Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8 Gv: Hữu Minh Ngọc48834

Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 1: (lớp 8)

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
4
5

Cho A  (0,8.7  0.82 ).(1,25.7  .1,25)  31,64
B

(11,81  8,19).0,02
9 : 11,25

Trong hai sè A vµ B sè nµo lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?
b) Số A  101998  4 cã chia hÕt cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
Câu 2: (2 điểm)
Trên quÃng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A.
Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là
3: 4. Tính quÃng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ?
Câu 3:
a) Cho f ( x) ax 2  bx  c víi a, b, c lµ các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng: f (2). f (3)  0 . BiÕt r»ng 13a  b  2c 0
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A

2
6 x

có giá trị lớn nhất.

Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E nằm ở hai nửa
mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900. F và C
nằm ở hai nửa mặt phẳng kh¸c nhau bê AB.
a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE
b) FB EC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm chữ số tận cùng cña
9
18

A  19 5

0

6
19

9

 29

1
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 2

Gv: Hu Minh Ngc

Câu 1: (2 điểm)
3 3

0,375 0,3  
 1,5  1  0,75

11 12  : 1890  115
a) TÝnh A  

 2,5  5  1,25  0,625  0,5  5  5  2005


3
11 12 

1
3

b) Cho B  

1 1 1
1
1
 3  4  ...  2004  2005
2
3 3 3
3

3
1
2

Chứng minh rằng B .
Câu 2: (2 điểm)
a) Chøng minh r»ng nÕu

a c
5a  3b 5c  3d

th×

b d
5a 3b 5c 3d

(giả thiết các tỉ số ®Ịu cã

nghÜa).
b) T×m x biÕt:

x 1 x  2 x 3 x 4



2004 2003 2002 2001

Câu 3: (2điểm)
a) Cho ®a thøc f ( x)  ax 2  bx c với a, b, c là các số thực.
Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên.

Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba đường cao tương ứng với ba cạnh
đó tỉ lệ với ba số nào ?
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC lấy ®iĨm D,
trªn tia ®èi cđa tia CB lÊy ®iĨm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc
với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N.
Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay
đổi trên cạnh BC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số tự nhiên n để phân số

7n 8
có giá trị lớn nhất.
2n 3

2
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 3

Gv: Hu Minh Ngc

Câu 1: (2 điểm)
a) Tính:

3 3
11 11
A =  0,75  0,6    :    2,75  2,2 


13   7

7



13

 10 1,21 22 0,25   5
225 
:



B = 
 



7

3

 49

9



b) Tìm các giá trị của x để: x  3  x  1  3x
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá rằng: M

a
b
c


không là số nguyên.
ab bc ca

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: ab  bc  ca  0 .
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biÕt r»ng tỉng, hiƯu vµ tÝch cđa chúng lần lượt
tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12.
b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy
bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ. Hỏi tàu hoả
chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các
điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh r»ng:

1 1

1
1
9
 
 ... 

5 15 25
1985 20

3
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 4

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có:
A= 5n (5n  1)  6n (3n  2)

 91

b) T×m tÊt cả các số nguyên tố P sao cho P 2 14 là số nguyên tố.
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho n 2 3  n  1
b) BiÕt

bz  cy cx  az ay  bx


a
b
c

Chøng minh r»ng:

a b c
 
x y z

Bµi 3: (2 điểm)
An và Bách có một số bưu ảnh, số bưu ảnh của mỗi người chưa đến 100. Số
bưu ¶nh hoa cđa An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng của Bách.
- Bách nói với An. Nếu tôi cho bạn các bưu ảnh thú rừng của tôi thì số bưu ảnh của
bạn gấp 7 lần số bưu ảnh của tôi.
- An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bưu ảnh hoa của tôi thì số bưu ảnh của tôi gấp
bốn lần số bưu ảnh của bạn.
Tính số bưu ảnh của mỗi người.
Bài 4: (3 điểm)
Cho ABC có góc A bằng 1200 . Các đường phân giác AD, BE, CF .
a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ADB.
b) Tính số đo góc EDF và góc BED.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả m·n:
52 p  1997  52 p  q 2
2

4
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 5

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
5
5
1
3
1
13 2  10  . 230  46
6
25
4
TÝnh:  4 27
2
 3 10   1
1   : 12  14
7
10 3 3

Bài 2: (3 điểm)
a) Chøng minh r»ng: A  3638  4133 chia hÕt cho 77.
b) Tìm các số nguyên x để B x 1 x 2

đạt giá trị nhỏ nhÊt.

c) Chøng minh r»ng: P(x)  ax 3  bx 2 cx d có giá trị nguyên với mọi x nguyên
khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên.
Bài 3: (2 ®iĨm)
a) Cho tØ lƯ thøc

a c

. Chøng minh r»ng:
b d

ab a 2  b 2

cd c 2  d 2

2

ab
a 2 b2
và
2
c d2
cd

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n 1 chia hết cho 7.
Bài 4: (2 điểm)
Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các
điểm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.

Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: 3a 2b 17  10a  b  17 (a, b  Z )

5
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 6

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên d­¬ng a lín nhÊt sao cho 2004!

chia hÕt cho 7a.

1 1 1
1
   ... 
2 3 4
2005
b) TÝnh P
2004 2003 2002
1


...
1

2
3
2004

Bài 2: (2 điểm)
Cho

x
y
z
t



chứng minh rằng biĨu thøc sau cã gi¸
y zt zt  x t x y x y z

trị nguyên.
P

x y y z zt t  x



zt t  x x y y z

Bài 3: (2 điểm)
Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để ®i ®Õn C.
VËn tèc cđa ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. Tính
quÃng đường mỗi người đà đi. Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng.

Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH  BC (H  BC). VÏ AE  AB vµ AE =
AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường
thẳng AH (M, N  AH). EF c¾t AH ë O. Chøng minh rằng O là trung điểm của
EF.
Bài 5: (1 điểm)
So sánh: 5255 và 2579

6
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 7

Gv: Hu Minh Ngc

Câu 1: (2 điểm)
Tính :

1 1
1


A 6 39 51
1 1
1



8 52 68

; B  512 

512 512 512
512
 2  3  ...  10
2
2
2
2

C©u 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
b) T×m x, y, z biÕt:

x
y
z


 x yz
z  y 1 x  z 1 x  y  2

(x, y, z  0 )

C©u 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có:
S  3n  2  2n  2  3n 2n

chia hết cho 10.

b) Tìm số tự nhiên x, y biÕt: 7( x  2004) 2  23  y 2
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ
là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC.
Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy
điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP.
Chøng minh:
a) AC // BP.
b) AK MN.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh
huyền. Chứng minh rằng: a 2 n  b 2 n  c 2 n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0.

7
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 8

Gv: Hu Minh Ngc

Câu 1: (2 điểm)
Tính:
3 1
16 1
8 .5 3 .5

19 4 : 7
A 9 4
1 
24
 14
 2  2  . 34
34 
 17
B

1 1 1
1
1
1
1
 




3 8 54 108 180 270 378

C©u 2: ( 2, 5 điểm)
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thøc 2m + 1.
b) 3m  1  3
2) Chøng minh r»ng: 3n  2  2n  4  3n  2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyên dương.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết:
x y

y z
; 

2 3
4 5

vµ x 2  y 2  16

b) Cho f ( x)  ax 2  bx c . Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên. Chứng minh
f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam
giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc
vuông. Kẻ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thc AH).
a) Chøng minh: EM + HC = NH.
b) Chøng minh: EN // FM.
Câu 5: (1 điểm)
Cho 2n 1 là sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 2n  1 là hợp số.

8
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8

Gv: Hữu Minh Ngc

Đề số 9

Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:

1 1 1 1
(1  2  3  ...  99  100)    (63.1,2  21.3,6)
2 3 7 9
A
1  2  3  4  ...  99  100
1
2 3 2
4
 

 14 7  35 . ( 15 )

B
1 3 2
2 5
 
.

 10 25
 7
5



Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức A  3x 2  2 x  1 víi x
b) Tìm x nguyên để

x 1 chia hết cho

1
2

x 3

Câu 3: ( 2 điểm)
a) Tìm x, y, z biÕt

3x 3 y
3z


vµ 2 x 2  2 y 2 z 2 1
8
64 216

b) Một ô tô phải ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi đi được nửa quÃng
đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút. Tính thời
gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa
đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và
AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF
vuông góc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh r»ng:
a) FB = EC
b) EF = 2 AM
b) AM  EF.
C©u 5: (1 ®iĨm)
1
2

1
3

1
4

Chøng tá r»ng: 1     ... 

1
1
1
1
1
1



 ... 

99 200 101 102
199 200

9
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 10

Gv: Hu Minh Ngc

Câu 1: (2 điểm)
2 2
1
1

0,25
9 11  3
5
a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M 
7 7
1
1,4  
1  0,875  0,7
9 11
6
0,4 

b) TÝnh tæng: P  1 

1 1 1 1 1 1
 

10 15 3 28 6 21

Câu 2: (2 điểm)
a) T×m x biÕt: 2 x  3  2 4 x 5
2) Trên quÃng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ nhất đi từ Kép ®Õn
B¾c Giang, ng­êi thø hai ®i tõ B¾c Giang ®Õn KÐp. VËn tèc ng­êi thø nhÊt so víi

ng­êi thø hai bằng 3: 4. Đến lúc gặp nhau vận tốc người thứ nhất đi so với người
thứ hai đi là 2: 5. Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ?
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho đa thức f ( x)  ax 2  bx  c (a, b, c nguyªn).
CMR nÕu f(x) chia hÕt cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3.
b) CMR: nÕu

a c
7 a 2 5ac 7b 2 5bd
thì 2
(Giả sử các tỉ sè ®Ịu cã nghÜa).


b d
7 a  5ac 7b 2 5bd

Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường
thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và
cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
a) AE = AF
b) BE = CF
c) AE 

AB  AC
2

C©u 5: (1 điểm)
Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn nữ. Để chào
mừng ngày 30/4 cần 1 tiết mục văn nghệ có 2 bạn nam, 2 bạn nữ tham gia. Hỏi có

nhiều nhất bao nhiêu cách lựa chọn để có 4 bạn nh­ trªn tham gia.

10
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 11

Gv: Hu Minh Ngc

Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị cđa biĨu thøc:
 11 3 

1 2
1 31 . 4 7  15  6 3 . 19   14  31

 . 1
A

 .
5
1
1
93  50





 4 6  6 12  5 3 




b) Chøng tá r»ng: B  1 

1 1 1
1
1
 2  2  ...

2
2
2 3 3
2004
2004

Câu 2: (2 điểm)
Cho phân số: C 

3x 2

(x  Z)

4 x 5

a) T×m x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.

Câu 3: (2 điểm)
ab (a b) 2
a c

Cho 
. Chøng minh r»ng:
cd (c  d ) 2
b d

Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C
cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE.
b) Gäi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các MAB;
MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC
lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số nguyên tố p sao cho:
3 p2  1 ;

24 p 2  1 lµ các số nguyên tố.

11
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 12

Gv: Hu Minh Ngc

Câu 1: (2 điểm)
a) Thực hiện phép tÝnh:
3 3

7
13
A
11 11
2,75  2,2  
7 3
0,75  0,6 

; B  (251.3  281)  3.251  (1 281)

b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000.
Câu 2: ( 2 điểm)
a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z).
b) BiÕt

bz  cy cx  az ay  bx


a
b
c

Chøng minh r»ng:

a b c
 
x y z

C©u 3: ( 2 điểm)
Bây giờ là 4 giờ 10 phút. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đường thẳng.
Câu 4: (2 điểm)
Cho ABC vuông cân tại A. Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của
ABD, đường cao IM của BID cắt đường vuông góc với AC kẻ từ C tại N. Tính
góc IBN ?
Câu 5: (2 điểm)
Số 2100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ
số ?

12
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 13

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
5
3 3

2,5 1,25 
 0,375  0,3  
3
11 12 .

a) TÝnh giá trị của biểu thức P 2005 :
5
5
1,5  1  0,75 
  0,625  0,5  


11 12



b) Chøng minh r»ng:
3
5
7
19
 2 2  2 2  ...  2 2  1
2
1 .2
2 .3 3 .4
9 .10
2

Câu 2: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì:
3n 3 3n 1  2n  3  2n  2 chia hÕt cho 6.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
D  2004  x  2003  x

C©u 3: (2 điểm)
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa
quÃng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa
C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên nửa mặt phẳng không chøa B cã bê AC vÏ tia Ay vu«ng gãc với AC. Trên tia
đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chøng minh r»ng:
a) DE = 2 AM
b) AM DE.
Câu 5: (1 điểm)
Cho n số x1, x2, , xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh r»ng nÕu
x1. x2 + x2. x3 + …+ xn x1 = 0 th× n chia hÕt cho 4.

13
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 14

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị cđa biĨu thøc:
2

4
3


 81,624 : 4  4,505   125
3
4


A
2
 11 2


 
2  13


:
0
,
88
3
,
53

(
2
,
75
)





:

 25 
 25

b) Chøng minh r»ng tæng:
S

1
1
1
1
1
1
1
 4  6  ...  4 n  2  4 n  ....  2002 2004 0,2
2
2
2
2

2
2
2
2

Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên x thoả mÃn.
2005 x 4 x  10  x  101  x  990  x  1000

b) Cho p > 3. Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì
d chia hết cho 6.
Bài 3: (2 điểm)
a) Để làm xong một công việc, một số công nhân cần làm trong một số ngày. Một
bạn học sinh lập luận rằng nếu số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi
1/3. Điều đó đúng hay sai ? vì sao ?
b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d

TÝnh M 

ab bc cd d a




cd d a ab bc

Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I.
a) TÝnh c¸c gãc cđa DIE nÕu gãc A = 600.
b) Gọi giao điểm của BD và CE với đường cao AH của ABC lần lượt là M và N.
Chứng minh BM > MN + NC.
Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z là các số dương.
Chứng minh rằng:

x
y
z
3



2x y  z 2 y  z  x 2z  x  y 4

14
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 15

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x biết: x 2  6 x  2  x 2 4
b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
A(x) = (3  4 x  x 2 ) 2004 . (3  4 x  x 2 ) 2005
Bµi 2: (2 điểm)
Ba đường cao của tam giác ABC có ®é dµi b»ng 4; 12; x biÕt r»ng x lµ một
số tự nhiên. Tìm x ?
Bài 3: (2 điểm)
Cho

x
y
z
t



.
y zt zt  x t  x y x y z

CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: P

x y y z zt t  x



zt t  x x y y z

Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B = . Trên cạnh AC lấy điểm E sao

1
3

cho góc EBA= . Trên tia ®èi cđa tia EB lÊy ®iĨm D sao cho

ED = BC.

Chứng minh tam giác CED là tam giác cân.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các số a, b, c nguyên dương tho¶ m·n :
a 3  3a 2  5  5b vµ a  3  5c

15
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 16

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
a) Tính A 3  32  33  34  ...  32003  32004
b) T×m x biÕt x  1  x 3 4
Bài 2: (2 điểm) Chứng minh r»ng:
NÕu

x
y

z


a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c

Th×

a
b
c


x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z

Bài 3: (2 điểm)
Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C
(ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ A là
20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. Tính quÃng đường mỗi người đà đi.
Biết họ đến C cùng một lúc.
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ
các điểm D, E sao cho AB lµ trung trùc cđa HD, AC lµ trung trùc của HE. Gọi I, K
lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC.
Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bài 5: (1 điểm)
Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức:
x 2005 2006 x 2004  2006 x 2003  2006 x 2002  ....  2006 x 2  2006 x  1

16
ThuVienDeThi.com

Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 17

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x nguyên biÕt: 2 x  7  2 x  10 17
b) Tìm x nguyên để biểu thức

4 x 11
có giá trị nguyên.
6x 5

Bài 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c, d khác 0 thoả mÃn: b2 = ac ; c2 = bd.
Chøng minh r»ng:

a 3  b3  c 3 a

b3  c 3  d 3 d

b) Cho a, b, c khác 0 thoả mÃn:
Tính giá trÞ cđa biĨu thøc: M 

ab
bc
ca



ab bc ca
ab  bc ca
a 2 b2 c2

Bài 3: (2 điểm)
Cho a là số nguyên dương, biết a100 chia cho 73 d­ 2 vµ a101 chia cho 73 d­ 69.
Hái a chia 73 dư bao nhiêu ?
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ trung tuyến AM. Đường thẳng
vuông góc với BC tại M cắt AC tại N. Trên tia đối của tia AC lấy ®iĨm E sao cho
AE = AN. Gäi H lµ giao ®iĨm cđa BE vµ MA. Chøng minh:
a) AM 

BC
2

b) AMN = ABN
c) BH = AC
Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dương và a, b, c khác 1. Thoả mÃn:

a x bc ;

b y  ca

;

c z  ab .

Chøng minh r»ng: x + y + z + 2 = xyz

17
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 18

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biÕt:
y  z 1 x  z  2 x  y  3
1



x
y
z
x yz

b) T×m a1, a2 ,…,a9 . BiÕt:
a1  1 a2  2
a  8 a9 9

... 8

9
8
2
1

Bài 2: (2 điểm)
3
3
3

...
4.7 7.10
97.100

TÝnh : A 
B

1 1
1
1


 ... 
6 24 60
990

Bµi 3: (2 điểm)
Ba đội công nhân cùng lao động. Nếu chuyển 1/3 số người đội I, và 1/4 số
người đội II, và chuyển 1/5 số người đội III đi làm việc khác thì số người mỗi đội
còn lại bằng nhau. Tính số người mỗi đội ban đầu biết tổng số người ban đầu là

196 người.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hai góc xoy vµ x’o’y’ cã ox // o’x’ , oy // o’y’. Gọi om là tia phân giác của
góc xoy, on là tia phân giác của góc xoy. Chứng minh:
a) Nếu góc xoy và xoy cùng nhọn hoặc tù thì om // o’n.
b) NÕu gãc xoy vµ x’o’y’ cã mét gãc nhän, một góc tù thì om on.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm sè nguyªn tè P sao cho:
P + 2 , P + 8 , 4P2 + 1 là các số nguyên tè.

18
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 19

Gv: Hu Minh Ngc

Câu 1: (2 điểm)
a) Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với
1; 2; 3.
b) Tìm x, y thoả mÃn:

2x 1 4 y  2 2x  4 y  1


5
7

6x

C©u 2: (2 ®iĨm)
TÝnh:
a) A  1  4  7  10  ...  2998  3001
1
1
1
1
b) B  1   1   1   ... 1


2

3

4



n

Câu 3: (2 điểm)
Ba đơn vị vận tải cùng vận chuyển 762 tấn hàng. Đơn vị thứ nhất có 15 xe
trọng tải mỗi xe 5 tấn, đơn vị thứ hai có 20 xe trọng tải mỗi xe 4,2 tấn, đơn vị thứ
ba có 25 xe trọng tải mỗi xe 3,5 tấn. Hỏi mỗi đơn vị đà vận chuyển bao nhiêu tấn
hàng, biết rằng mỗi xe huy động một số chuyến như nhau.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC cã AB = AC , gãc A b»ng 800. Trong tam giác ABC lấy
điểm I sao cho góc BIC bằng 100 và góc ICB bằng 200. Tính góc AIB.

Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b là hai số nguyên dương biÕt r»ng trong 4 mƯnh ®Ị sau:
A. a + 1 chia hÕt cho b.
B. a = 2b + 5
C. a + b chia hÕt cho 3.
D. a + 7b lµ số nguyên tố.
Có 3 mệnh đề đúng, 1 mệnh đề sai. Tìm các cặp số a, b ?

19
ThuVienDeThi.com


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 20

Gv: Hu Minh Ngc

Bài 1: (2 điểm)
a) Tính A 2100  299  298  ...  22  21 1
A có phải là số nguyên tố không ? A có phải là số chính phương không ?
b) TÝnh tæng: B 

10 10
10
10


 ... 
56 140 260

1400

c) Chøng minh r»ng: C  192004  52003  20031890  5
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm n N để phân số

3n 2
là tối giản ?
7n 1

b) Tìm hai số biết BCNN của chúng và ƯCLN của chúng có tổng là 19.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm các số tự nhiªn n sao cho: n +1 ; n + 3 ; n + 7 ; n + 9 ; n +13 ; n + 15 đều là
các số nguyên tố.
b) Hai người cùng khởi hành một lúc từ hai địa ®iĨm A vµ B. Ng­êi thø nhÊt ®i tõ
A ®Õn B rồi quay lại ngay, người thứ hai đi từ B đến A rồi quay lại ngay. Hai người
gặp nhau lần thứ hai tại điểm C cách A 6 km, tÝnh qu·ng ®­êng AB. BiÕt r»ng vËn
tèc ng­êi thø hai bằng 2/3 vận tốc người thứ nhất.
Câu 4: (3 điểm)
Trên tia Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB = 5 cm vµ BC = 2cm.
a) TÝnh AC ?
b) Điểm O nằm ngoài đường thẳng AB biết góc AOB = 550 vµ

gãc

BOC = 250. TÝnh gãc AOC ?
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 1cm. Tính CE ?
Câu 5: (1 điểm)
Một sè chia cho 4 d­ 3, chia cho 17 d­ 9, chia cho 19 d­ 13. Hái sè ®ã chia cho
1292 d­ bao nhiªu ?

20
ThuVienDeThi.com