Luận văn thạc sĩ Bồi dưỡng năng lực mô hình Toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHỊNG

PHẠM QUỐC THÁI

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC CHO HỌC
SINH THƠNG QUA DẠY HỌC VẬN DỤNG ĐẠO HÀM
GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN

CHUYÊN NGÀNH:
LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN
MÃ SỐ: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Bá Phương

HẢI PHÒNG - 2021


i

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố
trong bất kì cơng trình nào khác. Tơi xin cam đoan rằng các thơng tin trích
dẫn trong luận văn đều đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hải Phòng, ngày 29 tháng 10 năm 2021

Người cam đoan

Phạm Quốc Thái


ii

LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất của mình đến TS.
Lê Bá Phương – người thầy đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt quá trình
làm luận văn. Dù tình hình dịch bệnh diễn biến phức tạp tơi và thầy khơng có
nhiều cơ hội được làm việc trực tiếp nhưng thầy luôn sát sao, nhắc nhở và chỉ
bảo tơi để tơi có thể hồn thành luận văn của mình. Bằng tất cả sự kính trọng
và ngưỡng mộ tơi xin khắc ghi trong lịng tình cảm của thầy.
Tơi xin trân trọng cảm ơn q thầy cơ trong Khoa Tốn và Phịng Đào
tạo sau đại học Trường Đại học Hải Phòng đã tạo những điều kiện thuận lợi
cho tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và quý thầy cô đồng nghiệp
trường THPT Đồ Sơn, quận Đồ Sơn, Thành phố Hải Phịng đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tơi trong q trình học tập.
Cuối cùng, tơi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, các bạn cùng lớp đã
ln ủng hộ, hỗ trợ và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc chắn vẫn khơng tránh
khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Tơi rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp từ q thầy cơ và các bạn đọc.
Hải Phòng, ngày 29 tháng 10 năm 2021
Tác giả luận văn

Phạm Quốc Thái

iii

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1 – CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 7
1.1. Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn ..................................................... 7
1.1.1. Toán học với đời sống hàng ngày của con người ................................... 7
1.1.2. Mối quan hệ giữa Toán học và các khoa học khác ................................. 8
1.2. Năng lực mơ hình hóa .............................................................................. 10
1.2.1. Về năng lực ........................................................................................... 10
1.2.2 . Năng lực của người học ....................................................................... 11
1.2.3. Một số vấn đề về mơ hình hóa tốn học ............................................... 12
1.2.4. Các bước mơ hình hóa tốn học ............................................................ 13
1.2.5. Mơ hình hóa tốn học tình huống thực tiễn .......................................... 14
1.2.6. NL mơ hình hóa tốn học ...................................................................... 14
1.2.7. Các thành tố đặc trưng của NL mô hình hóa tốn học các bài tốn thực
tiễn của học sinh trung học phổ thơng. ........................................................... 15
1.3. Tình hình DH Tốn và vấn đề bồi dưỡng NL mơ hình hóa toán học cho
học sinh THPT ................................................................................................ 18
1.4. Một số vấn đề về dạy học đạo hàm cho học sinh bậc trung học phổ thông
......................................................................................................................... 21
1.4.1. Nội dung đạo hàm ở trường phổ thơng ................................................. 21
1.4.2. u cầu, mục đích của nội dung đạo hàm đối với học sinh phổ thông. 22
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG MƠ HÌNH HĨA TỐN
HỌC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
......................................................................................................................... 28
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THỰC TIỄN ................................................................ 28
2.1. ĐỊNH HƯỚNG ........................................................................................ 28

iv

2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM BỒI DƯỠNG NL MƠ H́NH HĨA
TỐN HỌC CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC ỨNG DỤNG
ĐẠO HÀM ...................................................................................................... 28
2.2.1. Biện pháp 1: Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng thực tiễn của đạo
hàm một cách hợp lý nhằm bồi dưỡng NL mô hình hóa tốn học cho học sinh
THPT. .............................................................................................................. 28
2.2.1.1. Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp ........................... 29
2.2.1.2. Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa ............................................. 29
2.2.2. Biện pháp 2: Xây dựng quy trình tổ chức hoạt động mơ hình hóa tốn
học trong dạy học vận dụng đạo hàm để giải bài toán thực tế ........................ 33
2.2.2.1. Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp ........................... 33
2.2.2.2. Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa ............................................. 34
2.2.3. Biện pháp 3: Tổ chức dạy học bồi dưỡng NL mô hình hóa tốn học
thơng qua nội dung vận dụng đạo hàm giải các bài toán thực tiễn ................. 40
2.2.3.1. Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp ........................... 40
2.2.3.2. Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa ............................................. 40
Kỹ thuật 1 - Gợi động cơ bên trong (động cơ xuất phát từ đối tượng) ........... 41
Kỹ thuật 2 - Rèn luyện cho học sinh kỹ năng xây dựng mơ hình tốn học cho
các bài tốn ứng dụng thực tiễn của đạo hàm. ................................................ 47
Kỹ thuật 3 - GV tổ chức HS tập luyện khả năng xây dựng, sử dụng, điều
chỉnh mơ hình tốn học ................................................................................... 55
2.2.4. Biện pháp 4: Bồi dưỡng NL vận dụng đạo hàm giải các bài tốn thực tế
cho học sinh thơng qua các bài kiểm tra đánh giá kết quả .............................. 61
2.2.4.1. Ý nghĩa tác dụng và cơ sở khoa học của biện pháp ........................... 61
2.2.4.2. Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa ............................................. 61
CHƯƠNG 3 - THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................. 65
3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 65

3.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 65


v

3.3. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................ 65
3.4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................ 77
3.4.1. Đánh giá định tính ................................................................................. 77
3.4.2. Đánh giá định lượng .............................................................................. 78
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3................................................................................ 82
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 85


vi

QUY ƯỚC VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

DH

Dạy học

GV

Giáo viên

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

HT

Học tập

KN

Kĩ năng

NL

Năng lực

NXB

Nhà xuất bản

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm


vii

DANH MỤC BẢNG, BIỂU
Số hiệu bảng

Tên bảng

3.1

Bảng phân bố tần số ghép lớp điểm kiểm tra
thường xuyên của lớp TN & ĐC tại trường THPT
Đồ Sơn

3.2

Bảng phân bố điểm kiểm tra cuối học kì II

Trang

viii

DANH MỤC HÌNH ẢNH
Số hiệu hình

Tên hình

3.2

Biểu đồ phân bố điểm kiểm tra cuối học kì II

3.3

Đồ thị phân bố điểm kiểm tra cuối học kì II

3.4

Biểu đồ phân bố tần suất điểm kiểm tra cuối HK II

3.5

Đồ thị phân bố tần suất điểm kiểm tra cuối HK II

Trang


1

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Trong suốt q trình hình thành và phát triển xã hội tốn học ln có một
vai trị quan trọng với các ngành khoa học khác và thực tiễn đời sống; được
xem là cội nguồn phát sinh, thúc đẩy khoa học, đồng thời cũng là mơi trường
xác thực tính đúng đắn của các quy luật khoa học và toán học.
Toán học và thực tiễn có mối liên hệ chặt chẽ và mật thiết với nhau, thực
tiễn giúp con người hiểu được toán học một cách rõ ràng, cụ thể hơn; cũng
nhờ vậy mà lí thuyết tốn học thể hiện được vai trị cơng cụ và ý nghĩa tác
dụng đối với thực tiễn. Tuy nhiên, khơng phải các tri thức tốn học đều có thể
vận dụng trực tiếp vào tất cả các tình huống, sự vật, hiện tượng trong đời sống
mà phải qua một bước trung gian quan trọng là mơ hình hóa tốn học.
Chẳng hạn, để giải quyết và giải thích các vấn đề thực tiễn đời sống xã
hội bằng cơng cụ tốn học, người ta tiến hành theo bốn bước:
1 - Thiết lập mơ hình tổng thể của tình huống thực tiễn để xác định vấn
đề cần giải quyết;
2 - Mơ hình hóa tốn học để chuyển sang vấn đề bài tốn tốn học được
biểu đạt bởi ngơn ngữ ký hiệu tốn học;
3 - Giải bài tốn bằng cơng cụ tốn học;
4 - Đánh giá quá trình giải quyết, kiểm tra kết quả và hợp thức câu trả
lời.
Học sinh THPT đang trong độ tuổi phát triển và thay đổi mạnh mẽ về cả
về thể chất, tư duy và nhận thức của con người. Có thể nói các em đang trong
thời kì bước tới tuổi trưởng thành. Và trong một tương lai gần các em sẽ là
lực lượng chính tham gia vào lao động sản xuất, là tương lai của nước nhà
trong công cuộc cơng nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước. Vì thế các ở độ tuổi


2

này học sinh cần chuẩn bị một hành trang thật kĩ để đối mặt với cuộc sống
hiện đại đa chiều, đầy biến động. Là một thầy giáo trẻ tôi ý thức được việc

trang bị cho người học và cũng như trang bị cho bản thân những NL thích ứng
với cuộc sống nói chung, NL tốn học hóa các vấn đề thực tiễn nói riêng khi
cịn ngồi trên ghế nhà trường là một vấn đề cần được đặc biệt đáng quan tâm.
Một trong những mục tiêu của Đảng ta về giáo dục và đào tạo trong giai
đoạn hiện nay là đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động và sáng
tạo, có NL giải quyết các vấn đề thực tiễn đặt ra, tự lo được việc làm, lập
nghiệp và thăng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước
giàu mạnh, xã hội dân chủ, công bằng, văn minh.
Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với
cuộc sống xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức
tốn ở nhà trường khơng chỉ để thi cử mà nó cịn là những cơng cụ đắc lực để
giúp các em giải quyết các vấn đề, tình huống trong thực tế, vì vậy điều quan
trọng là giáo viên làm thế nào giúp học sinh hiểu, nắm vững và vận dụng tri
thức toán học để giải quyết vấn đề, đặc biệt là các vấn đề thực tiễn liên quan.
Bộ giáo dục đã có một quyết định quan trọng trong cải cách hình thức thi
Trung học phổ thơng quốc gia từ việc thi tự luận mơn Tốn sang hình thức
trắc nghiệm từ năm học 2016 - 2017. Có thể nói đây là một bước ngoặt quan
trong việc giúp học sinh phát triển các NL và có cơ hội tiếp cận nhiều thêm
những bài toán thực tế. Nội dung trong ma trận đề thi minh họa qua các năm
rất rõ ràng, kiến thức được trải đều theo nội dung trong sách giáo khoa vì vậy
địi hỏi học sinh phải nắm chắc tất cả các phần kiến thức cơ bản, trong đó câu
hỏi, bài tập gắn với ứng dụng thực tế ngày càng chiếm tỉ lệ cao bao gồm cả
những câu hỏi cơ bản và nâng cao.


3

Tuy nhiên, ở chương trình mơn Tốn THPT hiện hành, cả về số lượng
và hình thức biểu đạt các bài tốn gắn với thực tiễn cịn hạn chế, chưa đủ để
GV khai thác sử dụng trong dạy học Toán.

Mặt khác, về phía HS, nhiều em gặp khó khăn, lúng túng cả về hiểu biết
kiến thức Tốn học có liên quan, hướng và cách thức sử dụng cơng cụ tốn
học, kỹ năng thực hành vận dụng, ... khi tiếp xúc với dạng toán liên quan đến
thực tiễn (bao gồm cả trong mơn học khác, trong đời sống). Trong đó, khó
khăn đáng kể nhất là HS rất ít được tập luyện thực hiện các hoạt động để mơ
hình hóa tốn học, tức là chuyển được từ tình huống đã cho sang câu hỏi, bài
toán toán học.
Trước yêu cầu đổi mới giáo dục toán học, tập trung vào phát triển NL
cho người học, gắn học Tốn ở trường phổ thơng với việc vận dụng vào thực
tiễn, đối chiếu với thực trạng dạy học Tốn hiện nay, có thể thấy tầm quan
trọng và sự cần thiết khai thác mối liên hệ hai chiều giữa tốn học và thực
tiễn, nói riêng là bồi dưỡng NL mơ hình hóa tốn học cho học sinh trong DH
Tốn.
Chủ đề ứng dụng đạo hàm chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc
phát huy các NL. Đây là một chủ đề thú vị trong chương trình tốn học ở
trường Trung học phổ thông với hệ thống lý thuyết và bài tập phong phú, đa
dạng, có nhiều sự độc đáo trong các phương pháp giải tạo nên sự hấp dẫn say
mê đối với học sinh.
Vận dụng các kiến thức về ứng dụng đạo hàm để giải quyết (chẳng hạn
như về tính đơn điệu và cực trị của hàm số) chúng ta cũng có thể giải quyết
được một loạt bài tốn: khảo sát tính đơn điệu của hàm số; điều kiện để hàm
số đơn điệu trên khoảng cho trước; áp dụng tính đơn điệu để chứng minh
đẳng thức, bất đẳng thức; dùng tính đơn điệu để giải phương trình, hệ phương
trình; xét cực trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.v.v. Ngoài


4

ra, nó cịn được áp dụng để giải quyết vấn đề trong các ngành khoa học khác
như là Vật lí, Hóa học, Sinh học và các vấn đề thực tế.

Kiến thức đạo hàm được phản chiếu một cách sâu sắc qua thực tiễn cuộc
sống vì vậy cần phải có biện pháp thích hợp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học
các bài toán ứng dụng thực tiễn của đạo hàm, giúp học sinh phát huy hết NL
mơ hình hóa tốn học để thấy được việc học Tốn khơng chỉ là các kiến thức
hàn lâm xa vời mà cịn có rất nhiều ứng dụng khác nhau trong đời sống thực
tế, từ đó các em có thêm động lực, niềm đam mê mơn học để chinh phục các
đỉnh cao trong các kỳ thi và ngược lại học Tốn khơng phải chỉ để thi mà học
để biết áp dụng vào thực tiễn cuộc sống hằng ngày. Trên tinh thần đó, cùng
với một số kinh nghiệm của bản thân, tôi lựa chọn vấn đề “Bồi dưỡng NL
mơ hình hóa tốn học cho học sinh thơng qua dạy học vận dụng đạo hàm
giải các bài toán thực tế” làm đề tài nghiên cứu của luận văn với mong
muốn giúp học sinh nắm vững phương pháp, hiểu sâu và vận dụng tốt hơn
kiến thức đạo hàm vào thực tiễn cuộc sống.
2. Mục đích nghiên cứu
- Xác định những thành tố đặc trưng của NL mơ hình hóa tốn học thơng
qua nội dung đạo hàm tình huống thực tiễn với đối tượng là học sinh Trung
học phổ thông; từ đó, xây dựng một số biện pháp góp phần bồi dưỡng NL mơ
hình hóa tốn học cho học sinh trong dạy học vận dụng đạo hàm giải các bài
toán thực tế.
- Xây dựng một hệ thống bài tập về ứng dụng thực tiễn của đạo hàm tạo
điều kiện cho GV sử dụng trong việc bồi dưỡng NL mơ hình hóa tốn học cho
HS.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu


5

Các biện pháp góp phần bồi dưỡng NL mơ hình hóa tốn học của học
sinh thơng qua hệ thống các bài tập ứng dụng thực tiễn của đạo hàm trong

chương trình Trung học phổ thơng.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các biện pháp góp phần bồi dưỡng một số yếu tố cụ thể
của NL mơ hình hóa qua hệ thống các bài tập ứng dụng thực tiễn của đạo hàm
trong chương trình Trung học phổ thơng.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Tìm hiểu và nghiên cứu lý luận của các nhà giáo dục, các nhà tâm lí
học,… về các vấn đề dạy học các bài tốn áp dụng thực tiễn .
- Đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các nguồn tư liệu như sách,
tạp chí khoa học, nghiên cứu khoa học, khóa luận, luận văn,... về NL mơ hình
hóa tốn học và chủ đề kiến thức đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm.
- Hỏi ý kiến chuyên gia, giáo viên hướng dẫn về hướng nghiên cứu của
đề tài.
4.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp điều tra thực tế: Quan sát tiến trình dạy học và thái độ
của học sinh trong các giờ học chủ đề Đạo hàm; phỏng vấn GV, HS, chuyên
gia.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy học bài Đạo hàm và
ứng dụng ở một số lớp, đối chứng kết quả phản hồi của học sinh thông qua
thái độ và lượng kiến thức học sinh tiếp thu được. Bước đầu kiểm chứng tính
hiệu quả và khả thi của nghiên cứu thông qua việc thu thập số liệu điều tra từ
các bài kiểm tra trong quá trình thực nghiệm.
- Phương pháp thống kê: Thu thập, xử lý số liệu thống kê trong tìm hiểu
thực trạng và thực nghiệm sư phạm.


6

5. Cấu trúc của luận văn

Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng NL mơ hình hóa tốn
học cho học sinh qua hệ thống các bài tập ứng dụng thực tiễn của đạo hàm.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.


7

CHƯƠNG 1 – CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA TỐN HỌC VÀ THỰC TIỄN
1.1.1. Tốn học với đời sống hàng ngày của con người
Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường xuyên phải đối mặt với
những hồn cảnh, trong đó có những tình huống cần đến tính tốn, lựa chọn
cách thức giải quyết, trả lời cho những câu hỏi đặt ra trong cuộc sống. Cuộc
sống của con người ngày càng phong phú, với nhiều biến động cần phải ứng
phó, giải quyết, vì vậy nhu cầu sử dụng tốn học để tính tốn, định lượng và
tìm phương án giải quyết những vấn đề trong thực tiễn.
Con người có thể dễ dàng bắt gặp những “hình ảnh” của toán học trong
thiên nhiên: mặt hồ yên ả là hình ảnh của mặt phẳng; những đóa hoa hướng
dương hình trịn, có số cánh được bố trí theo các số hạng của dãy Fi-bô- na-xi;
những chiếc tổ ong được xây dựng một cách khéo léo theo những hình lục
giác đều,… Galilê nói: “Thiên nhiên cũng biểu đạt bằng ngơn ngữ tốn thơng
qua hình trịn, hình tam giác và các hình toán học khác”. Thiên nhiên thật
đẹp theo một cách hấp dẫn con người, khiến con người không ngừng khám
phá và cải tạo thế giới. Trong lao động, chúng ta càng dễ bắt gặp những vấn
đề toán học dễ thấy và thiết thực nhất là để tạo ra của cải cho xã hội, con
người đã phải tính tốn đến vấn đề tiêu thụ để thu lãi về là lớn nhất. Bởi vậy,
họ phải tính tốn đến tất cả các yếu tố ảnh hưởng trực tiếp chất lượng và giá
thành sản phẩm, nguồn nguyên liệu,... Tất cả những vấn đề đó đều vai trị của
tốn học thể hiện trong đó.

Cùng với sự phát triển của xã hội loài người, các khoa học - trong đó có
Tốn học ngày càng phát triển, được ứng dụng và phổ biến đối với mọi người.
Nếu như nhà khoa học có nhiều điều kiện để nghiên cứu và phát triển toán
học ở mức độ trừu tượng cao, thì với đa số chúng ta, nhất là với các em HS thì
điều quan trọng là hiểu bản chất, sử dụng được Tốn học như một cơng cụ để


8

ước lượng, đo lường, tính tốn, ... trong những tình huống thơng thường như
đi đường, xác định kích thước (chiều cao, chiều rộng, ...) của vật, ...
Trong quá trình hội nhập và phát triển ngày càng mạnh mẽ của xã hội
4.0 hiện nay ngày càng trở nên nhân tạo và vai trị của tốn học cũng vì thế
mà ngày càng lớn. Tuy không phải hiện tượng thiên nhiên, hoạt động xã hội
nào cũng có thể được mơ phỏng qua mơ hình tốn học nhưng khơng gì có thể
ngăn cản sự tìm tịi, sáng tạo và khao khát chinh phục những miền kiến thức
mới trong thực tế của các nhà toán học. Nhà triết học Socrates đã nói một câu
nói rất nổi tiếng cách đây hàng nghìn năm: “Hãy đo, hãy đo, dù không phải
lúc nào cũng đo được”. Với vai trị và ứng dụng to lớn của mình, tốn học đã
trở thành một khoa học cơ bản, là công cụ hữu ích giúp lồi người giải quyết
được nhiều bài tốn thực tiễn.
1.1.2. Mối quan hệ giữa Toán học và các khoa học khác
Vai trị của tốn học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa
học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học…
nó được thể hiện rõ ràng và dễ thấy nhất qua những mối quan hệ bằng nhau,
lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là mối quan hệ cơ bản về số lượng và hình
dạng khơng gian của thế giới khách quan và trong thực tiễn khoa học đời
sống.
Khoa học và tốn học có mối liên hệ mật thiết với nhau, đặc biệt là trong
các lĩnh vực khoa học tự nhiên như hóa học, thiên văn học và vật lý (bao gồm

cả cơ học, nhiệt học, điện học, quang học). Học sinh khơng nắm vững các kỹ
năng tốn học cơ bản sẽ gặp khó khăn trong việc đọc các biểu đồ và đồ thị.
Tốn học có thể giúp học sinh giải quyết các vấn đề hóa học, hiểu chuyển
động của các hành tinh và phân tích các nghiên cứu khoa học. Toán học cũng
quan trọng trong khoa học thực tế, chẳng hạn như kỹ thuật và khoa học máy
tính. Học sinh có thể phải giải phương trình khi viết chương trình máy tính và


9

tìm ra thuật tốn.
Tốn học - trong đó phải kể đến Xác suất - Thống kê có tác dụng quan
trọng trong những nghiên cứu khoa học sức khỏe thuộc lĩnh vực Y - Dược
học.
Toán học trợ giúp thiết lập những mơ hình tốn học tối ưu trong kinh tế
học, trực tiếp là cơng cụ tính tốn, giải bài tốn kinh tế một cách rất hiệu quả.
Văn học có vẻ khác xa so với toán học, nhưng việc nắm vững số học cơ
bản có thể giúp học sinh hiểu thơ tốt hơn. Mét thơ, số chữ cần viết trong một
dòng và ảnh hưởng của nhịp điệu nhất định đối với người đọc đều là sản
phẩm của các phép tính tốn học. Ở một mức độ bình thường hơn, tốn học
có thể giúp học sinh lập kế hoạch cho các bài tập đọc trong các lớp văn bằng
cách xác định thời gian đọc trung bình của các em và ước tính xem các em sẽ
mất bao lâu để đọc một tác phẩm cụ thể. Tư duy logic, tuyến tính được sử
dụng trong các bài tốn cũng có thể giúp học sinh viết rõ ràng và logic hơn.
Các môn học xã hội, chẳng hạn như lịch sử, thường yêu cầu học sinh
xem lại các biểu đồ và đồ thị cung cấp dữ liệu lịch sử hoặc thơng tin về các
nhóm dân tộc. Trong các lớp học địa lý, học sinh có thể cần hiểu độ cao của
một khu vực ảnh hưởng như thế nào đến dân số của khu vực đó hoặc lập biểu
đồ mức độ mà các nhóm dân cư khác nhau có tuổi thọ trung bình khác nhau.
Kiến thức về các thuật ngữ và cơng thức tốn học cơ bản giúp thơng tin thống

kê có thể truy cập được.
Học sinh quan tâm đến việc theo đuổi sự nghiệp trong sân khấu, âm
nhạc, khiêu vũ hoặc nghệ thuật có thể được hưởng lợi từ kiến thức toán học
cơ bản. Nhịp điệu âm nhạc thường tuân theo các chuỗi toán học phức tạp và
tốn học có thể giúp học sinh học các nhịp điệu cơ bản của điệu múa được sử
dụng trong các buổi biểu diễn múa ba lê và sân khấu. Nghệ thuật phát triển
mạnh về hình học và học sinh hiểu các cơng thức hình học cơ bản có thể tạo


10

ra các tác phẩm nghệ thuật ấn tượng. Các nhiếp ảnh gia sử dụng tốn học để
tính tốn tốc độ cửa trập, độ dài tiêu cự, góc chiếu sáng và thời gian phơi
sáng, ...
Như vậy, có thể nói: Tốn học là một khoa học có vai trị cơng cụ hữu
hiệu trong nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội, không chỉ thơng qua những
phương pháp tính tốn cụ thể mà cịn ở những mơ hình tốn học trong cuộc
sống.
1.2. NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA
1.2.1. Về năng lực
Từ đầu thế kỉ XX đến nay các nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa nhiều
ý kiến khác nhau về bản chất và nguồn gốc của NL, tài năng. Trên cơ sở đó
các ý kiến đó đã được tổng quát và thống nhất với cơ sở từ các quan điểm cơ
bản, trọng tâm về lí luận cũng như thực tiễn:
+ Đầu tiên, ta phải công nhận những yếu tố liên quan đến di truyền, bẩm
sinh là yếu tố cần thiết cho sự phát triển NL ban đầu. Có thể nói đây là điều
kiện cần nhưng chưa đủ mà đây chỉ là nền móng đầu tiên cho sự phát triển, để
phát huy hết khả năng mỗi con người cần có sự học tập, rèn luyện và trải
nghiệm để trở nên hoàn thiện những NL, năng khiếu của mỗi người. Và
ngược lại NL của mỗi cá thể cịn có thể hình thành và phát triển trong suốt

q trình tìm tịi, khám phá bản thân.
+ Thứ hai, NL của con người có ảnh hưởng to lớn từ nguồn gốc của xã
hội, lịch sử và hoàn cảnh sống. Mỗi người từ khi sinh ra đã tồn tại một số
phẩm chất nhất định cho sự phát triển các NL tương ứng, nhưng các phẩm
chất và tố chất đó cần có một mơi trường để cấu thành nên các NL và phát
huy nó. Qua q trình hình thành và phát triển, xã hội được con người cải tạo,
xây dựng tinh hoa và để lại các dấu ấn đó cho các thế hệ sau trong mơi trường
văn hóa - xã hội đây được coi là một mơi trường lí tưởng để phát triển những


11

NL của mỗi người.
+ Thứ ba, nguồn gốc của NL cịn có thể từ các hoạt động và các sản
phẩm của các hoạt động. Môi trường xã hội tự nhiên được các thế hệ trước tạo
ra và xây dựng và con người khi sống trong đó phải chịu sự tác động của xã
hội, vì thế con người thế hệ sau khơng chỉ đơn giản tận dụng hay thích ứng
với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo, phát triển xã hội
để tạo ra kết quả mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động của các thế hệ tiếp
theo.
1.2.2 . Năng lực của người học
Ngày nay, khi xây dựng chương trình giáo dục, xu hướng các nước
không chỉ chú trọng đến phần kiến thức, kĩ năng mà ngày càng quan tâm hơn
phát triển NL cho học sinh. Yêu cầu phát triển NL trong chương trình giáo
dục ở các trình độ đã trở thành xu hướng chung của thời đại.
Về cơ bản, những kết quả nghiên cứu cho thấy: NL được hiểu là khả
năng vận dụng một cách tổng hợp những kiến thức, kĩ năng, thuộc tính của
con người, … để tiến hành một loại hoạt động nào đó, đạt được kết quả tốt.
Trong giáo dục, NL được phân chia thành hai loại. Một là NL chung, hai
là các NL đặc thù của môn học.

Theo chương trình giáo dục tổng thể 2018, NL chung gồm có 3 thành
phần cốt lõi là “NL tự chủ và tự học, NL giao tiếp và hợp tác, NL GQVĐ và
sáng tạo” ([6]).
Đối với mơn Tốn, trong chương trình mơn Tốn 2018 ([7]), bên cạnh
những những NL chung, đặc thù khoa học tính tốn đã được cụ thể hóa thành
5 thành phần cốt lõi của NL tốn học cần hình thành và phát triển qua mơn
Tốn cho HS phổ thơng, bao gồm: “NL tư duy và lập luận toán học; NL mơ
hình hố tốn học; NL giải quyết vấn đề tốn học; NL giao tiếp tốn học; NL
sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán”.


12

Với quan niệm NL như trên việc đổi mới việc xác định mục đích dạy
học, phương pháp, hình thức dạy học và cả phương pháp đánh giá là rất cần
thiết để phát huy hết khả năng của học sinh nhằm phát triển NL cho học sinh.
Để phát triển NL người học, người dạy cần chú trọng tới việc tổ chức hệ
thống các tình huống học tập, khi đó học sinh buộc phải hoạt động để tìm hiểu
tình huống trong quá trình đó giúp học sinh tự phát hiện và giải quyết các tình
huống có vấn đề, khi giải quyết các tình huống có vấn đề địi hỏi học sinh
phải huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và nhiều phẩm chất khác, phải
tìm kiếm thơng tin, tương tác với môi trường học tập, giao tiếp với giáo viên,
với bạn học và những người khác để giải quyết vấn đề, nhờ đó phát triển được
những NL mà người dạy mong muốn.
1.2.3. Một số vấn đề về mơ hình hóa tốn học
Mơ hình hóa tốn học được hiểu là tìm và biểu đạt một tình huống thực
tiễn ở ngồi tốn học thành một mơ hình theo cấu trúc và ngơn ngữ ký hiệu
tốn học của tốn học. Theo đó, những yếu tố và hình thức biểu hiện khơng
mang bản chất và sắc thái toán học được chuyển về dạng quan hệ và hình
thức ngắn gọn của tốn học.

Với HS phổ thơng, cần thiết và có thể phân chia thành 6 cấp độ u cầu
về mơ hình hóa tốn học như sau: (theo Nguyễn Danh Nam [19]):
1. HS hồn tồn khơng hiểu và biểu thị được tình huống;
2. HS tuy hiểu nhưng khơng thể phát hiện bản chất tốn học;
3. HS có thể rút gọn được vấn đề, nhưng vẫn chưa thể chuyển về
vấn đề tốn học;
4. HS có thể chuyển được tình huống về vấn đề tốn học, nhưng
khơng dùng tốn học để giải quyết được;


13

5. HS chuyển được tình huống về mơ hình tốn học và giải được
bài tốn đó;
6. HS có khả năng đánh giá q trình mơ hình hóa và giải quyết
bài tốn.
1.2.4. Các bước mơ hình hóa tốn học
Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong [20] có thể tóm tắt thành 4
bước thực hiện mơ hình hóa tốn học như sau:
Bước 1. Mơ tả tình huống đã cho một cách rút gọn;
Bước 2. Biểu đạt lại tình huống thành bài tốn bằng ngơn ngữ ký hiệu
tốn học;
Bước 3. Huy động kiến thức và phương pháp toán học để giải quyết bài
tốn;
Bước 4. Xem xét đánh giá lại q trình ở 3 bước trên.
Q trình mơ hình hóa có thể minh họa bằng sơ đồ như sau:

Sơ đồ 1.1. Quy trình mơ hình hóa tốn học
Trong DH tốn, GV có thể vận dụng, cụ thể hóa thành những yêu cầu cụ
thể đối với HS ở từng bước như sau:

Bước 1 - Đọc và hiểu vấn đề trong tình huống.
Bước 2 - Xây dựng được bài toán toán học.


14

Bước 3 - Giải được bài toán.
Bước 4 - Kiểm tra đánh giá q trình đã thực hiện.
1.2.5. Mơ hình hóa tốn học tình huống thực tiễn
Hoạt động mơ hình hóa là hoạt động chuyển một vấn đề trong thực tế
thành một vấn đề bên trong toán học để khám phá và giải quyết nó bằng cơng
cụ của tốn học. Trong phạm vi DH Tốn ở trường phổ thơng, mơ hình hóa
tốn học chỉ dừng lại ở mức độ khơng cao, ít phức tạp và đã được đơn giản
hóa khá nhiều cả về nội dung và hình thức diễn đạt; phù hợp với vốn tri thức,
kinh nghiệm cũng như khả năng tư duy của HS trong điều kiện và phạm vi
lớp học.
Vì thế, “thực tiễn” trong những tình huống đặt ra với HS phổ thông chỉ
là thực tế đã được lược bỏ đi nhiều yếu tố phức tạp, rút gọn và diễn đạt lại
cho phù hợp với đối tượng HS. Do vậy, cả về nội dung và hình thức của “vấn
đề tình huống thực tiễn” trong mơn Tốn chỉ mang ý nghĩa tương đối, khơng
hẳn là tình huống thật trong cuộc sống, chỉ đủ để HS có mơi trường và điều
kiện trải nghiệm khi vận dụng mơn Tốn GQVĐ “có tính” thực tiễn.
1.2.6. NL mơ hình hóa tốn học
Từ quan niệm về NL (chung), xuất phát từ ý nghĩa và yêu cầu DH Toán
gắn với thực tiễn ở trường phổ thông, vấn đề giúp HS tập luyện những hoạt
động mô hình hóa tốn học cần được GV chú trọng.
Để xây dựng mơ hình tốn học của một tình huống thực tế, HS cần phân
tích, sắp xếp, rút gọn lại dữ liệu để kết nối chúng, biểu đạt dưới dạng các mối
quan hệ về mặt tốn học. Ví dụ với bài toán thực tế yêu cần lập ra một hàm số
để biểu diễn được các đại lượng thì đây chính là khâu thiết kế lập hàm số từ

các dữ kiện toán học đã xây dựng được từ đó ta có thể sử dụng cơng cụ đạo
hàm để giải quyết bài tốn.
Do vậy, có thể thấy: Đối với HS phổ thơng, NL mơ hình hóa tốn học là


15

khả năng các em phát hiện, thiết lập và diễn đạt được mơ hình tốn học của
tình huống thực tiễn đã cho.
Đối với mơn Tốn, việc bồi dưỡng NL mơ hình hóa tốn học cho HS có
tác dụng:
Giúp HS có hiểu biết về phương pháp và cách thức thực hiện mơ hình
hóa tốn học, có kỹ năng thực hiện các bước mơ hình hóa tốn học. Thơng
qua q trình này, HS đồng thời được củng cố các kiến thức, tập luyện các kỹ
năng tốn học (tính tốn, suy luận, ...) và đặc biệt là phát triển NL GQVĐ.
1.2.7. Các thành tố đặc trưng của NL mơ hình hóa tốn học các bài toán
thực tiễn của học sinh trung học phổ thơng.
Xuất phát từ mục đích của luận văn là bồi dưỡng NL mơ hình hố tốn
học các bài tốn thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông nên việc xác định
các thành tố của nó là một vấn đề cần thiết; dựa trên những căn cứ:
1) Các kết quả nghiên cứu có liên quan;
2) Q trình (đặc điểm và các bước) vận dụng toán học vào GQVĐ thực
tiễn
3) Vốn tri thức, kỹ năng toán học và khả năng tư duy của học sinh THPT
Trong những căn cứ được dẫn ra ở trên, ít nhiều chúng tơi đã được tiếp
cận, ở đây, xin bàn luận cụ thể về căn cứ thứ nhất là các quan điểm của các
nhà khoa học về vấn đề này.
- Một điều cần được khẳng định ngay là NL mơ hình hóa tốn học các
bài tốn thực tiễn của học sinh trung học phổ thông phụ thuộc hồn tồn vào
trình độ tốn học và vốn hiểu biết của họ về thế giới đang sống. Trình độ toán

học của mỗi học sinh phụ thuộc vào năng lực tốn học của mỗi cá nhân đó.
NL mơ hình hóa là vấn đề phức tạp, còn nhiều quan điểm khác nhau về thành
phần cấu trúc của nó, tuy nhiên chung quy lại đó là các đặc điểm tâm lí giúp
tâm lí giúp người học có khả năng lĩnh hội và sáng tạo các tri thức toán học.


16

Phần lớn các nhà khoa học trước đây, xem xét vấn đề NL mơ hình hóa thiên
về mặt trí tuệ. Trọng tâm của luận văn không phải nghiên cứu về NL tốn học
học của học sinh trung học phổ thơng mà chỉ xem xét nó như là một điều kiện
cần để phát triển NL mơ hình hóa các bài tốn thực tiễn cho người học. Lứa
tuổi học sinh trung học phổ thông là từ 15 đến 18 tuổi, theo J. Piaget tốc độ
liên tưởng kết nối các ý tưởng cao dẫn đến sự thay đổi nhanh về cấu trúc nhận
thức, do đó các em phát triển nhanh về mặt trí tuệ. Hơn nữa, trẻ càng lớn trẻ
càng trải nghiệm trong cuộc sống, khả năng phát hiện ra các mối quan hệ định
tính của hiện thực khách quan càng phát triển. Mặt khác, càng lớn hệ thống tri
thức hóa tốn học của học sinh càng được trang bị đầy đủ hơn, ngơn ngữ tốn
học phong phú hơn. Do đối tượng học sinh mà luận văn quan tâm nghiên cứu
dàn trải tất cả lớp của bậc trung học phổ thông nên dù có cố gắng đến mấy thì
việc xác định các thành tố của NL này cũng chỉ có tính chất tương đối.
Theo tác giả Phan Đình Diệu, “con người rút ra được các tri thức chủ
yếu là thông qua việc nghiên cứu trên những mơ hình”. Đã có nhiều nhiều các
tác giả khác như Hans Freudenthal, Pollak, Nguyễn Cảnh Toàn,… đều cho
rằng q trình vận dụng tri thức tốn học vào thực tiễn chủ yếu tuân thủ theo
quy trình:
Tình huống thực tế  mơ hình, bài tốn tốn học  giải bài toán  trả
lời câu hỏi đặt ra trong thực tiễn.
Và theo tác giả Thái Duy Tun, q trình mơ hình hóa nói chung gồm 3
giai đoạn: 1) Xây dựng mơ hình; 2) Nghiên cứu trên mơ hình; 3) Xử lí kết quả

và điều chỉnh mơ hình. Xin nêu lại quan điểm của A. A. Dorođhixưn, về quá
trình xây dựng mơ hình tốn học của các nhà khoa học chia làm 6 giai đoạn
(như đã dẫn ở mục 1.2.2) là q trình có thể lặp đi lặp lại nhiều lần và có sự
điều chỉnh nhất định. Các quan điểm của các tác giả Thái Duy Tuyên và A. A.
Dorođhixưn tuy hình thức có vẻ khác nhau, nhưng kì thực khơng mâu thuẫn