(SKKN mới NHẤT) SKKN một số dạng toán về cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN ĐỀ NGHỊ
CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến cấp cơ sở
Tên tơi là: Nguyễn Thành Tiến
Chức vụ (nếu có): Giáo viên
Đơn vị/địa phương: Trường THPT Yên Lạc 2.
Điện thoại: 0985.19.22.66
Tôi làm đơn này trân trọng đề nghị Hội đồng Sáng kiến cấp cơ sở xem xét và công
nhận sáng kiến cấp cơ sở cho tôi đối với sáng kiến/các sáng kiến đã được Hội đồng Sáng kiến
cơ sở công nhận sau đây:
Tên sáng kiến: Một số dạng toán về cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học
Tơi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật, khơng xâm
phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn chịu trách nhiệm về thông tin đã nêu
trong đơn.
Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị
(Ký tên, đóng dấu)

Yên lạc, ngày 10 tháng 03 năm 2020
Người nộp đơn
(Ký tên, ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thành Tiến

download by :


MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu:..............................................................................................................................3
2. Tên sáng kiến: Một số dạng toán về cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học...............3

3. Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến.......................................................................................3
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến.......................................................................3
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học........................................................................................3
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2019..................................3
7. Mô tả bản chất sáng kiến:............................................................................................................3
- Về nội dung của sáng kiến:........................................................................................................3
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.........................................................................................................5
B. NỘI DUNG................................................................................................................................7
Dạng 1. Điểm và đường thẳng..................................................................................................7
Dạng 2. Điểm và đường tròn..................................................................................................10
Dạng 3. Điểm và elip..............................................................................................................14
Dạng 4. Đường thẳng và đường tròn......................................................................................16
Bài tập tổng hợp.......................................................................................................................21
- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: ......................................................................................30
8. Những thông tin cần được bảo mật:..........................................................................................30
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 12................................................30
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được ........................................................30
11. Dang sách tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử .................................................................30

download by :


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Trong chương trình tốn THPT, số phức được đưa vào giảng dạy ở gần cuối chương
trình lớp 12. Đây là một nội dung mới đối với học sinh 12 và thực sự gây khơng ít khó khăn
bởi nguồn tài liệu tham khảo còn hạn chế: sách giáo khoa hay sách bài tập thì các bài tập về số
phức đưa ra chủ yếu là các bài toán đơn giản như cộng hay trừ số phức, tìm phần thực- phần
ảo của số phức, tìm mơ-đun của số phức, giải phương trình bậc hai …. Bên cạnh đó, các bài

tốn số phức xuất hiện trong các đề thi trong những năm gần đây ngày càng nhiều và chủ yếu
ở mức độ VD-VDC, không theo một khuân mẫu nào cả đặc biệt là các bài toán về cực trị số
phức. Để giải được các bài tốn này địi hỏi các em phải có một kiến thức cơ bản thật vững về
số phức như: phần thực, phần ảo, biểu diễn hình học của số phức, mô-đun của số phức, số
phức liên hợp,… kết hợp với các kiến thức về điểm, đường thẳng, đường tròn và đường elip
thì các em sẽ giải quyết tốt các bài toán ở dạng này
Với mong muốn giúp các em giải được các bài toán về cực trị số phức tơi đã sưu tầm
các bài tốn số phức trong các đề thi THPTQG qua mấy năm gần đây và có chia dạng chúng
nhằm giúp các em tiếp cận các bài toán cực trị về số phức đồng thời cũng giúp các em có cái
nhìn tổng qt về dạng tốn này. Vì vậy tơi đã chọn đề tài: Một số dạng tốn cực trị số phức
giải bằng phương pháp hình học.
Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian cịn hạn chế nên sự phân dạng có thể chưa được triệt
để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh
sửa để tài liệu này được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cám ơn.
2. Tên sáng kiến: Một số dạng toán về cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học
3. Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2019
7. Mô tả bản chất sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:

download by :


Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết một
vấn đề là rất quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một lớp bài tốn
tương tự nhau. Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế và điều khiển sao cho học sinh

thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với những nội dung dạy học trong điều kiện
được gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm
thành cơng. Do vậy việc trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng
của giáo viên.
Sáng kiến trình bày một số dạng tốn số phức về tìm cực trị hay gặp trong các đề thi
THPTQG bằng phương pháp hình học.

download by :


MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC
GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Một số khái niệm: Số phức

được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ

bởi điểm

y
Q(-a;b)→-z=-a+bi

M(a;b)→z=a+bi
z

x

φ=arg(z)

O

P(-a;-b) →-z=-a-bi

Điểm biểu diễn số phức liên hợp
Điểm biểu diễn số phức đối
Điểm biểu diễn số phức
Mô đun của số phức
2. Nếu

là

đối xứng với

là

đối xứng với

qua
qua

qua

.
.

.

.

biểu diễn cho số phức

Trung điểm

đối xứng với

là

là

N(a;-b) →z=a-bi

là

,

thì

biểu diễn số phức

.

.
2. Công thức trung tuyến:
3. Công thức trọng tâm tam giác: Nếu

của tam giác

biểu diễn số phức

biểu diễn các số phức

.

4. Môđun của số phức:

download by :

thì trọng tâm


Số phức

được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ

được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu
Tính chất










 Chú ý:

.

Lưu ý:



dấu bằng xảy ra



dấu bằng xảy ra



dấu bằng xảy ra



dấu bằng xảy ra

.



5. Một số quỹ tích nên nhớ
Quỹ tích điểm M

Biểu thức liên hệ
(1)
(2)

(1)Đường thẳng
(2) Đường trung trực đoạn AB với

hoặc

Đường trịn tâm

hoặc

Hình trịn tâm

, bán kính

, bán kính

download by :


Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường trịn đồn

hoặc

tâm

, bán kính lần lượt là

Parabol

Elip
hoặc
Elip nếu
Đoạn AB nếu
Hypebol

B. NỘI DUNG
Dạng 1. Điểm và đường thẳng

Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
A.

Giả sử

.

B.

.

, số phức

Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất?

C.
 Lời giải

.

D.

.

có điểm biểu diễn là điểm

Ta có:

Ta thấy điểm
di chuyển trên đường thẳng
khi
là hình chiếu của điểm lên đường thẳng

nên

nhỏ nhất khi và chỉ

.

download by :


Phương trình đường thẳng đi qua

Do đó, tọa độ điểm

và vng góc với

là

.

là nghiệm của hệ phương trình

Suy ra
Ví dụ 2: Cho số phức

phức bằng

thỏa mãn

A.

và

B.

Đặt

C.
 Lời giải
và

Gọi

. Ta có

nhỏ nhất. Mô-đun của số
D.

là điểm biểu diễn của số phức

.

.

Theo giả thiết

Suy ra

thuộc đoạn

kéo dài (

nhỏ nhất khi và chỉ khi

Ta có:

nằm giữa

và

nhỏ nhất (với

). Lại có

nên

).

và
hoặc

Do đó
Ví dụ 3. Xét các số phức

thỏa mãn

và

download by :

Giá trị nhỏ nhất của


bằng
A.

B.

Đặt

và

Từ
là đường thẳng

suy ra

C.
 Lời giải

D.

là điểm biểu diễn số phức
tập hợp điểm

Ta có

với

Dựa vào hình vẽ ta thấy

.

Ví dụ 4. Xét các số phức
A.

thỏa mãn

Môđun lớn nhất của số phức

B.

C.
 Lời

Đặt

và

Ta có

1
1
1
= =
z

z
OM

Dựa vào hình vẽ ta thấy

D.

giải

là điểm biểu diễn số phức z.

Từ
ta suy ra
điểm M là đường thẳng D : 2 x + 4 y = 7.

w =

là

. Do đó tập hợp

với
suy ra

download by :

.


Ví dụ 5: Xét các số phức

thức

thỏa mãn

Giá trị nhỏ nhất của biểu

bằng

A.

B.

C.
 Lời

D.

giải

Ta có

 TH 1. Với

Khi đó

 TH 2. Với
Đặt

là điểm biểu diễn số phức z.

và

Từ
điểm

ta suy ra
là đường thẳng

Ta có

với

Dựa vào hình vẽ ta thấy
So sánh hai trường hợp ta thấy
Ví dụ 6: Xét các số phức
biểu thức

suy ra

thỏa mãn

.

và

Giá trị nhỏ nhất của

là

A.

Gọi

tập hợp

B.

và


biểu diễn số phức

C.
 Lời giải

D.

.
. Suy ra tập hợp điểm
là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên
.



. Suy ra tập hợp điểm
biểu diễn số phức

là phần gạch chéo như trên đồ thị có tính biên

download by :

.


Dựa vào hình vẽ ta thấy
Dấu
xảy ra khi và chỉ khi

.
,

và

Dạng 2. Điểm và đường trịn
Ví dụ 1: Xét các số phức
nhất của biểu thức
A.

thỏa mãn

. Gọi

Tính
B.

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

C.
 Lời

Ta có

D.

giải
tập hợp các điểm biểu diễn số phức

đường trịn có tâm

, bán kính

thuộc

.

Khi đó
Ví dụ 2: Xét các số phức
A.
C.

lần lượt là
và
.
và .

thỏa mãn

. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B.
D.

 Lời giải

và
và

.
.

download by :


Ta có

tập hợp các điểm

biểu diễn số phức

thuộc đường trịn có tâm

, bán kính

Ta có

với

Vậy
Ví dụ 3: Xét các số phức
giá trị lớn nhất của
A.

thỏa mãn
Tính
B.

Gọi
C.
 Lời giải

D.

Ta có
diễn số phức

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và

tập hợp các điểm
thuộc đường trịn có tâm

, bán kính

biểu

.

Khi đó
Ví dụ 4: Xét các số phức

thỏa mãn

và

Giá trị lớn nhất của biểu thức

bằng

download by :


A.

B.

C.
 Lời giải

D.

Từ
phức

tập hợp các điểm
thuộc đường trịn có tâm

biểu diễn số

bán kính

Theo giả thiết

với

Dựa vào hình vẽ ta thấy
Ví dụ 5: Xét các số phức

thỏa mãn

và

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

bằng
A.

B.

C.
 Lời

Từ

suy ra tập hợp các điểm

D.

giải

biểu diễn số phức

thuộc đường trịn có tâm

bán kính

Theo giả thiết ta có

với

Dựa vào hình vẽ ta thấy
Ví dụ 6: Xét các số phức

thỏa mãn

Trong các số phức

download by :

thỏa mãn


gọi

và
A.

lần lượt là số phức có mơđun nhỏ nhất và mơđun lớn nhất. Khi đó
B.
C.
 Lời giải

Từ

tập hợp các điểm

biểu diễn số phức

bằng
D.

thuộc đường trịn có tâm

bán kính

Ta có
Dựa vào hình vẽ ta thấy

với



Dấu

xảy ra


Vậy

Dấu

xảy ra

Ví dụ 7: Cho số phức

A.

.

thỏa mãn

. Giá trị lớn nhất của

B. .

C. .
 Lời

Gọi

D.

.

Theo giả thiết

nên điểm
bán kính

biểu diễn cho số phức

Do
trịn.

nằm trên đường

.

Ta có
Gọi

.

giải

ta có

trịn tâm

là

.
và

thì

chạy trên đường trịn,

.
cố định nên

lớn nhất khi

là giao của

download by :

với đường


Phương trình

, giao của

và đường trịn ứng với

thỏa mãn:

nên
Tính độ dài

ta lấy kết quả

Lưu ý: Cho số phức
số phức

.
.

thỏa mãn

, khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn

là đường trịn

) và

Ngồi ra ta ln có cơng thức biến đổi

Dạng 3. Điểm và elip

Ví dụ 1: Cho số phức
lượt là
A.

thỏa mãn

và

B.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

và

C.
 Lời

Gọi

Gọi

,

,

và

.

giải

. Theo giả thiết, ta có

và

.

download by :

D.

và

.

lần


Khi đó

nên tập hợp các điểm

Ta có

;

và

là

.

và

Ví dụ 2. Cho số phức
nhất

Khi đó

.

thỏa mãn

. Gọi

B.

C.
 Lời

với

Gọi

,

lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ

bằng

A.

Gọi

.

.

Do đó, phương trình chính tắc của
Vậy

là đường elip

và

D.

giải

là điểm biểu diễn số phức

.

. Khi đó

Suy ra điểm

thuộc vào elip

Do đó:

Ví dụ 3: Cho số phức
là điểm biểu diễn
A. .

thay đổi thỏa mãn
và
B.

. Trong mặt phẳng tọa độ, gọi

. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác
.

C.
 Lời

.

giải

download by :

.

D.

.


Gọi

là điểm biểu diễn số phức

đối xứng nhau qua

Do

và

. Diện tích tam giác

nên tập hợp

là điểm biểu diễn số phức
là

biểu diễn

Câu 4. Cho số phức

thì

.

là Elip

. Do đó:

thỏa mãn

. Tìm

khi

đạt giá trị lớn nhất.
A.

B.

C.
 Lời

D.

giải

Ta có
Suy ra điểm
Gọi

di chuyển trên đường trịn tâm

có tâm

.

,

Dạng 4. Đường thẳng và đường trịn
Ví dụ 1: Xét các số phức
Giá trị nhỏ nhất của
A.

thỏa mãn

và các số phức

bằng
B.

C.
 Lời

D.

giải

download by :

thỏa mãn

.

Gọi

. Ta có
tập hợp các số phức

là đường thẳng
tập hợp các số phức


là đường trịn

có tâm

Khi đó biểu thức

bán kính

là khoảng cách từ một điểm thuộc

đến một điểm thuộc

.

Từ đó suy ra
Ví dụ 2: Gọi
số phức
A.

là tập hợp các số phức

thỏa mãn
.

B.

Đặt

thỏa mãn

Gọi

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
C.
.
 Lời giải

D.

là tập hợp các

bằng
.

Ta có


biểu diễn số phức

thuộc nửa mặt phẳng bờ

tập hợp điểm
và kể cả bờ (miền tô đậm như

hình vẽ). Gọi miền này là

số phức

tập hợp điểm
là hình trịn

có tâm

bán kính

download by :

biểu diễn


Khi đó biểu thức

là khoảng cách từ một điểm thuộc

đến một điểm thuộc

.
Từ đó suy ra
Ví dụ 3: Xét các số thức

thỏa mãn

và

Giá trị lớn nhất của biểu thức

bằng
A.

B.
 Lời

Gọi

C.
giải

D.

. Ta có



tập hợp điểm biểu diễn số phức

thuộc nửa mặt phẳng bờ

, kể cả bờ (miền tô đậm). Gọi miền này là



tập hợp điểm biểu diễn số

phức

là đường tròn

Như vậy tập hợp điểm

có tâm

bán kính

biểu diễn số phức

là giao của

và

. Đó chính là phần

cung trịn nét liền như trên hình vẽ (có tính 2 điểm đầu mút

Khi đó
thuộc cung trịn

với

và

của cung).

là khoảng cách từ điểm

đến một điểm

.

Từ đó suy ra

Ví dụ 4: Xét các số phức

thỏa mãn

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

bằng
A.
Gọi

B.

C.
 Lời giải

D.

lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức

download by :

tập hợp điểm
và kể cả bờ (miền tô đậm như


biểu diễn số phức
hình vẽ).

thuộc nửa mặt phẳng bờ

suy ra



thuộc phần chung của hai hình trịn

Ta có

nên

nhất khi

nhỏ nhất khi

và

ngắn nhất. Dựa vào hình vẽ ta thấy

ngắn

và

Ví dụ 5: Cho

là số phức thỏa mãn

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
A.

B.

Ta có

Giá trị
C.
 Lời giải

Gọi

D.

tơ đậm được giới hạn bởi đường thẳng
bán kính

lần lượt là

bằng

Suy ra tập hợp các điểm

tốn nằm trên miền
có tâm

(phần gạch sọc như hình vẽ).

(kể cả biên) như hình vẽ.

download by :

thỏa yêu cầu bài
và đường tròn


Ta có

với

Gọi giao điểm của và
Dựa vào hình vẽ ta thấy

là

là giao điểm của đoạn

với




Vậy
Ví dụ 6: Xét các số phức

thoả mãn

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
A.
B.
C.
 Lời giải

Tính

là số thực. Gọi
.

D.

Đặt
Gọi

lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức

Suy ra
Do đó từ


thẳng

Suy ra đường thẳng
tập hợp các điểm

là đường trịn

có tâm

có VTPT
bán kính

tập hợp các điểm

download by :

là đường


Gọi là góc giữa
và
, ta có
Theo u cầu bài tốn ta cần tìm GTLN và GTNN của
Do

nên suy ra

khơng cắt

Gọi

là hình chiếu của

trên

, ta có

Bài tập tổng hợp

Câu 1: Xét các số phức

thỏa mãn

. Tính

, biết rằng

đạt giá trị nhỏ nhất
A.

B.

C.
 Lời

giải

Cách 1. Ta có
Gọi

và

. Khi đó

download by :

D.


Lấy điểm

suy ra

Vì

đồng dạng với nhau nên

.

Do đó
Dấu “=” xảy ra
Câu 2: Cho hai số phức

thỏa mãn

và

. Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức
A.

B.

C.
 Lời

D.

giải

Từ giả thiết, ta có

Từ

Điểm

biểu diễn số phức

thuộc vào đường tròn tâm

Điểm

biểu diễn số phức

thuộc vào đường trịn tâm

và

, bán kính

, bán kính

suy ra

Câu 3. Xét các số phức

thỏa mãn

. Tính

download by :

khi


đạt giá trị nhỏ nhất.
A.

B.

Giả sử

C.
 Lời giải

có điểm biểu diễn là

Gọi

D.

.

. Khi đó, ta có

Gọi

.

Ta có
nên có

Suy ra

. Vậy
thẳng hàng

Câu 4. Cho các số phức

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức
A.

B.

C.
 Lời

Chọn

giải

lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

Dựa vào điều kiện, ta có tam giác

D.

vng cân tại

.
có độ dài

download by :

,

.


Phép quay tâm

, góc quay

ta có

Suy ra

(do tam giác

đều).

Suy ra
Dấu

khi

thẳng hàng.

Khi đó tam giác

có

và

Từ đó, suy ra

Câu 5. Cho số phức

thay đổi thỏa mãn
bằng

A.

Gọi

B.

(với

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là các số nguyên tố). Tính

C.
 Lời giải

là điểm biểu diễn của số phức

Ta có
.

Xét điểm

và

. Ta có

.

Suy ra

Lấy điểm
tâm

Do

:

, bán kính

thuộc đường trịn
.

và đỉnh

D.

.
suy ra các điểm biểu diễn số phức

tròn tâm

.

chung nên suy ra

download by :

thuộc đường