SKKN - Cải tiến phương pháp giải các bài toán dãy số bằng công cụ lượng giác trong chương trình toán trung học phổ thông

Cải tiến phương pháp giải các bài toán dãy số bằng công cụ lượng giác
trong chương trình toán trung học phổ thông.
Khi đề cập về cách giải các bài toán dãy số thường chỉ sử dụng phương pháp quy nạp đại số, nên chưa làm sáng
tỏ được bản chất, cách xác lập dãy số , gây khó khăn cho học sinh khi gặp các bài toán nâng cao như dãy số có
công thức truy hồi phi tuyến tính. Đa số các bài toán trên thường phải sử dụng công cụ lượng giác
I. Mục đích đề tài:
-Cải tiến phương pháp phát hiện tính chất và nêu giải pháp cho các bài toán dãy số bằng công cụ
lượng giác mà các tài liệu chưa đề cập một cách trực tiếp,toàn diện
-Với cách tiếp cận và giải quyết các vấn đề dãy số nhờ lượng giác ,với các bài toán minh họa ,người
đọc sẽ có hứng thú say mê nghiên cứu khoa học, được sử dụng linh hoạt các kiến thức về giải tích
như: hàm số ,đa thức,cấp số,dãy số,giới hạn,đạo hàm ,tích phân,phương trình hàm cũng như đại
số,lượng giác
-Từ giải pháp trên , giáo viên và học sinh có thể vận dụng để rèn luyện kỹ năng xử lý tình huống,tư
duy sáng tạo, giải các bài toán nâng cao ,phức hóa và sáng tác các bài tập hay nhằm ôn luyện phục
vụ vào các kỳ thi học sinh giỏi các cấp
II/. Mô tả giải pháp:
1. Thực trạng:
1.1. Những hạn chế:
-Sách giáo khoa, sách tham khảo hiện có, khi đề cập về cách giải các bài toán dãy số thường chỉ sử
dụng phương pháp quy nạp đại số, nên chưa làm sáng tỏ được bản chất, cách xác lập dãy số , gây
khó khăn cho học sinh khi gặp các bài toán nâng cao như dãy số có công thức truy hồi phi tuyến
tính. Đa số các bài toán trên thường phải sử dụng công cụ lượng giác
-Theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo, cấu trúc của một đề thi học sinh giỏi hiện nay phải có
bài toán kiểm tra về giải tích mà thường là xét các tính chất hàm số, dãy số
1.2 Ưu điểm giải pháp mới:
-Học sinh được trang bị một phương pháp tiếp cận và cách giải các bài toán dãy số phi tuyến nhờ
công cụ lượng giác
-Tập cho học sinh bước đầu có hứng thú say mê nghiên cứu khoa học, sử dụng linh hoạt các kiến
thức đã học về giải tích như: hàm số, đa thức, cấp số, dãy số, giới hạn, đạo hàm , tích phân, phương
trình hàm cũng như đại số, lượng giác
-Giáo viên nắm bắt phương pháp từ đó sáng tác bài tập phù hợp với đối tượng học sinh mình trực

tiếp bồi dưỡng
2.Nội dung giải pháp
2.1 .Tiếp cận và giải bài toán về tính chất dãy số nhờ định dạng lượng giác các số hạng, các hệ số
trong công thức truy hồi của dãy số hoặc xét tính chất có trong cung lượng giác của dãy lượng
giác .Ta có thể minh họa bằng các ví dụ sau:
Ví dụ 1:Cho dãy (u
n
) có u
1
=cosa;u
2
=cos2a, u
n+1
=2cosa.u
n
-u
n-1
khi n>1.
Tìm S
n
=u
1
+u
2
+…+u
n

Giải:
Bằng qui nạp ta có số hạng tổng quát có dạng đa thức lượng giác
u

n
=kcosna+lsinna
Theo giả thiết có
Suy ra :k=1;l=0 Vậy : u
n
=cosna
S
n
=u
1
+u
2
+…+u
n
=cosa+cos2a+…+cosna=
Ví dụ 2: Cho dãy số (u
n
) , (v
n
) có u
0
=0;v
0
=cosa,
u
n
=u
n-1
+2v
n-1

sin
2
a ;v
n
= v
n-1
+2u
n-1
cos
2
a khi n>0
Tìm số hạng tổng quát u
n
;v
n

Giải:
Xét u
n
+kv
n
=(1+2kcos
2
a )u
n-1
+(k+2sin
2
a)v
n-1

Cho tỉ lệ 1:k=(1+2kcos
2
a ):(k+2sin
2
a) ta có k=tana hoặc k=-tana
suy ra :u
n
+tana.v
n
=(1+2sina.cosa )u
n-1
+(tana+2sin
2
a)v
n-1

u
n
–tana.v
n
=(1-2sina.cosa )u
n-1
+(-tana +2sin
2
a)v
n-1

Vậy : u
n
+tana.v

n
=(1+sin2a)(u
n-1
+tana.v
n-1
)
u
n
–tana.v
n
=(1-sin2a)(u
n-1
–tana.v
n-1

)
Khi đó : u
n
+tana.v
n
=(1+sin2a)
n
(u
0
+tana.v
0
)=(1+sin2a)
n
sina
u

n
–tana.v
n
=(1-sin2a)
n
(u
0
–tana.v
0

) =-(1-sin2a)
n
sina
Ta coi u
n
;v
n
là nghiệm của hệ bậc nhất
Vậy giải hệ ta có : u
n
=
v
n
=
Ví dụ 3:(đề được tác giả sáng tác và gửi cho hội đồng ra đề thi quốc gia năm 2008)
Cho dãy số (V
n
) trong đó =sin và có u
1
= ; u

n
=u
n-1
+2u
n-2
+…+(n-1) u
1
;với n nguyên ,n>1
Tìm giới hạn của dãy (V
n
) khi n
Giải:
Ta xét cung lượng giác có trong là :
u
n
=u
n-1
+2u
n-2
+…(n-1) u
1
Suy ra u
n
-u
n-1
=2u
n-2
+…(n-1) u
1
= [u

n-2
+…(n-2) u
1
]+[u
n-2
+…+ u
1
]
Vậy : u
n
-2u
n-1
= u
n-2
+…+ u
1
(*)
Thay n b ởi n-1 có : u
n-1
-2u
n-2
= u
n-3
+…+ u
1
(**)
T ừ (*) v (**) ta có : u
n
-2u
n-1

= u
n-2
+ u
n-1
-2u
n-2

Suy ra u
n
-3u
n-1
+ u
n-2
=0.
Phương trình đặc trưng :t
2
-3t+1=0 có nghiệm ;
Vậy : u
n
=A.( )
n
+B.( )
n
Do u
1
=1; u
2
=1 suy ra A=1- ;B=1+
Thử lại u
n

=(1- ).( )
n
+(1+ ).( )
n
thoả bài toán
Suy ra : 3
-n
u
n
=(1- ).( )
n
+(1+ ).( )
n
Do 0< <1,0< <1
nên V
n
=sin0 =0
2.2 . Nếu bài toán cho dãy số dạng phi tuyến tính :đa thức, phân thức, hoặc căn thức giống như giải
hệ phương trình;tính tích phân,… ta tìm cách lượng giác hóa công thức dãy số.Muốn giải tốt ta cần
để ý số hạng đầu và sự tương thích của hệ thức truy hồi với một đặc trưng nào đó của hàm lượng
giác .Ta xét một số ví dụ minh họa sau
Ví dụ 1:(đề tác giả sáng tác gửi tham dự kỳ thi Olympic 30/4 ,Miền nam,năm 2005):
Cho dãy số (u
n
) có:
a) Chứng minh rằngvới mọi n thuộc Z
+
, ta có
b) Lập dãy số (v
n

) biết v
n
=
Tìm giới hạn cuả dãy (v
n
) khi n
Giải
a) Ta chứng minh u
n
> 0 với mọi n thuộc Z
+
.
Thật vậy, u
1
> 0, u
2
> 0.
Giả sử u
n
> 0với mọi n k.
Ta có
Vậy, u
n
> 0 với mọi n thuộc Z
+
.
Ta lại có
Giả sử
Ta có:
Vậy

Ta lại có và hàm y = e
x
là hàm đồng biến trên R.
b) Ta có :
Mặt khác, ta có
Mà
Vậy
Ví dụ 2: Cho dãy (u
n
) và (v
n
) :
Tìm số hạng tổng quát u
n
và v
n

Giải:
U
0
=2 =
U
1
= ; V
1
=
U
2
= ; V
2

=
U
3
= ; V
3
=
Chứng minh qui nạp có : U
n
=

V
n
=
2.3.Giải quyết các bài toán thi học sinh giỏi liên quan bằng phương pháp trên ví dụ như:
Bài 1: (đề thi chọn HSG quốc gia năm 2001)
Cho số thực a và dãy số (x
n
) có x
0
=a ;x
n+1
=x
n
+sinx
n

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn khi n và tìm giới hạn đó
Bài 2 (đề thi chọn HSG quốc gia năm 1990)
Cho dãy (x
n

) có ;x
n
= khi n>1
a/Cần thêm điều kiện gì để dãy đã cho toàn số dương
b/Dãy số có tuần hoàn không ?tại sao?
Bài 3 (đề thi chọn HSG quốc gia năm 1994)
Cho số thực a và dãy số (x
n
) có x
0
=a ;x
n
=
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn khi n và tìm giới hạn đó

3 Phạm vi áp dụng :
Giải pháp trên dùng để bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong cấp học trung học phổ thông ,Giáo viên có thể
nghiên cứu và sáng tác bài tập để bồi dưỡng tùy theo đối tượng học sinh của mình
4.Hiệu quả về ứng dụng giải pháp :
Đề tài có ý nghĩa cải tiến phương pháp giải các bài toán về dãy số nhờ công cụ lượng giác.Đây là tài liệu tác
giả dùng để bồi dưỡng cho học sinh các lớp chuyên toán và đội tuyển của tỉnh
Kết quả:Lớp chuyên do bản thân phụ trách đạt 10 giải /14 họcsinh, 2 HCV,1HCB toàn miền Nam
Nguyễn Đình Thức, trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định-2009