Tài liệu Tiểu luận:Bất đẳng thức và phương trình toán lớp 10 doc

BÀI TẬP NHĨM

Bất đẳng thức và phương trình tốn lớp 10


LỜI NĨI ĐẦU
Bất đẳng thức, bất phương trình là một chủ đề trọng tâm trong
chương trình tốn phổ thơng. Trong tài liệu này nhóm trình bày phân loại
các mục tiêu trong giáo dục toán ở chương “Bất đẳng thức và bất phương
trình” (sách Đại số 10-nâng cao) với các nội dung:
-Nhận biết
-Thông hiểu
-Vận dụng
-Những khả năng bậc cao
Thông qua các ví dụ cụ thể nhóm phân tích và làm rõ những nội dung phân
loại các mục tiêu giáo dục.
Do thời gian ngắn nên các kết quả của nhóm cịn hạn chế, nội dung
cịn nhiều thiếu sót. Nhóm mong nhận được sự góp ý của Thầy hướng dẫn
và các bạn trong lớp.

Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2010.
Nhóm 10-Tốn 4A

1


A. NHẬN BIẾT
Là một mục tiêu trong giáo dục toán học, giúp học sinh định hình
được dạng bài tập, bài toán cần làm, cần thực hiện.
Để làm rõ hơn về vấn đề này, chúng ta đi cụ thể vào vấn đề giải bất
đắng thức và bất phương trình.

Cụ thể, trong chương bất đẳng thức và bất phương trình học sinh cần
nhận biết được hai bất đẳng thức quen thuộc là bất đẳng thức Cauchy và
bất đẳng thức bunhiacopxki, các bất đẳng thức, bất phương trình thường
gặp như bất phương trình chưa trị tuyệt đối, bất phương trình chứa căn. Và
cách vận dụng của chúng.
Ngoài ra chương bất đẳng thức và bất phương trình cịn u cầu học
sinh biết được khái niệm hệ bất phương trình, bất đẳng thức có điều kiện.
I. Bất đắng thức
VD1. Chứng minh rằng
Học sinh nhận biết đây là bất đẳng thức có dạng trị tuyệt đổi.
VD2: cho

thỏa mãn
Chứng minh rằng

Học sinh nhận biết bất đẳng thức đã cho có dạng bất đẳng thức
Bunhiacopsky nếu nhận ra

VD3: chứng minh rằng: x2 + y2 ≥ 2xy, với mọi số thực x, y
Học sinh nhận biết đây là bất đẳng thức Cauchy.
II. Bất phương trình
VD1. Giải bất phương trình

2


Học sinh nhận biết đây là bất phương trình tích của các nhị thức bậc
nhất, từ đó nhận định giải bất phương trình trên bằng cách xét dấu nhị thức
bậc nhất.
VD2. Giải bất phương trình

Học sinh nhận biết đây là bất phương trình bậc hai một ấn, từ đó
nhận định giải bất phương trình bằng cách mở dấu trị tuyệt đối để đưa về
các bất phương trình đơn giản.
VD3. Giải bất phương trình.

Học sinh nhận biết đây là bất phương trình chứa căn thức, từ đó nhận
định giải bất phương trình bằng cách bình phương hai vế để làm mất dấu
căn thức.
VD4. Giải bất phương trình:
Học sinh nhận biết đây là bất phương trình mũ, nếu logarit cơ số 2
hai vế của bất phương trình thì có thể đưa về bất phương trình đơn giản.
B. THƠNG HIỂU
u cầu học sinh nắm được ý nghĩa của tài liệu, khả năng giải thích
hay suy ra ý nghĩa của các dữ liệu, mở rộng lập luận và giải các bài tốn mà
ở đó sự lựa chọn các phép toán là cần thiết. Mục tiêu giáo dục tốn trong
phạm trù thơng hiểu bao gồm 3 loại : chuyển đổi, giải thích và ngoại suy.
Trong chương bất đẳng thức và bất phương trình, quá trình chuyển
đổi đòi hỏi học sinh biết chuyển đổi ý tưởng thành các dạng song song.
Giải thích chính là sự phân tích một bài tập thành những giả thiết cụ thể,
lập luận với những giả thiết đó rồi đi đến cách giải bài toán
Ngoại suy gắn liền với khả năng của học sinh nhằm mở rộng bài
toán, tức là học sinh nắm được những ứng dụng cụ thể, hệ quả hay tác dụng
của bài toán
3


VD1. Tìm m để hệ sau có nghiệm
(1)

Giải

Khi đó, trên cùng một hệ trục tọa độ ta có đồ thị của hai hàm số

Đồ thị
Bài tốn đưa đến tìm
nằm trên đồ thị hàm số

và
sao cho có một phần đồ thị của hàm số
và nằm dưới đồ thị hàm số

vào đồ thị của hai hàm số đó học sinh đi đến kết luận

. Căn cứ
thỏa

mãn bài tốn.
Đây là q trình trí tuệ về sự chuyển đổi ý tướng từ dạng ngôn ngữ
bất phương trình thành dạng ngơn ngữ đồ thị. Nếu khơng chuyển đổi được
như vậy học sinh sẽ khơng có cách giải bài toán này
4


VD2. Cho 2 số

. Chứng minh rằng
(2)

Chứng minh

≥

(đúng theo bất đẳng thưc Cauchy).

Trong ví dụ này, học sinh phải phân tích được giá thiết bài tốn thật cụ thể.
 a,b > 0 nhằm áp dụng bất đẳng thức Cauchy.


+

) theo hằng đẳng thức.

=

 Như vậy hai vế của bất đẳng thức sẽ nhóm được
vì

chung, rồi giản ước

.

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được bài toán
Kiến thức cơ bản mà học sinh cần phải hiểu trong ví dụ này vẫn là bất đẳng
thức Cauchy.
≥ 2ab với a,b>0.
Từ đó, học sinh có thể ứng dụng nó để mở rộng thành những bài toán khác
như :
.
VD3: cho

,

. Chứng minh rằng:

Chứng minh:

5


Thơng hiểu trong bài tốn được thẻ hiện ở chỗ học sinh phải phân
tích giả thiết bài tốn cho là

để làm gì ?

Học sinh biết nhân vào vế trái với

sau đó áp dụng bất

đẳng thức Bunhiacopsky. Vấn đề là phải hiểu một cách chắc chắn về bất
đẳng thức này. Trong bài tốn, thơng hiểu cịn được thể hiện ở chỗ học
sinh có thể chuyển đối ý tưởng giải bài tốn

bằng

bất đẳng thức

Bunhiacopsky thành ý tưởng giải bằng bất đẳng thức Cauchy

+

+ =(

+

+
3

)(a + b + c)
= 9.

VD4. Giải bất phương trình sau.
(3)
Giải
điều kiện:

≠0
hoặc

Bài tốn u cầu học sinh nắm chắc về cách xét dấu của tam thức
bậc hai. Đồng thời phải hiểu được kiến thức cũ

Khi đó, phân tích bài toán ra hai trường hợp, giải từng trường hợp rồi
lấy nghiệm.
Không chỉ yêu cầu học sinh thong hiểu kiến thức về tam thức bậc hai
mà còn đòi hỏi gợi lại suy nghĩ của học sinh một hệ thống kiến thức cũ khi
kết hợp nghiệm.
6

Trên cơ sở đó, học sinh có thể ứng dụng bài tốn trên để có ngững
kết quả khác :
(

C. VẬN DỤNG
Là quá trình sử dụng ý tưởng, quy tắc, phương pháp chung vào các
tình huống mới. các câu hỏi yêu cầu học sinh phải áp dụng các khái niệm
quen thuộc vào các tình huống khơng quenn thuộc, có nghĩa là phải áp
dụng kiến thức vào việc hiểu các kỷ năng về các tình huống mới hoặc
những tình huống được trình bày theo một dạng mới
VD1: Cho
Chứng minh rằng:
Học sinh vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky để giải bài này, cụ
thể là:
Ta có
+ +

( bất đẳng thức Bunhiacopsky)

≤ 13 -

Do vai trị bình đẳng của a, b, c, d suy ra điều phải chứng minh
VD2. Cho

. Chứng minh rằng

Học sinh vận dụng bất đẳng thức cói và các bất đẳng thức cơ bản đả
học từ trước để giải, cụ thể
7

Theo bất đẳng thức Cauchy

Tương tự ;

(a)

Mặt khác ta có

(b)
Từ (a) và (b) suy ra điều phải chứng minh
VD3. Chứng minh rằng
≥

+

Học sinh vận dụng bất đẳng thức vectơ vào để giải bài tốn đã cho, cụ thể;
Chọn

Ta có :

,

,

8


=> đpcm

Mà
VD4 : giải bất phương trình :

(4)
Học sinh áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình
bậc hai và sau đó áp dụng phương pháp xét dấu tam thức bậc hai để giải bất
phương trình, cụ thể
Đặt

. Khi đó

(1) Trở thành

VD5 : cho

và

Chứng minh rằng:
Ở đây, học sinh nhận biết bất đẳng thức đã cho có dạng bất đắng
thức Cauchy nếu nhận ra

VD5. Giải bất phương trình

Học sinh nhận biết

từ đó đưa biểu thức ra ngồi dấu căn lớn và giải.
9


D. NHỮNG KHẢ NĂNG BẬC CAO

Là một phạm trù rộng, bao gồm các phạm trù con, phân tích, tổng
hợp, đánh giá. Là việc giải quyết vấn đề hay đưa ra những phán xét dựa
trên kết quả của lời giải. bằng việc phân tích bài tốn, học sinh phải nhận ra
cơng thức hoặc quy luật mà trước đó học sinh chưa thấy rõ rang hoặc
chưa phát hiện ra.
VD1: cho ba số thực

thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Giải:

=

: Đpcm.

Thông qua những vấn đề của bài toán và lời giải học sinh đặt ra
những thắc mắc:
+ Vì sao tử số có

liệu giả thiết

có phải sử dụng

đây khơng
+ Vì sao lại cộng

.

,

là lượng khác

10

vào mà không phải


Qua việc phân tích giả thiết học sinh mới nhận ra (hoặc được sử
dụng hưởng dẫn của giáo viên) về sơ đồ điểm rơi.
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi

để khử

dưởi mẫu
Ta mới cộng vào

,

Ta có
Nên

rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy suy ra Đpcm.
VD2:

tìm

, với

Giải

Mặc dù là dùng sơ đồ điểm rơi, nhưng không phải khi nào cũng suy
đốn theo kiểu đối xứng:

thì sẽ khơng giải được bài tốn.
Hai ví dụ trên u cầu sự chia nhỏ thơng tin thành những phần phù
hợp và tổ chức chúng lại cho các mối quan hệ trong một bài toán những
khả năng bậc cao của học sinh còn dược thẻ hiện ở chổ học sinh biết phân
biệt các sự kiện từ giả thiết và khẳng định giả thiết nào có thể phải tạo nên
để minh chứng cho những quy tắc nào đó. Hay cụ thể hơn, là việc phân tích
kiểm định lời giải của một bài toán là đúng hay sai
VD3 : Hỏi lời giải sau đây là đúng hay sai :
11


(5)

Điều kiện :
(*)
≤

+

(**)
(***

≤

+

)

≤0

Đối chiếu điều kiện suy ra

là nghiệm của bất phương trình

Như vậy, chỉ khi học sinh nắm chắc kiến thức chương trình về bất
phương trình, và kiến thức từ trước thì học sinh mới đủ lập luận, chứng cứ
để có thể phát hiện ra những bước giải sai lầm. Cụ thể :
Với điều kiện
vì

thì bước biến đổi (*)

khơng đúng trong trường hợp

=

Tương tự cho
Bước biến đổi (**)

(**) không đúng

và
(***) là sai vì cịn sót trường hợp

, dẫn

đến sót nghiệm
Những khả năng bậc cao còn được thể hiện ở chổ học sinh có khả
năng sang tạo, xây dựng được những cách giải mới, dể hiểu hơn, thực dụng
hơn là đi theo lý thuyết đã học
12


VD4. Giải bất phương trình :

(6)

Theo lý thuyết, học sinh sẽ xét dấu các biểu thức trong dấu trị tuyệt
đối, để mở dấu trị tuyệt đối đó, rồi giải theo 3 trường hợp
,
đưa ra đáp số

, và
là tập nghiệm của bất phương trình.

Tuy nhiên, nếu học sinh có khả năng tư duy tốt thì có thể phát hiện cách
giải mới hay hơn. Ví dụ :
≥

(6)

Ngồi ra, mục tiêu của phạm trù các khả năng bậc cao còn được thể
hiện ở chổ đòi hỏi học sinh.
+ Phân biệt một kết luận từ các mệnh đề hỗ trợ nó;
+ Có được các khám phá tốn học và tổng qt hóa từ nhiều kết quả;

+ Đưa ra được một kế hoạch hay phát triển một quy tắc giải tốn;
+ Trừu tượng hóa, kí hiệu hóa và tổng qt hóa (trong cùng một bài
tốn);
+ Có thể giải các bài tốn quy nạp.

13


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đại số 10-nâng cao,NXB Giáo dục 2007.
2. Tài liệu đánh giá trong giáo dục Toán, Nguyễn Đăng Minh Phúc.
3. Phương pháp giải Toán Đại số,Lê Hồng Đức –Lê Bích Ngọc-Lê Hữu
Trí, NXB Hà Nội 2005.
4. Chuyên đề bất đẳng thức, Võ Giang Giai, NXB ĐHQGHN 2002.

14