PHỤ LỤC TOÁN CHO vật LÝ

PHỤ LỤC

Bảng các đạo hàm
1. y = c

dy
=0
dx

2. y = x

dy
=1
dx

3. y = x4

dy
y
= ax a −1 = a
dx
x

4. y = ex

dy x
=e
dx

5. y = ax

dy
= 2,3 log a.a x
dx

6. y = lnx

dy 1
=
dx x

7. y = logax

dy 0,434 1
=
.
dx log a x

8. y = sinx

dy
= cos x
dx

9. y = cosx

dy
= − sin x
dx

10. y = tgx

dy
1
=
dx cos 2 x

11. y = cotgx

dy
1
=−
dx
sin 2 x

Page 1 of 19


12. y = arc sinx

dy
1
=
dx
1− x 2

13. y = arc cosx

dy
1
=−

dx
1− x 2

14. y = arc tgx

dy
1
=
dx 1 + x 2

15. y = arc cotgx

dy
1
=−
dx
1+ x 2

Tích phân một số hàm
1.  dx = x + C
2.  x a dx =

x a +1
+ C (a  −1)
a +1

dx
= ln x + C
x

3.



4.

 ax + b = a ln(ax + b) + C

dx

1

ax
+C
5.  a dx =
ln a
x

1
k

6.  e kxdx = e kx + C
7.

8.

x

n

e kx dx =

1 n kx
n
x e −  x n −1e kx dx
k
k
( lấy tích phân từng phần)

dx
1
e kx
=
ln
 1+ e kx k 1+ e kx + C
e kx
Ta nên đăt u =
1 + e kx

9.  e kx sin ax dx =

e kx
(k sin ax − a cos ax) + C
k 2 + a2

ta đat u = e kx cos ax

Page 2 of 19

10.  e kx cos ax dx =

e kx
(k cos ax + a sin ax) + C
k 2 + a2

ta đat u = e kx sin ax

1
k

11.  sin kxdx = − cos kx + C
1
k

12.  cos kxdx = sin kx + C
dx

13.

 cos

14.

 sin

2

1
= tgkx + C

kx k

dx
1
= − cot gkx + C
2
k
kx
1
2

1
sin 2kx + C
4k

1
2

1
sin 2kx + C
4k

15.  sin 2 kx dx = x −
16.  cos 2 kx dx = x +
17.  x n sin kx dx = −

xn
n
cos kx +  x n −1 cos kx dx
k

k

xn
n
18.  x cos kx dx = sin kx −  x n−1 sin kx dx
k
k
n

19.  sin kx sin lx dx =

sin(k − l ) x sin(k + l ) x
−
+ C , nếu k  l (nếu k = l , xem số 15)
2(k − 1)
2(k + l )

20.  cos kx cos lxdx =

sin(k − l ) x sin(k + l ) x
+
+ C , nếu k  l (nếu k = l , xem số 15)
2(k − 1)
2(k + l )

21.  sin kx cos lx = −

cos(k + l ) x cos(k − l ) x
−
+ C , nếu k  l

2(k + 1)
2(k − l )

1
k

22.  tgkxdx = − ln cos kx + C
1
k

23.  cot gkxdx = ln sin kx + C
24.



ax + b dx =

2
(ax + b) 3 + C (ta nên đăt u = ax + b )
3a
Page 3 of 19


25.



26.



dx
2 ax + b
=
+C
a
ax + b

dx
a −x
2

2

= arctg sin

27.  x ax + b dx =
28.
29.

x
+C
a

2(3ax − 2b) (ax + b) 3
15a 2

+C



1
x
a 2 − x 2 dx = ( x a 2 − x 2 + a 2 arcsin ) + C
2
a



a2 − x2
a + a2 − x2
2
2
dx = a − x − a ln
+C
x
x

30.  x x 2 + m dx =
31.

(ta nên đăt u = ax + b )



dx
x +m
2

1

( x 2 + m) 3 + C
3

= ln( x + x 2 + m ) + C

32.



a2 + x2
a + a2 + x2
dx = a 2 + x 2 − a ln
+C
x
x

33.



x 2 + m dx =

34.



x2 − a2
a
dx = x 2 − a 2 − a arccos + C
x

x

35.

x

2

36.

x

2

37.

 ax





1
x x 2 + m + m ln( x + x 2 + m + C
2

dx
1
x−a
1

1
1
=
ln
+ C (ta nên đăt 2
=
−
)
2
2
2a x + a
x−a x+a
−a
x −a

dx
1
x
= arctg + C
2
a
a
+a
( rút a ra ngồi và sau đó đặt tant= x/a)

2

dx
2
2ax + b

=
arctg
+ C , nếu 4ac-b2>0
2
2
+ bx + c
4ac − b
4ac − b

dx
1
2ax + b − b 2 − 4ac
2
=
ln
 ax 2 + bx + c b 2 − 4ac 2ax + b + b 2 − 4ac + C , nếu 4ac-b <0

Page 4 of 19


2ax + b
dx
(2n − 3)2a
dx
=
+
n
2
2
n −1

2 
2
+ bx + c)
(n − 1)(4ac − b )(ax + bx + c)
(n − 1)(4ac − b ) (ax + bx + c) n −1

38.

 (ax

39.

 ax

40.

dx
1
x2
b
dx
=
ln
 x(ax 2 + bx + c) 2c (ax 2 + bx + c) − 2c  ax 2 + bx + c , xem số 37

41.

x

−

m

2

2

xdx
1
b
dx
, xem số 37
= ln(ax 2 + bx + c) −  2
2a ax + bx + c
+ bx + c 2a

dx
1
(2n + m − 3)a
dx
=−
−
n
m −1
2
n −1
m−2
2

(m − 1)c

(ax + bx + c)
(m − 1)cx (ax + bx + c)
x (ax + bx + c) n
2

(n + m − 2)
dx
(m>1)
m−2
2

(m − 1)c
x (ax + bx + c) n

42.



43.



n

ax + b dx =

n(ax + b) n
. ax + b + C
(n + 1)a

n

ax + b dx =

n(ax + b)
1
.n
+C
(n − 1)a
ax + b

44.  ln xdx = x ln x − x + C
45.  (ln x) n dx = x(ln x) n − n  (ln x) n−1 dx
x
a

x
a

x
a

x
a

46.  arcsin dx = x arcsin + a 2 − x 2 + C
47.  arccos dx = x arccos − a 2 − x 2 + C
x
a

x
a

a
2

48.  arctg dx = xarctg − ln(a 2 + x 2 ) + C

x
a

x
a

a
2

49.  arc cot g dx = xarc cot g + ln(a 2 + x 2 ) + C
dx

( lấy tích phân từng phần)

x

= ln tan( )

2
50. s inx

51. 

dx
a −b x
2

2

2

=

1
bx
Arc sin
b
a

Page 5 of 19


2

x dx

52. 

a −b x
2

2

2

=−

x a −b x
+
2b 2
2

2

2

a 2 Arc sin



53. sec xdx = ln(sec x + tanx) + C; sec x =

bx
a

2b 3

1
cosx

54.

x 1 ax
ax
xe
dx
=
(
− )e + cons tan t

a a2

55.

x 2 2 x 2 ax
 x e dx = ( a − a 2 + a 2 )e + cons tan t

56.

3 ax
 x e dx = (

2 ax

x3 3x 2 6 x 6 ax
− 2 + 3 − 4 )e + cons tan t
a
a
a
a

CÁC TÍCH PHÂN ĐỊNH HẠN

Với a>0


1.

e

-ax

dx =

0

1
a



2.

dx =

1
2a 2

dx =

n!
a n +1

x e

3 -ax 2

0


3.

x e

n -ax

0


4.

4 -ax
 x e dx =
2

0



5.

1

 1+ e

ax

dx =

0

3 
8 a5

ln 2
a



6.

sin(ax)

dx =
x
2
0







7. e-a
0

2 2

x

dx =


2a

Page 6 of 19




8.

 xe

-ax 2

dx =

0


9.

1
2a

2 -ax
 x e dx =
2

0

1 
4 a3

KHAI TRIỂN CHUỖI

TỪ ĐĨ SUY RA CÁC CƠNG THỨC SAU

1. (1+x)m = 1 + mx+

m(m − 1) 2 m(m − 1)(m − 2) 3
x +
x + ...
2!
3!

(-1Page 7 of 19


2. sin x = x -

x3 x5 x7
+ − + ...
3! 5! 7 !

(x bất kì)

3. cosx = 1 -

x2 x4 x6
+ − + ...
2! 4! 6!

(x bất kì)

4. tgx = x +

1 3 2 5 17 7
62 9
x + x +
x +
x + ...
3
15
315
2835

5. ex = 1 +

x x2 x3 x4

+ + + + ...
1! 2! 3! 4!

6. ln(1+x) = x 7. ln(1-x) = - x 8. arcsinx = x +

x2 x3 x4
+ − + ...
2 3 4
x2 x3 x4
− − − ...
2 3 4





 x )
2
2

(x bất kì)
(-1(-1  x<1)

x 3 1.3.x 5 1.3.5.x 7
+
+
+ ...
2.3 2.4.5 2.4.6.7

x3 x5 x7
+ − + ...
9. arctgx = x 3 5 7

(−

(-1(-1
Page 8 of 19


TÍCH PHÂN GAUSS
Xét tích phân Gauss:

I(  ) =

+



−

Trong đó 

I(  ) =

2

e − x dx

0

1

+



−



(P1)

là một tham số. Đổi biến

x = y

ta được

2

e− y dy

(P2)

2
Bình phương hai vế (P2) ta có tích phân hai lớp I ( ) =

1





+

−

+

dx  dye −

( x2 + y2 )

−

(P3)

Page 9 of 19


(P3) có thể lấy dễ dàng nếu chuyển sang hệ toạ độ cực trong mặt phẳng với

x2 + y 2 = r

;

dxdy  2rdr

I 2( ) =

2

+



0



2

re− r dr =

  −u

 e du =
0


(P4)

( Vì khi x, y chạy từ − →  thì bán kính r chỉ chạy từ 0 →  )
Từ đó ta được:

I(  ) =

+



−




2

e − x dx =

(P5)

Ta có thể tính tích phân khác theo hàm phân bố Gauss, thí dụ

x2 =

+



−

2

x 2 e− x dx

Dễ thấy từ (P1), (P5)

dI ( )  1 / 2
x =−
= 3/ 2
d

2

(P6)

Tổng quát hoá (P6) cho giá trị trung bình theo phân bố Gauss của xn:

x2n =

+



−

2

x 2 n e − x dx =

( 2n − 1) !!



2n

 2 n +1

(P7)

= 0 vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ mà lấy tích phân
Giá trị trung bình của bậc lẻ x
theo khoảng đối xứng. Tuy nhiên nếu lấy tích phân theo khoảng khơng đối xứng (0, ) tích
phân sẽ khác khơng, thí dụ bằng cách đổi biến ta dễ dàng chứng minh rằng:
2n +1





2

xe− x dx =

0

1
2

;  0

Chứng minh một cách tổng quát bằng đạo hàm theo tham số tương tự như trình bày ở trên ta
được:




0

2

x 2n+1e− x dx =

n!
2 n+1

;  0

(P8)

Bổ túc toán
Page 10 of 19


Giải phương trình vi phân tuyến tính
cấp 2 với hệ số hằng
Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng
I. Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
y’’ + ay’ + by = 0

(1)

* Tìm nghiệm riêng dưới dạng y = ekx, k là hệ số cần tìm
Thay vào (1) ta được ekx ( k2 + ak + b) = 0  k2 + ak + b = 0

−a+ 

 k1 =
2

−
a
−

k =
2

2

(2)

;  = a 2 − 4b

 y1 = e k1x
1. Nếu k1, k2 là thực và phân biệt (k1  k2)  
k2 x
 y2 = e
Vì 2 nghiệm độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng qt có dạng:
y = C1y1 + C2y2

(C1, C2 là 2 hằng số tùy ý và xác định từ điều kiện biên)

2. Nếu k1 = k2 = -a/2 thực (  = 0)  (1) có một nghiệm riêng : y1 = e

k1 x

Ta tìm nghiệm riêng thứ 2 là y2(x)

+ Giả sử y2 độc lập tuyến tính với y1 nên có thể viết dưới dạng : y2 = y1 u(x)


y 2 ' = u ' e k1x + k1ue k1x

2
k1 x
k1 x
k1 x Thay vào (1) ta được
 y 2 ' ' = u ' ' e + 2k1u ' e + k1 ue
u'’ + (2k1 + a)u’ + (k12 + ak1 + b) u = 0

(3)

vì k1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2):
nên k1 = -a/2

(4)
Page 11 of 19


và theo (2) cũng có k12 + ak1 + b= 0.

(5)

Thay (4) và (5) vào (3) ta được
 u’’ = 0  u = Ax + B. (Ta có thể chọn A = 1, B = 0  u = x)

Vậy y2 = (Ax+B) e k x
1

Nghiệm TQ của (1) sẽ là: y = C1y1 + C2y2 = e k x (C1x + C2)
1

3. Nếu phương trình đặc trưng (2) cho  <0 thì(2) có hai nghiệm ảo:
 k =  + i
  1
 k 2 =  − i

với  =


−a
; =
2
2

 y1 = e k1x = ex (cos x + i sin x)

k2 x
x
 y2 = e = e ((cos x − i sin x)
Lưu ý công thức Ơle:

e ( + i ) x = e x e ix = e x (cos  x + í sin  x )

Nghiệm tổng quát của (1) có dạng:
y =C1y1 + C2y2
= ex (C1 + C 2 ) cos x + i(C1 − C 2 ) sin x) =


2
2
x

+
C
)
+
(
i
(
C
−
C
))
e
1
2
1
2


((C

)

=
y=A

((C

1

((C

1

1
+ C 2 ) 2 + (i (C1 − C 2 )) 2

)

(C1 + C 2 ) cos  x +

1

((C

1

+ C 2 ) 2 + (i (C1 − C 2 )) 2

)

i (C1 − C 2 ) sin 

+ C 2 ) 2 + (i(C1 − C 2 )) 2 ). ex (sin  . cos x + cos  sin x)

e x sin(  x +  )

Đây là dạng dao động có lực cản tỉ lệ vận tốc(lực ma sát nhớt).
II. Giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
Tương tự: x’’ + k2x = 0  Đặt nghiệm x = e lt
 e lt (l2 + k2) = 0  l =  ik

Tương tự (*)  x =ax1+bx2= C1sinkt + C2coskt = C1 2 + C 2 2 (

C1
C1 + C 2
2

2

sin kt +

C2
C1 + C 2
2

2

cos kt )

Page 12 of 19


= Asin(kt+  )
Với C1=i(a-b)và C2=(a+b).
II. Giải phương trình vi phân tuyến tính khơng thuần nhất
Tương tự: x’’ + k2x = 0  Đặt nghiệm x = e lt

 e lt (l2 + k2) = 0  l =  ik

Tương tự (*)  x =ax1+bx2= C1sinkt + C2coskt = C1 2 + C 2 2 (

C1
C1 + C 2
2

2

sin kt +

C2
C1 + C 2
2

2

cos kt )

= Asin(kt+  )
Với C1=i(a-b)và C2=(a+b)
III. Phương trình vi phân: x ''− k 2 x + b = 0
Nghiệm riêng có dạng x1= ekt
Nghiệm tổng quát có dạng x = a + Be kt + Ce − kt
IV. Phương trình vi phân
x "+

F
b

x '+ 02 x = 0 cos t
m
m

Nghiệm có dạng x = A cos(t +  )

MỘT SỐ TOÁN TỬ TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐÊCÁC
1.Gradien của một trường.

 là một hàm vô hướng( trường vô hướng)
 

i+
j+
k = 
x
y
z
 gọi là tốn tử Nabla.
-Các tính chất của Gradien:
Grad(u+v)= Gradu+ Gradv.
Grad(u.v)= vGradu+uGradv.
u vgradu − ugradv
grad =
(v  0)
v
v2
- Ý nghĩa vật lý của gradient:
grad =

Page 13 of 19


+ Gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một véc tơ.
VD E = grad , E là cường độ điện trường,  là điện thế.
2.Dive(divergent) của trường véc tơ:
- Định nghĩa: Gọi A = P( x, y, z )i + Q ( x, y , z ) j + K ( x, y , z )k là một véc tơ trường. Dive của trường véc tơ A tại
điểm M là giới hạn của của tỉ số thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi
bề mặt này.

 ( A.n)dS

P( x, y, z ) Q( x, y, z ) R( x, y, z )
+
+
= (. A)
V
x
y
z
-Ý nghĩa vật lý của dive: có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thơng lượng của trường véc tơ. Phương trình
div A = lim

S

V →M

=

Maxwell divD =  ; D là véc tơ cảm ứng điện,  là mật độ điện khối. D =  0 E .

3.Rota của trường: A = P( x, y, z )i + Q ( x, y , z ) j + K ( x, y , z )k
rota A = (

=

R Q
P R
Q P
−
)i + ( − )i + (
− )i
y z
z x
x y
i

j


x
P


y
Q

k

= x A
z

R

Định lí Stokes dưới dạng vectơ

 Ad

=  rotan AdS , trong đó rotan A là hình chiếu của rota A lên phương
S

pháp tuyến của mặt S.
-Ý nghĩa vật lí của rota:
Từ rota A có nghĩa là xốy, cho nên nó mơ tả nhiều hiện tượng điện từ

quan trọng như

rota của thông lượng của từ trường từ H thì sinh ra dịng điện với mật

độ J :

rotaH = J

Cịn rota của thơng lượng của điện trường E thì sinh ra sự biến thiên của
véc tơ cảm ứng từ B theo thời gian: rotaE = −

B
t

4. Các phép tính đối với dive và rota:
- Nếu A là véc tơ hằng
div A =  A = 0

rot A = x A = 0
Page 14 of 19


-Dive và rota có tính chất tuyến tính: Xét C =  A +  B
divC =  div A +  divB
rotC =  rot A +  rot B

-Các phép tính đối với tích:
Graduv=ugradv+vgradu (u,v là trường vơ hướng).
divu A = ( gradu. A) + udiv A
rotu A = ( gradux A) + urot A

-

div( AxB ) = Brot A − Arot B .

5.TOÁN TỬ VI PHÂN CẤP HAI.



Tốn tử nabla kí hiệu  = i + j + k
x
y
z
Từ đó người ta viết lại grad =  ; div A =  A ; rot A = x A .
 divgrad = 
+ Hàm vô hướng  → grad =  → 
rotgrad = x 

div A =  A → graddiv A = ( A)
+Véc tơ trường A →

rot A = x A →

divrot A =  x A
rotrot A = x x A 



Ta dễ dàng suy ra
+ rotgrad = x  = x  = 0
+ divrot A =  x A = 0
+ rotrot A x x A  = ( A) − () A) = graddiv A −  2 A


+ divgrad =  =  2
Toán tử Laplace:
Trong vật ly toán người ta gọi toán tử cấp 2 divgrad  là tốn tử Laplace và kí hiệu 
Tức là  =  =  2
Vậy trong hệ trục tọa đề- các thì  =

 2  2  2
+
+
x 2 y 2 z 2

*Vi Phân trong hệ trục tọa độ cầu:
0   → 


- Liên hệ giữa hệ trục tọa độ đề các (x,y,z)và hệ trục tọa độ cầu (  ,  ,  ) : trong đó  0    
 0    2

Page 15 of 19


 x = r cos  =  sin  cos

 y = r sin  =  sin  sin 

z =  cos


dV = dxdydz = (rd )(  d )d  =  2 sin  d d d 

e x − e− x
e x + e− x
shx
shx =
; chx =
; tanh x =
2
2
chx

PHƯƠNG PHÁP HỆ TỌA ĐỘ VÀ VECTOR TRONG CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ
I. Một số kiến thức toán học về vector và các hệ tọa độ:
1/ Các hệ tọa độ điển hình:
Chúng ta thường gặp ba hệ tọa độ là HTD Đề Các, HTD trụ và HTD cầu. Tùy vào bài toán mà ta áp dụng các HTD này
một cách hợp lý.

+ Hệ tọa độ Decartes:

Page 16 of 19


Gồm có ba trục vng góc đơi một với nhau trong không gian. Với các vector đơn vị là e x , e y , e z hoặc i, j , k .
Tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ Decartes được xác định bằng 3 yếu tố (x,y,z), tương ứng là khồng cách từ điểm
đó đến ba trục Ox, Oy và Oz.
+ Hệ tọa độ trụ:

Tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ trụ được xác định bằng 3 yếu tố là (r,  ,z), với ba vector đơn vị là er , e , e z .
+ Hệ tọa độ cầu:

Page 17 of 19


Tọa độ của một điểm trong tọa độ cầu: (r,  ,  ), tương ứng với 3 vector er , e , e .
2/ Một số kiến thức cơ bản về vector:
Chúng ta quan tâm đến các công thức tổng quát về vector.
Với a , b , c là các véc-tơ, và x,y,z là các hằng số; các công thức biến đổi véc-tơ cần nhớ:
Tính chất đại số:

a +b = b +a

( )

a − b = a + −b

( a + b ) + c = a + (b + c ) = a + b + c
Các phép nhân:

Nhân vô hướng:

( )

a.b = b .a = ab cos a , b
Với a,b là các mô-đun (độ lớn) của các véc-tơ a , b
Nhân hữu hướng:

( )

a  b = ab sin a , b nˆ

Page 18 of 19


Với nˆ là véc-tơ đơn vị (có độ lớn bằng 1 đơn vị), có phương vng góc với mặt phẳng chứa 2 véc-tơ a , b , chiều được
xác định bằng phương pháp vặn nút chai (Tưởng tượng xoay nút chai theo chiều quay từ véc-tơ a đến véc-tơ b ,
chiều tiến của nút chai chính là chiều của véc-tơ)
Biến đổi giữa các phép nhân:

( a  b )  c = ( a.c ) .b − ( a.b ) .c
Cách viết gọn của phép nhân vô hướng một véc-tơ với một tích véc-tơ hữu hướng:

(

) ( )

a. b  c = abc

Ký hiệu đạo hàm theo thời gian và tính chất vi phân của một tích véc-tơ:

a=

d
a
dt

( ) ( )
d ( a  b ) = a  d (b ) + b  d ( a )
d a.b = a.d b + b .d ( a )

er

e

ez

c = ( a  b ) = ar

a

az =

br

b

bz

a

az

b

bz

er +

az

ar

bz

br

e +

ar

a

br

b

e z = cr e r + c e + cz e z

Hàm hyperbolic

e x − e− x
e x + e− x
shx
shx =
; chx =
; tanh x =
2
2
chx
2
2
d
d
ch x − sh x d
tanh x =
;
shx
=
chx
;
chx = shx;
dx
dx
dx
ch2 x

Page 19 of 19