TOAN CAO CAP a1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

TẬP BÀI GIẢNG

TOÁN CAO CẤP A1
GIẢNG VIÊN: ThS. NGUYỄN BẢO VIỆT

Đà Nẵng, năm 2013



Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1 HÀM SỐ VÀ CÁC MƠ HÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Các cách biểu diễn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.1 Khái niệm hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.2 Một số phương pháp biểu diễn hàm số . . . . . . . .
1.1.1.3 Hàm số được xác định bởi nhiều công thức . . . . .
1.1.1.4 Tính đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.5 Sự tăng giảm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Một số mơ hình tốn học thường gặp . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1 Mơ hình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2 Hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.3 Hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.4 Hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2.5 Hàm đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.6 Hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Xây dựng hàm mới dựa trên hàm đã có . . . . . . . . . . . .
1.1.3.1 Phép biến đổi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.2 Các phép toán trên hàm . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.3 Hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Hàm ngược và hàm Logarit, hàm lượng giác ngược . . . . . .
1.1.5.1 Hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5.2 Hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5.3 Hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Đường cong cho bởi phương trình tham số . . . . . . . . . . .
1.1.6.1 Phương trình tham số của đường cong . . . . . . . .
1.1.6.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
1.2.1 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.2 Tính chất và các quy tắc tính giới hạn . . . . . . . .
1.2.1.3 Giới hạn một bên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

2

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

5
6
7
7
7
10
12
13
15
15
16
17
17
18
18
19
19
20
22
23
24

25
25
29
30
31
31
31
33
33
33
33
35

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân
1.2.1.4

Giới hạn tại vô cùng, giới hạn đến vô cùng . . . . . . . . . . . . .

39

Sự liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

1.2.2
1.3

Khoa KHTN

2 ĐẠO HÀM- ỨNG DỤNG
2.1

ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.1.1

Một số bài toán mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.1.1.1

Bài toán tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.1.1.2

Bài toán vận tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.1.2.1

Đạo hàm của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.1.2.2

Đạo hàm của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.1.2.3

Một số ký hiệu khác của đạo hàm: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Đạo hàm của hàm đa thức, lượng giác, hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.1.3.1

Đạo hàm của hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.1.3.2

Đạo hàm của hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.1.3.3

Đạo hàm của hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.1.4

Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.1.5

Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.1.6

Công thức vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.1.6.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.1.6.2

Các quy tắc tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.1.7

Đạo hàm của hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.1.8

Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.1.8.1

Đạo hàm của hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.1.8.2

Đạo hàm hàm số Logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.1.10 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.2.1

Phương trình tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.2.2

Xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.2.3

Xấp xỉ nghiệm của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.2.4

Quan hệ giữa các đại lượng biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

2.2.5

Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.2.5.1

Các bước để giải bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.2.5.2

Ứng dụng trong kinh tế thương mại . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Dạng vô định và quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.1.2

2.1.3

2.1.9
2.2

2.2.6

2.2.7
2.3

52

0 ∞
0, ∞

2.2.6.1

Dạng vô định

và quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . .

93

2.2.6.2

Các dạng vô định khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

Lược đồ vẽ đồ thị của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

3

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

3 TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
3.1 TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Nguyên hàm và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.1 Định nghĩa nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Một số phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . .
3.1.2.1 Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2.2 Phương pháp tích phân từng phân . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2.3 Tích phân một số hàm số cơ bản thường gặp . . . . . . . .
3.1.3 Bài tốn tính diện tích miền thang cong . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Định lý cơ bản của phép tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.1 Định lý Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.2 Một số phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . .
3.1.6 Xấp xỉ của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.1 Quy tắc trung điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.2 Quy tắc hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.3 Biên độ sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.4 Quy tắc Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7.1 Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7.2 Một số tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng loại 1 . .
3.1.7.3 Tích phân suy rộng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7.4 Một số tiêu chuẩn xét sự hội tụ của tích phân suy rộng loại
3.2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bài tốn tính diện tích của hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Bài tốn tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Tính độ dài đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Bài tốn tính xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục trên đoạn . . . .
3.2.5 Hàm mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
4.1 Mơ hình các phương trình vi phân . . .

4.1.1 Mơ hình sự gia tăng dân số . . .
4.1.2 Mơ hình chuyển động của con lắc
4.1.3 Phương trình vi phân . . . . . .
4.2 Trường có hướng . . . . . . . . . . . . .
4.3 Phương pháp Euler (Phương pháp số) .
4.4 Phương trình tách biến . . . . . . . . .
4.5 Ứng dụng của phương trình tách biến .
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

4

. . . .
. . . .
lò xo
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

115
116
116
116
117
119
119

121
123
129
132
132
134
137
137
138
142
143
144
145
147
148
148
151
152
154
155
155
158
160
161
162
163

.
.
.

.
.
.
.
.

169
170
170
170
171
171
171
173
173

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

4.6

4.7
4.8

Khoa KHTN

4.5.1 Quỹ đạo trực giao . . . . . . . . . . .
4.5.2 Bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . .

Bài toán quy luật suy tàn và giải các mơ hình
4.6.1 Hàm mũ phát triển và suy thối . . .
4.6.2 Phương trình Logistic . . . . . . . . .
Phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . .
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
phương trình
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

. . . . .
. . . . .
vi phân
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

173
174
175
175

175
176
176

5 DÃY VÔ HẠN VÀ CHUỖI
178
5.1 Dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.1.1 Khái niệm dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.1.2 Khái niệm hội tụ - Phân kỳ của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.1.3 Dãy tăng, giảm và bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1.4 Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn để xác định tính hội tụ và giới hạn. . . . . . . 182
5.2 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.2.1 Khái niệm chuỗi số - Chuỗi hội tụ, chuỗi phân kỳ . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.2.2 Tính chất của chuỗi số - Tiêu chuẩn phân kỳ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.3 Các chuỗi đặc biệt và các tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3.1 Chuỗi số dương và tiêu chuẩn tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3.2 Chuỗi số dương và tiêu chuẩn so sánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.3.3 Tính gần đúng tổng của một chuỗi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.3.4 Chuỗi đan dấu - Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . 187
5.3.5 Tính gần đúng và ước lượng sai số của chuỗi luân phiên. . . . . . . . . . . . 188
5.3.6 Chuỗi hội tụ tuyệt đối - Tiêu chuẩn D’Alembert - Tiêu chuẩn Cauchy. . . . 188
5.4 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.4.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.4.2 Bán kính hội tụ , miền hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.5 Biểu diễn hàm bằng tổng của một chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.5.1 Biểu diễn hàm bằng tổng của một chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.5.2 Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.5.3 Đạo hàm và tích phân của một chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.6 Một số ứng dụng của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.6.1 Đa thức Taylor và tính gần đúng một giá trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.6.2 Xấp xỉ tích phân phức tạp hoặc tích phân của các hàm khơng có ngun hàm.195
5.6.3 Ứng dụng vào tìm một số giới hạn phức tạp. . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.7 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

5

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Chương 1

HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

A. MỤC TIÊU
Trong chương này, sinh viên cần nắm được một số vấn đề về mặt lý thuyết và kỹ năng giải bài
tập như sau:
• Xây dựng hàm số từ các vấn đề trong thực tế.
• Khái niệm mơ hình tốn học và cách giải quyết bài tốn thực tế qua mơ hình tốn học.
• Phương pháp vẽ một đồ thị từ hàm số và đồ thị đã có.
• Điều kiện tồn tại hàm ngược, phương pháp tìm hàm ngược và vận dụng tìm hàm ngược của
các dạng hàm số.
• Khái niệm đường cong tham số và phương pháp vẽ đồ thị đường cong tham số.
• Khái niệm giới hạn hàm số, phân biệt giới hạn một bên, điều kiện tồn tại giới hạn.
• Sử dụng định nghĩa, các tính chất để tìm giới hạn của một số hàm số.


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

• Định nghĩa hàm số liên tục, vận dụng các quy tắc tính giới hạn để xét tính liên tục của hàm
số.
B. NỘI DUNG

1.1
1.1.1
1.1.1.1

HÀM SỐ VÀ CÁC MƠ HÌNH
Các cách biểu diễn hàm số
Khái niệm hàm số một biến

Trong thực tế, giá trị của đại lượng này phụ thuộc giá trị của đại lượng kia. Chẳng hạn
(a) Diện tích của một hình trịn phụ thuộc vào bán kính của đường trịn, được tính bởi cơng
thức A = πr2 . Với mỗi số dương r có một giá trị diện tích A và A được gọi là một hàm theo
r.
(b) Số dân của thế giới P phụ thuộc vào thời gian t. Ứng với mỗi thời điểm t, số dân thế giới
ước tính P (t) và P là hàm theo t.
(c) Lượng khí thải trong khơng khí của một đô thị phụ thuộc số ôtô lưu hành trong đơ thị đó.
Một cách đơn giản, một hàm bao gồm hai tập hợp và một quy tắc tương ứng giữa mỗi phần tử
trong tập hợp này với một phần tử trong tập hợp kia.
Một hàm f là một quy tắc đặt tương ứng với một phần tử thuộc tập hợp A với một và chỉ
một phần tử f (x) thuộc tập hợp B. Chúng ta xét những hàm trên tập A và B là tập các số thực.
Tập A gọi là miền xác định của hàm f . Số f (x) là giá trị của hàm f tại x. Miền giá trị của f là
tập tất cả các giá trị của f (x) khi x biến thiên trong miền xác định. Một số tùy ý trong miền xác
định của f gọi là biến độc lập, một số trong miền giá trị của f gọi là biến phụ thuộc.
Có thể hình dung hàm số như một "cái máy " nhận phần tử trong tập A và biến thành một
phần tử trong tập B theo quy tắc của một hàm.

Các hàm số lập trình sẵn trong máy tính là những ví dụ về hàm số. Ví dụ, phím căn bậc hai trên
√
√
máy tính của bạn như là một hàm. Bạn bấm phím
(hoặc x ) và nhập vào x. Nếu x < 0 thì x
khơng thuộc tập xác định của hàm số này nên máy tính sẽ báo lỗi. Nếu x ≥ 0, thì một giá trị xấp
xỉ căn bậc hai của x xuất hiện trên màn hình.
Một phương pháp khác để mô tả một hàm số là sơ đồ mũi tên như trong hình dưới đây. Mỗi
mũi tên liên kết một phần tử của A với một phần tử của B. Mũi tên chỉ ra x tương ứng với f (x),
a tương ứng với f (a) ...
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

7

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

Một phương pháp để hình dung một hàm số là đồ thị của nó. Nếu f là một hàm số với tập xác
định là A thì đồ thị của nó là tập hợp {(x, f (x))|x ∈ A}.
Ví dụ 1.1. Đồ thị của hàm số f được thể hiện trong hình sau.

(a) Tìm các giá trị của f (0) và f (2).
(b) Tìm tập xác định và tập giá trị của f .
giải.

(a) Từ hình trên, ta thấy điểm (0, 1) nằm trên đồ thị của f , vì vậy giá trị của f tại 0 là
f (0) = 1.
Khi x = 2, đồ thị này nằm trên trục hoành và chiếu vào trục tung tại giá trị 4 đơn vị, vì vậy
ta biết rằng f (2) = 4.

(b) Ta thấy rằng f được xác định khi 0 ≤ x ≤ 7, vì vậy tập xác định của f là đoạn [0, 7]. Tập
giá trị của f là
{y| − 2 ≤ y ≤ 4} = [−2, 4]

Ví dụ 1.2. Vẽ đồ thị của hàm số f , tìm tập xác định và tập giá trị của mỗi hàm sau.
b) g(x) = x2

a) f (x) = 2x − 1
giải.
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

8

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

a) Phương trình của đồ thị là y = 2x − 1, và ta nhận ra hệ số góc của đường thẳng là 2 và tung
độ góc bằng 1.
Điều này giúp ta vẽ được đồ thị của f trong hình dưới đây. Biểu thức 2x − 1 xác định với
mọi số thực, vì vậy tập xác định là tập hợp của tất cả các số thực, kí hiệu R. Từ đồ thị ta
thấy tập giá trị cũng là R.

b) Vì g(2) = 22 = 4 và g(−1) = (−1)2 = 1, ta có thể vẽ các điểm (2, 4) và (−1, 1), cùng với một
vài điểm khác trên đồ thị, và từ đó ta vẽ được đồ thị. Phương trình của đồ thị là y = x2 , nó
biểu diễn một parabol. Tập xác định của g là R, tập giá trị của g là bao gồm tất cả các giá
trị g(x), đó là tất cả các số của biểu thức x2 , nhưng x2 ≥ 0, ∀x và bất kỳ các số dương y là
bình phương của x. Do đó tập giá trị của g là {y|y ≥ 0} = [0, +∞). Điều này được minh hoạ
trong hình sau.

Ví dụ 1.3. Cho f (x) = 2x2 − 5x + 1 và h = 0. Tính

f (a + h) − f (a)
.
h

giải. Trước hết ta tính f (a + h) bằng cách thay x bởi a + h trong biểu thức f (x). Ta có
f (a + h) =
=

2(a + h)2 − 5(a + h) + 1
2(a2 + 2ah + h2 ) − 5(a + h) + 1

= 2a2 + 4ah + 2h2 − 5a − 5h + 1.
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

9

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

thay vào biểu thức đã cho và đơn giản ta được
f (a + h) − f (a)
h

=
=
=

1.1.1.2

2a2 + 4ah + 2h2 − 5a − 5h + 1 − 2a2 − 5a + 1
h
2a2 + 4ah + 2h2 − 5a − 5h + 1 − 2a2 + 5a − 1
h
4ah + 2h2 − 5h
= 4a + 2h − 5.
h

Một số phương pháp biểu diễn hàm số

Có 4 phương pháp biểu diễn hàm số:
• Lời nói (mơ tả bằng ngơn ngữ).
• Số trị (mơ tả bằng bảng giá trị).
• Hình ảnh (bằng đồ thị).
• Phương pháp đại số (bằng công thức chi tiết). Đây là phương pháp thông dụng nhất.
Ví dụ 1.4. Một kho chứa hình chữ nhật có thể tích là 10m3 . Chiều dài đáy gấp hai lần chiều rộng.
Chi phí nguyên liệu cho mặt đáy là 10 đô la trên 1m2 và các mặt bên là 6 đơ la trên 1m2 . Hãy tìm

một hàm về chi phí giá nguyên liệu theo chiều rộng của đáy.
giải.
Ta vẽ một sơ đồ như trong hình sau và ký hiệu w và 2w lần lượt là chiều rộng và chiều dài của
đáy và h là chiều cao.

Diện tích của đáy là (2w)w = 2w2 do đó chi phí nguyên liệu của mặt đáy bằng 10.(2w2 ) đô la.
Hai mặt bên có diện tích là wh và hai mặt bên khác có diện tích là 2wh, vì vậy chi phí nguyên
liệu cho các mặt bên là 6[2(wh) + 2(2wh)]. Do đó tổng chi phí là:
C = 10(2w2 + 6[2(wh) + 2(2wh)]) = 20w2 + 36wh
Để biểu diễn C như là một hàm theo w, ta cần phải khử h và chúng tôi làm như vậy bằng cách sử
dụng thể tích là 10m3 . Do đó
w(2w)h = 10
Bài giảng: Tốn Cao Cấp A1

10

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN
h=

10
2w2

Thế h vào biểu thức C ta có:
180
10

= 20w2 +
2
2w
w

C = 20w2 + 36w
Như vậy, phương trình

C = 20w2 +

180
,w > 0
w

biểu diễn C là một hàm theo w.
Ví dụ 1.5. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau
√
(a) f (x) = x − 2
(b) g(x) =

x2

1
− 4x

giải.
(a) Căn bậc hai của một số âm là không xác định nên tập xác định của hàm số là tập tất cả các
giá trị của x sao cho x − 2 ≥ 0, điều này tương đương x ≥ 2, vì vậy tập xác định là khoảng
[2, +∞).
(b) Từ

g(x) =

x2

1
1
=
− 4x
x(x − 4)

và phép chia cho 0 là không được phép nên g(x) không xác định khi x = 0 và x = 4, do đó
tập xác định của g là {x|x = 0, x = 4}, có thể viết dưới dạng (−∞, 0) ∪ (0, 4) ∪ (4, +∞)

Tiêu chuẩn đường thẳng đứng Một đường cong trong mặt phẳng Oxy là đồ thị của
hàm số nếu và chỉ nếu khơng có đường thẳng đứng nào cắt đường cong nhiều hơn một lần.

Ví dụ 1.6. Parabol x = y 2 − 2 trong hình sau khơng phải là đồ thị của một hàm số vì có những
đường thẳng đứng cắt parabol hai lần tuy nhiên, nó chứa các đồ thị của hai hàm số. Chú ý nếu ta
đảo ngược vai trị của x và y, thì phương trình x = h(y) = y 2 − 2 xác định x như một hàm theo y
(với x là biến độc lập và y là biến phụ thuộc) và parabol bây giờ là đồ thị của hàm h.
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

11

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

1.1.1.3

Khoa KHTN

Hàm số được xác định bởi nhiều cơng thức

Các hàm số trong các ví dụ sau đây xác định các công thức khác nhau trên các tập xác định
khác nhau:
Ví dụ 1.7. Cho hàm số xác định bởi
f (x) =

1−x
x2

nếu x ≤ 1
nếu x > 1

Tính giá trị f (0), f (1) và f (2) và vẽ đồ thị của hàm số f (x).
giải. Nhìn vào giá trị x được nhập vào, nếu x thỏa x ≤ 1 thì giá trị của f là 1 − x, nếu x thỏa
x > 1 thì giá trị của f là x2 .
Vì 0 ≤ 1 nên ta có
Vì 1 ≤ 1 nên ta có
Vì 2 > 1 nên ta có

f (0) = 1 − 0 = 1
f (1) = 1 − 1 = 0.
f (2) = 22 = 4.

Làm thế nào để vẽ được đồ thị f ?. Ta thấy rằng nếu x thỏa x ≤ 1 thì giá trị của f (x) = 1 − x,
tức là một phần đồ thị của f sẽ nằm về bên trái của đường thẳng x = 1, phải trùng với đồ thị
y = 1 − x, đồ thị này có hệ số góc là −1 và tung độ góc là 1. Nếu x thỏa x > 1 thì giá trị của

f (x) = x2 tức là một phần đồ thị của f sẽ nằm về bên phải của đường thẳng x = 1, phải trùng
với parabol y = x2 , điều này cho ta vẽ đồ thị của hàm số f dưới đây.

Ví dụ 1.8. Vẽ đồ thị của hàm chứa trị tuyệt đối f (x) = |x|.
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

12

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

giải. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có,
f (x) =

x
−x

nếu x ≥ 0
nếu x < 0

Sử dụng phương pháp như ví dụ 1.7, đồ thị của hàm số f trùng với đường thẳng y = x, nằm bên
phải đường thẳng x = 0 và đường thẳng y = −x nằm về bên trái của đường thẳng x = 0.

Ví dụ 1.9. Hãy tìm cơng thức cho hàm số f có đồ thị như hình sau.

giải. Đường thẳng nối (0, 0) và (1, 1) có hệ số góc m = 1 và tung độ góc b = 0, vì vậy phương

trình là y = x. Do đó phần đồ thị của f nối (0, 0) đến (1, 1), ta có f (x) = x nếu 0 ≤ x ≤ 1.
Đường thẳng nối (1, 1) và (2, 0) có hệ số góc m = −1 và tung độ góc b = 2, vì vậy phương
trình là y = −x + 2. Do đó phần đồ thị của f nối (1, 1) đến (2, 0), ta có f (x) = 2 − x nếu 1 < x ≤ 2.
Phần đồ thị của f trùng với trục Ox với x > 2. Do đó phần đồ thị x > 2 của f là y = 0
Vậy công thức của hàm số f là

nếu 0 ≤ x ≤ 1
 x
f (x) =
2 − x nếu 1 < x ≤ 2

0
nếu x > 2

1.1.1.4

Tính đối xứng

Nếu một hàm số f thỏa mãn điều kiện f (−x) = f (x), ∀ − x, x ∈ D, với D là tập xác định của
hàm số được gọi là hàm số chẵn.
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

13

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

Chẳng hạn, hàm số f (x) = x2 là chẵn vì
f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x), ∀x
Ý nghĩa hình học của hàm số chẵn là đồ thị của nó đối xứng qua trục tung oy.
Nếu một hàm số f thỏa mãn điều kiện f (−x) = −f (x), ∀ − x, x ∈ D, với D là tập xác định
của hàm số được gọi là hàm số lẻ .
Chẳng hạn, hàm số f (x) = x3 là lẻ vì
f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x), ∀x
Ý nghĩa hình học của hàm số lẻ là đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ O.

Ví dụ 1.10. Mỗi hàm số sau, hàm nào hàm số chẵn, lẻ hoặc không chẵn cũng không lẻ
(a)f (x) = x5 + x
(b) g(x) = 1 + x4
(c) h(x) = 2x − x2
giải.
(a) f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x), ∀x ∈ R. Vậy f (x) là hàm số lẻ.
(b) g(−x) = 1 + (−x)4 = 1 + x4 = g(x), ∀x ∈ R. Vậy g(x) là hàm số chẵn.
(c) h(−x) = 2(−x) − (−x)2 = −2x − x2 . Vì h(−x) = h(x) và h(x) = −h(x). Vậy h(x) là hàm
không chẵn cũng không lẻ.

Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

14

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân
1.1.1.5

Khoa KHTN

Sự tăng giảm của hàm số

(a) Hàm số f (x) được gọi là tăng trên khoảng I nếu
f (x1 ) < f (x2 ) khi x1 < x2 trong I
(b) Hàm số f (x) được gọi là giảm trên khoảng I nếu
f (x1 ) > f (x2 ) khi x1 < x2 trong I
Chẳng hạn, hàm y = x2 tăng trên khoảng [0, +∞) và giảm trên khoảng (−∞, 0]

1.1.2

Một số mơ hình tốn học thường gặp

Một mơ hình tốn học là một cách biểu diễn tốn học (thường cho bởi hàm số hoặc phương
trình) của các hiện tượng thực tế chẳng hạn số dân, nhu cầu của sản phẩm, tốc độ rơi của vật,
tuổi thọ của một người.... Mục đích của mơ hình giúp ta hiểu hơn về hiện tượng thực tế và dự
đoán các hành động về sau.
Khi một vấn đề trong thực tế đưa ra, việc đầu tiên ta tạo ra công thức cho mơ hình tốn học
bằng cách xác định và đặt tên cho các biến độc lập, biến phụ thuộc và làm giả thuyết nhằm đơn
giản hoá hiện tượng này để vận dụng vào toán học một cách dễ dàng hơn. Sử dụng các kiến thức
tự nhiên và các kỷ năng tốn học để tìm được một phương trình liên hệ giữa các biến. Trong tình
huống khơng có quy luật nào, ta cần thu thập các dữ liệu và quan sát bảng dữ liệu để phân biệt
các giả thuyết. Từ các số liệu đó, ta vẽ đồ thị của hàm số, từ đó tìm ra cơng thức thích hợp.

Bài giảng: Tốn Cao Cấp A1

15

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt

Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

Bước hai là vận dụng toán học đã biết vào mơ hình tốn học để suy ra cơng thức tốn học. Bước
thứ ba, ta lấy cơng thức toán học cuối cùng này và làm sáng tỏ chúng bằng các thơng tin trước đó
bằng phương pháp giải thích hoặc dự báo. Cuối cùng kiểm tra lại dự báo của ta bằng cách kiểm
tra lại dữ liệu mới.
Một mơ hình tốn học khơng bao giờ là hồn tồn chính xác các hiện tượng tự nhiên, nó là
sự lý tưởng hố. Việc đơn giản hố mơ hình thực tế đủ cho phép tính tốn bằng tốn học và nó
tương đối chính xác để đưa ra kết quả.
Có nhiều kiểu khác nhau của hàm số được sử dụng để mô hình hố quan hệ giữa các đại lượng
trong thực tế.
1.1.2.1

Mơ hình tuyến tính

Hàm tuyến tính là một hàm mà giá trị của nó thay đổi theo một tốc độ khơng đổi đối với
biến độc lập của nó. Đồ thị của nó là một đường thẳng, phương trình có dạng y = f (x) = mx + b,
trong đó m là hệ số góc của đường thẳng và b là tung độ góc.
Chẳng hạn, f (x) = 3x − 2 là một hàm tuyến tính. Hệ số góc của đường thẳng y = 3x − 2 là 3,
tung độ góc là −2.

Ví dụ 1.11. (a) Khơng khí khơ di chuyển lên phía trên, nó giãn ra và trở nên mát mẻ. Nếu
nhiệt độ mặt đất là 200 C và nhiệt độ ở độ cao 1 km là 100 C. Hãy biểu diễn hàm nhiệt độ
T 0 C theo độ cao h (km), giả sử đây là mơ hình tuyến tính.
(b) Vẽ đồ thị của hàm trong phần (a). Hệ số góc diễn tả điều gì?
(c) Nhiệt độ ở độ cao 2,5 km là bao nhiêu?

giải.
(a) Bởi vì theo giả sử T là một hàm tuyến tính của h, ta có thể viết
T = mh + b
Ta có T = 20 khi h = 0 nên
20 = m.0 + b = 20
Ta cũng có T = 10 khi h = 1 nên
10 = m.1 + 20m = −10
Vậy T = −10h + 20
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

16

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

(b) Đồ thị được vẽ trong hình sau.

Hệ số góc là −10, nó diễn tả tốc độ thay đổi của nhiệt độ theo chiều cao.
(c) Khi h = 2, 5km, nhiệt độ là T = −10(2, 5) + 20 = −50 C

1.1.2.2

Hàm đa thức

Một đa thức là một hàm số có dạng
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0

trong đó n là một số nguyên dương, các hằng số an , an−1 , ..., a0 gọi là các hệ số của đa thức.
Tập xác định của đa thức là R = (−∞, +∞). Nếu an = 0 thì ta nói bậc của đa thức là n.
Ví dụ
√
2
2
P (x) = 20x11 − 3x5 − x2 + 3
5
là một đa thức bậc 11.
1.1.2.3

Hàm lũy thừa

Một hàm số có dạng y = xa , với a là hằng số, được gọi là hàm lũy thừa.
Ta xét các trường hợp sau :
(i) a = n, với n là một số nguyên dương. Đồ thị của các hàm số y = xn với n = 1, 2, 3, 4, 5 được
biểu diễn hình dưới đây

Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

17

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

1

, với n là một số nguyên dương.
n
√
1
Hàm f (x) = x n = n x là được gọi là hàm căn thức.
√
Nếu n = 2, f (x) = x có tập xác định là [0, +∞) và có đồ thị là một nửa đồ thị của hàm số
x = y2.
√
Nếu n = 3, f (x) = 3 x có tập xác định là R và có đồ thị như hình dưới đây.

(ii) a =

(iii) a = −1
Đồ thị của hàm đối xứng f (x) = x−1 =

1.1.2.4

1
được biểu diễn ở hình sau.
x

Hàm hữu tỉ

Cho P (x) và Q(x) là hai đa thức. Khi ấy hàm số có dạng f (x) =

P (x)
được gọi là hàm hữu
Q(x)

tỉ . Tập xác định D = {x|Q(x) = 0}.
Ví dụ
(a) f (x) =

1
có tập xác định D = {x|x = 0}
x

(b) f (x) =

2x4 − x2 + 1
có tập xác định D = {x|x = ±2}.
x2 − 4

1.1.2.5

Hàm đại số

Một hàm f được gọi là hàm đại số nếu nó được xây dựng bởi các phép tốn đại số (cộng,
trừ, nhân, chia, nâng lũy thừa...) thực hiện trên các đa thức. Bất kỳ hàm hữu tỉ nào cũng được
xem là hàm đại số. Ví dụ
√
√
x4 − 16x4
√ + (x − 2) 3 x + 1.
a. f (x) = x2 + 1
b. g(x) =
x+ x
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

18

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân
1.1.2.6

Khoa KHTN

Hàm lượng giác

Một số hàm lượng giác cơ bản gồm có hàm sin, cos, tan, cot.
Hàm y = sin x và y = cos x có cùng tập xác định là R và có tập giá trị là [−1, 1].

Hàm y = tan x
tan x =
Tập xác định là D = R \

sin x
cos x

π
+ kπ , k ∈ Z và tập giá trị là R.
2

Hàm y = cot x
cot x =

cos x

sin x

Tập xác định là D = R \ {kπ} , k ∈ Z và tập giá trị là R.

1.1.3

Xây dựng hàm mới dựa trên hàm đã có

Trong phần này, ta bắt đầu với những hàm cơ sở mà chúng ta đã thảo luận ở phần 1.1.2 và
thu được những hàm mới bởi các phép biến đổi: Phép tịnh tiến, phép co giãn, phép đối xứng đồ
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

19

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

thị của chúng. Ta cũng chỉ ra làm thế nào để liên kết các cặp hàm bằng các phép toán số học và
phép lấy hàm hợp.

1.1.3.1

Phép biến đổi hàm

Bằng cách áp dụng phép biến đổi nào đó trên đồ thị của hàm đã cho ta có thể thu được đồ thị
của các hàm liên quan. Ta xét các phép biến đổi sau

Phép tịnh tiến
Nếu c là một số dương thì đồ thị của

y
y
y
y

= f (x) + c tịnh tiến đồ thị y = f (x) lên trên một khoảng cách c đơn vị.
= f (x) − c, tịnh tiến đồ thị y = f (x) xuống dưới với khoảng cách c đơn vị.
= f (x − c) tịnh tiến đồ thị y = f (x) về phía bên phải với khoảng cách c đơn vị.
= f (x + c), tịnh tiến đồ thị y = f (x) về bên trái với khoảng cách c đơn vị.

Bây giờ, ta xét phép co giãn và đối xứng của đồ thị hàm số.
Nếu c > 1 thì đồ thị của hàm số

y = cf (x), kéo giãn đồ thị y = f (x) theo hướng thẳng đứng bởi thừa số c.
1
y = f ( x), nén đồ thị y = f (x) theo hướng thẳng đứng bởi thừa số c.
c
y = f (cx), nén đồ thị y = f (x) theo hướng nằm ngang bởi thừa số c.
1
y = f ( x), kéo giãn đồ thị y = f (x) theo hướng nằm ngang bởi thừa số c.
c
y = −f (x), lấy đối xứng đồ thị y = f (x) qua trục Ox.
y = f (−x), lấy đối xứng đồ thị y = f (x) qua trục Oy.

Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

20

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

Ví dụ 1.12. Cho đồ thị hàm số y = cos x. Dùng phép biến đổi đồ thị, hãy vẽ đồ thị các hàm số
1
1
y = 2 cos x, y = cos x, y = cos 2x, y = cos x.
2
2
giải.

√
Ví dụ 1.13. Cho đồ thị của hàm số y = x, sử dụng phép biến đổi đồ thị để vẽ đồ thị của
√
√
√
√
√
y = x − 2, y = x − 2, y = − x, y = 2 x, y = −x.

giải.

Ví dụ 1.14. Vẽ đồ thị của hàm số y = x2 + 6x + 10
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

21

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

giải. Ta có y = x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 + 1
Từ đó, ta vẽ đồ thị của y = x2 , sau đó tịnh tiến về phía trái 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến lên phía
trên 1 đơn vị.

Ví dụ 1.15. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = sin 2x
b) y = 1 − sin x
giải. Đầu tiên ta vẽ đồ thị của hàm số y = sin x, từ đó suy ra các đồ thị các hàm số tương ứng.

1.1.3.2

Các phép toán trên hàm

Từ hai hàm số f (x), g(x) ta có thể xây dựng những hàm số mới
f + g, f − g, f g, f /g
Hàm tổng và hiệu được xác định như sau
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f − g)(x) = f (x) − g(x)
Nếu f có tập xác định là A, g có tập xác định là B thì tập xác định của f + g là A ∩ B
√
√

Ví dụ: f (x) = x có tập xác định là A = [0, ∞], g(x) = 2 − x có tập xác định là B = [−∞, 2].
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

22

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

√
√
Khi đó (f + g)(x) = x + 2 − x có tập xác định là A ∩ B = [0, 2].
Tương tự, phép nhân và phép chia các hàm số được xác định như sau:
(f g)(x) = f (x)g(x)
f (x)
f
( )(x) =
g
g(x)
f
g

Nếu f có tập xác định là A, g có tập xác định là B thì tập xác định của f g là A ∩ B và

(x)

có tập xác định là D = {x ∈ A ∩ B|g(x) = 0}

1.1.3.3

Hàm hợp

Định nghĩa 1.1. Cho hai hàm bất kỳ f và g, hàm hợp của f và g được xác định bởi
(f ◦ g)(x) = f (g(x))

Tập xác định của hàm f ◦ g là tập tất cả x thuộc tập xác định của g và g(x) thuộc tập xác
định của f
Ví dụ 1.16. Cho f (x) = x2 , g(x) = x − 3, tìm hàm hợp f ◦ g và g ◦ f
giải.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 3) = (x − 3)2
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = x2 − 3

Chú ý 1.1.

(i) (f ◦ g) = (g ◦ f )

(ii) f ◦ g nghĩa là f áp dụng trước, g áp dụng sau.
Ví dụ 1.17. Cho f (x) =
a) f ◦ g
b) g ◦ f

√

x, g(x) =
c) f ◦ f

√

2 − x, tìm mỗi hàm sau tập xác định của nó
d) g ◦ g.

giải.
√
(a) (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( 2 − x) =
{x|2 − x ≥ 0} = {x|x ≤ 2} = (−∞, 2]
√
(b) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = f ( x) =
{x|0 ≤ x ≤ 4} = [0, 4]
√
(c) (f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f ( x) =
[0, +∞)
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

2−
√

√

√

2−x =

√
4

2 − x. Tập xác định của hàm số là

x. Tập xác định của hàm số là {x|2 −

x =

23

√
4

√

x ≥ 0} =

x. Tập xác định của hàm số là {x|x ≥ 0} =

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt


Đại học Duy Tân

Khoa KHTN

√
(d) (g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g( 2 − x) =
√
x|2 − x ≥ 0, 2 − 2 − x ≥ 0 = [−2, 2].

2−

√

2 − x. Tập xác định của hàm số là

Hàm hợp có thể được xây dựng từ ba hàm số hoặc nhiều hơn. Chẳng hạn, hàm hợp f ◦ g ◦ h
được xây dựng bằng cách: đầu tiên áp dụng hàm h, sau đó đến hàm g, sau cùng đến hàm số f .
(f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x)))
Ví dụ 1.18. Tìm f ◦ g ◦ h biết f (x) =

x
, g(x) = x10 , h(x) = x + 3.
x+1

giải. Ta có
g(h(x)) = g(x + 3) = (x + 3)10
f (g(h(x))) = f ((x + 3)10 ) =

(x + 3)10
(x + 3)10 + 1

Như vậy, ta sử dụng hàm hợp để xây dựng các hàm phức tạp từ các hàm đơn giản. Ngược lại,
có thể sử dụng hàm hợp để phân tích các hàm phức tạp thành các hàm đơn giản. Ta xét các ví
dụ sau
Ví dụ 1.19. Cho hàm số F (x) = cos2 (x + 9), tìm các hàm số f, g, h sao cho F = f ◦ g ◦ h.
giải. Từ F (x) = cos2 (x + 9) = [cos (x + 9)]2 , công thức của F nói rằng: trước tiên cộng 9, sau đó
lấy cosin của kết quả, sau cùng là lấy bình phương. Do vậy
h(x) = x + 9

f (x) = x2

g(x) = cos x

Khi đó,
(f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))) = f (g(x + 9)) = f (cos x + 9) = [cos(x + 9)]2 = F (x)

1.1.4

Hàm mũ

Hàm mũ là hàm số có dạng y = ax , với a là một số dương.
Nếu x = n là một số nguyên dương thì an = a · a · · · · · a
n lần

Nếu x = 0 quy ước a0 = 1
1
Nếu x = −n, với n là một số nguyên dương thì a−n = n
a
p
√
√
p
Nếu x = là một số hữu tỉ, với p, q là các số nguyên và q > 0 thì a q = q ap = ( q a)p
q
Đồ thị của một số hàm số y = ax
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1

24

Biên soạn: ThS. Nguyễn Bảo Việt