(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải một số dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (124.29 KB, 12 trang )
Phương pháp giải một số dạng toán về luỹ
thừa với số mũ tự nhiên
I. Lời giới thiệu
Trong trường phổ thông, Tốn học là bộ mơn rất quan trọng. Học sinh nắm
vững các tri thức tốn học và có kĩ năng thực hành mơn tốn thì có thể học
tốt các mơn học khác. Mơn tốn cịn đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho
học sinh những đức tính quý báu của người lao động: cần cù, nhẫn nại,... và
làm cơ sở hình thành, phát triển tư duy khoa học, tư duy logic,... cho học sinh.
Một trong những yếu tố quan trọng quyết định chất lượng dạy học toán là
việc tổ chức có hiệu quả hoạt động giải bài tập tốn cho phù hợp với các đối
tượng học sinh trong lớp. Muốn vậy, người thầy phải chọn lọc, phân loại được
các bài tập theo các dạng cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để các em
đều có thể tự tìm cách để làm được ít nhất một trong các bài tốn mà thầy cơ
cho.
Trong chương trình mơn Tốn THCS, học sinh bắt đầu học về luỹ thừa từ lớp
6. Sau đó, kiến thức về luỹ thừa được dùng khá phổ biến và rộng rãi. Đây là
nội dung hay và có nhiều bài tốn khó, nó địi hỏi học sinh phải vận dụng kiến
thức một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh có óc quan sát
download by :
nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy. Tuy nhiên, trong sách giáo khoa chỉ
giới thiệu các công thức cơ bản về luỹ thừa, các dạng toán đưa vào chương
trình cịn ít và đơn điệu, chưa có đủ các dạng bài tập, nhất là các bài tập khó,
bài tập đi sâu phát triển kiến thức nâng cao qua các dạng tốn về luỹ thừa. Vì
thế mà học sinh cịn nhầm lẫn khi biến đổi các bài tốn có liên quan đến lũy
thừa, thậm chí nhiều em cịn nghĩ các bài tốn có lũy thừa thường khó nên
khi có bài tốn lũy thừa thường bỏ qua.
Trong khi đó, các bài tốn về luỹ thừa với số mũ tự nhiên trong các sách tham
khảo mơn tốn, các tạp chí tốn học và trên thư viện điện tử rất đa dạng và
phong phú. Do đó, địi hỏi người thầy phải biết tổng hợp, phân loại các dạng
toán thường gặp và phương pháp để giải chúng để hướng dẫn học sinh tìm
tịi, định hướng cách giải và đúc rút kinh nghiệm cho bản thân. Chính vì thế,
bản thân tơi thấy cần phải có một đề tài về các dạng toán về luỹ thừa với số
mũ tự nhiên và phương pháp giải chúng để giúp học sinh vận dụng linh hoạt
kiến thức cũng như phát triển cho học sinh tính tư duy, sáng tạo hơn trong
học và giải tốn về luỹ thừa. Đó chính là lý do tôi viết sáng kiến: “ Phương
pháp giải một số dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên ”.
II. Nội dung
1. Cơ sở lí luận
Nghiên cứu chương trình mơn tốn THCS, tơi thấy kiến thức cơ bản về luỹ
thừa được trình bày cẩn thận, giúp học sinh dễ hiểu. Tuy nhiên, qua quá trình
download by :
dạy học về phần luỹ thừa tôi thấy nhiều học sinh chỉ làm đựơc các bài toán ở
mức độ đơn giản là áp dụng trực tiếp kiến thức SGK chứ chưa biết vận dụng
kiến thức một cách linh hoạt. Khi gặp bài tốn khó như so sánh luỹ thừa, tốn
chứng minh, tốn chia hết, …thì các em rất lúng túng về cách giải, hoặc
khơng có cách giải chặt chẽ, vận dụng kiến thức chưa sáng tạo.
Trước thực trạng trên, khi dạy về phần này thì GV cần cung cấp các cơng
thức cơ bản cũng như nâng cao về luỹ thừa cho học sinh một cách vững chắc,
từ các bài toán cơ bản biết khai thác nhiều dạng tốn nâng cao; từ đó xây
dựng phương pháp giải phù hợp cho từng dạng. Cụ thể, giáo viên cần yêu cầu
học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau:
a. Định nghĩa: Luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi
thừa số bằng a an = a.a…. .a (n thừa số a)
b. Các công thức cơ bản về luỹ thừa: ( với n, m ỴN*; x, y Ỵ R; x, y 0 )
1, xn = x.x…x ( n thừa số x)
2, xn . xm = xn + m
3, xn : xm = xn - m (n >m )
4, (xn)m = xn . m
5, (x . y)n = xn . yn
6, (x : y)n = xn : yn
* Quy ước: xo =1; x1 = x
download by :
2. Một số dạng toán về lũy thừa với số mũ tự nhiên và phương pháp giải
Qua thực tế giảng dạy, tôi đã phân loại và tổng hợp lại phương pháp
giải một số dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên như sau:
2. 1. Tính giá trị của biểu thức
* Phương pháp giải:
- Áp dụng các công thức cơ bản về lũy thừa
- Biến đổi các luỹ thừa trong biểu thức về các luỹ thừa của số ngun tố.
- Có thể sử dụng tính chất ab ± ac = a (b ± c), đưa tử và mẫu về
dạng tích
- Rút gọn phân số
Ví dụ 1: Viết kết quả các phép tính sau dưới dạng một luỹ thừa:
a, 420. 810 b, 2715 : 910 c, 920 : (0,375)40
Giải:
a, 420. 810 = (22)20. (23)10 = 240 . 230 = 270
b, 2715 : 910 = (33)15 : (32)10 = 345: 320 = 325
c, 920 : (0,375)40 = (32)20 : (0,375)40 = 340 : (0,375)40 = (3 : 0,375)40 = 840
Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
A =
B =
Giải:
download by :
A =
=
B =
=
=
=
=
=
=
= 23 = 8
* Những sai lầm (hạn chế của học sinh) khi giải dạng tốn trên:
Khi làm ví dụ 1, học sinh thường mắc sai lầm do tính tốn sai, do nhầm lẫn
giữa phép nâng lên luỹ thừa và phép nhân (có thể học sinh lấy cơ số nhân với
số mũ), hoặc do học sinh áp dụng sai các công thức cơ bản về luỹ thừa. Do đó,
trong q trình giảng dạy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh thật chi tiết
cách vận dụng các công thức cơ bản về luỹ thừa.
Khi làm ví dụ 2, học sinh thường sai lầm do chưa đưa tử và mẫu về dạng tích
đã rút gọn hay chưa biến đổi các luỹ thừa trong biểu thức về các luỹ thừa với
cơ số là số nguyên tố
*Bài tập tương tự:
Tính giá trị của biểu thức: A =
;
download by :
B=
2. 2. Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thừa
Ví dụ 1: Tìm x Ỵ N biết:
a,
c,
b,
=9
d,
Giải:
a,
b,
=9
2x . 23 = 27
= 32 = (-3)2
2x = 27 : 23
2x = 24
x = 4
c,
Trường hợp 1: Nếu x – 3 = 0
x = 3 (vì 06 = 07 = 0)
Trường hợp2: Nếu x – 3 ¹ 0, chia 2 vế cho (x – 3) ta được
hay x – 3 = 1
x = 4
download by :
d, Cách 1:
x = 0 hoặc x = 1 (vì 0100 = 0 và 1100 = 1)
Cách 2:
Qua quá trình giảng dạy mơn Tốn ở THCS, tơi đã tổng hợp kinh nghiệm của
bản thân và học hỏi bạn bè, đồng nghiệp để viết đề tài này. Đối với mỗi khối,
lớp có thể trình bày theo những cách khác nhau cho phù hợp với đối tượng
học sinh. Chẳng hạn, trong ví dụ d, đối với học sinh lớp 6, lớp 7 có thể trình
bày cách 2 như sau:
Tích
khi
hoặc
Vậy = 0 hoặc = 1 thì
* Nhận xét:
Ở câu a ta biến đổi 2 vế của đẳng thức về luỹ thừa cùng cơ số, đẳng thức
xảy ra khi số mũ ở 2 vế bằng nhau.
download by :
Ở câu b ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa cùng số mũ, đẳng thức xảy ra khi cơ
số ở 2 vế bằng nhau.
Ở câu c, d ta sử dụng công thức 0n = 0 và 1n = 1 (nỴN*) hoặc đưa về dạng
tích(câu d).
Ví dụ 2: Cho A= 3 + 32 + 33 +…+ 32008. Tìm x biết: 2A + 3 = 3x
Giải :
Ta có 3A = 3( 3 + 32 + 33 +…+ 32008) = 32 + 33 +…+ 32008 +32009
A = 3 + 32 + 33 +…+ 32008
trừ vế cho vế của hai đẳng thức trên, ta được:
3A – A = 32009- 3
2A = 32009- 3
2A + 3 = 32009- 3 + 3
2A + 3 = 32009
lại có: 2A + 3 = 3x
Suy ra: 32009 = 3x
x = 2009
* Nhận xét: Từ ví dụ trên ta có thể rút ra bài tốn tổng quát:
A = n + n2 + n3 +…+ nk
nA – A = nk+1- n
A =
( n, k Ỵ N; n >1, k ³ 1)
Mở rộng bài toán đối với 2 ẩn x, y sau:(dùng khi bồi dưỡng học sinh
giỏi)
download by :
Ví dụ 3: Tìm x, y biết: a,
+
=0
b, 2x + 2x+3 = 136
Giải:
a, Vì (x-3)2 ³ 0 "x
(y+2)2 ³ 0 "y
Để
+
= 0
b, Vì 136 = 2.4 + 27
Nên 2x + 2x+3 = 2.4 + 27
x = 4
* Nhận xét:
Câu a, b vì các hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng 0 nên tổng của chúng
bằng 0 khi các hạng tử đều bằng 0
Câu c ta biến đổi vế phải về dạng tổng thích hợp với vế trái, đẳng thức
xảy ra khi ta đồng nhất các hạng tử thích hợp của 2 vế.
Bài tốn trên là cơ sở để phát triển bài tốn cao và khó hơn sau:
Ví dụ 4*: Tìm các số tự nhiên x, y biết:
a, 2x+1. 3y = 12x b, 8. 23x. 7y = 562x. 5x-1 d, 5x + 5y = 3250 (x < y)
Giải
a, 2x+1. 3y = 12x
2x+1. 3y = (2.3)x
download by :
2x+1. 3y = 22x. 3x
= 562x. 5x-1
23. 23x.
b, 8. 23x.
.
x = y =1
= (23.7)2x. 5x-1
= 26x . 72x . 5x-1
c, 5x + 5y = 3250 (x < y)
5x(1 +
) = 53.26
* Nhận xét: Ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa của các số nguyên tố, đẳng
thức xảy ra khi số mũ của luỹ thừa cùng cơ số ở 2 vế bằng nhau (câu a). Đồng
thời triệt tiêu các số mũ của luỹ thừa không cùng cơ số(câu b) hoặc so sánh
hai luỹ thừa cùng cơ số(câu c).
Qua một số ví dụ trên, có thể rút ra phương pháp giải của dạng 2:
Biến đổi hai vế của phương trình để đưa về so sánh các luỹ thừa cùng
cơ số hoặc cùng số mũ.
download by :
Hoặc biến đổi các số đã cho dưới dạng luỹ thừa với cơ số hoặc số mũ
thích hợp, sau đó đưa về phương trình tích hoặc đồng nhất các hạng tử thích
hợp của hai vế
Áp dụng tính chất: Luỹ thừa bậc chẵn của một số thì ln khơng âm để
đưa về phương trình tổng hai số không âm bằng không khi và chỉ khi tất cả
các số hạng đều bằng không
*Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm x biết:
a, (2x + 3)4 = 2401 b, 32x . 27 = 2187
Bài 2*: Tìm số tự nhiên x, y thoả mãn:
a, 2x . 3y+2 = 122y b, 2x + 3x = 5x
3. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Đối với giáo viên: Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội
dung và chương trình SGK, soạn giáo án cụ thể, chi tiết; thiết kế bài giảng
sinh động để thu hút học sinh tham gia vào bài giảng. Bên cạnh đó, giáo viên
cần đầu tư thời gian tìm tịi, lựa chọn xây dựng hệ thống các bài toán theo
dạng bài tập để rèn kĩ năng vận dụng, trình bày bài giải, phát triển tư duy
cho học sinh, qua đó giúp các em tự tin và hứng thú trong học tập.
Đối với học sinh: Các em cần có đầy đủ SGK, SBT cũng như dụng cụ học tập.
Các em cần nắm chắc kiến thức cơ bản, hiểu bản chất của nó để có thể vận
download by :
dụng vào làm đúng, thành thạo những bài tập trong SGK, sách bài tập. Từ đó,
có thể khai thác để làm một số bài tập nâng cao và nắm được một số phương
pháp giải phù hợp cho từng dạng bài.
Đối với nhà trường: Cần trang bị cơ sở vật chất đầy đủ như: phòng học đạt
chuẩn, thiết bị dạy học, thư viện , … đảm bảo tốt cho điều kiện dạy và học của
giáo viên cũng như của học sinh.
download by :
