(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

PHẠM QUANG DŨNG

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

PHẠM QUANG DŨNG

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2019


▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
✶✳✶

✶✳✷

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷
✹
✹

✶✳✶✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✶✳✷

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✷✳✶

⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✷✳✷

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❱➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
✶✶
✷✳✶

✷✳✷

✷✳✸

❈❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✷✳✶✳✶

❉→♥❣ ✤✐➺✉ ❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✷✳✶✳✷

❉→♥❣ ✤✐➺✉ ❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

❙ü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✷✳✷✳✶

✣à♥❤ ❧þ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✷✳✷✳✷

✣à♥❤ ❧þ ❤ë✐ tö ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❦✐➸✉ ❍❛❧♣❡r♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✸✳✶

▼æ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✸✳✷

❙ü ❤ë✐ tö

✷✹

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸
✸✹



t t t ở ừ ởt ừ t út
sỹ q t ừ t ồ tr ữợ
ởt tr ỳ ữợ ự t t ở ỹ
ữỡ t t ở ừ tr ổ rt
ổ t q tợ ữỡ

ữủ t r qt tứ ợ
ợ ợ ổ ợ tốt t s tổ
ỹ ồ ởt tr t t ở ợ ổ
tr ổ ữợ sỹ ữợ ừ r ỵ
tổ ồ t ữỡ t t ở ừ
ổ tr ổ ở ữủ tr
tr ữỡ ử t ữ s
ữỡ r ổ ỗ ỗ t t
t t ở ừ ổ tr ổ
ữỡ r ởt số ữỡ t ở ừ
ổ tr ổ ũ ỵ ở tử ở tử
ừ ữỡ
r q tr ồ t ự t rữớ ồ ồ
ồ ổ ữủ sỹ q t ú ù ở ừ
t ổ tr ỏ t ợ
ố ữủ õ ởt ọ ổ sự ừ
ỳ t sỹ ỳ ỵ t ồ ố
rt ụ ởt ỡ ở ỷ ớ tr tợ t t
t ổ ừ trữớ ồ ồ ồ õ





õ r tr tử tự
ồ qỵ tr tớ ữủ ồ ừ trữớ
t ỡ trữớ P ừ
Pú ồ ũ t t ỗ t tốt t
t tr tớ ồ ồ ỡ ồ
ợ ồ ỗ tr ờ ở

t tr q tr ồ t t trữớ ồ
ồ ồ
t ữủ tọ ỏ t ỡ s s tợ ữợ
r ỵ ổ q t ở
ú ù t t õ ỵ s s tr sốt q tr ồ t ụ
ữ tỹ t ữớ ứ q s ỳ ợ
ỵ ố ợ ồ ợ õ ợ
t õ r ổ t t sỹ ộ trủ s
tữỡ ừ tr
t ỡ tt ỳ ữớ t ú ù ỗ
ũ tr ữớ ứ q ởt ỳ tr trồ
ỡ

t

ồ

P ụ


ữỡ

ổ t
t ở
ữỡ tr ởt số t t ồ ổ
t t ở tr ổ tự ừ ữỡ ữủ
tờ ủ tứ t

ổ

ổ ỗ
X ổ x0 X trữợ ỵ Sr (x0 ) t
t x0 r > 0

Sr (x0 ) := {x X : ||x x0 || = r}.

ổ X ữủ ồ ỗ

(0, 2]
t ý tỗ t = ( ) > 0 s x, y X ợ ||x|| = 1, ||y|| = 1
1
||x y|| t
(x + y) 1 .
2
t q ữợ ởt ử ổ ỗ

ỵ ổ Lp[a, b] ợ 1 < p < ổ ỗ
ỵ sỷ X ổ ỗ õ ợ t ý
d > 0,

>0

tỡ tũ ỵ x, y X ợ ||x|| d, ||y|| d, ||x y||





tỗ t > 0 s
1

(x + y) 1
d.
2
d
ự ợ t ý x, y X t z1 = xd , z2 = yd t = d
1
> 0. ỡ ỳ ||z1 || 1, ||z2 || 1 ||z1 z2 || = ||x y|| = .
d
d
ứ t ỗ t õ =

d

> 0,

1
(z1 + z2 ) 1 (),
2


1
(x + y) 1
,
2d
d
s r

1
(x + y) 1
2

d

d.

õ ự

X ổ ỗ sỷ (0, 1)
> 0

õ ợ t ý d > 0 x, y X tọ ||x|| d ||y|| d
||x y|| t tỗ t =
> 0 s
d
||x + (1 )|| 1 2

d

min{, 1 } d.

ổ ỗ t
ổ X ữủ ồ ỗ t ợ ồ
x, y X x = y, ||x|| = ||y|| = 1 t õ ||x + (1 )y|| < 1 (0, 1).

ỵ ồ ổ ỗ ổ ỗ t
ỵ r ởt ợ ổ ỗ t ổ
ồ ổ ỗ t ữợ ởt ử ổ
ỗ t ữ ỗ

ử trữợ à > 0 t C[0, 1] ợ ||.||à ữ
s

1

x2 (t)dt

||x||à := ||x||0 + à

1
2

0

ợ ||.||0 s õ

||x||0 ||x||à (1 + à)||x||0 ,

x C[0, 1],

tữỡ ữỡ ||.||à ||.||0 ợ à (C[0, 1], ||.||0 )
ổ ỗ tr ợ t ý à > 0, (C[0, 1], ||.||à ) ỗ t
ợ t ý
x+y

2

(0, 2] tỗ t x, y C[0, 1] ợ ||x||à = ||y||à = 1, ||x y|| =
tũ ỵ 1 (C[0, 1], ||.||à ) ổ ỗ

ử t à0 c0 = c0(N) ợ ||.||à ợ x = {xn} c0

ữ s



||x||à := ||x||c0 + à
i=1

xi
i

2

1
2

tr õ ||.||c0 tổ tữớ ữ tr ử tr (c0 , ||.||à ) ợ

à > 0 ỗ t ữ ổ ỗ tr c0 ợ tổ tữớ
ổ ỗ t
t tr ữủ ồ ừ t ỗ ừ ổ
X ỵ X : (0, 2] [0, 1]) ởt số t t ừ


(a) ợ ồ ổ X ( ) ổ

tr (0, 2].
(b) s ừ t ỗ ừ ổ tử

ỗ
(c) r ổ ỗ X s ừ t ỗ ừ ổ
X t tỹ sỹ
r ử tr trữ ừ ổ ỗ

ỵ ổ X ỗ X ( ) > 0 ợ

ồ

(0, 2].


✼

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✶✶✳ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ X ✱ ❤➔♠ ♠♦❞✉❧ ❝õ❛ t➼♥❤

❧ç✐ ❧➔ ❤➔♠ t➠♥❣ ❝❤➦t✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✷✳ ◆➳✉ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ t❤➻ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
♣❤↔♥ ①↕✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✸✳

✶✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔

✈✐ ●➙t❡❛✉① ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ y ∈ SX t❤➻ ❣✐î✐ ❤↕♥

lim
t→0

x + ty − x

t

tç♥ t↕✐ ✈î✐ x ∈ SX ✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ y,

x ✳ ❑❤✐ ✤â

✭✶✳✶✮

x ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦

❤➔♠ ●➙t❡❛✉① ❝õ❛ ❝❤✉➞♥✳
✷✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ y ∈ SX ✱ ❣✐î✐
❤↕♥ ✭✶✳✶✮ ✤↕t ✤÷ñ❝ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ SX ✳
✸✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ SX ✱ ❣✐î✐ ❤↕♥
✭✶✳✶✮ tç♥ t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ SX ✳
✹✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✤➲✉ ♥➳✉ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✶✮ tç♥ t↕✐
✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ SX ✳

✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

✶✳✷✳✶ ⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
❑þ ❤✐➺✉ 2X ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ X ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ⑩♥❤ ①↕ J s : X → 2X ✱ s > 1 ✭♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❧➔ ✤❛ trà✮ ①→❝
∗

✤à♥❤ ❜ð✐

J s (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗

x , x∗ = x

s−1

x ∈ X,

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✳ ❑❤✐ s = 2✱
→♥❤ ①↕ J 2 ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ J ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛

X✳
❑þ ❤✐➺✉ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤ì♥ trà ❧➔ j ✳




ử r ổ rt H ố t
ỡ I

ỡ tr ừ ố t õ ố ợ t
ừ ừ ổ ữ tr ỵ s

ỵ X ổ ợ ố t

õ s tữỡ ữỡ
(i) X ổ trỡ
(ii) J ỡ tr
(iii) ừ X t ợ
x = x 1 Jx
ỵ sỷ X ổ tỹ Jp :
X 2X , 1 < p < ố t õ ợ t ý

x, y X, t õ t tự s


J : X 2X .



||x + y||p ||x||p + p y, jp (x + y)



ợ ồ jp(x + y) Jp(x + y). t p = 2 t
||x + y||2 ||x||2 + 2 y, j( x + y)



ợ ồ j(x + y) J(x + y)

C t rộ ừ ổ E

(i) T : C E ữủ ồ L tử st tỗ t
số L 0 s
Tx Ty L x y

x, y C.



(ii) r L [0, 1) t T ữủ ồ L = 1 t T
ữủ ồ ổ

ồ ổ ợ t t ở rộ tỹ ổ


sỷ K t ừ ổ t t
X t T : K E tọ (T ) = T ữủ

ồ tỹ ổ T x T x x x tọ ợ ồ x K
x F (T )




t t ở
ỵ (T ) := {x C : T x = x} t t ở ừ T
õ t q s t t ừ t (T )

ỵ C t rộ ỗ õ tr ổ
ỗ t E T : C E ổ õ t (T )
t ỗ õ
t t ở ữủ t ữ s

t T : C C ổ tứ t ỗ õ
rộ C ừ ổ E õ ợ (T ) = tỷ

x (T )

ỵ ỵ sỷ (M, p) ổ

tr ừ T : M M õ T õ t t
ở tỗ t t x M tọ T x = x r ợ t

ý x0 M {xn} ữ s xn+1 = T xn, n 0 ở tử tợ
t ở ừ T
ỵ t X ổ K t ỗ
õ ừ X ợ trú sỷ T : K K ổ
õ T õ t ở
ổ ố ữ trữớ ủ tr ỵ ởt
ử t tữớ r ởt ữ s xn+1 = T xn , x0 K, n 0,
tr õ K t rộ ỗ õ ừ ổ
tỹ X ợ ổ T : K K õ t t ở
õ t ổ ở tử t ở
rsss tr tr ử t õ t t ữủ ởt
1
ở tử t t T ổ (I + T ) tr õ I
2
ỗ t t x0 K
1

xn+1 = (xn + T xn ), n = 0, 1, ...
2
tữớ ữủ ồ Pr xn+1 = T xn , x0 K, n 0.
1
T (I + T ) õ ũ t t ở ợ ừ
2
t ở ừ T


✶✵

❚ê♥❣ q✉→t ❤ì♥✱ ♥➳✉ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✈➔ K ❧➔ t➟♣
❝♦♥ ❧ç✐ ❝õ❛ X ✱ ♠ët ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❞➣② ❧➦♣ ✭✶✳✺✮ tr♦♥❣ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣

❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ T : K → K ✭❦❤✐ ❝❤ó♥❣ tç♥ t↕✐✮✱ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

x0 ∈ K,
xn+1 = (1 − λ)xn + λT xn , n = 0, 1, ...; λ ∈ (0, 1)

✭✶✳✻✮

✈î✐ λ ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ♥❤➜t ❧➔ ❞➣② ❧➦♣ ❧♦↕✐ ▼❛♥♥ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷
s❛✉✿ x0 ∈ K ✱

xn+1 = (1 − Cn )xn + Cn T xn , n = 0, 1, 2, ...

✭✶✳✼✮

tr♦♥❣ ✤â {Cn }∞
n=1 ⊂ (0, 1) ❧➔ ❞➣② sè t❤ü❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤➼❝❤
❤ñ♣✳ ❱î✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❜ê s✉♥❣ ♥❤÷ s❛✉
✭✐✮ lim Cn=0 ❀
✭✐✐✮

n

C n = ∞✱

i=1

❞➣② {xn } ①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ✭✶✳✼✮ ❧➔ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❞➣② ❧➦♣ ▼❛♥♥
✭✶✾✺✸✮✳ ❉➣② ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr✉② ❤ç✐ ✭✶✳✻✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝
❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐✲▼❛♥♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ P❤➛♥ t✐➳♣

t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ q✉❛♥ trå♥❣ ✤➸ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠
❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳


❈❤÷ì♥❣ ✷

❱➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ →♥❤
①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❍❛❧♣❡r♥ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤
①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ tê♥❣ ❤ñ♣ tø ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✸❪✕❬✶✷❪✳

✷✳✶ ❈❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥

✷✳✶✳✶ ❉→♥❣ ✤✐➺✉ ❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥
●✐↔ sû T : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr➯♥ t➟♣ ❝♦♥ K ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✳ ✣➦t

Sλ := λI + (1 − λ)T,

λ ∈ (0, 1),

tr♦♥❣ ✤â I ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ç♥❣ ♥❤➜t tr➯♥ K ✳ ❱î✐ x0 ∈ K ❝❤♦ tr÷î❝✱ t❛ ①→❝ ✤à♥❤
❞➣② ❧➦♣ {Sλn (x0 )} ❜ð✐

Sλn (x0 ) = λxn + (1 − λ)T xn ,

xn = Sλn−1 (x0 ).

❚r♦♥❣ ❬✽❪✱ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✐ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ♥➳✉ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐
✤➲✉ ✈➔ K ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t✱ t❤➻ ✈î✐ ❜➜t ❦ý x0 ∈ K ✱ ❞➣② ❧➦♣

S n1 (x0 )
2

∞

n=1

, ✈î✐

S 12 = 12 (I + T ) ❤ë✐ tö ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T ✳ ❙❝❤❛❡❢❡r ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ♥➔②
✶✶




ú ợ t ý S = I + (1 )T tr õ 0 < < 1 st
r ữủ ỗ t ừ ổ X ừ ởt
ọ t r õ t ữủ ọ ổ X ỗ t
ổ ọ ữủ r s tr
ỵ ữợ

ỵ sỷ K ởt t ừ ổ

T : K X ởt ổ ợ x0 K {xn}n=1

X

xn+1 = (1 Cn )xn + Cn T xn ,

n = 0, 1, 2, . . .



tr õ số tỹ {Cn}n=0 tọ s


(a)

Cn
n=0

ý

ợ ồ số ữỡ n
xn K ợ ồ số ữỡ n õ {xn}n=1 t
xn T xn 0 n
(b) 0 Cn b 1

ởt q ừ ỵ t K ỗ t t {xn }
ữ tr ở tử t ở ừ T
ỵ ữợ ởt q ừ ỵ K
t ỗ T tứ K t õ ừ ổ

X t
S = (1 )I + T,

(0, 1)

q t x

Sn+1 x Sn x 0 n .
q t ữủ ữ r rr Ptrs tr
q t q tợ t tỗ t t ở ừ
T ữủ t t q ữợ

ỵ sỷ M ổ tr T : M M

tử q t t x0 M õ t ý tử ừ
{T n(x0)}n=1 t ở ừ T


✶✸

◆❤÷ ✈➟②✱ tø t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T ✱ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ Sλ t↕✐

x0 ∈ K ❜➜t ❦ý s✉② r❛ Sλ (p) = p ✈î✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ tö p ❝õ❛ ❞➣② {Sλn (x0)}∞
n=1 ✳ ❚➼♥❤
❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ ❦❤æ♥❣ ❝❤➾ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤
tç♥ t↕✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ♠➔ ❝á♥ ❝❤➾ r❛ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝ö t❤➸✱ ❞➣②
❧➦♣ ❤ë✐ tö ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♠ët →♥❤ ①↕✳ ❈ö t❤➸ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣
♠➺♥❤ ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙②✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✸✳ ❈❤♦ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ G : E → E ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕
t✉②➳♥ t➼♥❤ tø X ✈➔♦ X ✳ ●✐↔ sû G ❜à ❝❤➦♥ ♠↕♥❤✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✱ ✈î✐ k ≥ 0, Gn ≤
k ✱ n = 1, 2, . . .✱ ✈➔ ❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥✳ ◆➳✉ ✈î✐ ♠é✐ x0 ∈ E ✱ co {Gn (x0 )} ❝❤ù❛
✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ x∗ ❝õ❛ G✱ t❤➻ ❞➣② {Gn(x0)} ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ x∗✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ε > 0 ❝❤♦ tr÷î❝✱ y ∈ co {Gn(x0)} ✈î✐ x∗ −y < 2(k ε+ 1) ✳

✣➦t y =

m

λj Gj (x0 ) tø t➼♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ G t❛ ❝â

j=1

Gn (x0 − x∗ ) = Gn (x0 − y) + Gn (y − x∗ )
m
n

λj Gj (x0 )

x0 −

=G

+ +Gn (y − x∗ )

j=1
m

λj Gn (x0 ) − Gn+j (x0 ) + Gn (y − x∗ ),

=
j=1

✈➻

m

λj = 1✳ ❱➻ ✈➟②✱

j=1
m
∗

n

λj Gn (x0 ) − Gn+j (x0 )

G (x0 − x ) ≤
j=1

+

kε
2(k + 1)

kε
✳
2(k + 1)
❚ø t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ G✱ tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ N0 > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐
♠å✐ n ≥ N0 , t❛ ❝â
ε
Gn (x0 ) − Gn+j (x0 ) ≤ , (j = 1, 2, . . . , m).
2
❞♦ Gn (y − x∗ ) ≤ Gn . (y − x∗ ) ≤

❱➻ ✈➟②✱

m
n

∗

G (x0 − x ) <

λj
j=1

ε
ε
+ =ε
2
2

∀n ≥ N0 .




s r Gn (x0 x ) = Gn (x0 ) x 0 n

t ứ ỵ t t r X ổ
t K ừ X t t t tr trữớ ủ tờ qt

{Sn (x0 )} s ổ õ tử ữ tr ử ữợ

ử ỗ t t ỗ õ K tr ổ rt
l2 ởt ổ T : K K x0 K tọ
ổ ở tử t

S n1 (x0 )
2

ổ X ữủ ồ ổ

ợ ồ {xn }
n=0 tr X s {xn }n=0 ở tử x X t t

tự

lim inf xn y > lim inf xn x
n

n

tọ ợ ồ y = x

t ợ ổ t t t ý X sỹ tỗ t

ừ ố tử s r X ổ ữ

ữủ ổ ú t lp (1 < p < ) ổ
ữ Lp (1 < p < p = 2) ổ ổ
sỷ K t ỗ t ừ ổ tỹ X

T : K K ổ r ử r r õ

t ổ ữủ sỹ ở tử ừ tợ
t ở ừ T ỵ ữợ r ở tử
tợ t ở ừ T X ổ

q t
K ởt t ừ ổ tỹ X
U : K X ữủ ồ

q t ợ t ý > 0

tỗ t số N > 0 s ợ ồ x0 K ợ ồ n N, t õ

U n+1 x0 U n x0 <

t ủ A x0 A {xn}n=0 ữủ ồ
ữủ tỗ t ởt ổ t {Cn }
n=0 tr (0, 1) s
tọ




t t tr ự ởt số t q s

ỵ K ởt t ừ ổ tỹ X

ởt ổ sỷ ợ x0 K tỗ t ởt
ữủ {xn}n=0 K õ n
lim xn+1 xn = 0
r K t ừ X t ợ tr

ỵ ợ K X f ữủ ữ tr ỵ ợ
x0 K sỷ tỗ t ữủ {xn }
n=0 K s
ổ t {Cn}n=0 ụ tọ 0 < a Cn < 1 ợ ồ n 1
õ n
lim xn f (xn ) = 0
ỵ K t ừ ổ tỹ X
ổ f : K X sỷ tỗ t t A K s ợ ộ x0 A
tỗ t ữủ {xn}n=0 A sỷ tỗ t > 0 s ợ
ộ số ữỡ N, ữủ {xn}n=0 A õ
f :K X



sup xk+1 xk > .
kN

õ A ổ
ự ỵ ỵ tứ ỵ

ự ự ỵ s trỹ t

tứ ỵ tự t t {xn }
n=0 = A tr ỵ
tự t K = A.

ự ỵ f ổ t õ
xn+1 xn = (1 Cn )(xn f (xn )) + f (xn ) f (xn+1 )
(1 Cn ) (xn f (xn ))
+ xn ((1 Cn )xn + Cn f (xn ))

= xn f (xn ) .
{ xn f (xn ) }
n=0 ổ t ữợ lim xn f (xn )
tỗ t ứ xn+1 = (1 Cn )xn + Cn f (xn )

1
1
xn+1 xn lim xn+1 xn = 0,
n Cn
a n

lim xn f (xn ) = lim

n

n


✶✻

✭t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✶✷ ❞➣② ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ {xn }∞
n=0 ❜à ❝❤➦♥✮✱ ✈➔ ✤✐➲✉ ♥➔② t❛ ❝â
✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✶✶✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✶✷✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✶✷ ●✐↔ sû ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ A ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ①➨t

xn ≤ p

✈î✐ ♠é✐ n✳ ❳➨t M ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❝❤♦ tr÷î❝ t❤ä❛ ♠➣♥ (M − 1)δ > 2p + 1✳
❈❤å♥ N ✱ ✈î✐ N > max M, [(2p − δ)M/(1 − c1 )M C1 ]

✭tr♦♥❣ ✤â [x] ♣❤➛♥

♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ x✮ s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ δ > 0 ✈➔ x0 ∈ A✱ ❞➣② ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ {xn }∞
n=0 ⊂ A
t❤ä❛ ♠➣♥ xN +1 − xN

> δ ✳ ❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ f ✱ t❛ ❞➵

❞➔♥❣ t❤✉ ✤÷ñ❝

xn+1 − xn = Cn (1 − Cn−1 )xn−1 − f (xn−1 ) + f (xn−1 ) − f (xn )
Cn (1 − Cn−1 ) xn−1 − f (xn−1 )+
+ xn−1 − [(1 − Cn−1 )xn−1 + Cn−1 f (xn−1 )]
Cn
xn−1 − xn
xn−1 − xn
=
C−1
❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ❝ò♥❣ s✉② r❛ tø ✭✷✳✶✮ ✈î✐ n t❤❛② ❜ð✐ n − 1 ✈➔ T t❤❛② ❜ð✐ f ✱
✈➔ ✈➻ ❞➣② {Cn }∞
n=1 ❦❤æ♥❣ t➠♥❣✳ ❱➻ xi+1 − xi > δ ✈î✐ ♠å✐ i

N ✱ ✈➔

δ < xN +1 − xN ≤ xN − xN −1 ≤ · · · ≤ x2 − x1 ≤ 2p,
f (xi + 1) − f (xi ) ≤ xi+1 − xi , ∀i = 0, 1, . . . , N,

✭✷✳✷✮
✭✷✳✸✮

✈➔ xi+1 = (1 − Ci )xi + Ci f (xi ) s❛♦ ❝❤♦

f (xi ) =

xi+1
−
Ci

1 − Ci
Ci

xi , i = 1, 2, . . . , N ;

✭✷✳✹✮

s✉② r❛

1
1
{xi+1 − (1 − Ci xi )} −
{xi − (1 − Ci−1 )xi−1 }
Ci
Ci−1
= f (xi ) − f (xi−1 ) ≤ xi − xi−1 ,
✤✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ tî✐

1
[xi+1 − xi ] −
Ci

1 − Ci−1
Ci−1

[xi − xi−1 ] ≤ xi − xi−1

✭✷✳✺✮


✶✼

✈î✐ ♠å✐ i = 1, 2, . . . , N ✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ✤➦t I = [(2p − δ)/(1 − C1 )M C1 ] ✈➔ ①➨t
❤å I ❝→❝ ❦❤♦↔♥❣ [sk , sk+1 ] tr♦♥❣ ✤â

δ + k(1 − C )M C , k = 0, 1, . . . , I − 1,
1
1
Sk =
2P,
k = I.
❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❦❤♦↔♥❣ ♣❤↔✐ ❝❤ù❛ ➼t ♥❤➜t M sè tr♦♥❣ ❝→❝
N −1
sè { xi − xi+1 }i=0
⊆ [δ, 2p]✳ ◆➳✉ ✤✐➲✉ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛✱ t❤➻

N < MI = M

2p − δ
(1 − C1 )M C1

✤✐➲✉ ♥❛② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ❝→❝❤ ❝❤å♥ N ✳ ❱➻ ✈➟② ✈î✐ r✱ ✈➔ s = sk ∈ [δ, 2p]✱ t❛ ❝â

xr+i+1 − xr+i ∈ [s, s + (1 − C1 )M C1 ]

✭✷✳✻✮

✈î✐ i = 0, 1, . . . , (M − 1)✳ ✣➦t ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , N ✳ ❚❤❛② t❤➳ i
tr♦♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✺✮ ❜➡♥❣ r + M − j − 1, (j = 0, 1, . . . , M − 1) t❛ ❝â ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✺✮ ✈➔ ✭✷✳✻✮ s✉② r❛

1
Cr+M −j−1

∆xr+M −j −

1 − Cr+M −j−2
Cr+M −j−2

∆xr+M −j−1 ≤ s + (1 − C1 )M C1 .
✭✷✳✼✮

❈❤å♥ f ∗ ∈ X ∗ ✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ X ✱ ✈î✐

f ∗ = 1 ✈➔ f ∗ (∆xr+M ) = ∆xr+M .
❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✼✮ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

1 − Cr+M −j−2
f ∗ (∆xr+M −j−1 )
Cr+M −j−1
Cr+M −j−2

1 − Cr+M −j−2
1
≤ f∗ .
∆xr+M −j −
∆xr+M −j−1
Cr+M −j−1
Cr+M −j−2
1

f ∗ (∆xr+M −j ) −

≤ s + (1 − C1 )M C1 .
❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② t❛ ❝â

f ∗ (∆xr+M −j−1 ) ≥
−

Cr+M −j−2
Cr+M −j−1

Cr+M −j−2
1 − Cr+M −j−2

1
1 − Cr+M −j−2

f ∗ (∆xr+M −j )

f ∗ (∆xr+M −j ) (s + (1 − C1 )M C1 ).

✭✷✳✽✮


✶✽
−1
❱➻ ❞➣② {Ci }∞
≤ (1 − C1 )−1 ✈➔
i=0 ❦❤æ♥❣ t➠♥❣✱ ♥➯♥ ✈î✐ ♠å✐ i ≥ 1, (1 − Ci )

Ci (1 − Ci )−1 ≤ C1 (1 − C1 )−1 ✳ ❱î✐ j = 0✱ tø
f ∗ (∆xr+M ) = ∆xr+M ∈ [s, s + (1 − C1 )M C1 ]
✈➔ ✭✷✳✽✮ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝✱

f ∗ (∆xr+M −1 ) ≥

1
1 − Cr+M −2

Cr+M −2
1 − Cr+M −2

s−

s + (1 − C1 )M C1 )

≥ s − C12 (1 − C1 )M −1 .

✭✷✳✾✮

❚❛ s➩ ❝❤➾ r❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✾✮ s✉② r❛

j
∗

M −1

f (∆xr+M −j−1 ) ≥ s − (1 − C1 )

1
1 − C1

C12
t=0

t

✭✷✳✶✵✮

,

✈î✐ j = 1, 2, . . . , M − 1✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣✳ ❱î✐ j = 0✱ t❤➻ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ✭✷✳✶✵✮ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✾✮✳ ●✐↔ sû ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✵✮ ✤ó♥❣
✈î✐ ♠å✐ j ≤ k ✱ ✈î✐ k ∈ 1, 2, 3, . . . , M − 2✳ ❑❤✐ ✤â tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮ ✈➔
❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

f ∗ (∆xr+M −(k+1)−1 ) = f ∗ (∆xr+M −k−2 )
≥

≥

1

Cr+m−k−3
f ∗ (∆xr+m−k−2 )
Cr+m−k−2
1 − Cr+m−k−3
Cr+m−k−3
−
s + (1 − C1 )M C1 )
1 − Cr+m−k−3
k

1

M −1

s − (1 − C1 )

1 − Cr+m−k−3
−

≥s−
−

t=0

Cr+m−k−3
1 − Cr+m−k−3

1
1 − Cr+m−k−3
k

1
1 − C1

(1 − C1 )

C1
1 − C1

(1 − C1 )M C1

M −1

k+1

= s − (1 − C1 )

C12
t=0

1
1 − C1

t

.

1
1 − C1

t

s + (1 − C1 )M C1 )

1
1 − C1

C12
t=0

M −1

C12

t


✶✾

❉♦ f ∗ ❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ❧➜② tê♥❣ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✵✮ t❤❡♦

j = 0, . . . , (M − 2) t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝✿
f ∗ (xr+M −1 − xr ) = f ∗ (xr+M −1 ) − f ∗ (xr )
≥ (M − 1)s − (1 − C1 )M −1 C12 1 + 1 +
+ ··· +

1
1+
+ ··· +
1 − C1

1
1 − C1

1
1 − C1

M −2

.

✣➦t λ = 1 − C1 ✱

f ∗ (xr+M −1 − xr ) = (M − 1)s − λM −1 (1 − λ)2 [1 +

λ+1
λ

λM −2 + ... + λ + 1
+ ··· +
]
λM −2
1 − λ 1 − λ2
+
= (M − 1)s − λ(1 − λ)[λM −1 {
λ
λ2
1 − λM −1
}]
+ ··· +

λM −1
≥ (M − 1)s − 1,
✈➻
M −1

λ(1 − λ) λ

1−λ
λ

+

1 − λ2
λ2

+ ··· +

1 − λM −1
λM −1

< λ(1 − λ)(λM −2 + · · · + λ + 1) ≤ 1.
▼➔ s ≥ δ s✉② r❛ (M − 1)s ≥ (M − 1)δ > 2p + 1✱ ✈➻ ✈➟②

f ∗ (xr+M −1−x−r ) > p.
❚❛ ❝ô♥❣ ❝â

f ∗ (xr+M −1−xr ) ≤ |f ∗ (xr+M −1−xr )| ≤ f ∗ . xr+M −1 − xr
= xr+M −1 − xr .
❱➻ ✈➟② xr+M −1 − xr > 2p✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t xn ≤ p ✈î✐
♠é✐ n✱ ✈➟② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✷✵

✷✳✷ ❙ü ❤ë✐ tö
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② t❛ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② sü ❤ë✐ ♠↕♥❤ ✈➔ ❤ë✐ tö ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② ❧➦♣ ✭✷✳✶✮
tî✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳

✷✳✷✳✶ ✣à♥❤ ❧þ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤
❙û ❞ö♥❣ ❦ÿ t❤✉➟t ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✶✷ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝
❦➳t q✉↔ s❛✉✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶✳ ❈❤♦ K ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ X ✈➔ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ f

: K → X✳

●✐↔ sû x0 ∈ K ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❞➣② ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
{xn }∞
n=0 ⊆ K ❝â ✤✐➸♠ tö q ∈ K ✳ ❑❤✐ ✤â f (q) = q ✈➔ xn → q ✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉
♠✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ f ❝❤ù❛ tr♦♥❣ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t ❝õ❛ K t❤➻ ❞➣② {xn}∞n=0 ❤ë✐ tö
♠↕♥❤ tî✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ f ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆➠♠ ✶✾✻✹ ❊❞❡❧st❡✐♥✱ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ✤÷ñ❝ r➡♥❣ q ❝ò♥❣ ❧➔ ✤✐➸♠ tö ❝õ❛
{f n (q)} ✈➔ f n+1 (q) − f n (q) = f (q) − q ✈î✐ ♠å✐ n✳ ❱➻ ✈➟② ♥➳✉ f i (q) := xi

✈➔ ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . t❤➻ ∆xi+1 = ∆xi ✈î✐ ♠å✐ i✳ ◆❤÷ tr♦♥❣
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✶✷✱ t❛ ❝â✱

Ci
xi − xi−1

Ci − 1
= ∆xi ,

∆xi + 1 = xi+1 − xi ≤
≤ xi − xi−1

✈➔ s✉② r❛ Ci = Ci−1 ✈î✐ ♠å✐ i ✈➻ ∆xi−1 = ∆xi ✳ ❱➻ ✈➟② tø

xi+1 − xi = (1 − Ci )xi + Ci f (xi ) − (1 − Ci − 1)xi−1 − Ci−1 f (xi−1 )
t❛ ❝â

∆xi+1 ≤ (1 − Ci ) ∆xi + Ci ∆f (xi )
≤ (1 − Ci ) ∆xi + Ci ∆xi
= ∆xi ,
tø ❦➳t q✉↔ ♥➔② t❛ ❝â ∆xi = ∆f (xi ) ✳ ●✐↔ sû ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❧➔✱

∆xi = ∆f (xi ) = β > 0, i = 1, 2, . . .

✭✷✳✶✶✮


✷✶

❈❤å♥ N, K ∈ N + ✤õ ❧î♥✳ ❚ø ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✶✮ t❛ ❝â✱ ✈î✐ i = N + K ✱

∆xN +K = ∆f (xN +K ) = β > 0
❳➨t f ∗ ∈ X ∗ s❛♦ ❝❤♦

= 1 ✈➔ f ∗ (∆xN +K ) =

f

✭✷✳✶✷✮

∆xN +K ✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐

j = 0, 1, 2, . . . ✱
f ∗ (∆f (xN +K−j )) ≤ f ∗ . ∆f (xN +K−j ) = ∆f (xN +K−j ) = s.

✭✷✳✶✸✮

❚ø xN +K−j+1 = (1 − CN +K−j )xN +K−j + CN +K−j f (xN +K−j ) ✈➔ Ci = Ci−1 ✈î✐
♠å✐ i✱ t❛ ❝â

∆xN +K−j+1 = (1 − CN +K−j )∆xN +K−j + CN +K−j ∆f (xN +K−j ).

✭✷✳✶✹✮

❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿

f ∗ (∆xN +K−j ) ≥ β

✈î✐ j = 0, 1, . . . .

✭✷✳✶✺✮

❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tr÷î❝ ❤➳t t❛
❝â f ∗ (∆xN +K ) = ∆xN +K = β t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✺✮ ✈î✐ j = 0✳
❈á♥ ♥➳✉ j = 1✱ tø ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✹✮ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✸✮ t❛ ❝â

f ∗ (∆xN +K−1 ) =

≥

1
f ∗ (∆xN +K )
1 − CN +K−1
CN +K−1
−
f ∗ (∆f (xN +K−1 ))
1 − CN +K−1
CN +K−1
1
β−
β = β.
1 − CN +K−1
1 − CN +K−1

●✐↔ sû ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✺✮ ✤ó♥❣ ✈î✐ j = 0, 1, . . . , t✳ ❑❤✐ ✤â →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ✭✷✳✶✸✮ ✈➔ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✹✮ ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣ t❛ ❝â

f ∗ (∆xN +K−t−1 ) =

≥

1

f ∗ (∆xN +K−t )

1 − CN +K−t−1

CN +K−t−1
−
f ∗ (∆f (xN +K−t−1 ))
1 − CN +K−t−1
1
CN +K−t−1
β−
β = β.
1 − CN +K−t−1
1 − CN +K−t−1

❚÷ì♥❣ tü ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✶✷ ✈➔ ❧➜② tê♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✺✮
t❤❡♦ j = 0, 1, . . . , K − 1 t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

xN +K − xN ≥ f ∗ (xN +K − xN ) ≥ Kβ,

✭✷✳✶✻✮




{xi }
i=0 ổ õ ở tử t ợ tt {xn }n=0 õ

tử õ = 0 f (q) = q xn q f ổ

tr t q t t t s

C t ừ ổ t t

tỹ X f : C X ữủ ồ ỷ t t t

h X ợ t ý {xn }
n=0 tr C s xn f (xn ) h
n tỗ t {xnj }
j=0 x C s xnj x j
x f (x) = h

q X ổ tỹ C t õ

ừ X f : C C ổ sỷ (i) f ỷ t
t 0 (ii) (I f ) t õ ừ X t õ
ừ X ợ x0 C t {xn}n=0 C ữủ ự ợ số
tỹ {Cn}n=0 ỗ tớ tọ 0 < a Cn b < 1 ợ ồ n 1 õ
{xn }
n=0 ở tử tợ t ở ừ f tr C
ự (i) ứ xn+1 = (1 Cn)xn + Cnf (xn) t õ
xn f (xn ) =

1
{xn xn1 }.
Cn


t C {xn }
n=0 {Cn }n=1 ụ

ữợ 0 ỵ s r {xn f (xn )} ở tử tợ

0 tứ t ỷ t ừ f t 0 {xn }

n=0 õ tử
tr C ỵ t õ ự

(ii) q t ở ừ f t { xn q }
n=0 ổ t
t n õ t r tỗ t ừ {xn }
n=0 ở tử
tợ t ở ừ f ợ x0 C t K õ
ừ t {xn }
n=0 ỵ {(I f )(xn )} ở tử tợ

0 n 0 tở õ ừ t (I f )(K)
(I f )(K) t õ t K õ 0 (I f )(K)
tỗ t {xnj }
j=0 s xnj à C ợ à tọ

(I f )à = 0 õ xn à




ỵ ở tử
ỷ õ

T : K X ữủ ồ ỷ õ t y ợ

t ý {xn }
n=0 K ở tử tợ x K {T (xn )}n=0 ở tử

tợ y K s r T x = y

ỵ X ổ ổ f : K K
ợ K t ỗ t tr X t ý x0 K t {xn}n=0 K
ữủ ự ợ ổ t {Cn}n=1 tọ 0 < a Cn < 1
ợ ồ n 1 õ {xn}n=0 ở tử tợ t ở ừ f
ự X ổ f ổ (I f )
ỷ õ r t ỵ f t q õ t
rr Ptrs ợ t ý tử ừ {xn }
n=0 K
t ở ừ f s r {xn }
n=0 K õ t
tử t sỷ tỗ t tử t ừ {xn }
n=0


q1 q2 {xni }
i=1 {xnj }j=1 s {xni }i=1 ở tử tợ

q1 {xnj }
j=1 ở tử tợ q2 t p (f ) ợ (f ) t
t ở ừ f õ t õ xn+1 p xn p ợ ộ

n 0 s lim xn p tỗ t ợ ồ p (f ) X ổ
n

t õ

lim xn q1 = lim xni q1 < lim xni q2 = lim xn q2

n

i

i

n



lim xn q2 = lim xnj q2 < lim xnj q1 = lim xn q1 ,

n

i

i

n

t ợ tt s r tỗ t t ởt tử

q ừ {xn }
n=0 K t t ừ K t õ {xn }n=0 ở tử
tợ q

ỵ K t ỗ õ ừ ổ

X

T : K X tử tọ

(i) (T ) =