
cũng như hiểu được các mối quan hệ giữa chúng. Trong phạm trù này học sinh được
yêu cầu đưa ra các phán xét khi tìm ra được những sự kiện, mối quan hệ quan trong từ
các mối quan hệ không quan trọng rồi tổ chức lại các kiến thức đó.
Khi học xong chương này học sinh cần có khả năng.
- Hiểu được các chứng minh liên quan tới các công thức P n , Ak , Ck để có thể quyết
n
n
định về giá trị của một lập luận suy diễn.
- Lập luận suy diễn từ các dữ kiện đã cho.
- Chỉ ra được việc ứng dụng các công thức Pn , Ak , Ck , các quy tắc đếm cơ bản, các
n
n
quy tắc tính xác suất.

Sau đây là một vài ví dụ về các mục tiêu nhận thức trong phạm trù giải thích
Ví dụ 9:

9


Số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1 + x)n có hai hệ số liên
tiếp có tỉ số

7
là
5

A. 20

B. 21

C. 22

D. 23

- Mục đích ví dụ này nhằm kiểm tra khả năng lập luận suy diễn từ giả thiết của bài
toán, quyết định giá trị của một lập luận suy diễn.
- Lời giải. Đáp số: B
n

(1 + x)n =  C in xni

Ta có

i 0

Do đó hai hệ số liên tiếp là

C
C

i

n
i 1
n

C

i
n

và

C

i 1
n

. Theo giả thiết ta có

n!
i!(n - i)!
7

7
i+1 7
i+1
= 
= 
=  n = 3i + 2 +
5
n!
5
n-i 5
7
(i + 1)!(n - i - 1)!

Số nguyên dương bé nhất n tương ứng với i nhỏ nhất sao cho i + 1 chia hết cho 7
 i = 6  n = 21
Ví dụ 9:
Xét các biển số xe là dãy số gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các
chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B,..... Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1,…..,9.
a) Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số
đơi một khác nhau.
b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau đơng thời có đúng hai chữ số lẽ và
hai chữ số lẽ đó giống nhau.
+ Mục đích của ví dụ này nhằm kiểm tra khả năng lập luận, suy diễn logic từ giả thiết
của bài toán. Đánh giá mức được nắm được ý nghĩa của các công thức chỉnh hợp, tổ
hợp cũng như khả năng vận dụng cơng thức vào giải tốn.
10


+ Giải:
a) - Chọn chữ cái thứ nhất có 26 cách.

Chọn chữ cái thứ hai có 26 cách (vì hai chữ cái có thể giống nhau)
Do đó cách chọn hai chữ cái có ít nhất một chữ cái khác O là 26.26 = 675 cách
- Số cách chọn 4 chữ số đứng sau la một chỉnh hợp chập 4 của 10 nên ta có
4

A

10

 5040

cách.

- Vậy số biển số xe cần tìm là 675*5040 = 3420000 (biển số)
b) Chọn chữ cái thứ nhất có 26 cách
Chọn chữ cái thứ hai có 25 cách (vì khác chữ đầu)
Chữ số chẵn thứ nhất chọn có 5 cách
Chữ số chẵn thứ hai chọn có 5 cách
2

Xếp 2 chữ số chẵn vào 4 vị trí nên có

A

cách.

4

Hai chữ số lẽ giống nhau cịn lại là (1,1), (3,3), (5,5), (7,7), (9,9) được xếp vào hai
chỗ cịn lại nên có 5 cách.

2

Vậy số biển số xe cần tìm là

3

A * 650* 5 = 975000
4

3. Vận dụng.
Phạm trù này chỉ việc sử dụng các ý tưởng, quy tắc hay phương pháp chung vào
những tình huống mới. Các câu hỏi yêu cầu học sinh phải áp dụng các khái niệm quen
thuộc vào các tình huống khơng quen thuộc.
Học sinh ở chương này chỉ áp dụng các bài toán mang tính thực tế đơn giản là áp
dụng cơng thức tổ hợp và chỉnh hợp.
Các ví dụ sau đây sẽ là một minh họa cho việc áp dụng “Tổ hợp-Xác suất” vào tình
huống mới.
11


Ví dụ 10:
Trong hệ trục tọa độ Oxy,chọn 8 điểm trên trục Ox và 5 điểm trên trục Oy. Nối
một điểm trên trục Ox tới một điểm trên trục Oy ta được 40 đoạn.Hỏi trong 40 đoạn
này có tối đa bao nhiêu giao điểm ở trong góc phần tư thứ nhất của góc Oxy.
Phân tích bài tốn:
- Các giao điểm của các đoạn thẳng có thể giao ở bất kỳ góc phần tư nào trong hệ trục
tọa độ.Nên giao điểm của các đoạn thẳng sẽ đạt tối đa khi giao điểm của tất cả các đoạn
thẳng đều ở góc phần tư thứ nhất.
- Một giao điểm trong góc phần tư thứ nhất được xác định duy nhất bằng cách chọn 2
điểm trên Ox và 2 điểm trên Oy.

- Số giao điểm tối đa đạt được khi khơng có 3 đoạn nào trong 40 đoạn đồng quy.
Vậy số giao điểm tối đa đạt được là:
C82 .C52  28.10  280

Tính vận dụng của bài tốn được thể hiển trong ví dụ này là:
- Khi học sinh học “Tổ hợp-Xác suất” các bài tốn đưa ra ở SGK chỉ mang tính áp
dụng cơng thức đơn giản mà chưa có các bước phân tích những bài tốn mang tính
mới mẽ.
- Ví dụ này ngồi cách biết tính tổ hợp cịn cần vận dụng kiến thức bên hình học.
Số giao điểm xác định là giao của hai đoạn thẳng.Trong 40 đoạn thẳng thì có thể có hơn
2 đoạn thẳng đồng quy tại một điểm. Nếu như vậy thì số giao điểm tối đa đạt được sẽ
chỉ có thể là giao của hai đoạn thẳng mà thơi.
Ví dụ 11:
Đây là một ví dụ thực tế đưa ra trong các trò chơi mà ta thường gặp ở những tình
huống cụ thể. Ví dụ này thể hiện được ứng dụng của xác suất khi gặp bài toán mang
tính khơng có lời giải sẵn cho học sinh
12


Trong cuốn Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, M. Gardner có
giới thiệu paradox K.Blait như sau:
Có ba bàn quay như hình vẽ dưới đây. Bàn quay thứ nhất (bàn A) số 3 chiếm
100%, bàn hai (bàn B) số 2 chiếm 56%, số 4 và 6 mỗi số chiếm 22%, thứ ba (bàn C)
số 1 chiếm 51% và số 5 chiếm 49%. Luật chơi: mỗi người quay ngẫu nhiên bàn của
mình.Số nhận được của ai lớn hơn thì người ấy thắng. Hãy phân tích để tìm ra cách
chọn bàn chơi mà phần thắng lớn nhất với hai trường hợp:
a) Hai người chơi?
b) Ba người chơi?
- Lời giải.
a) Trường hợp hai người chơi.

Ta thấy người chọn bàn A thắng người chọn bàn B 56/44 và thắng người chọn C
là 51/49. Người chọn bàn B sẽ thắng người chọn bàn C với xác suất (1*0.22) +
(0.22*0.51) + (0.56*0.51) = 0.6178.
Vậy khi chơi 2 người thì A là tốt nhất và C là xấu nhất.
b) Trường hợp 3 người chơi.
Nếu chơi 3 người với luật chơi - người thắng phải có số lớn hơn số của hai người
kia - thì bạn sẽ chọn bàn quay nào?

13


Có lẽ khi phân tích như ở phần a) thì khơng ít người trong chúng ta sẽ chọn bàn
quay A. Và bàn quay C để lại chơ vơ cho người thách đố. Nhưng thực tế khơng phải
như vậy!
Ta tính xác suất thắng của người chọn A:
- A chiến thắng khi kim quay của B vào số 2 và kim quay của C vào số 1. Vậy xác suất
thắng của A là: 0.56*0.51 = 0.2856
- B chiến thắng khi kim quay của B vào 6 hoặc 4 đồng thời kim quay của C vào 1 hoặc
kim quay của B chỉ vào 6 cịn kim quay của C vào 5. Ta có thể tính xác suất thắng của
B là: (0.44*0.51) + (0.22*0.49) = 0.3322.
- C chiến thắng khi kim quay của C vào 5 đồng thời kim quay của B vào 4 hoặc 2 và
xác suất là: 0.49*0.78 = 0.3822
Đây là trò chơi mang tính mẹo trong xác suất. Hầu hết các trị chơi trên thực tế đều sử
dụng các bài tốn xác suất. Nhìn bề ngồi các trị chơi này dễ đánh lừa được người chơi
. Dựa vào cách tính xác suất ta có thể phân tích được cách chơi có lợi cho ta và khả
năng thắng của mỗi cuộc chơi.
Ví dụ này vừa mang tính thực tế của xác suất vừa đưa ra bài tốn có vấn để học sinh có
cách nhìn rộng hơn về xác suất trên thực tế.

4. Những khả năng bậc cao.

Những khả năng bậc cao bao gồm các phạm trù con phân tích, tổng hợp, đánh
giá.
Việc phân tích bài tốn thường rất quan trọng, có thể làm như sau:
- chia nhỏ thông tin thành những thành phần phù hợp và tổ chức chúng lại thành các
mối quan hệ trong một bài toán.
- phân biệt các sự kiện từ giải thiết và khẳng định giải thiết nào có thể phải tạo nên để
chứng minh những quy tắc nào đó.

14


- kiểm tra tính nhất quán của các giả thiết đối với những giả định và thông tin đã cho.
Sau khi phân tích xong một bài tốn học sinh có thể được yêu cầu sắp xếp các yếu tố
hoặc các phần cịn lại với nhau để có một cơng thức hay quy luật mà trước đó các em
chưa thấy rõ ràng.
Khả năng xác định những tiêu chuẩn và giá trị cho một ý tưởng hay một sản phẩm và
rồi đưa ra một phán xét xác đáng được gọi là đánh giá.
Sâu đây là những ví dụ về mục tiêu thuộc phạm trù các khả năng bậc cao.

Ví dụ 12:
Trong khải triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ



34 5



124

- Lời giải:
Trong khải triển nhị thức
TK 1

=C

k

124C



34 5

 3  5  = C
124 k

4

k

k
124



124

số hạng thứ k+1 là:
124 k

2

3

k
54

5

(0  k  124)

TK 1 là một số hữu tỉ khi và chỉ khi các số 124-k

2

và

k
là những số tự nhiên.
4


(124-k) chia hết cho 2
k chia hết cho 4



 k chia hết cho 4
k = 4t
Vì 0  k  124  0  4t  124  0  t  31, t  N

Vậy có 32 giá trị của t. tức là có 32 giá trị k theo yêu cầu đề bài.
Suy ra trong khai triển trên có 32 số hạng là số hữu tỉ.

15


Ví dụ 13:
Cho n > 2 khơng đổi và p lấy giá trị từ 1 đến n. Tìm min, max của C C

p
n

Lời giải:
Vì C

p
n

=C

Ta có C

C

Vậy

C

p
n

n p
n

>C

n-1
nên ta chỉ cần chọn p các giá trị từ 1 đến  2 
 

p
n 1



p

n
p 1

n

=

n-p+1
n+1
> 1  p<
p
2

p
n

nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n -1 ứng với

p
n

C
C

lớn nhất khi p =

C

p
n

=

C

n p
n

=n

n
n-1
n

nếu n lẻ và p = nếu n chẵn nghĩa là nếu p = 2
 
2
2

Ví dụ 14:
Trong một cuộc thi hoa hậu có 17 nữ sinh dự thi. Để tìm số cách chon một hoa hậu, một
á hậu một, một á hậu hai, một học sinh giải như sau:
- Có 17 cách chọn hoa hậu
- Chọn xong hoa hậu còn 16 nữ sinh.
- Chọn 2 á hậu trong 16 nữ sinh có C26 cách.
1
- Theo nguyên lý căn bản phép đếm có 17.C26 cách.
1

Lời giải trên nếu sai thì sai từ gian đoạn nào?

A.1

B.2

C.3

Giải:

16

D.4

câu trả lời là C. Vì ở bước 3 học sinh nhầm lẫn giữa tổ hợp và chỉnh hợp vì đây là chọn
có thứ tự.

17


Tài Liệu Tham Khảo
[1]. Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010), Tài Liệu Đánh Giá Trong Giáo Dục Toán,
Trường ĐHSP – Đại Học Huế.
[2]. Đoàn Quỳnh (tcb) – Nguyễn Huy Đoan (cb) – Nguyễn xuân Liêm – Nguyễn Khắc
Minh – Đặng Hùng Thắng (2007), Đại Số Và Giải Tích Nâng Cao 11, Nxb Giáo dục.
[3]. Trần Thành Minh (cb) – Nguyễn Thuận Nhờ - NGuyễn Anh Trường, Giải Tốn
Tích Phân Giải Tích Tổ Hơp 12 (2006), Nxb Giáo dục.
[4]. Hà Văn Chương (2002), 342 Bài Tốn Giải Tích Tổ Hợp, Nxb Giáo dục.

18