(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

❍❖⑨◆● ❚❍➚ ❚❍❯ ❍×❒◆●

▼❐❚ P❍×❒◆● P❍⑩P ▲➄P ●■❷■ ▼❐❚ ▲❰P ❇❻❚
✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❇■➌◆ P❍❹◆ ❍❆■ ❈❻P ❱❰■ ❘⑨◆● ❇❯❐❈
✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❚⑩❈❍
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✶✷
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❈⑩◆ ❇❐ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈
P●❙✳❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍❯ ❚❍Õ❨

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✕ ✷✵✷✶


✐✐

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝
❑❤♦❛ ❤å❝✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ữợ sỹ ữợ t t ừ Põ
sữ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉ ❚❤õ②✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔
❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝ỉ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉ ❚❤õ② ✭❱✐➺♥ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣
✈➔ ❚✐♥ ❤å❝✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❇→❝❤ ❦❤♦❛ ❍➔ ◆ë✐✮✱ ♥❣÷í✐ ✤➣ ổ t st
ữợ t t ở ✈✐➯♥ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ tø
❦❤✐ ❧ü❛ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t tợ qỵ ổ

tở ❚✐♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥
✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❧ỵ♣ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✶✷❆✸✱ ❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ✤➣ t↕♦
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ ❚r÷í♥❣✳
❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉✱ t➟♣
t❤➸ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈ỉ ❣✐→♦ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ▲÷ì♥❣ ❚❤➳ ❱✐♥❤
♥ì✐ t→❝ ❣✐↔ ✤❛♥❣ ❝ỉ♥❣ t→❝✱ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ♥❣÷í✐ t❤➙♥ ❧✉æ♥ ❦❤✉②➳♥ ❦❤➼❝❤ ✤ë♥❣
✈✐➯♥ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ ❝❛♦ ❤å❝ ✈➔ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳
❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

❚→❝ ❣✐↔

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❚❤✉ ❍÷ì♥❣




ử ử
ớ ỡ



ỵ s t t➢t

✈

❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣

✈✐

▼ð ✤➛✉

✶

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥
♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣
✸
✶✳✶

✶✳✷

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
✶✳✶✳✶

▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸

✶✳✶✳✷

⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺

❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷✳✶

⑩♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻

✶✳✷✳✷

❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

✶✳✷✳✸

❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ♠ët ✈➔✐ ❧ỵ♣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥
♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
✶✹
✷✳✶

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣
✈ỵ✐ t♦→♥ tû ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✶✳✶

▼ỉ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✷✳✶✳✷

❙ü ❤ë✐ tö

✷✳✶✳✸

⑩♣ ❞ö♥❣ ✈➔ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻


✐✈
✷✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✈ỵ✐ r➔♥❣
❜✉ë❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼

✷✳✷✳✶

▼ỉ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼

✷✳✷✳✷

❙ü ❤ë✐ tö

✷✳✷✳✸

❱➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽

✹✸




ỵ s t tt
R
Rn

số t❤ü❝

H

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝

∅
∀x

❚➟♣ ré♥❣

x∈D
x∈
/D

x t❤✉ë❝ t➟♣ D
x ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ t➟♣ D

x, y
x

❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ n ❝❤✐➲✉

❱ỵ✐ ♠å✐ x

❚➼❝❤ ✈ỉ ữợ ừ x y
ừ x

A
I

tỷ ❤ñ♣ ❝õ❛ t♦→♥ tû A

C ∩D
C⊆D

●✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ C ✈➔ D

C⊂D

C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ❝õ❛ D

❋✐①(T )

❚➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T

PC (x)

P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ trü❝ ❣✐❛♦ ✭♠➯tr✐❝✮ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû x ❧➯♥ t➟♣ C

✈✳✤✳❦

❱✐➳t t➢t ❝õ❛ ❝ư♠ tø ✧✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✧

A

▼❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A

det(A)
❱■P

✣à♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ A

❙❋PP

❇➔✐ t♦→♥ t ở t

tỷ ỗ t

C t ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ t➟♣ D

❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥


✈✐

❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣
✷✳✶

❑➳t q✉↔ sè ❝❤♦ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✳✽ ✈ỵ✐ x0 = (1, 1) ✱ αk =

✷✳✷

λk = 0.01✱ µ = 0.1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
k+1
1
✱ ηk = 2(k+3)
✱
❑➳t q✉↔ sè ❝❤♦ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✳✽ ✈ỵ✐ x0 = (2, 3) ✱ αk = k+3

✷✳✸
✷✳✹

1
k+3 ✱

ηk =

k+1
2(k+3) ✱

λk = 0.01✱ µ = 0.1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
1
k+1
t q ữỡ tr ợ k =
✱ αk =
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
k+2
2(k + 3)
1
k 0.01 + 1
t q ữỡ tr ợ k =
αk =
✳ ✳ ✹✵
1.7k + 2
2(k 0.01 + 3)


✶

▼ð ✤➛✉
❈❤♦ H ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ✈ỵ✐ t ổ ữợ ., . .

C ởt t ỗ õ rộ ừ H F ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤✐ tø ♠ët t➟♣ tr♦♥❣
H ❝❤ù❛ C ✈➔♦ H✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✭✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧

♣r♦❜❧❡♠ ✮

✐♥❡q✉❛❧✐t②

✈ỵ✐ →♥❤ ①↕ F ✈➔ t➟♣ r➔♥❣ ❜✉ë❝ C ✱ ỵ PC, F ữủ t

ữ s
x∗ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0

∀x ∈ C.

✭❱■P✮

❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✤÷đ❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥❣÷í✐ ■t❛❧✐❛✱ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛
✭①❡♠ ❬✼❪ ✈➔ ❬✶✵❪✮✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➔♦ ❝✉è✐ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✻✵ ✈➔
✤➛✉ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✼✵ ❝õ❛ t❤➳ trữợ ứ õ t tự ♣❤➙♥
❧✉ỉ♥ ❧➔ ♠ët ✤➲ t➔✐ t❤í✐ sü✱ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❞♦ ✈❛✐ trá q trồ ừ t tr ỵ tt t ồ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ tr♦♥❣
♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ t❤ü❝ t➳✳
❑❤✐ t➟♣ r➔♥❣ ❜✉ë❝ C ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✭❱■P✮ ữủ
ữợ t t ở ❝õ❛ ♠ët →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❤♦➦❝
t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✭❤ú✉ ❤↕♥ ❤♦➦❝ ✈æ ❤↕♥✮ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣
❣✐➣♥ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❱■P✮ ❝á♥ ❝â ♥❤✐➲✉ ự ử tr t tỹ t ữ
ỷ ỵ t➼♥ ❤✐➺✉✱ ❦❤ỉ✐ ♣❤ư❝ ↔♥❤✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉. . . ✣è✐ ✈ỵ✐ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥
♥➔②✱ ♥➠♠ ✷✵✵✶ ❨❛♠❛❞❛ ❬✶✶❪ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t
✤➸ ❣✐↔✐✳ ❉ü❛ tr➯♥ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❝õ❛ ❨❛♠❛❞❛✱ ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ ♠ð
rë♥❣ ✈➔ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ❞↕♥❣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ❝❤♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr➯♥ t➟♣ r➔♥❣ ❜✉ë❝ C ❧➔ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉
❤↕♥✱ ❤å ✈æ ❤↕♥ ✤➳♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥✳
▼ư❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ữỡ ợ

✷
❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ trữớ ủ t ữợ
t t t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❤♦➦❝✴✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣ t→❝❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✸❪ ✈➔ ❬✹❪ ❝æ♥❣ ❜è ♥➠♠
✷✵✶✻ ✈➔ ✷✵✶✼✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✧❇➔✐ t♦→♥
✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣✧ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè
❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱
❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ✈➔
♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ ✧P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ♠ët ✈➔✐ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥
❤❛✐ ❝➜♣✧ tr ởt số ữỡ ợ ữủ ①✉➜t tr♦♥❣ ❬✸❪ ✈➔ ❬✹❪
①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣
❜➔✐ t ữợ t tự ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣ t→❝❤✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➔ ♠ët
sè →♣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ỗ tớ t ử
ồ sỹ ❤ë✐ tư ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❜➡♥❣
♥❣æ♥ ♥❣ú ▼❆❚▲❆❇✳


✸

❈❤÷ì♥❣ ✶

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥
❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥
❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✈➔ ♠è✐

❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳ ◆ë✐
❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠ư❝✳ ▼ư❝ ✶✳✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè t➼♥❤
❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥
✈➠♥✱ ợ t t t ở ữỡ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✳ ▼ư❝
✶✳✷ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥
♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝✱ ✈➼ ❞ư ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥
✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ❜➔✐ t
t ở ũ sỹ tỗ t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝õ❛
❝❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ tê♥❣ ❤đ♣ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✱ ✷✱ ✹✕✻✱ ✽❪✳

✶✳✶
✶✳✶✳✶

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✶❪✮

❈❤♦

H

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐

x, y ∈ H✱
2 x, y = x

2

+ y

2

− x−y

2

= x+y

2

− x

2

− y 2.


✹

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❜➜t
❦ý X ✈➔ Y ✳ ▼ët →♥❤ ①↕ A : X −→ Y ❣å✐ ❧➔
t✉②➳♥ t➼♥❤

→♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤

❤❛②

t♦→♥ tû

♥➳✉✿

✭❛✮ A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 ✱ ∀x1 , x2 ∈ X ✳
✭❜✮ A(αx) = αAx✱ ∀x ∈ X ✱ ∀α ∈ R✳
◆➳✉ Y = X ✱ t❛ ❝ô♥❣ ♥â✐ A ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû tr♦♥❣ X ✳
❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤✉♥❣ ✈➲ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝✱ →♥❤ ①↕ A : X −→ Y ❣å✐ ❧➔
tö❝

❧✐➯♥

♥➳✉ xn −→ x0 ❧✉æ♥ ❧✉æ♥ ❦➨♦ t❤❡♦ Axn −→ Ax0 ✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❜➜t ❦ý✱ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ❧✐➯♥ tư❝✳ ❑❤✐ ✤â
✤✐➲✉ tử tữỡ ữỡ ợ t ữủ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ▼ët t♦→♥ tû A : X −→ Y ❣å✐ ❧➔
♥ë✐ ✮

❜à ❝❤➦♥

✭❣✐ỵ✐

♥➳✉ ❝â ♠ët ❤➡♥❣ sè K > 0 s❛♦ ❝❤♦✿

Ax ≤ K x

✭✶✳✶✮

∀x ∈ X.

❙è K ≥ 0 ♥❤ä ♥❤➜t t❤ä❛ ữủ ồ



ừ t tỷ A

ỵ ❤✐➺✉ ❧➔ A ✳ ◆❤÷ ✈➟②✿
✶✳ Ax ≤ A . x

∀x ∈ X ✳

✷✳ ◆➳✉ ∀x ∈ X ✱ Ax ≤ K. x t❤➻ A ≤ K ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ A : X −→ Y ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥
tö❝✳ ⑩♥❤ ①↕ A∗ : Y −→ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤đ♣

❝õ❛ A ♥➳✉ Ax, y =

x, A∗ y ✱ ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y ✳
❚♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✺ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ A : X −→ Y ✱ B : X −→ Y ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû
t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ✈ỵ✐ A∗ : Y −→ X ✱ B ∗ : Y −→ X ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤đ♣
t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ A ✈➔ B ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ α, β ∈ R✱ t❛ ❝â✿
✶✳ A∗ = A ✳