Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8

B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Đề số 1: (lớp 8)
Bài 1: (2 điểm)
Cho
64,31)25,1.
5
4
7.25,1).(8.07.8,0(
2
++=A

25,11:9
02,0).19,881,11( +
=B
Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?
b) Số
410
1998
=A
có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
Câu 2: (2 điểm)
Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận
tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Câu 3:
a) Cho
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng:

0)3().2( ff
. Biết rằng
0213 =++ cba
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
x
A

=
6
2
có giá trị lớn nhất.
Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 90
0
, B và E nằm ở hai nửa
mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 90
0
. F và C
nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB.
a) Chứng minh rằng: ABF = ACE
b) FB EC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm chữ số tận cùng của
9
6
9
1
0
9
8

1
95
219
+=
A
Đề số 2
Câu 1: (2 điểm)
1
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
a) Tính
115
2005
1890
:
12
5
11
5
5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3
5
5,2
75,015,1
+

+
++
+
+
+
=A
b) Cho
20052004432
3
1
3
1

3
1
3
1
3

1
3
1
++++++=B
Chứng minh rằng
2
1
<B
.
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu
d
c
b
a
=
thì
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35

+
=

+

(giả thiết các tỉ số đều có
nghĩa).
b) Tìm x biết:
2001
4
2002
3
2003
2
2004
1
=



+
xxxx
Câu 3: (2điểm)
a) Cho đa thức
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số thực.
Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên.
Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh
đó tỉ lệ với ba số nào ?
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC lấy điểm D,
trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đờng thẳng vuông góc với
BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N.

Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay
đổi trên cạnh BC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số tự nhiên n để phân số
32
87


n
n
có giá trị lớn nhất.
Đề số 3
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính:
A =






++

++ 2,275,2
13
11
7
11
:
13
3
7
3
6,075,0
2
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
B =








+

+
9
225
49
5
:
3
25,022
7
21,110
b) Tìm các giá trị của x để:
xxx 313 =+++
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
+
+
+
+
+
=
không là số nguyên.

b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0++ cabcab
.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số dơng khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lợt tỉ
lệ nghịch với 35; 210 và 12.
b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy
bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ. Hỏi tàu hoả
chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các
điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 45
0
.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
20
9
1985
1

25
1
15
1
5
1
<++++
Đề số 4
Bài 1: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dơng đều có:
A=
91)23(6)15(5 ++
nnnn
b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho
14
2
+P
là số nguyên tố.
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho
13
2
+ nn
b) Biết
c
bxay
b
azcx
a
cybz
=

=

3
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Chứng minh rằng:
z
c

y
b
x
a
==
Bài 3: (2 điểm)
An và Bách có một số bu ảnh, số bu ảnh của mỗi ngời cha đến 100. Số bu ảnh
hoa của An bằng số bu ảnh thú rừng của Bách.
- Bách nói với An. Nếu tôi cho bạn các bu ảnh thú rừng của tôi thì số bu ảnh của
bạn gấp 7 lần số bu ảnh của tôi.
- An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bu ảnh hoa của tôi thì số bu ảnh của tôi gấp
bốn lần số bu ảnh của bạn.
Tính số bu ảnh của mỗi ngời.
Bài 4: (3 điểm)
Cho ABC có góc A bằng 120
0
. Các đờng phân giác AD, BE, CF .
a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ADB.
b) Tính số đo góc EDF và góc BED.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
222
2
519975 q
pp
+=+
Đề số 5
Bài 1: (2 điểm)
Tính:

+
+







7
2
14
3
1
12:
3
10
10

3
1
4
3
46
25
1
230.
6
5
10
27
5
2
4
1
13
Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng:
3338
4136 +=A
chia hết cho 77.
b) Tìm các số nguyên x để
21 += xxB
đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng: P(x)
dcxbxax +++=
23
có giá trị nguyên với mọi x nguyên
khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên.

Bài 3: (2 điểm)
4
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
a) Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
. Chứng minh rằng:

22
22
dc
ba
cd
ab


=
và
22
22
2
dc
ba
dc
ba
+
+

=






+
+
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho:
12
n
chia hết cho 7.
Bài 4: (2 điểm)
Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các
điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 45
0
.
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
17101723 baba ++
(a, b Z )
Đề số 6
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên dơng a lớn nhất sao cho 2004! chia hết cho 7a.
b) Tính
2004
1

3

2002
2
2003
1
2004
2005
1

4
1
3
1
2
1
++++
++++
=P
Bài 2: (2 điểm)
Cho
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++
=
++

=
++
=
++
chứng minh rằng biểu thức sau có giá
trị nguyên.

zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yx
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Bài 3: (2 điểm)
Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để đi đến C.

Vận tốc của ngời đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của ngời đi từ B là 24 km/h. Tính
quãng đờng mỗi ngời đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng.
Bài 4: (3 điểm)
5
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH BC (H BC). Vẽ AE AB và AE =
AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng thẳng
AH (M, N AH). EF cắt AH ở O. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Bài 5: (1 điểm)
So sánh:
255
5
và
579
2
Đề số 7
Câu 1: (2 điểm)
Tính :
68
1
52
1
8
1
51
1
39
1
6
1

+
+
=A
;
1032
2
512

2
512
2
512
2
512
512 =B
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
b) Tìm x, y, z biết:
zyx
yx
z
zx
y
yz
x
++=
+
=
++
=

++ 211
(x, y, z
0
)
Câu 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng ta có:

nnnn
S 2323
22
+=
++
chia hết cho 10.
b) Tìm số tự nhiên x, y biết:
22
23)2004(7 yx =
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ
là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC.
Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy
điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP.
Chứng minh:
a) AC // BP.
b) AK MN.
Câu 5: (1 điểm)
6
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh
huyền. Chứng minh rằng:
nnn

cba
222
+
; n là số tự nhiên lớn hơn 0.
Đề số 8
Câu 1: (2 điểm)
Tính:
24
7
:
34.
34
1
2
17
14
2
4
1
5.
19
16
3
4
1
5.
9
3
8

+
=A
378
1
270
1
180
1
108
1
54
1
8
1
3
1
=B
Câu 2: ( 2, 5 điểm)
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b)
313 <m
2) Chứng minh rằng:
nnnn

2323
42
++
++
chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết:

32
yx
=
;
54
zy
=
và
16
22
= yx
b) Cho
cbxaxxf ++=
2
)(
. Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên. Chứng minh
f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH. ở miền ngoài của tam giác
ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông.
Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.

b) Chứng minh: EN // FM.
Câu 5: (1 điểm)
Cho
12 +
n
là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh
12
n
là hợp số.
7
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Đề số 9
Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:
10099 4321
)6,3.212,1.63(
9
1
7
1
3
1
2
1
)10099 321(
+++

+++++
=A
7
5
.
5
2
25
23
10
1
)
15
4
(.
35
23
7
2
14
1

+









+
=B
Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức
123
2
+= xxA
với
2
1
=x
b) Tìm x nguyên để
1+x
chia hết cho
3x
Câu 3: ( 2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết
216
3

64
3
8
3 zyx
==
và
122
222
=+ zyx
b) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đợc nửa quãng đ-
ờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút. Tính thời
gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa
đỉnh C bờ là đờng thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và
AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đờng thẳng AC dựng đoạn AF
vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng:
a) FB = EC
b) EF = 2 AM
b) AM EF.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng tỏ rằng:
200
1
199
1

102
1
101
1

200
1
99
1

4
1
3
1
2
1
1 ++++=+++
Đề số 10
Câu 1: (2 điểm)
8
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
a) Thực hiện phép tính:
7,0875,0
6
1
1
5
1
25,0
3
1
11
7
9
7

4,1
11
2
9
2
4,0
+
+

+
+
=M
b) Tính tổng:
21
1
6
1
28
1
3
1
15
1
10
1
1 =P
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x biết:
54232 =+ xx
2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ nhất đi từ Kép đến Bắc

Giang, ngời thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép. Vận tốc ngời thứ nhất so với ngời
thứ hai bằng 3: 4. Đến lúc gặp nhau vận tốc ngời thứ nhất đi so với ngời thứ hai đi
là 2: 5. Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ?
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho đa thức
cbxaxxf ++=
2
)(
(a, b, c nguyên).
CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3.
b) CMR: nếu
d
c
b
a
=
thì
bdb
bdb
aca
aca
57
57
57
57
2
2
2
2

+
=

+
(Giả sử các tỉ số đều có nghĩa).
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đờng
thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và
cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
a) AE = AF
b) BE = CF
c)
2
ACAB
AE
+
=
Câu 5: (1 điểm)
Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn nữ. Để chào
mừng ngày 30/4 cần 1 tiết mục văn nghệ có 2 bạn nam, 2 bạn nữ tham gia. Hỏi có
nhiều nhất bao nhiêu cách lựa chọn để có 4 bạn nh trên tham gia.
Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức:
50
31
.
93
14
1.

3
1
512
6
1
6
5
4
19
2
.
3
1
615
7
3
4.
31
11
1

+







=A
9
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
b) Chứng tỏ rằng:
2004
1
2004

1

3
1
3
1
2
1
1
2222
>=B
Câu 2: (2 điểm)
Cho phân số:
54
23

+
=
x
x
C
(x Z)
a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.
Câu 3: (2 điểm)
Cho
d
c
b
a

=
. Chứng minh rằng:
2
2
)(
)(
dc
ba
cd
ab
+
+
=
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C
cắt AC và AB lần lợt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các MAB;
MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đờng thẳng vuông góc với BE, các đờng thẳng này cắt BC lần
lợt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số nguyên tố p sao cho:

13
2
+p
;
124
2

+p
là các số nguyên tố.
Đề số 12
Câu 1: (2 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
3
11
7
11
2,275,2
13
3
7
3
6,075,0
++
++
=A
;
)2811(251.3)2813.251( ++=B
b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000.
Câu 2: ( 2 điểm)
a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c

17 nếu a - 11b + 3c

17 (a, b, c Z).
10
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
b) Biết

c
bxay
b
azcx
a
cybz
=

=

Chứng minh rằng:
z
c
y
b
x
a
==
Câu 3: ( 2 điểm)
Bây giờ là 4 giờ 10 phút. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đờng thẳng.
Câu 4: (2 điểm)
Cho ABC vuông cân tại A. Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của
ABD, đờng cao IM của BID cắt đờng vuông góc với AC kẻ từ C tại N. Tính góc
IBN ?
Câu 5: (2 điểm)
Số 2
100
viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ
số ?

Đề số 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức












+
+
+
++
=
75,015,1
25,1
3
5
5,2
.
12
5
11
5

5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
:2005P
b) Chứng minh rằng:

1
10.9
19

4.3
7
3.2
5
2.1
3
22222222
<++++
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dơng n thì:

2313
2233
++++
+++
nnnn
chia hết cho 6.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xxD += 20032004
Câu 3: (2 điểm)
11
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đợc nửa
quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa
C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC. Trên tia
đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng:
a) DE = 2 AM
b) AM DE.
Câu 5: (1 điểm)
Cho n số x
1
, x
2
, , x
n
mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x
1
.
x
2
+ x
2
. x

3
+ + x
n
x
1
= 0 thì n chia hết cho 4.
Đề số 14
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức:
25
13
:)75,2(53,388,0:
25
11
4
3
125505,4
3
4
4:624,81
2
2
2
2

+






+







=A
b) Chứng minh rằng tổng:

2,0
2
1
2
1

2
1
2
1

2
1
2
1
2
1
20042002424642
<++++=
nn
S
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên x thoả mãn.

10009901011042005 +++++++= xxxxx
b) Cho p > 3. Chứng minh rằng nếu các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì
d chia hết cho 6.
Bài 3: (2 điểm)
a) Để làm xong một công việc, một số công nhân cần làm trong một số ngày. Một
bạn học sinh lập luận rằng nếu số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi

1/3. Điều đó đúng hay sai ? vì sao ?
b) Cho dãy tỉ số bằng nhau:
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222 +++
=
+++
=
+++
=
+++
12
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Tính
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I.
a) Tính các góc của DIE nếu góc A = 60
0
.
b) Gọi giao điểm của BD và CE với đờng cao AH của ABC lần lợt là M và N.
Chứng minh BM > MN + NC.
Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z là các số dơng.
Chứng minh rằng:
4
3
222

++
+
++
+
++ yxz
z
xzy

y
zyx
x
Đề số 15
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x biết:
426
22
+=+ xxx
b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
A(x) =
2005220042
)43(.)43( xxxx +++
Bài 2: (2 điểm)
Ba đờng cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số
tự nhiên. Tìm x ?
Bài 3: (2 điểm)
Cho
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++
=
++
=

++
=
++
.
CMR biểu thức sau có giá trị nguyên:
zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yx
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B =

. Trên cạnh AC lấy điểm E sao

cho góc EBA=

3
1
. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC.
Chứng minh tam giác CED là tam giác cân.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mãn :

b
aa 553
23
=++
và
c
a 53 =+
13
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính
20042003432
33 3333 +++=A
b) Tìm x biết
431 =++ xx
Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng:
Nếu
cba
z
cba

y
cba
x
+
=
+
=
++ 4422
Thì
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+
=
+
=
++ 4422
Bài 3: (2 điểm)
Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C
(ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đờng thẳng). Vận tốc của ngời đi từ A là 20
km/h. Vận tốc của ngời đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi. Biết
họ đến C cùng một lúc.
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A khác 90
0
, góc B và C nhọn, đờng cao AH. Vẽ các
điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần

lợt là giao điểm của DE với AB và AC.
Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bài 5: (1 điểm)
Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức:

120062006 200620062006
22002200320042005
+++ xxxxxx
Đề số 17
14
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x nguyên biết:
1710272 =++ xx
b) Tìm x nguyên để biểu thức
56
114
+
+
x
x
có giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c, d khác 0 thoả mãn: b
2

= ac ; c
2
= bd.
Chứng minh rằng:

d
a
dcb
cba
=
++
++
333
333
b) Cho a, b, c khác 0 thoả mãn:
ac
ca
cb
bc
ba
ab
+
=
+
=
+
Tính giá trị của biểu thức:
222
cba
cabcab
M
++
++
=
Bài 3: (2 điểm)

Cho a là số nguyên dơng, biết
100
a
chia cho 73 d 2 và
101
a
chia cho 73 d 69. Hỏi
a chia 73 d bao nhiêu ?
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ trung tuyến AM. Đờng thẳng
vuông góc với BC tại M cắt AC tại N. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho
AE = AN. Gọi H là giao điểm của BE và MA. Chứng minh:
a)
2
BC
AM =
b) AMN = ABN
c) BH = AC
Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dơng và a, b, c khác 1. Thoả mãn:
bca
x
=
;
cab
y
=
;
abc
z
=

.
Chứng minh rằng: x + y + z + 2 = xyz
Đề số 18
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết:
zyxz
yx
y
zx
x
zy
++
=
+
=
++
=
++ 1321
15
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
b) Tìm a
1
, a
2
,,a
9
. Biết:
1
9
2

8

8
2
9
1
9821

=

==

=
aaaa
Bài 2: (2 điểm)
Tính :
100.97
3

10.7
3
7.4
3
+++=A
990
1

60
1
24

1
6
1
++++=B
Bài 3: (2 điểm)
Ba đội công nhân cùng lao động. Nếu chuyển 1/3 số ngời đội I, và 1/4 số ngời
đội II, và chuyển 1/5 số ngời đội III đi làm việc khác thì số ngời mỗi đội còn lại
bằng nhau. Tính số ngời mỗi đội ban đầu biết tổng số ngời ban đầu là 196 ngời.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hai góc xoy và xoy có ox // ox , oy // oy. Gọi om là tia phân giác của
góc xoy, on là tia phân giác của góc xoy. Chứng minh:
a) Nếu góc xoy và xoy cùng nhọn hoặc tù thì om // on.
b) Nếu góc xoy và xoy có một góc nhọn, một góc tù thì om on.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm số nguyên tố P sao cho:
P + 2 , P + 8 , 4P
2
+ 1 là các số nguyên tố.
Đề số 19
Câu 1: (2 điểm)
a) Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với
1; 2; 3.
b) Tìm x, y thoả mãn:
x
yxyx
6
142
7
24
5

12 +
=

=
+
Câu 2: (2 điểm)
Tính:
a)
30012998 10741 +++=A

b)

=
n
B
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1
16
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Câu 3: (2 điểm)
Ba đơn vị vận tải cùng vận chuyển 762 tấn hàng. Đơn vị thứ nhất có 15 xe
trọng tải mỗi xe 5 tấn, đơn vị thứ hai có 20 xe trọng tải mỗi xe 4,2 tấn, đơn vị thứ
ba có 25 xe trọng tải mỗi xe 3,5 tấn. Hỏi mỗi đơn vị đã vận chuyển bao nhiêu tấn
hàng, biết rằng mỗi xe huy động một số chuyến nh nhau.
Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có AB = AC , góc A bằng 80
0
. Trong tam giác ABC lấy
điểm I sao cho góc BIC bằng 10
0
và góc ICB bằng 20
0
. Tính góc AIB.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b là hai số nguyên dơng biết rằng trong 4 mệnh đề sau:
A. a + 1 chia hết cho b.
B. a = 2b + 5
C. a + b chia hết cho 3.
D. a + 7b là số nguyên tố.
Có 3 mệnh đề đúng, 1 mệnh đề sai. Tìm các cặp số a, b ?
Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính
122 222
129899100
=A
A có phải là số nguyên tố không ? A có phải là số chính phơng không ?
b) Tính tổng:
1400
10

260
10
140
10

56
10
++++=B
c) Chứng minh rằng:
52003519
189020032004
++=C
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm n N để phân số
17
23
+
+
n
n
là tối giản ?
b) Tìm hai số biết BCNN của chúng và ƯCLN của chúng có tổng là 19.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên n sao cho: n +1 ; n + 3 ; n + 7 ; n + 9 ; n +13 ; n + 15 đều là
các số nguyên tố.
b) Hai ngời cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B. Ngời thứ nhất đi từ A
đến B rồi quay lại ngay, ngời thứ hai đi từ B đến A rồi quay lại ngay. Hai ngời gặp
17
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
nhau lần thứ hai tại điểm C cách A 6 km, tính quãng đờng AB. Biết rằng vận tốc
ngời thứ hai bằng 2/3 vận tốc ngời thứ nhất.
Câu 4: (3 điểm)
Trên tia Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB = 5 cm và BC = 2cm.
a) Tính AC ?
b) Điểm O nằm ngoài đờng thẳng AB biết góc AOB = 55

0
và góc BOC
= 25
0
. Tính góc AOC ?
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 1cm. Tính CE ?
Câu 5: (1 điểm)
Một số chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13. Hỏi số đó chia cho
1292 d bao nhiêu ?
Đề số 21
Câu 1: (2 điểm) Thực hiện phép tính.
a)
5
24
.
3
1
1.
35
3
7
1
14
1
19
5
.
20
7
15

4
10
3



















+

b)
20032002200120001999 87654321
++++++
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên m thoả mãn:
0)37)(9(
22
< mm
b) Cho x, a, b Z
+
thoả mãn:





=+
=+
b
a
x
x
413
23
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn: (100x + 10y + z)

21.
Chứng minh rằng: (x - 2y + 4z)

21.
b) Cho
cba
d
dba
c
dca
b
dcb
a
++
=
++
=
++
=
++
Tìm giá trị của biểu thức:
cb
ad
ba
dc
da
cb
dc
ba
A
+
+
+

+
+
+
+
+
+
+
+
=
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Câu 4: (2 điểm)
18
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Trong một xởng cơ khí ngời thợ chính làm một chi tiết hết 5 phút, ngời thợ
phụ làm xong hết 9 phút. Nếu trong cùng một thời gian cả hai ngời cùng làm việc
thì số chi tiết làm đợc là 84 chiếc. Tính số chi tiết mà mỗi ngời đã làm đợc ?
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC, phân giác góc B cắt AC tại M. Kẻ MN // AB cắt BC tại N.
Phân giác góc MNC cắt MC tại P.
a) Chứng minh rằng: MBC = BMN ; BM // NP.
b) Gọi NQ là phân giác của góc BNM. CMR: NQ BM.
Đề số 22
Bài 1: (2 điểm)
Tìm x, y, z biết rằng:
1)
32
yx
=
;
75

zx
=
và x + 2y + 3z =164
2)
zyx
yx
z
zx
y
yz
x
++=
+
=
++
=
++ 211
(x, y, z
0
)
Bài 2: (2 điểm)
Tìm tỉ lệ ba đờng cao của tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng cặp
hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8.
Bài 3: (2 điểm)
Lúc rời nhà đi bạn An xem thấy kim đồng hồ chỉ hơn 1 giờ và khi đến trờng thì
hai kim đồng hồ đã đổi vị trí cho nhau (trong thời gian này hai kim đồng hồ không
chập với nhau lần nào). Tính thời gian An đi từ nhà đến trờng; lúc An rời nhà, An
đến trờng là mấy giờ. (Hai kim đồng hồ đợc nói tới ở đây là kim phút và kim giờ).
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài của tam giác các tam giác vuông cân đỉnh

A là BAE và CAF.
1) Nếu I là trung điểm của BC thì AI vuông góc với EF và ngợc lại nếu I thuộc BC
và AI vuông góc với EF thì I là trung điểm của BC.
2) Chứng tỏ AI =EF/2 (với I là trung điểm của BC).
3) Giả sử H là trung điểm của EF, hãy xét quan hệ của AH và BC.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm x nguyên dơng để
x
x
M


=
2002
2001
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị ấy.
19
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Đề số 23
Bài 1: (4 điểm)
Tìm phân số
b
a
biết:
a) a = ƯCLN (12, 18) và b = BCNN (5, 9)
b) a = ƯCLN (12, 20) và
5
1
:
5

4
ab

=
Bài 2: (4 điểm)
a) Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:

10)2323(
132

+++
+++
nnnn
b) Chứng minh rằng:
abba
chia hết cho 11.
Câu 3: (4 điểm)
Số học sinh khối 7 của một trờng khi xếp hàng hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng
5, hàng 6 đều thiếu 1 ngời, nhng xếp hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học đó cha đến
300. Tính số học sinh khối 7 của trờng đó.
Câu 4: (6 điểm)
Cho góc aOb. Vẽ tia Oc nằm trong góc aOb. Gọi Ox, Oy lần lợt là các tia
phân giác của các góc aOc, bOc. Vẽ tia Oz là tia bất kì nằm trong góc xOy. Gọi
Ot, Oh lần lợt là các tia phân giác của các góc xOz, yOz.
a) Cho biết góc aOb = 102
0
. Tính góc tOh ?
b) Cho biết góc tOh = 20
0
. Tính góc aOb ?

c) Tìm giá trị lớn nhất của góc tOh ?
Câu 5: (2 điểm)
Tìm số có bốn chữ số
abcd
thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
a)
acab ,
là hai số nguyên tố.
b)
cbbcd +=+
2
Đề số 24
Bài 1: (1 điểm)
Tìm x, y là số nguyên biết
043106 = yxxy
20
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
1
3
100

3
4
3
3
3
2
3

1
100432
<+++++
Bài 3: (2 điểm)
a) Có một số gạch cần chuyển. Nếu lớp 8A chuyển thì cần 4 ngày; 7A chuyển cần
7 ngày, nếu lớp 6A chuyển cần 12 ngày. Hỏi cả ba lớp cùng chuyển số gạch đó thì
mất bao lâu ?
b) Hai kim giờ và kim phút của đồng hồ gặp nhau trớc và sau mất thời gian bao lâu
?
Bài 4: (3 điểm)
Tìm x biết:
a)
2
1
5
6
7
3
12
15
=+ xx
b)
713132 =+ xx
c)
22
1982
23
1981
24
1980

25
1979
1982
22
1981
23
1980
24
1979
25






=






xxxxxxxx
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy M, N lần lợt là trung điểm của AB và AC. Chứng
minh rằng: MN song song và có độ dài bằng nửa của BC. Ngời ta gọi MN là một
đờng trung bình của tam giác. Hãy phát biểu điều vừa chứng minh dới dạng định
lí.
Đề số 25

Bài 1: (2 điểm) Thực hiện phép tính:
a)
24
5
:
3
1
1.
35
3
7
1
14
1
19
5
.
20
7
15
4
10
3

+













++
b)
340
1

238
1
154
1
88
1
40
1
10
1
+++++
Bài 2: (3 điểm)
21
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
a) Tìm số nguyên m thoả mãn m - 5 chia hết cho 2m + 1.
b) Tìm x biết rằng:
1623.53.3
11
=+
xx
(x N)
c) Tìm x, y, z biết rằng: 4x = 3y ; 5y = 3z và 2x - 3y + z =6
Bài 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng:
6919
6919 +
chia hết cho 44.
b) Cho tỉ lệ thức:
d
c

b
a
=
. Chứng minh rằng ta có:
dc
dc
ba
ba
20032002
20032002
20032002
20032002

+
=

+
Bài 4: (1 điểm)
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc và đi về phía gặp nhau từ hai tỉnh A và B cách
nhau 544 km. Tính xem 2 xe gặp nhau ở chỗ cách A bao nhiêu km. Biết rằng xe
thứ nhất đi cả quãng đờng AB hết 12 giờ, còn xe thứ hai phải đi hết 13 giờ 30 phút.
Bài 5: (2 điểm)
Cho biết A + B + C = 360
0
Chứng tỏ rằng Ax song song với By.
Đề số 26
Câu 1: (2 điểm)
1) Tính nhanh:
a) 2.(-3).4.(-5).(-80.(-2.5).1,25.2,004.

1
3
2
b)
90
1
72
1
56
1
42
1
30
1
20
1
10
1

2) Thực hiện phép tính:
24
5
:
3
1

1
35
3
7
1
14
1
19
5
.
20
7
15
4
3,0

+







++
Câu 2: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng:
a)
20052004
88 +
chia hết cho 9.
b)
187
28
chia hết cho 14.
2) Tìm chữ số tận cùng của số
nnnn
A 2323
22
+=
++
(với n N)

22
A
B
C
x
x
y
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x, y biết rằng 10x = 6y và
282
22
= yx
b) Cho biết
d
c
b
a
=
. Chứng minh:
dc
dc
ba
ba
20052004
20052004
20052004
20052004
+

=
+

Câu 4: (2 điểm) Cho hình vẽ.
Cho biết Ax / / By. Hãy tính tổng các góc
A + B + C = ?
Câu 5: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết:

zyx
yx
z
zx
y
yz
x
++=
+
=
++
=
++ 211
(x, y, z
0
)
b) Tìm số hữu tỉ x biết rằng tổng của số đó với số nghịch đảo của nó là một số
nguyên.
Đề số 27
Câu 1: (2 điểm)
Thực hiện các phép tính bằng cách hợp lí:

a)
5
7
4
3
:8,13 +







+
b)
2
7
:
3
2
2
3
13
5
.
7
8
.
3
2

2
3






+













+
Câu 2: (2 điểm). Tìm x, y Z thoả mãn:
a)
120022001 =+ yx
b)
xyx
455.3
1

=
+
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho a, b, c là ba số khác 0 và a
2


= bc. Chứng minh rằng:
b
c
ab
ca
=
+
+
22
22
Câu 4: (1,5 điểm) Cho x, y Z. Chứng minh:
Nếu 3x + 2y

17 thì 10x + y

17 và ngợc lại.
Câu 5: (3 điểm)
23
A
B
C
x
x

y
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Cho tam giác ABC (góc A = 90
0
, AB = AC. Kẻ trung tuyến BM. Trên tia đối
của tia MB lấy điểm D sao cho MB = MD. Trên nửa mặt phẳng không chứa A có
bờ là đờng thẳng BC kẻ tia Cx CB. Trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CB.
Chứng minh:
a) CD = AB và CD // AB.
b) BD = AE.
Đề số 28
Câu 1: (4 điểm) Thực hiện phép tính:
a)
24
5
:
3
1
1.
35
3
7
1
14
1
19
5
.
20
7

15
4
10
3



















+

++
b)
340
1
238
1
154
1
88
1
40
1
10
1

Câu 2: (4 điểm)
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b)
512 <m
2) Chứng minh rằng:
nnnn
2323

22
+
++
chia hết cho 10 với n nguyên dơng.
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm x, y biết:
53
yx
=
và
282
22
= yx
b) Tính thời gian từ lúc kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ gặp nhau lần
trớc đến lúc chúng gặp nhau lần tiếp theo. Từ đó suy ra trong một ngày chúng gặp
nhau bao nhiêu lần ? Tạo với nhau góc vuông bao nhiêu lần?
Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC bằng hai lần độ dài cạnh
AB. M là trung điểm của BC, N là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia NA lấy
D sao cho ND = NA. Chứng minh:
a) Tam giác BCD vuông.
24
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
b) Tam giác ACD cân.
Câu 5: (2 điểm)
Cho
( )
25444 44475
012199920002001
+++++++=C
a) Chứng minh rằng C chia hết cho 4

2002
.
b) Hỏi C chia cho 4
2003
d bao nhiêu ?
Đề số 29
(Đề thi HSG cấp tỉnh vòng I năm học 1999-2000)
Bài 1: (2 điểm)
Cho
64,31)7,0.
5
1
7.25,1).(8,07.8,0(
2
+=A
và
25,11:9
02,0).19,881,11( +
=B
Trong hai số a và b số nào nhỏ hơn và nhỏ hơn bao nhiêu lần ?
Bài 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng:
76
510
chia hết cho 59.
b) Cho x, y là các số nguyên. Chứng minh rằng 5x + 2y chia hết cho 17 khi và chỉ
khi 9x + 7y chia hết cho 17.
Bài 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu:
3

3
2
2

+
=

+
v
v
u
u
thì
23
vu
=
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có các trung tuyến BE và CF. Trên tia đối của tia EB lấy
điểm M sao cho EM = EB. Trên tia đối của tia FC lấy điểm N sao cho FN = FC.
Chứng minh A là trung điểm của MN.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các số nguyên nguyên dơng x, y, z biết rằng:
xyzzyx 3
333
=
và
)(2
2
zyx +=
Đề số 30

25