(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Phần I: mở đầu

I. Lý do chọn đề tài:

- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến
thức về tỷ lệ thức và dÃy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong
chơng trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành
một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đợc 3 số
hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t. Trong chơng II, khi học về
đại lợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng
tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để
học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể
thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính
chất của dÃy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho häc sinh rÊt tèt gióp
c¸c em cã khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đa ra một số
dạng bài tập về tỷ lệ thức và dÃy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7.

II. Phạm vi nghiên cứu:

1. Phạm vi của đề tài:
GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

1

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Chơng I, môn đại số lớp 7
2. Đối tợng:
Học sinh lớp 7 THCS.
3. Mục đích:
a) Kiến thức.
- Học sinh hiểu và làm đợc một số dạng toán về tỷ lệ thức và
dÃy tỷ số bằng nhau nh: Tìm số hạng cha biết, chứng minh liên
quan ®Õn tû sè b»ng nhau, to¸n chia tû lƯ, tr¸nh những sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến dÃy tỷ số bằng nhau.
b) Kỹ năng:
HS có kỹ năng tìm số hạng cha biết, chứng minh tỷ lệ thức,
giải toán chia tỷ lệ.
c) Thái độ:
HS có khả năng t duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận
trong tính toán.

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

2

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Phần II: Nội dung của đề tài
A.Nội dung

I.Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
1. Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b vµ d gäi lµ trung tØ.
b) TÝnh chÊt
TÝnh chÊt 1( tính chất cơ bản)
Nếu

thì ad = bc

tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức

2) TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau:
+ tõ tØ lÖ thøc

ta suy ra

+më réng: tõ d·y tØ sè b»ng nhau
ta suy ra
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

3

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

+ Khi có dÃy tỉ sè

ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lƯ víi c¸c sè 2; 3;

5 ta cịng viÕt a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của
đẳng thức, từ tỉ lệ thức

từ

suy ra

suy ra

II.Đối tợng phục vụ của đề tài
Học sinh lớp 7 trờng THCS Hồng Thuỷ năm học 2010 2011
III.Nội dung và phơng pháp nghiên cứu
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số dạng bài
tập sau:
Dạng 1. Tìm số hạng cha biết
1.Tìm một số hạng cha biết
a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu
Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia
cho ngoại tỉ đà biết, muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích
của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đà biết.
GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiƯm To¸n 7

4

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................

..................

b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)

- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể
nâng mức độ khó hơn nh sau :
a)
b)
có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm
x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 a)

Giải : từ

Suy ra x = 30 hoặc -30

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

5

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong

đại số 7
.................................................................................................
..................

Ta thấy trong tỉ lệ thøc cã 2 sè h¹ng cha biÕt nhng 2 sè hạng đó
giống nhau nên ta đa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ
lệ thức
;
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức

Giải:
Cách 1: từ

Cách 2: từ
áp dụng t/c cơ bản của dÃy tỉ số bằng nhau ta có

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

6

download by :

Sáng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7

.................................................................................................
..................

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số
đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x 2 bị triệt tiêu, có thể
làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dÃy tỉ số bằng
nhau
2.Tìm nhiều số hạng cha biết
a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mÃn
(1) và x +y + z =d (2)
( trong ®ã a, b, c, a+b+c

vµ a, b, c, d lµ các số cho trớc)

Cách giải:
- Cách 1: đặt

thay vào (2)

Ta có k.a + k.b + k.c = d

Từ đó tìm đợc

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

7

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

- Cách 2: áp dụng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau ta cã

b).Híng khai thác từ bài trên nh sau.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:
*
*
*x.y.z = g
+Giữ nguyên ®iỊu kiƯn (2) thay ®ỉi ®k (1) nh sau:
+Thay ®ỉi cả hai điều kiện
c).Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết

và x +y + z = 27

Giải: Cách 1.
GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

8

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Đặt
Từ x + y + z = 27 ta suy ra
Khi ®ã x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
VËy x = 6; y = 9; z = 12.
- C¸ch 2. ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ số bằng nhau ta có.

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 sè x,y,z biÕt

vµ 2x + 3y – 5z = -21

Giải:
- Cách 1: Đặt
- Cách 2: Từ

=k
suy ra

áp dụng t/c cđa d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:

Bµi tËp 3: Tìm 3 số x, y, z biết

và

Giải:
- Cách 1: Đặt

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

=k

9

download by :

Sáng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

- Cách 2: từ
suy ra

áp dông t/c d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:

Suy ra

VËy x= 6; y = 9; z = 12 hc x = -6; y = -9; z = -12.
Bµi tËp 4: Tìm 3 số x, y, z biết

và x.y.z = 648

Giải:
- Cách 1: Đặt

=k

- Cách 2: Từ

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiƯm To¸n 7

10

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12.
Bài tập 5. Tìm x,y, z biết

và x +y +z = 27

Giải: từ

Từ
Suy ra
Sau đó ta giải tiếp nh bài tập 1.
Bài tập 6. Tìm x, y, z biÕt 3x = 2y; 4x = 2z vµ x + y+ z = 27
Giải: Từ
Từ
Suy ra

sau đó giải nh bài tập 1

Bài tập 7: Tìm x, y, z biÕt 6x = 4y = 3z vµ 2x + 3y – 5z = -21
Gi¶i: tõ 6x = 4y = 3z
Sau đó giải tiếp nh bài tập 2

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiƯm To¸n 7

11

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7

.................................................................................................
..................

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết

và 2x +3y -5z = -

21
Giải:áp dụng tính chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp nh bài tập 6
Bài tập 9: Tìm x,y,z biết
và x +y +z =27
Giải:
- Cách 1: Đặt

=k

- Cách 2: áp dụng t/c của d·y tØ sè b»ng nhau ta cã

VËy x = 6; y= 9; z = 12

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm To¸n 7

12

download by :

S¸ng

Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dÃy tỉ số bằng
nhau
1)Các phơng pháp :
Để Chứng minh tỷ lệ thức :

Ta có các phơng pháp sau :

Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

có cùng một giá trị nếu trong

đề bài đà cho trớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ
số tỷ lệ thức đà cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ
thức phải chứng minh theo k.

Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vÞ , t/c cđa d·y tû sè b»ng nhau, t/c
cđa đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần
chứng minh ) thành vế phải.

Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dÃy tỷ số bằng nhau, t/c
của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đà cho biến đổi dần thành tỷ lệ
thức phải chứng minh.

2) Bài tập:
Bài tập 1
GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiƯm To¸n 7

13

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d kh¸c 0 tõ tû lệ thức:

tỷ lệ thức:

hÃy suy ra

.

Giải:

Cách 1: Xét tích
Từ

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
- C¸ch 2: Đặt
Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: từ

Ta có:

Do đó:
GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

14

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

- Cách 4:
Từ

- Cách 5: từ

Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức

ta có thể suy ra

các tỉ lệ thức sau:
(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu

thì

a)
(với a
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
- Cách 2: từ

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm To¸n 7

15

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................

..................

Đặt
Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: Ta có

Do đó:
ta cũng suy ra đợc a2 = bc

Ngợc lại từ

Từ đó ta có bài toán cho

chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c

đều khác 0 thì từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập
thành 1 tØ lƯ thøc .
- C¸ch 4: Tõ a2 = bc

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

16

download by :

Sáng

Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

b)
- Cách 1: xét tích chÐo ( a 2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b
+c)
= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc
( b+c)
Do ®ã (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c

- C¸ch 2: Từ a2 = bc
Đặt

suy ra a = bk, c = ak = bk2

Ta có

Do đó:

- Cách 3: từ a2 = bc

Từ

Từ (1) và (2) suy ra:
GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiƯm To¸n 7

17

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

- Cách 4: Ta có

Do đó:
Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là

thoả mÃn

chứng tỏ

Giải: Từ

Từ (1) và (2) suy ra
áp dụng t/c của d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:

Tõ (3) vµ (4) suy ra:
Ta cịng cã thĨ chun bµi tËp 3 thµnh bài tập sau:
Cho

chứng minh rằng

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm To¸n 7

18

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Bài tập 4: Biết
Chứng minh rằng
Giải: Ta có

Từ (1) và (2) suy ra:
Bài tập 5:Cho

.Chứng minh rằng

(với

và các mẫu đều khác 0)

Lời giải:
áp dụng tính chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã :

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

19

download by :

Sáng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Từ (1),(2),(3) suy ra

suy ra

Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1.Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dÃy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
2.Bài tập
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam

giác biết chu vi là 22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c

)

Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ,ta cã

Suy ra
GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

20

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mÃn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) nh sau : biết hiệu giữa cạnh lớn

nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có đợc
c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi
lớp trồng đợc tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng
với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119
cây.Tính số cây mỗi lớp trồng đợc .
Lời giải:
Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A,7B,7C lần lợt là a,b,c (cây, a,b,c
nguyên dơng)
Theo bài ra ta có
Suy ra

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

21

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mÃn
Vậy

số

cây

trồng

đợc

của

3

lớp

7A,7B,7C

lần

lợt

là

21cây,28cây,35cây
Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số
giữa số thứ nhất và số thứ hai là

,giữa số thứ hai và số thứ 3 là

.Tìm ba số đó.

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có

và

Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- 9
Bµi tËp 4: Ba kho thãc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi

số thãc ë kho I,

sè thãc ë kho II vµ

sè thãc ở kho III thì số thóc

còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn
thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lợt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiƯm To¸n 7

22

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7

.................................................................................................
..................

Số thóc của kho I sau khi chun lµ
Sè thãc cđa kho II sau khi chun lµ
Sè thãc cđa kho III sau khi chun lµ
theo bµi ra ta cã

vµ a+b+c=710

tõ

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thư lại các giá trên ta thấy thoả mÃn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lợt là 250tấn , 240 tấn,
220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển đợc 912

đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm đợc

Số học sinh khèi 7 vµ khèi 8 tØ lƯ víi 1 vµ 3 ; sè häc sinh khèi 8 vµ
khè 9 tØ lƯ víi 4 vµ 5 . TÝnh sè häc sinh của mỗi khối .
Lời giải:

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiƯm To¸n 7

23

download by :

S¸ng


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số
nguyên dơng)
Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c
Theo bµi rat a cã
Vµ 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mÃn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Dạng 4:Một số sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan
đến tỷ số bằng nhau
1)

Sai lầm khi áp dụng tơng tự
H/s áp dụng

hay

Bài tập 1: (Bài 62 SGKT31) tìm 2 sè x,y biÕt r»ng
x.y=10
H/s sai lÇm nh sau :

suy ra x=2,y=5

Bài làm đúng nh sau:

GV: Châu Thị Liễu
kiến kinh nghiệm Toán 7

24

download by :

Sáng

và


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7
.................................................................................................
..................

Từ

từ đó suy ra

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ
hoặc đặt

vì xy=10 nên 2x.5x=10

Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng
và x.y.z= 648
H/s sai lÇm nh sau

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng nh bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn
đến thiếu giá trị cần tìm

Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là

.

Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có
áp dụng tính chất của dÃy tỉ số bằng nhau ta có
GV: Châu Thị Liễu
25
kiến kinh nghiệm To¸n 7

download by :

S¸ng