Bai giang toan c nam 2014

Đại Học Duy Tân
Khoa : KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Bộ môn : TỐN
Giảng viên : ThS. NGUYỄN THỊ NGỌC BÍCH

TẬP BÀI GIẢNG

Mơn học : Tốn Cao Cấp C

Mã mơn học : MTH -100

Số tín chỉ : 3 trong đó Lý thuyết : 3 Thực hành : 0
Dành cho sinh viên ngành : Năm thứ nhất thuộc khối ngành khoa học xã hội
Khoa/Trung tâm : Ngoại ngữ - Du Lịch – Khoa khoa học xã hội
Bậc đào tạo : Cao Đẳng - Đại học
Học kỳ : I & II Năm học: 2014 – 2015.

Đà Nẵng, năm 2014


PHÂN BỐ GIỜ GIẢNG DẠY : 45 giờ
GIỜ THỨ
1

NỘI DUNG

TRANG

Giới thiệu tổng quan về môn học
Chương 1: Hàm số - đồ thị - giới hạn

2, 3

1.1. Hàm số

1-5

4

1.2. Đồ thị của hàm số

5-9

5

1.3. Hàm tuyến tính

9 - 13

6, 7

1.4. Các mơ hình hàm số

13 - 20

8

1.5. Giới hạn của hàm số

20 - 24

9

1.6. Sự liên tục của hàm số

25 - 31

Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm
10, 11

…

2.1: Đạo hàm - Hệ số góc – Tốc độ

32 - 35

2.2: Các quy tắc tính đạo hàm

35 - 38

2.3: Phân tích cận biên

38 - 44

15

2.4. Quy tắc đạo hàm hàm hợp

44 - 46

16

2.5. Đạo hàm cấp cao

46 - 48

17, 18

2.6. Sự tối ưu hóa

49 - 53

19, 20

2.7. Các bài toán tối ưu trong thực tế

53 – 59

2.8. Hàm mũ và hàm logarit
Kiểm tra giữa kỳ
Chương 3: Tích phân

59 - 70

25, 26

3.1. Nguyên hàm - Tích phân bất định

71 – 74

27, 28

3.2. Các phương pháp tính tích phân

74 - 77

29, 30

3.3. Phương trình vi phân

77 - 81

3.4. Tích phân xác định

81 - 95

35, 36

Kiểm tra thường kỳ
Chương 4: Hàm nhiều biến
4.1. Hàm nhiều biến

96 - 99

37, 38

4.2. Các đạo hàm riêng

99 - 102

4.3. Sự tối ưu của hàm hai biến

102 - 108

42, 43

4.4. Sự tối ưu ràng buộc – Phương pháp nhân tử Lagrange

108 - 120

44, 45

Ôn tập thi kết thúc học phần

12
13, 14

21, 22, 23
24

31, 32, 33
34

39, 40, 41


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Chương 1: HÀM SỐ - ĐỒ THỊ - GIỚI HẠN

* Mục tiêu:
+ Về kiến thức: Trong chương này các bạn cần nắm: Khái niệm hàm số các khái
niệm liên quan; nắm được các lập một mơ hình hàm số như mơ hình hàm tuyến tính,
mơ hình hàm bậc hai, mơ hình hàm lũy thừa, mơ hình hàm bộ phận …; phải biết cách
vẽ phác họa đồ thị của một hàm; Nắm được khái niệm giới hạn và các phương pháp
tìm giới hạn cơ bản; Nắm được khái niệm hàm liên tục và từ đó phải giải quyết được
các bài tốn ứng dụng.
+ Về kỷ năng: Lập được mơ hình các hàm số một cách thành thạo từ các vấn đề
cụ thể trong thực tiễn; nhận dạng và sử dụng các phương pháp thích hợp để tính giới
hạn của hàm số; Khảo sát được sự liên tục của hàm số của các bài toán đơn giản và
nâng cao.

1.1 HÀM SỐ
1.1.1. Hàm số
Trong thực tiễn, chúng ta thấy rằng giá trị của một đại lượng này phụ thuộc vào
giá trị của một đại lượng kia. Chẳng hạn: Nhu cầu thịt bị của khách hàng thì phụ thuộc
vào giá của nó trên thị trường; lượng khí thải trong khơng khí của một đơ thị thì phụ
thuộc vào số ơ tơ lưu hành trong đơ thị đó hay giá trị của một chai rượu phụ thuộc vào
số tuổi của nó… Như vậy, các mối quan hệ này có thể được mơ tả trong Tốn học, và
cơng cụ để biểu diễn các mối quan hệ này đó chính là hàm.
Khái niệm: Hàm là một quy tắc ứng với mỗi phần tử trong tập A với một và chỉ một
phần tử trong tập B. Tập A được gọi là miền xác định của hàm và tập B được gọi là
miền giá trị của hàm.
Khi A và B là các tập số thì hàm được gọi là hàm số.
Trong toàn bộ các hàm cho trong giáo trình này đều có tập miền xác định và miền
giá trị là tập các số thực và hàm được ký hiệu bằng ký tự f . Giá trị của hàm f tương
ứng với số x trong miền xác định được kí hiệu là f ( x) , và nó thường được cho bởi
một công thức, chẳng hạn f ( x ) = 3x 2 + 5x − 10 .

Đầu vào

x

a) Hàm là một ánh xạ

Đầu ra

f
máy

f ( x)

b) Hàm giống như một cái máy

Hình 1.1 Biểu diễn của hàm f ( x) .
Khoa Khoa Học Tự Nhiên

1

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Hình trên giúp chúng ta hình dung hàm như là một “ánh xạ” từ những phần tử
trong tập A với các phần tử trong tập B (Hình 1.1a), hoặc như là một “cái máy” nhận
phần tử trong tập A và biến đổi thành một phần tử trong tập B, quá trình này được chỉ
ra bởi quy tắc của hàm (Hình 1.1b).
Hàm cũng có thể đựợc biểu diễn bằng dạng bảng dữ liệu. Chẳng hạn, bảng 1.1 liệt

kê lượng dân số làm nông nghiệp của nước Mỹ trong những thập niên 1910 đến 1990.
Lượng dân số làm
Phần trăm
nông nghiệp
dân số
34.9
32077
1910 1
30.2
31974
1920 2
24.9
30529
1930 3
23.2
30547
1940 4
15.3
23048
1950 5
8.7
15635
1960 6
4.8
9712
1970 7
2.7
6051
1980 8
1.8

4591
1990 9
Bảng 1.1. Lượng dân số làm nông của nước Mỹ
Năm

n

Chúng ta có thể biểu diễn dữ liệu này bằng một hàm f được xác định bởi quy tắc:
f(n) = [Lượng dân số làm nơng nghiệp vào thập niên thứ n]
Do đó, f (1) = 32077 ; f (5) = 23048 và f (9) = 4591 . Trong đó miền xác định của f
là tập các số nguyên A = {1, 2, 3,", 9}.
1.1.2. Các ví dụ và ứng dụng
1
Ví dụ 1.1. Tìm f (− ) , f (1) và f (2) nếu
2
⎧ 1
neáu x < 1
⎪
f (x) = ⎨ x − 1
⎪ 2
⎩3 x + 1 nếu x ≥ 1
Giải:
1
Vì x = − thoả x < 1 , dùng biểu thức phía trên ta có:
2
1
1
1
2
f (− ) =

=
=− .
2
3
−1/ 2 − 1 −3/ 2
Tuy nhiên, x = 1 và x = 2 thoả x ≥ 1 , vì thế f (1) và f (2) đều dùng biểu thức phía
dưới để tính:
f (1) = 3(1)2 + 1 = 4 ; f (2) = 3(2)2 + 1 = 13
Ví dụ 1.2. Giả sử tổng chi phí (đvtt) sản xuất q đơn vị của một loại hàng hố nào đó
được cho bởi hàm C (q ) = q 3 − 30q + 500q + 200 .
(a) Tính chi phí sản xuất 10 đơn vị hàng hố.
(b) Tính chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 10.
Giải:
Khoa Khoa Học Tự Nhiên

2

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

(a) Chi phí sản xuất 10 đơn vị là giá trị của hàm tổng chi phí khi q = 10 . Tức là:
Chi phê san
í xuátú 10 âån vë = C (10) = (10)3 − 30(10)2 + 500(10) + 200 = 3200âvtt
(b) Chi phí sản xuất đơn vị thứ 10 là sự chênh lệch giữa chi phí sản xuất 10 đơn vị và
chi phí sản xuất 9 đơn vị. Tức là:
Chi phê cu âån vë thỉï 10 = C (10) − C (9) = 3200 − 2999 = 201âvtt

1.1.3. Hàm hợp
Khái niệm hàm hợp: Cho các hàm f (u ) và g ( x) , hàm hợp f ( g ( x) ) là hàm theo biến
x nhận được bằng cách thay u = g ( x) ) cho u trong cơng thức f (u )
Hình 1.2 cho ta thấy rõ hơn về hàm hợp được minh hoạ như “một dây chuyền” sản
xuất, trong đó đầu vào x được chế biến và biến thành sản phẩm g(x) sau đó đưa vào
máy f và cho ra sản phẩm là f ( g ( x) ) .

Đầu vào

g
máy

Đầu ra … Đầu ra

Đầu ra

f
máy

Hình 1.2 Mơ hình hàm hợp.

1.1.4. Các ví dụ ứng dụng hàm hợp
Ví dụ 1.3. Tìm f ( x − 3) nếu f ( x) = 3 x 2 +
Giải: Ta có: f (x − 3) = 3(x − 3)2 +

1
+5.
x

1

−5
x −3

Ví dụ 1.4. Một nghiên cứu về mơi trường tại một huyện nào đó đã nhận định rằng
lượng CO trung bình trong khơng khí sẽ là c( p ) = 0.5 p + 1 ppm, khi dân số là p nghìn
người. Người ta cũng dự đốn rằng sau t năm dân số của huyện đó sẽ là
p(t ) = 10 + 0.1t 2 nghìn người.
(a) Hãy biểu diễn lượng CO trong khơng khí bằng một hàm theo thời gian.
(b) Hỏi khi nào thì lượng CO đạt 6.8 ppm ?
Giải:
(a) Vì lượng CO liên hệ với biến p bởi phương trình c( p ) = 0.5 p + 1
và biến p liên hệ với biến t bởi phương trình p(t ) = 10 + 0.1t 2 .
Do đó hàm hợp: c ( p(t ) ) = c(10 + 0.1t 2 ) = 0.5(10 + 0.1t 2 ) + 1 = 6 + 0.05t 2

biểu diễn lượng CO trong khơng khí bằng một hàm theo biến t.
(b) Cho c( p(t )) bằng 6.8 và giải theo t ta được:

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

3

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

6 + 0.05 t 2 = 6.8
⇔

0.05 t 2 = 0.8

0.8
= 16
0.05
⇔
t = 16 = 4
Tức là, sau 4 năm lượng CO trong khơng khí sẽ đạt 6.8 ppm.
⇔

t2 =

BÀI TẬP
Tính giá trị của hàm sau tại các giá trị đã cho.
⎪⎧−2 x + 4
2
⎪⎩ x + 1

1. h( x ) = ⎨

⎧3
⎪
2. f (t ) = ⎨t + 1
⎪
⎩ t

neáu

x ≤1

neáu

x >1

;

h(3), h(1), h(0), h(−3).

neáu
neáu

t < −5
−5≤ t ≤ 5 ;

nếu

t>5

f (−6), f (−5), f (16)

Tìm biểu diễn hàm hợp trong các bài sau.
3. f ( x + 1) trong đó f ( x) = x 2 + 5
4. f ( x + 3) trong đó f ( x) = (2 x − 6 )2
⎛1⎞
⎝ x⎠

7. f ⎜ ⎟ trong đó f ( x) = 3 x +

5. f ( x − 2) trong đó f ( x) = 2 x 2 − 3x + 1

6. f ( x − 1) trong đó f ( x) = (x + 1)2 − 3 x 2

2
x

8. f ( x 2 + 3 x − 1) trong đó f ( x) = x

9. Một nghiên cứu về năng suất làm việc buổi sáng tại một nhà máy nào đó đã nhận
định như sau: Trung bình một cơng nhân đến làm việc từ lúc 8 giờ sáng thì sẽ làm
được f ( x) = − x3 + 6 x2 + 15x thiết bị Tivi sau x giờ.
(a) Người cơng nhân đó làm được bao nhiêu thiết bị đến lúc 10 giờ sáng ?
(b) Người cơng nhân đó làm được bao nhiêu thiết bị giữa 9 giờ sáng và 10 giờ sáng ?
10. Giả sử tại thời điểm t giờ kể từ lúc nửa đêm (tại thời điểm 0 giờ) nhiệt độ tại một
1
thành phố nào đó là C (t ) = − t 2 + 4t + 10 độ C.
6
(a) Vào lúc 2giờ chiều nhiệt độ của thành phố là bao nhiêu ?
(b) Nhiệt độ tăng hay giảm giữa 6 giờ chiều và 9 giờ chiều ?
11. Giả sử rằng chương trình tiêm chủng cho cộng đồng để ngăn ngừa bệnh cúm trở
lại, những viên chức sức khoẻ cộng đồng nhận thấy rằng chi phí tiêm chủng cho x%
150 x
cộng đồng được xấp xỉ bằng f ( x) =
đvtt.
250 − x
(a) Tìm miền xác định của hàm f ?
(b) Với các giá trị nào của x thì f(x) có ý nghĩa thực tế trong ngữ cảnh này ?
(c) Chi phí tiêm chủng cho 50% dân số lần đầu tiên là bao nhiêu ?
(d) Chi phí tiêu chủng cho 50% dân số lần thứ hai là bao nhiêu ?
(e) Có bao nhiêu phần trăm dân số được tiêu chủng nếu dùng hết 37.5 đvtt ?
12. Giả sử số giờ làm việc cần để phân phối danh bạ điện thoại mới đến x% hộ gia

600 x
đình trong một vùng nơng thơn nào đó được cho bởi hàm f ( x) =
.
300 − x
(a) Tìm miền xác định của hàm f ?
Khoa Khoa Học Tự Nhiên

4

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

(b) Với giá trị nào của x thì hàm f ( x) có ý nghĩa thực tế trong ngữ cảnh này ?
(c) Cần bao nhiêu giờ làm việc để phân phối danh bạ điện thoại mới đến 50% hộ gia
đình đầu tiên ?
(d) Cần bao nhiêu giờ làm việc để phân phối danh bạ điện thoại mới đến tồn thể hộ
gia đình trong huyện ?
(e) Nếu dùng hết 15 giờ làm việc thì hộ gia đình trong huyện đã nhận danh bạ điện
thoại mới là bao nhiêu phần trăm ?
13. Tại một nhà máy nào đó, tổng chi phí sản xuất q đơn vị sản phẩm trong 1 ngày sản
xuất là C ( q ) = q 2 + q + 900 đvtt.Vào một ngày làm việc nào đó có q (t ) = 25 t đơn vị sản
phẩm được sản xuất trong t giờ sản xuất.
(a) Biểu diễn tổng chi phí sản xuất bằng một hàm theo t.
(b) Tính chi phí sản xuất sau 3 giờ sản xuất ?
(c) Khi nào tổng chi phí sản xuất đạt 11 ngàn đô ?
14. Một nghiên cứu về môi trường tại một vùng nơng thơn nào đó nhận định rằng,

lượng carboc monoxide trung bình trong khơng khí sẽ là c( p ) = 0.4 p + 1 ppm khi dân
số là p nghìn. Họ cũng ước tính rằng vào thời điểm t năm dân số của huyện đó sẽ là
p(t ) = 8 + 0.2 t 2 nghìn người.
(a) Biểu diễn lượng carbon monoxide trong khơng khí bằng một hàm theo thời gian t.
(b) Lượng carbon monoxide sẽ là bao nhiêu vào thời điểm 2 năm ?
(c) Hỏi khi nào lượng carbon monoxide sẽ đạt 6.2 ppm ?
15. Một người nhập cafê Brazil ước tính rằng khách nội địa sẽ mua xấp xỉ
4374
Q ( p ) = 2 kg cafê/tuần khi giá là p đvtt/kg; người đó cũng ước tính rằng vào thời

p

điểm t tuần giá của cafê này sẽ là p(t ) = 0.04t 2 + 0.2t + 12 đvtt/kg.
(a) Biểu diễn nhu cầu hàng tuần của khách hàng về cafê bằng một hàm theo t.
(b) Bao nhiêu kg cafê mà khách sẽ mua từ nhà nhập khẩu vào thời điểm 10 tuần ?
(c) Khi nào nhu cầu cafê đạt 30.375 kg ?

1.2 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1.2.1. Định nghĩa đồ thị của hàm số
Đồ thị cho ta cái nhìn tổng quát về dáng điệu của một hàm. Dùng đồ thị chúng có
thể thể hiện những thơng tin mà ta khó diễn tả bằng lời hoặc bằng một biểu thức đại
số. Hai đồ thị sau mô tả các mối quan hệ trong thực tế được chỉ ra trong Hình 1.3.

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

5

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích

Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Sản lượng

Dân số
Điểm cao nhất
Chặn trên

Thời gian
(Năm)

Thời gian
(Năm)

Thời điểm dân số tăng trưởng nhanh nhất

Thời điểm sản lượng lớn nhất

Hình 1.3: (a) Hàm sản xuất

(b) Tăng tưởng dân số bị chặn

Để mơ tả hình học hàm số y = f ( x) bằng đồ thị, thông thường ta dùng hệ toạ độ
hình chữ nhật với cách chia đơn vị theo biến độc lập x trên trục hoành (trục ngang ) và
biến phụ thuộc y trên trục tung (trục đứng).
Khái niệm: Đồ thị của hàm y = f ( x) là tập hợp tất cả các điểm ( x, y ) trong đó x
thuộc miền xác định của f và y = f ( x) ; tức là tất cả các điểm có dạng ( x, f ( x) ) .
1.2.2. Phương pháp vẽ phác họa đồ thị của hàm f

1. Chọn một vài giá trị của x thuộc miền các định của f và tính các giá trị
tương ứng của y = f ( x) tại các giá trị x này.
2. Vẽ các điểm tương ứng ( x, f ( x) ) .
3. Nối các điểm này ta được hình ảnh đồ thị của hàm số.
Ví dụ 2.1. Vẽ đồ thị hàm số
⎧2 x
⎪
⎪2
f ( x) = ⎨
⎪x
⎪⎩3

neáu

0 ≤ x <1

neáu

1≤ x < 4

neáu

x≥4

Giải:
Khi thiết lập bảng giá trị cho hàm này, ta cần nhớ sử dụng các cơng thức thích hợp
cho mỗi giá trị của x. Dùng công thức f ( x) = 2 x khi 0 ≤ x < 1 , công thức f ( x) =
1 ≤ x < 4 , và công thức f ( x ) = 3 khi x ≥ 4 , khi đó ta có bảng như dưới đây:

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

6

2
khi
x

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Bây giờ ta vẽ các điểm ( x, f ( x )) tương ứng và vẽ đồ thị như trong Hình 1.4. Chú ý rằng
các phần với 0 ≤ x < 1 và 1 ≤ x < 4 được nối với một phần khác tại (1, 2) nhưng những
⎛
⎝

1⎞
2⎠

điểm mà x ≥ 4 thì nó tách rời khỏi đồ thị. [Điểm mở tại ⎜ 4, ⎟ chỉ ra rằng đồ thị tiến
gần lại điểm này nhưng mà điểm này thực sự khơng nằm trên đồ thị].

⎧2 x
⎪
⎪2
Hình 1.4: Đồ thị của hàm f ( x ) = ⎨
⎪x

⎪⎩3

neáu

0 ≤ x <1

neáu

1≤ x < 4

neáu

x≥4

1.2.3. Đồ thị của Parabol
1.2.4. Hàm luỹ thừa, đa thức và hàm phân thức
Hàm luỹ thừa: Là một hàm có dạng f ( x) = x n , trong đó n là số thực.
Ví dụ 2.2: f ( x) = x 2 , f ( x) = x −3 và f ( x) = x1 / 2 là các hàm luỹ thừa. Các hàm
1
và f ( x) = 3 x cũng là các hàm lũy thừa, vì chúng có thể lần lượt được viết
x2
lại bằng f ( x) = x −2 và f ( x) = x1 / 3 .
f ( x) =

Đa thức: là một hàm có dạng p ( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + " + a n x n
trong đó n là một số nguyên không âm và a0, a1, …, an là các hằng số. Nếu a n ≠ 0 , thì
số nguyên n được gọi là bậc của đa thức.
Khoa Khoa Học Tự Nhiên

7

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Ví dụ 2.3: Hàm f ( x) = 3x5 − 6 x2 + 7 là đa thức bậc 5.
Ta có thể chỉ ra rằng đồ thi của đa thức bậc n là một đường cong liên tục và cắt trục
x không quá n lần. Để minh hoạ điều này, các đồ thị của ba đa thức bậc ba được biểu
diễn trong Hình 1.5.

Hình 1.5: Đồ thị của ba đa thức bậc 3.

Hàm phân thức: Tỷ số
Ví dụ 2.4.

f (x ) =

p( x)
của hai đa thức p(x) và q(x) được gọi là hàm phân thức.
q( x)

x +2
;
x − 2x + 5
2

f (x ) =

5
; .......
x +1

BÀI TẬP
1. Vẽ phác họa đồ thị của các hàm số sau:
a. f ( x ) = 2x + 10
⎧x − 1

neáu x ≤ 0

⎩x + 1

neáu x > 0

c. f ( x ) = ⎨

b. f ( x ) = −4x 2 + 8x + 2

⎧⎪ x 2 − 1
d. f ( x ) = ⎨
⎪⎩3

neáu x ≤ 2
neáu

x>2

2. Một nhà sản xuất sản xuất máy ghi âm với chi phí là 40 đvtt/máy. Họ ước tính rằng

nếu máy ghi âm được bán với giá x đvtt/cái thì lượng máy bán ra mỗi tháng sẽ là
(120 − x) máy. Biểu diễn lợi nhuận hằng tháng của nhà sản xuất bằng một hàm theo
giá bán, vẽ đồ thị hàm này và dùng đồ thị hãy ước tính giá bán tối ưu nhất ?
3. Một cửa hàng sách nhận tập bản đồ từ nhà xuất bản với chi phí 10 đvtt/ bản và họ
ước tính nếu bản đồ bán với giá x đvtt/ bản thì lượng tập bản đồ bán ra mỗi tháng sẽ là
20(22 − x) bản. Biểu diễn lợi nhuận hằng tháng của cửa hàng sách từ việc bán bản đồ
bằng một hàm theo giá bán, vẽ đồ thị hàm này và dùng đồ thị hãy ước tính giá bán tối
ưu nhất ?
1
4. Giả sử tổng chi phí sản xuất x đơn vị hàng hoá là C(x)= x3 + 2 x + 5 đvtt. Biểu diễn
6
chi phí trung bình trên đơn vị sản phẩm bằng một hàm theo số đơn vị sản phẩm đã sản
xuất, vẽ đồ thị hàm tổng chi phí và chi phí trung bình trên cùng một hệ trục toạ độ.
(gợi ý : Chi phí trung bình bằng tổng chi phí chia số đơn vị sản phẩm đã sản xuất).

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

8

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

5. Một thiết bị được cho thuê với chi phí là 90 đvtt cộng với 21 đvtt cho mỗi ngày sử
dụng
(a). Hãy lập một bảng giá trị gồm số ngày thiết bị được cho thuê và chi phí cho thuê
tương ứng trong 2 ngày, 5 ngày, 7 ngày và 10 ngày.

(b). Viết một biểu thức đại số biễu diễn chi phí y bằng một hàm theo số ngày x.
(c). Vẽ đồ thi của biểu thức trong câu (b).
6. Nhu cầu của khác hàng về một mặt hàng là D(p) = -200p + 12.000 đvsp/tháng khi
giá bán trên thị trường là p đvtt/đơn vị.
(a) Vẽ đồ thị của hàm cầu.
(b) Biểu diễn tổng tiêu dùng hằng tháng của khách hàng về hàng hố đó bằng một hàm
theo p.(Tổng tiêu dùng hàng tháng là tổng số tiền mà khách hàng chi tiêu hàng tháng
về hàng hố đó).
(c) Vẽ đồ thị hàm tổng tiêu dùng hàng tháng.
(d) Nêu ý nghĩa kinh tế của p trong hàm tiêu dùng.
(e) Dùng đồ thị trong phần c hãy ước tính giá thị trường mà tại đó lượng tiêu dùng của
khách hàng là lớn nhất .

1.3. HÀM TUYẾN TÍNH
1.3.1. Hàm tuyến tính
3.1.1.1. Định nghĩa:
Hàm tuyến tính là một hàm mà giá trị của nó thay đổi theo một tốc độ không đổi
đối với biến độc lập của nó.
Đồ thị của hàm tuyến tính là một đường thẳng.
Phương trình của hàm tuyến tính có thể được viết dưới dạng y = mx + b , trong đó
m và b là các hằng số.
Ví dụ 3.1: Tổng chi phí sản xuất của một cơng ty bao gồm chi phí cố định là 200 đvtt
cộng với chi phí sản xuất 50 đvtt/đơn vị. Biểu diễn tổng chi phí bằng một hàm theo số
đơn vị sản phẩm đã sản xuất và vẽ đồ thị.
Giải:
Gọi x là số đơn vị sản phẩm mà công ty đã sản xuất x ≥ 0 và C(x) là tổng chi phí
sản xuất tương ứng. Ta có:
Tổng chi phí = (chi phí trên đơn vị)(số đơn vị sản phẩm sản xuất) + chi phí cố
định.
Trong đó:

Chi phí trên đơn vị = 50.
Số đơn vị sản xuất = x.
Chi phí cố định = 200.
Vậy: C(x) = 50x + 200.
Ta thấy tổng chi phí trong ví dụ 1 luôn tăng với một tốc độ không đổi là 50 đvtt khi
mà lượng sản phẩm sản xuất ra tăng thêm một đơn vị.
3.1.1.2. Hệ số góc của đường thẳng.
Giả sử ( x1 , y1 ) và ( x2 , y2 ) nằm trên đường thẳng như được chỉ ra trong Hình 1.14.

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

9

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Hình 1.6. Hệ số góc =

Δy y2 − y1
=
Δx x2 − x1

Hệ số góc của đường thẳng: Hệ số góc (độ dốc) của một đường thẳng đi qua hai
điểm ( x1 , y1 ) và ( x2 , y2 ) được cho bởi cơng thức:
Hệ số góc =

Δy y2 − y1
.
=
Δx x2 − x1

Ví dụ 3.2. Tìm hệ số góc của đường thẳng nối các điểm (-2, 5) và (3, -1).
Giải:
Δy
−1 − 5
−6
Hệ số góc =
=
=
.
Δx 3 − ( −2) 5
điều này được minh hoạ trong Hình 1.7.

Hình 1.7. Đường thẳng nối (-2, 5) và (3, -1).

Dấu và độ lớn của hệ số góc của đường thẳng chỉ ra phương và độ dốc tương ứng
của đường thẳng đó. Trường hợp này được minh hoạ trong Hình 1.16.

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

10

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Hình 1.8. Phương và độ dốc của đường thẳng.

1.3.2. Các ví dụ ứng dụng
Ví dụ 3.3. Vào thời điểm đầu năm, giá của một loại bánh mì trên thị trường nội địa
đang tăng với tốc độ không đổi là 2 trăm đồng/tháng. Vào đầu tháng 11, giá bánh mì là
1.56 nghìn đồng/ổ. Hãy biểu diễn giá của bánh mì bằng một hàm theo thời gian và xác
định giá bánh tại thời điểm đầu năm.
Giải.
Gọi x là số tháng trôi qua kể từ lúc đầu năm và y là giá của một ổ bánh mì (đơn vị
tính là cent) tương ứng. Vì tốc độ thay đổi của y theo x là một hằng số, nên hàm liên
hệ giữa y và x là một hàm tuyến tính, đồ thị của nó là một đường thẳng. Vì giá y sẽ
tăng lên 2 khi mỗi lần x tăng lên 1, nên hệ số góc của đường thẳng sẽ là 2. Mặt khác
vào đầu tháng 11 giá là 156 trăm đồng (1.56 nghìn đồng), tức là sau 10 tháng kể từ lúc
đầu năm, điều đó kéo theo rằng đường thẳng sẽ đi qua điểm (10, 156). Khi đó phương
trình đường thẳng sẽ có dạng: y − y 0 = m( x − x0 )
Với m = 2, x0 = 10, y 0 = 156
Ta có:
y − 156 = 2( x − 10) hoặc y = 2 x + 136
Đường thẳng tương ứng được vẽ trong Hình 1.19. Chú ý rằng giao với trục y là
(0,136) , điều đó dẫn đến rằng giá của bánh mì tại thời điểm đầu năm là 1.36 nghìn
đồng/ ổ.

(Tháng 1, 1)

(Tháng 11, 1)

Hình 1.9: Sự tăng giá của bánh mì y = 2 x + 136

Ví dụ 3.4. Giả sử GDP của một quốc gia nào đó đang giảm theo một tốc độ không đổi
trong những năm gần đây. Biết rằng vào năm 2000, GDP là 120 tỷ USD; vào năm
2005, GDP là 110 tỷ USD.
a) Hãy biểu diễn GDP của quốc gia đó bằng một hàm theo thời gian ?
Khoa Khoa Học Tự Nhiên

11

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

b) Tính GDP của quốc gia đó vào năm 2020 ?
c) Hỏi GDP của quốc gia đó giảm bao nhiêu trong suốt năm 2020 ?
Ví dụ 3.5. Giả sử số thí sinh thi vào các ngành khoa học xã hội trong các năm gần đây
đang giảm với một tốc độ không đổi. Biết rằng vào năm 2010, số thí sinh thi vào các
ngành khoa học xã hội là 2000 thí sinh và vào năm 2012, số thí sinh thi vào các ngành
khoa học xã hội 1920 thí sinh. Hãy biểu diễn số thí sinh thi vào các ngành khoa học xã
hội bằng một hàm theo thời gian. Hỏi vào năm 2020 có bao nhiêu thí sinh thi vào
ngành này ?

BÀI TẬP
1. Tổng chi phí của nhà sản xuất bao gồm chi phí cố định 5000 đvtt cộng với chi phí
sản xuất 50 đvtt trên một đơn vị. Biểu diễn tổng chi phí bằng một hàm theo số đơn vị
đã sản xuất và vẽ đồ thị.
2. Một đại lý cho th xe nào đó tính giá 3 đơ la trên một ngày cộng với 55 cent trên

một dặm.
(a) Biểu diễn chi phí cho thuê xe một ngày của đại lý này bằng một hàm theo số dặm
đã đi được và vẽ đồ thị.
(b) Chi phí cho thuê xe một ngày với hành trình 50 dặm là bao nhiêu ?
c) Nếu chi phí cho th hằng ngày là 72 đơ la thì hành trình đã đi được bao nhiêu dặm
3. Hội viên trong câu lạc bộ bơi sẽ trả 250 đvtt cho 12 tuần trong mùa hè. Nếu thành
viên nào tham gia sau khi bắt đầu của mùa hè, thì chi phí được chia theo tỷ lệ, tức là
nó giảm theo quy luật tuyến tính.
(a) Biểu diễn lệ phí của hội viên phải trả bằng một hàm theo số tuần đã trôi qua kể từ
đầu mùa hè và vẽ đồ thị.
(b) Tính lệ phí mà hội viên đó phải trả khi mùa hè đã bắt đầu được 5 tuần.
4. Một bác sĩ sở hữu các cuốn sách về y học trị giá 1500 đvtt, ông ta cho rằng giá trị
của nó sẽ giảm theo quy luật tuyến tính và đến 0 sau 10 năm. Tức là, giá trị của các
cuốn sách giảm theo một tốc độ khơng đổi và nó bằng 0 sau 10 năm. Hãy biểu diễn giá
trị của cuốn sách bằng một hàm theo thời gian và vẽ đồ thị.
5. Một nhà sản xuất mua máy móc trị giá 20000 đvtt, giá trị của nó giảm tuyến tính và
giá trị của nó sau 10 năm sẽ là 1000 đơ la.
(a) Biễu diễn giá trị của máy móc bằng một hàm theo độ tuổi của nó và vẽ đồ thị.
(b) Tính giá trị của máy móc sau 4 năm.
(c) Khi nào máy móc khơng cịn giá trị ? Nhà sản xuất không muốn đợi lâu để vứt bỏ
máy. Hãy đưa ra ý kiến để nhà sản xuất quyết định khi nào bán máy móc.
6. Vào đầu tháng, hồ nước của địa phương đã đạt đến mực nước không đổi. Vào ngày
thứ 12 của tháng hồ chứa 200 triệu gallon nước, và vào ngày thứ 21 nó chỉ chứa 164
triệu gallon.
(a) Biểu diễn lượng nước trong hồ bằng một hàm theo thời gian và vẽ đồ thị.
(b) Vào ngày thứ 8 của tháng lượng nước trong hồ là bao nhiêu ?
7. Điểm số trung bình mơn tốn SAT của sinh viên đến học tại trường cao đẳng nghệ
thuật tại một quốc gia nào đó đang có xu hướng giảm theo tốc độ hằng trong những
năm gần đây. Vào 1990, điểm SAT trung bình là 575, trong khi đó vào năm 1995 nó là
455.

(a) Biểu diễn điểm SAT trung bình bằng một hàm theo thời gian.
Khoa Khoa Học Tự Nhiên

12

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

(b) Nếu xu hướng này vẫn tiếp tục, thì điểm SAT trung bình của sinh viên đến học vào
năm 2010 sẽ là bao nhiêu ?
(c) Nếu xu hướng này vẫn tiếp tục, khi nào điểm SAT trung bình sẽ là 527 ?
8. Giá trị của một cuốn sách quý cứ sau 10 năm sẽ tăng gấp đôi. Vào năm1900 sách có
giá trị là 100 đvtt.
(a) Vào năm 1930 giá trị của nó là bao nhiêu ? Vào năm 1990 là bao nhiêu ? Và vào
năm 2000 nó là bao nhiêu ?
(b) Giá trị của sách có là hàm tuyến tính theo số tuổi của nó hay khơng ? Trả lời câu
hỏi này bằng cách giải thích bằng đồ thị thích hợp.
9. Một cơng ty cho th một căn hộ với lệ phí cố định là 60 đơ la cộng với 50 cent cho
mỗi giờ sử dụng.
(a) Vẽ biểu đồ chỉ ra số giờ căn hộ được cho thuê và chi phí cho thuê căn hộ tương ứng
trong 2 giờ, 5 giờ, 10 giờ và t giờ.
(b) Viết một biểu thức đại số biểu diễn chi phí y bằng một hàm theo số giờ được thuê t
(giả sử t là một số thực không âm).
(c) Vẽ đồ thị của biểu thức trong câu (b).
10. Các nhà kinh tế đã nhận định rằng, GDP của quốc gia N đang giảm theo một tốc
độ không đổi trong các năm gần đây. Biết rằng vào năm 2008 GDP là 80 tỷ USD và

năm 2010 GDP là 60 tỷ USD.
a) Hãy biểu diễn GDP của quốc gia đó bằng một hàm theo thời gian ?
b) Tính GDP của quốc gia đó vào năm 2015 ?
11. Vào đầu tháng 8, giá của một mặt hàng S trên thị trường đang giảm với một tốc độ
không đổi là 10cents/đơn vị/tháng. Biết rằng vào ngày thứ 12 của tháng, giá của mặt
hàng S là 90 đô la/ đơn vị.
a) Hãy biểu diễn giá của mặt hàng S bằng một hàm theo thời gian và vẽ đồ thị.
b) Tính giá mặt hàng S vào ngày thứ 20 của tháng ?

1.4. CÁC MƠ HÌNH HÀM SỐ
1.4.1. Các mơ hình hàm số
Tốn học biểu diễn các vấn đề trong thực tế được gọi là mơ hình tốn học. Trong
các phần trước, ta đã nhìn thấy các mơ hình biểu diễn các đại lượng chẳng hạn như chi
phí sản xuất, mức ô nhiễm môi trường, lượng dân số, cung và cầu. Sau đây là một số
ví dụ khác về các mơ hình hàm số trong thực tiễn.
Ví dụ 4.1. Một cái can hình trụ có sức chứa (thể tích) 24π m3. Chi phí của nguyên liệu
dùng làm nắp và đáy can là 3 đvtt/m2, và chi phí của nguyên liệu làm mặt xung quanh
của can là 2 đvtt/m2. Biểu diễn tổng chi phí làm cái can bằng một hàm theo bán kính
của nó.
Giải:
Gọi r là bán của vịng trịn nắp và đáy can, h là chiều cao
của can và C là chi phí (đvtt) làm cái can. Thì:
C = chi phí làm nắp + chi phí làm đáy + chi phí làm
mặt xung quanh.
Trong đó, mỗi chi phí thành phần là:

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

13

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Chi phí = (chi phí/ m2) (số m2) = (chi phí/ m2) (diện tích).
Diện tích của vịng trịn trên (hoặc dưới) là π r 2 , và chi phí/ m2 của nắp trên (hoặc đáy
dưới) là 3 đvtt. Vậy:
Chi phí làm nắp = 3π r 2 và Chi phí làm đáy = 3π r 2 .
Để tìm diện tích của mặt bên, ta hình dung phần trên và phần dưới của can được
tháo ra và cắt cạnh bên và trải ra ta được hình chữ nhật, như được chỉ ra trong Hình
1.10. Chiều rộng của hình chữ nhật là chiều cao h của cái can.
Chiều dài của hình chữ nhật là chu vi 2π r của đường tròng trên (hoặc dưới) của can,
do dó diện tích của hình chữ nhật (hoặc mặt xung quanh) là 2π r h m2. Vì chi phí của
mặt bên là 2 đvtt/ m2, do đó:
Chi phí mặt bên = 2(2 π r h) = 4 π r h
Cộng các chi phí lại ta có:
C = 3π r 2 + 3π r 2 + 4π r h = 6π r 2 + 4π r h
Vì mục đích của bài tốn là biểu diễn chi phí bằng một hàm theo bán kính, nên ta phải
tìm cách để biểu diễn chiều cao h bằng một biểu thức của r. Để làm điều này, ta dùng
thể tích V = π r 2 h là 24π . Tức là, cho π r 2 h bằng 24π và giải theo h ta có:
π r 2 h = 24π ⇒ h =

24
r2

Thế biểu thức h này vào công thức C, ta có:
⎛ 24 ⎞

C (r ) = 6π r 2 + 4π r ⎜ 2 ⎟
⎝r ⎠

hoặc

C ( r ) = 6π r 2 +

96π
.
r

Ví dụ 4.2. Vào thời kỳ hạn hán, người dân ở một thành phố A của một quốc gia nào đó
phải đối mặt với sự thiếu nước rất gay gắt. Để ngăn chặn việc dùng nước quá mức,
thành phố đã đưa ra cách tính chi phí tiền nước như sau: Hằng tháng hộ gia đình sẽ trả
1.22 đvtt/ m3 ứng với 12 m3 nước đầu tiên, 10 đvtt/m3 cho 12 m3 tiếp theo và 50 đvtt/
m3 tiếp sau đó. Hãy biểu diễn hố đơn tiền nước hằng tháng cho hộ gia đình bằng một
hàm theo lượng nước mà họ đã sử dụng.
Giải:
Gọi x là số m3 nước mà hộ gia đình đã sử dụng trong tháng và C(x) là chi phí tương
ứng (đvtt).
Nếu 0 ≤ x ≤ 12 , Chi phí sẽ bằng chi phí/ đơn vị nhân với số đơn vị nước đã sử
dụng:
C(x) = 1.22x
Nếu 12 < x ≤ 24 , mỗi đơn vị của 12 đơn vị đầu tiên có chi phí 1.22 đơ la, do đó
tổng chi phí của 12 đơn vị này là 1.22(12) = 14.64 đô la. Mỗi đơn vị cịn lại (x –12) có
chi phí 10 đơ la, và do đó tổng chi phí của các đơn vị này là 10 (x - 12) đơ la. Tổng chi
phí của tất cả x đơn vị là: C(x) = 14.64 + 10(x -12) = 10x – 105.36
Nếu x > 24, chi phí của 12 đơn vị đầu tiên là 1.22(12) = 14.64 đơ la, chi phí của 12
đơn vị tiếp theo là 10(12) = 120 đơ la, và chi phí của đơn vị nước còn lại (x - 24) là
50(x - 24) đơ la. Chi phí của tất cả x đơn vị là tổng

C(x) = 14.64 + 120 + 50(x - 24) = 50x – 1065.36
Kết hợp ba công thức này ta có:

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

14

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

⎧1.22 x
neáu 0 ≤ x ≤ 12
⎪
C ( x ) = ⎨10 x − 105.36 neáu 12 < x ≤ 24
⎪50 x − 1065.36 neáu x > 24
⎩
Đồ thị của hàm này được vẽ trong Hình 1.10.

Hình 1.10: Chi phí tiền nước trong thành phố

Chú ý: Đại lượng Q được gọi là:
Tỷ lệ thuận với x nếu Q = kx với k là hằng số tùy ý.
k
với k là hằng số tùy ý.
x
Tỷ lệ đồng thời với x và y nếu Q = k x y với k là hằng số tùy ý.

Tỷ lệ nghịch với x nếu Q =

1.4.2. Các mơ hình khác (Mơ hình trong thương mại và kinh tế)
Ví dụ 4.3: Một nhà máy có thể sản xuất băng đĩa với chi phí 2 đvtt/đĩa. Nhà sản xuất
cũng ước tính rằng nếu bán với giá 5 đvtt mỗi đĩa thì khách hàng sẽ mua 4000 đĩa mỗi
tháng. Nhà sản xuất dự định tăng giá và cũng tính tốn được rằng cứ mỗi 1 đvtt tăng
lên trong giá bán thì mỗi tháng sẽ bán ít đi 400 đĩa.
(a) Biểu diễn lợi nhuận hằng tháng của nhà sản xuất bằng một hàm theo giá mà tại đó
đĩa được bán ?
(b) Vẽ đồ thị hàm lợi nhuận. Tìm giá bán tương ứng với lợi nhuận lớn nhất ? Tìm lợi
nhuận lớn nhất đó ?
Giải:
(a) Ta có:
Lợi nhuận = (số đĩa bán ra) (lợi nhuận/ đĩa)
Vì mục đích chính là biểu diễn lợi nhuận bằng một hàm theo giá bán, giá bán là biến
độc lập và lợi nhuận là biến phụ thuộc. Gọi x là giá bán cho mỗi đĩa sẽ được bán ra, và
P(x) là lợi nhuận hàng tháng tương ứng.
Tiếp theo, ta biểu diễn số đĩa được bán bằng biểu thức theo biến x. Ta biết rằng 4000
băng đĩa được bán ra mỗi tháng khi giá bán 5 đvtt và cứ mỗi 1 đvtt mà tăng lên trong
giá bán thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 400 đĩa. Vì số đvtt tăng lên là do sự chênh lệch
giữa giá bán mới và giá cũ ( x - 5). Do đó, ta có
số băng đĩa bán ra = 4000 - 400.(số đvtt tăng lên )
= 4000 - 400(x - 5)
Khoa Khoa Học Tự Nhiên

15

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích

Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

= 6000 - 400x
Lợi nhuận mỗi băng đĩa là sự khác nhau giữa giá bán x và chi phí 2 đvtt. Do đó,
lợi nhuận mỗi đĩa = x-2
và tổng lợi nhuận là:
P(x) = (số băng đĩa bán ra) (lợi nhuận mỗi cái)
= (6000- 400x) (x-2)
= - 400x2 + 6800x – 12000
b) Đồ thị P(x) là parabol hướng về phía dưới như được vẽ trong Hình 1.11. Lợi nhuận
cực đại sẽ xuất hiện tại giá trị x mà nó tương ứng với điểm cao nhất trên đồ thị hàm lợi
nhuận. Điểm cao nhất trên đồ thị cũng chính là đỉnh của parabol:
− B −(6800)
x=
=
= 8.5
2 A 2( −400)
Vậy, lợi nhuận lớn nhất khi nhà sản xuất bán ở giá 8.5 đvtt cho mỗi đĩa và lợi nhuận
lớn nhất hằng tháng là:
Pmax = P (8.5) = −400(8.5)2 + 6800(8.5) − 12000 = 16900 đvtt

Lợi nhuận lớn nhất

Hình 1.11: Hàm lợi nhuận P ( x) = (6000 − 400 x)( x − 2)

1.4.3. Cân bằng thị trường
Một ứng dụng quan trọng trong kinh tế được suy ra từ sự giao nhau của các đồ thị

đó là quy luật cung và cầu.
Khi phân tích thị trường hàng hóa và dịch vụ, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm
hàm cung và hàm cầu để biểu đạt sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu của một
loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Hàm cung và hàm cầu có dạng như sau:
Hàm cung: Qs = S( p )
Hàm cầu: Qd = D ( p )
Trong đó p là giá hàng hóa; Qs là lượng cung (tức là lượng hàng hóa mà người bán
bằng lòng bán ở mỗi mức giá); Qd là lượng cầu (tức là lượng hàng hóa mà người mua
bằng lòng mua ở mỗi mức giá).
Khoa Khoa Học Tự Nhiên

16

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Tất nhiên, lượng cung và lượng cầu hàng hóa khơng chỉ phụ thuộc vào giá của
hàng hóa đó, mà còn chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác (chẳng hạn như thu nhập,
giá các hàng hóa liên quan, …). Trong giáo trình này khi xem xét mơ hình hàm cung
và hàm cầu ta giả thiết rằng các yếu khác không thay đổi.
Quy luật thị trường trong kinh tế học đã khẳng định rằng, hàm cung là hàm đơn
điệu tăng, còn hàm cầu là hàm đơn điệu gảm khi giá hàng hóa tăng.
Các nhà kinh tế gọi đồ thị hàm cung và hàm cầu đường cung và đường cầu. Giao
điểm của đường cung và đường cầu được gọi là điểm cân bằng của thị trường. Ở mức
giá cân bằng p ta có: Qs = Qd = Q , tức là người bán bán hết và người mua mua đủ, thi
trường khơng có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa.

Một cặp đường cung và đường cầu được vẽ trong Hình 1.12. (chữ q được dùng để
gán nhãn cho trục đứng chỉ “lượng hàng hóa” và chữ p để gán nhãn cho trục ngang chỉ
“giá bán”).

Điểm
cân
bằng
Thị

Qs = S( p )

trường

Thiếu

Dư thừa

Qd = D( p )
Giá cân bằng thị trường

Hình 1.12: Cân bằng thị trường, giao của hàm cung và hàm cầu

Để chỉ mối quan hệ của đường cung và đường cầu, các nhà kinh tế thường kết hợp với
toán học truyền thống và dùng trục ngang cho biến phụ thuộc q và trục đứng cho biến
độc lập p
Ví dụ 4.4. Tìm giá bán cân bằng thị trường và lượng cung, cầu tương ứng nếu hàm
cung của hàng hóa nào đó là S ( p) = p 2 + 3 p − 70 và hàm cầu là D ( p ) = 410 − p .
Giải:
Cho S(p) bằng D(p) và giả theo p ta có:
p 2 + 3 p − 70 = 410 − p

⇔ p 2 + 4 p − 480 = 0
⇔ ( p − 20 )( p + 24 ) = 0
⇒ p = 20 ∨ p = − 24
Vì chỉ có giá trị p dương là có nghĩa trong bài tốn này, nên giá cân bằng thị trường là
20 đvtt. Vì lượng cung và cầu tương ứng tại giá bán này là bằng nhau, nên ta dùng
phương trình cầu để tính lượng này, do đó ta có:
D ( 20) = 410 − 20 = 390

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

17

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Vậy, khi thị trường cân bằng thì lượng cung và cầu là 390 đvtt.
Đường cung và đường cầu được vẽ trong Hình 1.13. Chú ý rằng đường cung cắt
trục p khi p = 7 . Điều này có ý nghĩa gì trong kinh tế ?

Hình 1.13: Đường cung và đường cầu trong ví dụ 4.5

BÀI TẬP
1. Một người nông dân muốn dùng 1100 m hàng rào để rào một cánh đồng hình chữ
nhật. Biết rằng chiều dài của cánh đồng dọc theo dịng suối x (và khơng cần phải rào),
biểu diễn diện tích của cánh đồng bằng một hàm theo chiều rộng của nó.
2. Mỗi đơn vị hàng hố nào đó có giá là p = 3 x + 15 đvtt khi x đơn vị hàng hoá được

sản xuất. Nếu tất cả x đơn vị đều được bán tại giá bán này, hãy biểu diễn doanh thu
nhận được từ việc bán số đơn vị hàng hoá này bằng một hàm theo x.
3. Biểu diễn diện tích của cánh đồng hình chữ nhật mà chu vi của nó là 320 m bằng
một hàm theo chiều dài của một trong các cạnh bên của nó. Vẽ đồ thị và ước tính các
kích thước để diện tích của cánh đồng là lớn nhất.
4. Một công ty cho thuê xe bus đưa ra cách tính chi phí để phân loại các loại xe cho
th như sau. Đối với nhóm chứa khơng q 40 người thì sẽ tính với giá cố định 2400
đơ la (40 nhân 60 đơ la). Đối với nhóm chứa giữa 40 và 80 người, thì mỗi người sẽ trả
60 đô la trừ đi 50 cents cho mỗi người vượt quá 40. Đối với nhóm có 80 người hoặc
nhiều hơn thì tiền xe cho mỗi người là 40 đơ la. Hãy biểu diễn doanh thu của công ty
bằng một hàm theo số người của nhóm. Vẽ đồ thị.
5. Một nhà bảo tàng lịch sử ở địa phương quy định lệ phí vào cửa cho các nhóm như
sau: Nhóm có ít hơn 50 người thì lệ phí là 3.5 đơ la/ người, trong khi đó nhóm có từ 50
người trở lên thì lệ phí được tính giảm hơn là 3 đơ la/ người.
(a) Biểu diễn lệ phí vào cửa bằng một hàm theo số người trong nhóm và vẽ đồ thị.
(b) Đối với nhóm có 49 người thì họ sẽ tiết kiệm được bao nhiêu tiền vào cửa nếu
nhóm đó có thêm một thành viên.
6. Một cửa hàng sách nhận sách từ nhà xuất bản với giá là 3 đvtt/cuốn. Cửa hàng bán
sách với giá là 15 đvtt/ cuốn, tại giá bán này mỗi tháng cửa hàng sẽ bán được 200
cuốn. Cửa hàng có kế hoạch giảm giá để kích thích sức mua và họ ước tính rằng cứ
mỗi 1 đvtt mà giảm đi trong giá bán thì mỗi tháng sẽ bán nhiều hơn 20 cuốn. Hãy biểu

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

18

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

diễn lợi nhuận hằng tháng của cửa hàng từ việc bán sách này bằng một hàm theo theo
giá bán, vẽ đồ thị và tìm giá bán tối ưu nhất ?
7. Công ty A nhận đơn đặt hàng từ cơng ty giải trí để sản xuất 8000 kickboard. Cơng
ty sở hữu một vài máy, mỗi máy có thể sản xuất 30 kickboard một giờ. Chi phí lắp đặt
máy để sản xuất các kickboard này là 20 đvtt/máy. Tất cả các máy đều tự động hoá và
được giám sát bởi một người, chi phí giám sát là 19.20 đvtt/giờ. Hãy biểu diễn chi phí
sản xuất 8000 kickboard bằng một hàm theo số máy đã sử dụng, vẽ đồ thị và tìm số
máy mà cơng ty A nên sử dụng để chi phí sản xuất là nhỏ nhất ?
8. Một người nơng dân trồng giống cam Florida ước tính rằng nếu 60 cây cam được
trồng, thì sản lượng trung bình trên mỗi cây sẽ là 400 quả cam. Sản lượng trung bình
sẽ giảm 4 quả trên một cây tương ứng với mỗi cây cam được trồng thêm vào trên cùng
diện tích đó. Hãy biểu diễn tổng sản lượng cam của người nơng dân đó bằng một hàm
theo số cây được trồng thêm vào, vẽ đồ thị và tìm tổng số cây mà người nông dân nên
trồng để sản lượng thu được lớn nhất ?
9. Vào đầu tháng 7 người nông dân có thể bán khoai tây với giá 3 đơla/dạ, về sau giá
sẽ giảm 2 cents/dạ/ngày. Biết rằng vào đầu tháng 7, người nơng dân có 140 dạ khoai
tây trong tổng sản lượng và họ ước tính rằng vụ thu hoạch đang tăng với tốc độ 1
dạ/ngày. Biểu diễn tổng doanh thu của người nông dân từ việc bán khoai tây bằng một
hàm theo thời gian mà khoai tây được thu hoạch, vẽ đồ thị và ước tính khi nào người
nơng dân nên thu hoạch khoai tây để doanh thu là lớn nhất ?
p2
10. Khi chổi điện được bán với giá p đô lamỗi cái, nhà sản xuất sẽ cung cấp
chổi
10

đến người bán lẻ trong địa phương, trong khi đó nhu cầu của địa phương sẽ là
60 − p chổi. Tại giá bán nào trên thị trường thì sự cung cấp chổi của nhà sản xuất bằng

với nhu cầu của khách hàng ? Có bao nhiêu chổi được bán ra tại giá bán này?
11. Hàm cung và hàm cầu về hàng hóa nào đó lần lượt là S ( p ) = p − 10 và
D( p) =

5.600
.
p

(a) Tìm giá bán cân bằng thị trường và lượng cung và cầu tương ứng.
(b) Vẽ đường cung và đường cầu trên cùng một hệ trục tọa độ.
(c) Đường cung cắt trục p tại đâu ? Mô tả ý nghĩa kinh tế của điểm này.
12. Lệ phí phải trả để duy trì q trình kiểm tra tài khoản tại một ngân hàng nào đó là
12 đô la/ tháng cộng với 10 cents cho mỗi lượt kiểm tra. Một ngân khác tính lệ chí 10
đơ la/tháng cộng với 14 cents cho mỗi lượt kiểm tra. Tính xem ngân hàng nào đưa ra
thỏa thuận tốt hơn.
13. Trong thời gian mùa hè, một nhóm sinh viên xây dựng xuồng caiac trong một gara.
Số tiền thuê gara trong mùa hè là 1500 đvtt và nguyên liệu cần để xây dựng xuồng có
chi phí là 125 đvtt/xuồng. Các xuồng caiac có thể bán với giá 275 đvtt mỗi chiếc.
(a) Các sinh viên phải bán bao nhiêu chiếc xuồng để hòa vốn ?
(b) Các sinh viên phải bán bao nhiêu chiếc xuồng để thu được lợi nhuận là 1000 đvtt ?
14. Một nhà máy sản xuất đồ đạc có thể bán những chiếc bàn với giá 70 đvtt mỗi
chiếc. Chi phí để sản xuất mỗi chiếc bàn là 30 đvtt và họ ước tính rằng doanh thu sẽ
bằng với vốn khi 200 chiếc bàn được bán. Chi phí cố định để sản xuất những chiếc bàn
là bao nhiêu ? [chú ý: Chi phí cố định là chi phí khi 0 đơn vị được sản xuất].
15. Một viện bảo tàng quy định cách tính lệ phí cho từng nhóm vào viện như sau:
Nhóm ít hơn 10 người thì tính với lệ phí cố định là 360 nghìn đồng. Nhóm từ 10 và 15
người thì lệ phí là 35 nghìn đồng/người và nhóm trên 15 người thì lệ phí được tính là
30 nghìn đồng/ người.
Khoa Khoa Học Tự Nhiên

19

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

(a) Hãy lập hàm doanh thu cho viện bảo tàng theo số người trong nhóm.
(b) Giả sử nhóm có 9 người thì họ sẽ tiết kiệm được bao nhiêu tiền nếu nhóm đó có
thêm một thành viên nữa.
16. Trong mùa du lịch, một đại lý cho thuê xe đưa ra cách tính chi phí cho thuê như
sau: phí ban đầu 30 (USD) trong một ngày cộng với 200 (cents) cho mỗi km đi được.
Hỏi nếu một người chỉ có 180 (USD) thì có thể đi được bao nhiêu km và minh họa
bằng đồ thị ? Giả sử người đó chỉ thuê trong một ngày.

1.5. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1.5.1. Giới hạn

Giới hạn là quá trình khảo sát hành vi của hàm f (x ) khi x tiến về số c, mà số c có
thuộc hoặc khơng thuộc miền xác định của f .
Để minh họa khái niệm giới hạn, ta xét bài toán như sau: Giả sử ta muốn biết điều
x2 + x − 2
khi x tiến về 1. Mặc dù f (x ) không xác
x −1
định tại 1, ta có thể nhìn thấy được điều này bằng cách tính các giá trị f (x ) dùng các

gì xảy ra đối với hàm số f ( x) =

giá trị x mà tiến về cả bên trái và bên phải số 1. Bảng dưới đây tổng kết hành vi của
f (x ) khi x tiến gần tới 1 từ hai phía.
x tiến về phía bên trái 1

x tiến về phía bên phải 1

Các giá trị của hàm trong bảng này cho thấy rằng f (x ) tiến về 3 khi x tiến về lân
cận của 1 từ hai phía. Hành vi này có thể nói lên rằng “ giới hạn của f (x ) khi x tiến về
1 thì bằng 3” và được viết tắt như sau: lim f ( x) = 3
x →1

1.5.1.1. Khái niệm giới hạn: Nếu f (x ) tiến về số L khi x tiến về c từ hai phía. Thì L
được gọi là giới hạn của hàm số f (x ) khi x tiến đến c và được ký hiệu:
lim f ( x) = L .
x →c

Ý nghĩa hình học của giới hạn: Về mặt hình học, phát biểu của giới hạn
lim f ( x) = L có nghĩa f ( x ) tiến về L khi x tiến về c (Hình 1.14a). Chẳng hạn, đồ thị
x →c

của hàm f ( x) =

x2 + x − 2
là một đường thẳng với một “lổ thủng” tại (1, 3), và các
x −1

điểm ( x, y ) trên đồ thị tiến về lổ thủng này khi x tiến về 1 từ hai phía (Hình 1.14.b).

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

20

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

(a) Nếu lim f ( x) = L , độ cao của đồ thị f tiến về L khi x tiến về c.
x →c

(b) Giải thích về mặt hình học của phát biểu giới hạn lim
x →c

x2 + x − 2
=3
x −1

Hình 1.14: Giải thích về mặt hình học của giới hạn.

1.5.1.2. Một số tính chất của giới hạn
Các tính chất đại số của giới hạn:
Nếu lim f ( x) và lim g ( x) tồn tại, thì ta có
x→c

x→c

lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x)
x →c

x →c

x →c

lim kf ( x) = k lim f ( x)
x →c

x →c

lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x)
x →c

x →c

x →c

lim[ f ( x) / g ( x)] = lim f ( x) / lim g ( x)
x →c

x →c

lim[ f ( x)] = [lim f ( x)]
p

x →c

( nếu lim g ( x) ≠ 0 )

x →c

x →c

( nếu [lim f ( x)] p tồn tại)

p

x →c

x →c

Giới hạn của hai hàm tuyến tính: Với bất kỳ hằng số k, ta có
lim k = k
và
lim x = c
x →c

x →c

Tức là, giới hạn của hằng số thì bằng chính hằng số đó, và giới hạn của f ( x) = x khi x
tiến về c thì bằng c.
Khoa Khoa Học Tự Nhiên

21

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Về mặt hình học, thì phát biểu giới hạn lim k = k nói lên rằng chiều cao của đồ thị
x →c

của hàm hằng f ( x) = k tiến về k khi x tiến về c. Tương tự, lim x = c nói lên rằng chiều
x →c

cao của hàm tuyến tính f ( x) = x tiến về c khi x tiến về c.
Ví dụ 5.1. Tính lim (3x 3 − 4 x + 8)
x → −1

Giải:
Áp dụng tính chất của giới hạn ta có:

(

)

3

lim (3 x 3 − 4 x + 8) = 3 lim x − 4 lim ( x) + lim (8) = 3.(−1) 3 − 4.(−1) + 8 = 9

x → −1

x → −1

x → −1

x → −1

3x 3 − 8
Ví dụ 5.2. Tính lim
x →0 x − 2

Giải:
Vì lim( x − 2) ≠ 0 nên ta có thể dùng quy tắc thương của giới hạn ta có
x →0

(3 x 3 − 8) 3 lim x 3 − lim 8 − 8
3 x 3 − 8 lim
x →0
x →0
lim
=
= x →0
=
=4
x →0 x − 2
lim( x − 2)
lim x − lim 2
−2
x →0

x →0

x→0

Giới hạn của đa thức và giới hạn của hàm phân thức: Nếu p(x) và q(x) là các
đa thức, thì:

lim p ( x) = p(c)
x →c

và

lim
x →c

Ví dụ 5.3. Tính lim
x →1

p ( x ) p (c )
=
q ( x ) q (c )

nếu q(c) ≠ 0 .

x2 −1
.
x 2 − 3x + 2

Giải:
Khi x tiến về 1, cả tử và mẫu đều tiến về 0, và ta không
thể kết luận gì về giá trị của thương. Để tiếp tục, ta
chú ý rằng hàm số đã cho không xác định khi x = 1
nhưng nó xác định với mọi giá trị khác của x ≠ 1 , do
đó ta có thể chia tử và mẫu cho x -1 ta có:
x2 −1
( x − 1)( x + 1) x + 1
=

=
2
x − 3 x + 2 ( x − 1)( x − 2) x − 2

Bây giờ ta lấy giới hạn khi x tiến về 1, ta có
lim
x →1

lim( x + 1)
x2 −1
2
x →1
=
= −2
=
2
x − 3x + 2 lim( x − 2) − 1

Hình 1.17. Đồ thị của f ( x) =

x2 −1
x 2 − 3x + 2

x →1

Ví dụ 5.4. Tính lim
x →1

x −1
.

x −1

1.5.2. Giới hạn một phía

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

22

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích


Trường Đại Học Duy Tân

Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014

Đơi khi nó rất cần thiết để xét giới hạn của hàm khi biến độc lập tiến về một số chỉ
từ một phía. Chẳng hạn, Hình 1.15 cho thấy đồ thị của hàm tồn kho I(t) theo thời gian t
mà công ty cung cấp ngay lập tức lượng L1 khi mà sự kiểm kê xuống đến mức tối
thiểu nào đó là L2 (điều này được gọi sự kiểm kê đúng lúc). Giả sử lượng cung ứng
đầu tiên xuất hiện tại thời điểm t = t1 . Thì khi t tiến gần về t1 từ phía bên trái, thì giá trị
của giới hạn là L2 , nhưng nếu nó tiến về t1 từ phía bên phải thì giới hạn là L1 .

Hình 1.15: Thời gian kiểm kê kịp thời.

Giới hạn một phía: Nếu f (x) tiến về L khi x tiến về c từ bên trái (x < c), ta viết
lim f ( x) = L . Tương tự, nếu f (x) tiến về M khi x tiến về c từ bên phải (x > c) thì
x→ c −

lim f ( x) = M .
x→ c +

Nếu ký hiệu này được sử dụng trong ví dụ kiểm kê của ta, ta sẽ viết:
lim I (t ) = L2 và
lim I (t ) = L1
t →t1−

t →t1+

Ví dụ 5.5. Cho hàm
⎧1 − x 2 neáu x < 2
f (x) = ⎨
⎩2 x + 1 nếu x ≥ 2
Tính các giới hạn một phía lim f ( x) và lim f ( x)
x→ 2−

x→ 2 +

Giải:
Đồ thị của f (x) được vẽ trong Hình 1.19.
Vì f ( x) = 1 − x 2 với x < 2, ta có
lim f ( x) = lim− (1 − x 2 ) = −3

x→2−

x→2

Tương tự, f ( x) = 2 x + 1 nếu x ≥ 2 , nên
lim f ( x) = lim+ (2 x + 1) = 5

x →2+

x→2

Hình 1.19: Đồ thị của

Chú ý rằng giới hạn lim f ( x) không tồn tại với hàm
x→ 2

trong ví dụ 6 vì giá trị của hàm f (x) không tiến về
cùng giá trị L khi x tiến về 2 từ hai phía. Tổng quát,
ta có tiêu chuẩn dưới đây để xét sự tồn tại của giới hạn.

⎧1 − x 2 neáu x < 2
f (x) = ⎨
⎩2 x + 1 neáu x ≥ 2

Điều kiện tồn tại giới hạn:

Khoa Khoa Học Tự Nhiên

23

ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích