(SKKN mới NHẤT) SKKN một số phương pháp xác định giới hạn dãy số

MỤC LỤC
Nội dung

Trang
2
2
2
2
3
3

1. Lời giới thiệu
2. Tên sáng kiến
3. Tác giả sáng kiến
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
6. Ngày sáng kiến được áp dụng
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
7.1. Về nội dung sáng kiến
PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Phương pháp quy nạp toán học
1.2. Dãy số
PHẦN II: GIỚI HẠN DÃY SỐ
2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy
2.2.Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng tính đơn điệu và bị chặn.
2.3.Phương pháp lượng giác hóa
2.4. Giới hạn của tổng

3
3

4
4
5
6
6
13

7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến
8. Những thông tin cần được bảo mật
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
10. Đánh giá lợi ích thu được (kết quả thực hiện)
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng sáng
kiến lần đầu.

27
27
27
27
28

download by :
1

18
19


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu

Bài tốn tìm giới hạn dãy số là một trong các bài tốn có trong cấu trúc đề
thi trong các kỳ thi Học sinh giỏi khối 11 của Tỉnh qua các năm và trong cấu trúc
đề thi THPT Quốc Gia qua các năm kể từ khi Bộ GD&ĐT chuyển sang thi trắc
nghiệm. Trong đó xác định giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ, lượng giác
hóa, sử dụng tính đơn điệu của dãy và giới hạn của dãy tổng được khai thác chủ
yếu. Trong năm học tôi được giao nhiệm vụ dạy Toán ở lớp đầu cao, dạy bồi
dưỡng Học sinh giỏi khối 11 nên việc nghiên cứu bài tốn tìm giới hạn dãy số là
bắt buộc. Khi dạy phần giới hạn dãy số tôi thấy một số vấn đề sau cần giải quyết.
Một là: Theo quan điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trình
dạy học nên nội dung của chương dãy số đã được giảm tải đáng kể. Tuy nhiên việc
giảm tải chỉ tập trung vào bài tập cịn lí thuyết thì giảm tải khơng đáng kể vì đó là
u cầu tối thiểu. Nên khi giáo viên dạy lí thuyết chương này khá vất vả, học sinh
học lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm bài tập trong Sách giáo khoa học sinh
thấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó đã được giảm tải, các bài tập cịn lại đều
tương tự ví dụ đã có trong phần lí thuyết nên hầu hết học sinh làm bài theo cách rất
máy móc ít hiểu rõ vấn đề do đó khi đề bài chỉ thay đổi một chút là học sinh sẽ
cảm thấy khó khăn, chán ngán.
Hai là: Các vấn đề về dãy số ít xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại
học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu tham khảo về
dãy số cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số
hoặc những học sinh có ý đinh ơn thi Học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn
tài liệu dễ đọc.
Từ thực trạng của vấn đề trên, tôi chọn nghiên cứu sáng kiến “Một số
phương pháp xác định giới hạn dãy số” nhằm giúp học sinh có hứng thú
và giải quyết dễ dàng các bài tốn liên quan đến giới hạn dãy số.
2. Tên sáng kiến:
“ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Đào Xuân Tiến
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc –

tỉnh Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0986968630 Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

download by :
2


Đào Xuân Tiến – Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc – tỉnh Vĩnh
Phúc.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Sáng kiến “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” được áp
dụng bồi dưỡng HSG khối 11 và ôn thi THPT Quốc Gia.
Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:
Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn tồn diện về giới hạn dãy số
theo quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và phân
tích các bài tập về giới hạn dãy số một cách logic từ khó đến rất khó.
Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về giới hạn dãy số ta sẽ thấy nó là
các phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp
tổng quát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích.
Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán
về giới hạn dãy số chánh sự gượng ép máy móc.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Ngày 28/02/2020
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung sáng kiến

download by :
3

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1.Phương pháp quy nạp toán học
n  N * ta ln có các đẳng thức sau :
1.
2.
3.
4.

n(n  1)
2
n(n  1)(2n  1)
12  2 2  ...  n 2 
6
1  2  ...  n 

13  23  ...  n 3 

n 2 (n  1) 2
4

12  3 2  ...  (2n  1) 2 

n(4n 2  1)
3

5.
6.

1  3  5  ...  (2n  1)  n 2

7.
8.
9.
10.
11.
12.

1
1
1
n

 ... 

1.2 2.3
n(n  1) n  1
1
1
1
 ... 
2 n
2
n

Cho số thực x  1 . Chứng minh rằng : (1  x) n  1  nx , n  N *
Với mọi số tự nhiên n  3 , ta có : 2n  2n  1
Với mọi số tự nhiên n  2 , ta có :
1
1

1

 ... 
 n
2
3
n
1 1
1
n
b. 1    ...  N
2 3
2 1

a. 1 

c.
13. Cho số thực x  k 2 , k  Z , n  N * , ta ln có :
nx
(n  1) x
.sin
2
2
a. sin x  sin 2 x  ...  sin .nx 
x
sin
2
(n  1) x
nx
sin

. cos
2
2
b. 1  cos x  cos 2 x  ...  cos .nx 
x
sin
2
sin

download by :
4


1.2. Dãy số
1.2.1.Định nghĩa
Mỗi hàm số
xác định trên tập các số nguyên dương
dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

được gọi là một

Trong đó
và gọi
là số hạng đầu,
là số hạng thứ
tổng quát của dãy số .
1.2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
* Dãy số
gọi là dãy số tăng nếu
* Dãy số

gọi là dãy số giảm nếu

Vậy: Nếu

suy ra

Nếu

và là số hạng

là dãy số tăng.

suy ra

là dãy số giảm.

* Nếu tồn tại số

sao cho

thì

bị chặn trên.

* Nếu tồn tại số

sao cho

thì

bị chặn dưới.

* Nếu dãy số
bị chặn trên và bị chặn dưới thì gọi là dãy só bị chặn.
1.2.3.Một vài dãy số đặc biệt
* Cấp số cộng
* Dãy số
là cấp số cộng
, n  N * , trong đó (d  0) , là số
không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nếu dãy số
là cấp số cộng thì
* Nếu dãy số

là cấp số cộng thì tổng

*Cấp số nhân
* Dãy số
là cấp số nhân
đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
* Nếu dãy số
là cấp số nhân thì
* Nếu dãy số

, n  N * , trong đó

là cấp số nhân vơi

thì tổng

download by :
5

là số khơng


PHẦN II. GIỚI HẠN DÃY SỐ
2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy
* Kiến thức sử dụng:
- Các công thức đối với các dãy số quen thuộc.
- Tính chất của các dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân.
* Bài tập vận dụng
Bài 2.1.1. Cho dãy số

. Tìm giới hạn dãy số?

Lời giải:
Ta có

Suy ra
Bài 2.1.2. Cho dãy số un 

12  32  52  ...  (2n  1) 2
. Tìm giới hạn dãy số?
2 2  42  6 2  ...  (2n) 2

Lời giải:
Ta có

2n(2n  1)( 4n  1)
1  2  3  ...  (2n)
(4n  1)
6
un  1  2


4
2
2
n(n  1)( 2n  1) 2(n  1)
2  4  6  ...  (2n)
4.
6
Suy ra
.
2

2

2

Bài 2.1.3. Cho dãy số
phần tử,
Tìm

2

xác định bởi

là số chỉnh hợp chập

của

trong đó

là số hốn vị của

phần tử. Đặt

.
Lời giải:

Ta có
,

download by :
6


Bài 2.1.4. Cho dãy số

thỏa mãn

. Hãy tìm

Lời giải:
Theo đề bài ta có

…

Cộng theo về

…

đẳng thức trên ta được

Vậy
Bài 2.1.5. Cho dãy số
Tìm

xác định bởi

. Đặt

.
Lời giải:

Ta có

+) Xét
nhất

là tổng

số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ

cơng bội

download by :
7

+)

Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
ta có
Vậy
Bài 2.1.6. Cho dãy số

được xác định như sau:
.Tính

Lời giải:
Ta có

suy ra

lập thành một cấp số

cộng có cơng sai bằng 1 nên
(1)
Từ (1) ta được un  u1  un  un 1  un 1  un  2  ...  u2  u1  n  n  1  ...  2
 un  1  2  ...  n 

n  n  1
2

. Vậy

Bài 2.1.7.

Cho dãy số u1 

n
un
2
. Tìm giới hạn dãy số xn   un ?
và un 1 
2(2n  1)un  1
3
i 1

Lời giải:
1

Đặt Vn  u  vn 
n

( 2n  1)(2n  1)
1
1
 un 

2
2n  1 2n  1

Suy ra lim xn  1
Bài 2.1.8.
Đặt

. Xét dãy số

sao cho

Tính
Lời giải:
Ta biến đổi

download by :
8


Sử dụng

ta có:

Bài 2.1.9.
Cho dãy

xác định bởi

.

Tìm
Lời giải:
Ta có:
Với
Từ

ta có
và

suy ra

Do đó:
Bài 2.1.10.
Cho dãy

biết

Tìm
Lời giải:
Ta có:

download by :
9


Do đó

.

Bài 2.1.11.
Cho dãy

biết

. Tìm

Lời giải:
Ta có:

Suy ra
*Bài tập tự giải:
Bài 1. Cho dãy số un 

1
1
1

 ... 
. Tìm giới hạn dãy số?
1.2.3 2.3.4
n(n  1)(n  2)

HD:
ta có

Khi
Khi
Khi
…
Khi
Cộng

đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được

Suy ra

download by :
10

Bài 2. Cho dãy số

với
. Tìm giới hạn

dãy số?
HD:
ta có

Khi
Khi
…
Khi
Cộng

đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được

Suy ra
Bài 3. Cho dãy số

với

Tìm giới hạn dãy số?

HD:
Ta có:

…

Ta có:
Suy ra

. Do đó

Bài 4. Cho dãy số un  (1 

1 
1 
1 
1
)
1

1

1






 . Tìm giới hạn dãy số?
22  32  42  n 2 

HD:

download by :

11


Bài 5. Cho dãy số

. Tìm

giới hạn dãy số?
HD:
Bài 6. Cho dãy số

.

Tìm giới hạn
HD:

ta có

Khi
Khi
…

…

Khi
Cộng

đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được

Suy ra

Bài 7. Cho dãy số

xác định bởi

2.2.Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng
tính đơn điệu và bị chặn.
* Cơ sở lý thuyết:

download by :
12


a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
b)Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
- Nếu dãy số
thỏa mãn điều kiện
và tồn tại giới hạn
thì
; nếu dãy số
thỏa mãn điều kiện
và tồn tại giới
hạn
thì
- Giả sử dãy số
có giới hạn hữu hạn thì
Áp dụng tính chất trên ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho bởi hệ
thức truy hồi. Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi HSG cấp tỉnh, các đề
thi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và Quốc tế.
Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài tồn tìm giới hạn của dãy
số cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa.

* Bài tập vận dụng
Bài 2.2.1. Cho dãy số
. Chứng minh dãy số
Lời giải:

xác định bởi
là dãy số giảm, bị chặn dưới. Tính

Ta có:

Do đó

là dãy số giảm.

Ta có:
Suy ra
Vậy
bị chặn dưới. Ta có
Bài 2.2.2. Cho dãy số
xác định bởi
. Tính
Lời giải:
Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số
tăng và bị chặn trên.
Chứng minh dãy
tăng bằng quy nạp, tức là
Khi n = 1 ta có
Giả sử
, khi đó
Nên

bị chặn dưới bởi
. Ta sẽ chứng minh dãy
bị chặn bởi 2 bằng quy
nạp, thật vậy.
Khi n=1 ta có
Giả sử
, khi đó
Vậy dãy số
bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số
có giới hạn hữu hạn, giả sử
thì
.Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có
lim
. Hay

download by :
13


Vì

nên a = 2 . limun = 2.

Nhận xét:
*Với ví dụ này ta có thể tìm được CTTQ của dãy
tuy nhiên việc xác định CTTQ của

là
không phải là đơn

giản và mất nhiều thời gian. Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải trên, bài toán
được giải quyết gọn nhẹ.
* Tổng qt hóa bài tốn :
Cho dãy số

xác định bởi

cho trước. Hãy tìm
Bài 2.2.3. Cho dãy số
Lời giải:
Nhận xét: Ta thấy

.Với

là số thực dương

.
xác định bởi

. Tính limun

Dự đốn dãy số
là dãy dương và tăng
Ta chứng minh bằng quy nạp, tức là
Rõ ràng
. Khi n = 2 ta có
Giả sử
. Ta có
Nên dãy số (un) là dãy số dương tăng
Hơn nữa, ta thấy

Hay
.Nên

bị chặn trên bởi 4

Do đó dãy số
có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó
Từ hệ thức truy hồi suy ra limun+1 = lim
Hay
. Do đó
nên a = 4
Vậy
.
Bài 2.2.4. Cho dãy số
xác định bởi
Chứng minh rằng dãy
có giới hạn và tính giới hạn đó.
Lời giải:
Trước hết ta nhận xét rằng
, với mọi n.
Thật vậy, ta có = 2010 > 0. Giả sử
, ta chứng minh
Từ hệ thức truy hồi suy ra
Do đó ta có:

.

Theo bất đẳng thức Cosi, ta có:

download by :

14


Mặt khác ta có:
(vì

)

Nên
là dãy số giảm và bị chặn bởi
hạn. giả sử
, khi đó
Và ta có

do đó dãy

có giới hạn hữu

. Suy ra

Do đó

. Vậy

Bài 2.2.5. Cho dãy số
a) CMR dãy
b) Tính
Lời giải:
a) Nhận xét rằng
Hơn nữa

xác định bởi
là dãy số tăng

là dãy bị chặn
và

.Theo bất đẳng thức Cosi, ta có

Do đó
là dãy số tăng
b) Từ câu a) và nhận xét trên suy ra dãy
thì
. Do đó

có giới hạn. Giả sử
.

Mặt khác từ giả thiết suy ra

Vậy
Bài 2.2.6. Cho dãy số
Lời giải:
Nhận xét rằng

xác định bởi

Tính

bị chặn dưới bởi

Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có
Giả sử
, ta chứng minh
Theo bất đẳng thức Cosi và giả thiết quy nạp ta có:

download by :
15


. Do đó

, nên

bị chặn dưới

bởi
Mặt khác, ta có

mà

.

Do đó:

, nên

Vậy dãy số

có giới hạn hữu hạn. Giả sử

,

là dãy giảm.

khi đó

Từ hệ thức truy hồi suy ra:
Vậy
* Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho dãy số u1  1 và un 1  un2  un  1  un2  un  un  1 . Tìm giới hạn dãy
số?
HD: Ta có: un 1 
Mặt khác:

2un
u  un  1  u  u n  1
2
n

2
n


u  u n  1 + u  un  1   un

2
n

≥

2
n

0
2

2

1 3
1 3

     un   
2 4
2 4


2
1
1   3
3 


2
 u n   u n    
2
2  2
2 


Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn. Suy ra limun = 0
Bài 2. Cho dãy số u1= 2020 và

. Tìm giới hạn dãy số ?

Bài 3. Cho dãy số u1= 2020 và un 1 
Cho dãy số

với

un2  6
. Tìm giới hạn dãy số ?
2un  1

. Tìm giới hạn dãy số ?

Bài 4. Cho dãy số

.Tìm giới hạn dãy số?

(un  1)3
0
HD: Ta có: un 1  1 
3un2  1

download by :
16


Xét hiệu un 1  un 

 2un3  2un
 0. Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại
3un2  1

giới hạn. Suy ra
n

 1
Bài 5. Cho dãy số un 1  1   . Tìm giới hạn dãy số ?
 n
2
2
Bài 6. Cho dãy số
và u n 1  un  (1  2a )un  a . Xác định a, b để dãy số có
giới hạn và tìm giới hạn dãy số ?
n  1  21 2 2
2n 

 . Tìm giới hạn dãy số ?
u



...

Bài 7. Cho dãy n 1
2 n 1  1 2
n 
Bài 8. Cho dãy

thỏa mãn các điều kiện:

Tính

(ĐS:

Bài 9. Cho dãy

xác định bởi

Tính

(ĐS:

)

2.3.Phương pháp lượng giác hóa
* Kiến thức sử dụng:
- Biểu diễn số hạng tổng quát của dãy số bằng công thức lượng giác để tính giới
hạn: cơng thức nhân đơi, nhân ba, các hằng đẳng thức lượng giác.
- Ý tưởng chính: Nhận dạng và dùng công thức lượng giác phù hợp để biểu diễn
các số hạng của dãy số. Chú ý các số hạng đầu là các giác trị lượng giác đặc biệt
nào ?
* Bài tập vận dụng
Bài 2.3.1. Cho dãy số

và u n 1  2u n  1 . Tìm giới hạn
2

Lời giải:
Ta có:
2n 
Bằng phương pháp qui nạp suy ra u n 1  cos
3

Vậy

download by :
17

?


Bài 2.3.2. Cho dãy số

. Tìm giới hạn dãy số ?

Lời giải:
Ta có:
Bằng phương pháp qui nạp suy ra
Vậy
un4
u
Bài 2.3.3.Cho dãy số u1 = 2 và un 1  4
. Tìm giới hạn dãy số n
2
n
un  8un  8
Lời giải:

1
8
8
 1  2  4  an 1  1  8an2  8an4  2(2an2  1) 2  1
Ta có:
un 1
un un
1

4n 
Mặt khác: a1   cos . Ta có un 1  cos
2
3
3

Suy ra lim

un
0
n
2  2  2...  2

Bài 2.3.4. Cho dãy số un 

. Tìm giới hạn dãy số un ?

2  2  2 ...  2

Lời giải:
Chứng minh:.

.Vậy

*Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho dãy số u1 

2
1
và un 1  2  2 1  un . Tìm giới hạn dãy số 2nun ?
2
2

Bài 2. Cho dãy số u1  3 và un 1 
Bài 3. Cho dãy số

3  un
u
.Tìm giới hạn dãy số n ?
n
1  3un

và

. Tìm giới hạn dãy số ?

2.4. Giới hạn dãy tổng các số hạng của một dãy cho trước.
* Kiến thức sử dụng:

download by :
18

Các bài tốn về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích hạng
tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt tiêu,
cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ cịn chứa xn , sau đó tìm limxn.
* Bài tập vận dụng
Bài 2.4.1.

 xn  n1 được xác định như sau: x  3, x  x  3x  4, n  1, 2,...

Chứng minh rằng  xn  n 1 là một dãy đơn điệu tăng và khơng bị chặn. Tìm giới hạn

của dãy số  yn  n 1 trong đó yn được xác định bởi công thức:


Cho dãy số

1

yn 

n 1

2
n

n

1
1

1

 
, n  1, 2,
x1  1 x2  1
xn  1

Lời giải:
Ta có

suy ra dãy số

là dãy đơn điệu tăng.

Chứng minh bằng quy nạp
Thật vậy (*) đúng với
Giả sử (*) đúng với

.

Thế thì
Vậy (*) đúng với
Theo nguyên lý quy nạp suy ra
chặn.

đúng với mọi

do đó dãy khơng bị

Theo định nghĩa dãy ta có:

1
1
1
1
1
1
1






.
xk 1  2  xk  1  xk  2  xk  2 xk  1
xk  1 xk  2 xk 1  2

Bằng cách cộng các đẳng thức trên với k  1, 2,..., n ta được
1
1
yn 

x1  2 xn 1  2
Vì

theo nguyên lý giới hạn kẹp

Bài 2.4.2: Cho dãy
và xn 1 
n

Đặt yn  
i 1

1
xi  2

(n = 1, 2, …) được xác định như sau:

xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1 với n = 1, 2, …
yn
(n = 1, 2, ….). Tìm lim
n 

download by :
19

suy ra


Lời giải:
Ta có
và

với mọi n = 1, 2, …

xn1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1 

x

2
n

 3xn   xn2  3xn  2   1  xn2  3xn  1 (1)

Từ đó suy ra
= xn2  3xn  2 =
1
xn 1  1



n

Do đó yn  
i 1

1

 x n 1  xn  2 



1
1

x n 1 xn  2



1
1
1


xn  2 xn  1 xn 1  1

n 
1
1
1 
1
1
1
1


 
= 

xi  2 i 1  xi  1 xi 1  1  x1  1 xn1  1 2 xn 1  1

= xk2  3xk  1  3xk  3.3k 1  3k

Từ (1)

Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp
yn 
Nên lim
n 

1
(vì do (2)
2

(2)

> 3n )

. Ta có thể chứng minh limxn =  với cách khác:
Dễ thấy (xn) là dãy tăng, giả sử limxn = a (a  1)
Nên ta có a  a(a  1)(a  2)( a  3)  1
Suy ra a2 = a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 hay a4 + 6a3 + 10a2 + 6a +1 = 0
Rõ ràng phương trình này khơng có nghiệm thỏa mãn a  1. Vậy limxn = 
Bài 2.4.3. Cho dãy số

xác định bởi

Hãy tìm
Lời giải:
Ta có

…

…

download by :
20

Theo đề bài
Giả sử
Ta sẽ chứng minh

(giả thiết quy nạp)
(*)

Theo đề bài, (*)

đúng

(theo giả thiết quy nạp).
Vậy dãy số
tăng
Ta lại chứng minh
Giả sử

không bị chặn trên.

bị chặn trên

. Đặt

và

Mà
loại) suy ra giả sử
Do đó

bị chặn trên là sai

.
Vậy

Bài 2.4.4. Cho dãy

(n = 1, 2, …) xác định bởi:

1

 x1  2


2
 x  xn 1  4 xn 1  xn 1
 n
2

(n  2,3,...)
n

Chứng minh rằng dãy (yn) (n = 1, 2, …) với yn  
i 1

hạn, tìm giới hạn đó.
Lời giải:
Từ giả thiết ta có
Ta có
Do đó dãy

=

1
có giới hạn hữu
xi2

n  1
xn21  4 xn 1  xn 1
2

tăng. Giả sử

=

xn21  4 xn 1  xn 1
> 0 n  2
2

= a thì a > 0 và

download by :
21


a

a 2  4a  a 
a = 0 (vô lý)
2

Vậy

= 

Từ

xn21  4 xn 1  xn 1

=

2

xn2  ( xn  1) xn 1 

n  2 suy ra
1
1
1


2
xn xn 1 xn

n  2

Do đó
n

yn  
i 1

 1
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1






...




  2    6

 
2
2
xi x1  x1 x2   x2 x3 
xn
 xn 1 xn  x1 x1 xn

n  2
1

Suy ra yn < 6 n  1 và dãy (yn) tăng vì yn = yn-1 + x > yn-1

n
Vậy (yn) có giới hạn hữu hạn và limyn = 6

Bài 2.4.5. Cho dãy số (un) xác định như sau:

Tính
Lời giải:
Ta có:

Suy ra:
Chứng minh lim u n    lim

1
un 1

0

Vậy

Bài 2.4.6. Cho dãy số:

.Tính

Lời giải:

download by :
22


Ta có:

Suy ra:
Chứng minh lim un    lim

1
0
un 1  4

Vậy

Bài 2.4.7. Cho dãy số

xác định bởi

Tìm

Lời giải:
Ta có:
Đặt
Suy ra

Do đó

Do đó
Bài 2.4.8. Cho dãy số

xác định bởi

và

Lời giải:
Ta có

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được

download by :
23

. Tìm


, với mọi
.
Suy ra

Và

Do đó

.
*Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho dãy số

với

và

.

Tính

Bài 2. Cho dãy số

với

và

.

Tính

Bài 3. Cho dãy số

u1  3

xác định bởi: 
1 2
un 1  2 u n  u n  2(n  1)

download by :
24


Tính lim

n  

n

1

u
i 1

?

i

Bài 4. Cho dãy số
n

Tính nlim

 
i 1

xác định bởi:

ui
?
ui 1  1

Bài 5. Cho dãy

xác định bởi

.

Tính
Bài 6. Cho dãy

xác định bởi

Tính

.

.

Bài 7. Cho dãy

xác định bởi

Tính

.

Bài 8. Cho dãy số

với

Tính

.

Bài 9. Cho dãy
Tính

xác định bởi
.

Bài 10. Cho dãy số

với

Bài 11. Cho dãy số

với

. Tính
.

Tính
Bài 12. Cho dãy số

xác định bởi

a) Chứng minh: un ≥ n + 2019.

download by :
25

?