Skkn phương pháp giải một số bài toán khó của chương i dao động cơ học

1
A. PHẦN MỘT MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN
Môn vật lí là cơ sở của nhiều ngành khoa học kĩ thuật, vì vậy người học hiểu và nhận thức
được các hiện tượng, quy luật vật lí là rất quan trọng. Vai trò của sách giáo khoa là cung cấp
nội dung kiến thức cơ bản, hiện đại, sát với thực tế là một điều không thể thiếu đối với người
học. Bên cạnh đó vai trị chủ đạo của người thầy trong việc hướng dẫn học sinh lĩnh hội kiến
thức cũng rất quan trọng.
Qua q trình giảng dạy mơn vật lí tôi thấy đa số nội dung kiến thức học sinh đều hiểu và
biết cách vận dụng. Tuy nhiên một số em do chưa nắm vững kiến thức nên hiệu quả học tập
vẫn chưa cao, kết quả thi đại học điểm của các em vẫn còn khá thấp. Để giúp cho quá trình
học tập của các em đạt hiệu quả tốt hơn, tôi đưa ra sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP GIẢI
MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ CỦA CHƯƠNG I DAO ĐỘNG CƠ.
Trong q trình biên soạn cịn nhiều thiếu sót, tơi mong nhận được sự góp ý của các thầy
cơ và các em học sinh để sáng kiến của tơi được hồn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
II. THỰC TRẠNG CỦA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHƯƠNG DAO ĐỘNG CƠ
HỌC CỦA HỌC SINH.
- Mơn vật lí là một mơn học khó, địi hỏi người học phải nắm vững các hiện tượng, các quy
luật, các khái niệm, các định nghĩa công thức và phải có kĩ năng tốn học tốt.
- Tuy nhiên thời lượng học mơn vật lí lại rất ít, chỉ có hai tiết một tuần, giáo viên không đủ
thời gian để hướng dẫn tỉ mỉ cho học sinh, còn học sinh do nắm chưa vũng lí thuyết, cộng
với kĩ năng tốn học chưa tốt, nên làm bài khơng tốt, do đó các em sinh ra tâm lí chán nản,
dẫn tới các em khơng muốn học mơn vật lí, và ln coi vật lí là mơn học khó.
- Thời gian phân bố thời lượng học chương dao động cơ học chỉ có 11 tiết, nhưng kiến thức
đòi hỏi các em phải nắm được rất khó. Các em phải nắm được các kiến thức về dao động
điều hòa, kiến thức về phần véc tơ trong tốn học, và phải có kĩ năng tốn học tốt thì mới
làm được các bài tập. Sách giáo khoa trình bầy bài tập về dao động cơ đã đầy đủ nhưng vẫn
chưa sâu sắc, vẫn cịn gây khó hiểu cho học sinh, lượng bài tập trong sách còn quá ít, khoảng
cách giữa các bài tập trong sách giáo khoa với các bài tập trong các đề thi đại học là rất lớn,
nên các em khơng hình dung ra bài tổng hợp dao động cần phải học những gì, bài tập có

2
những dạng nào. Nguồn tư liệu để các em học cũng có rất nhiều, nhưng các kiến thức về
phần dao động cũng trình bầy chưa sâu sắc, chưa đầy đủ. Chính vì vậy mà đa số các em
khơng hiểu, và khơng làm được bài tập, từ đó các em chán nản hơn với mơn vật lí.
- Trong q trình giảng dạy thực tế, tơi biết được những khó khăn của các em học sinh, nên
tôi đưa ra sáng kiến kinh nghiệm: “PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN

KHĨ CỦA CHƯƠNG I DAO ĐỘNG CƠ HỌC’’. Tôi hy vọng sáng kiến này sẽ giúp
ích cho các em trong việc làm các bài tập dao động, từ đó các em sẽ hiểu và đam mê học
mơn vật lí hơn, các em sẽ đạt kết quả cao hơn trong học tập.
III. MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN.
Giúp học sinh hiểu kỹ lưỡng hơn về dao động điều hòa của một vật, biết vận dụng các
kiến thức tổng hợp để giải các bài toán về dao động điều hòa của vật.
Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức tốn học và sử dụng máy tính điện tử vào việc giải
bài toán Vật Lý.
Giúp học sinh giải thích được một cách định tính và định lượng về các hiện tượng dao
động cơ học thường gặp trong đời sống.
IV. PHƯƠNG PHÁP VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
1. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
+ Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm sư phạm
2. Đối tượng nghiên cứu.
+ Các dạng toán cơ bản trong chương I dao động cơ thuộc chương trình vật lý lớp 12.
+ Cách tiếp cận và giải quyết các một số tình huống khó và một số bài tốn của chương I
dao động cơ của học sinh.


3

B. PHẦN HAI NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Dao động cơ :
Là chuyển động của một vật lặp đi lặp lại nhiều lần quanh vị trí cân bằng.
2. Dao động tuần hồn:
Dao động cơ có thể tuần hồn hoặc khơng tuần hồn. Nếu sau những khoảng thời gian
bằng nhau (gọi là chu kì) thì vật trở lại trạng thái ban đầu thì dao động của vật đó là tuần
hồn. Trong 1 chu kì, vật thực hiện được 1 dao động toàn phần.
Dao động tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều hịa.
3. Phương trình dao động điều hịa.
Một chất điểm M c/đ đều trên một đường tròn theo chiều dương với tốc độ góc ω. Gọi P
là hình chiếu của M lên trục Ox (trùng với đường kính đường
tròn , O trùng tâm đường tròn). Khi M chuyển động tròn → P
dao động qua lại quanh tâm O trên trục Ox, với phương trình
xác định vị trí chuyển động của P:
x = A.cos(ωt + φ)
với x = OP: li độ của vật ( có thể dương hay âm hoặc bằng
0)
( -A ≤ x ≤ A)
A: biên độ của dao động điều hịa (ln
dương)
( A = bán kính đường trịn)
ω: tốc độ góc hay tần số góc (ln dương)
(rad/s)
φ : pha ban đầu ( - π ≤ φ ≤ π)
ωt + φ: pha dao động tại thời điểm t.
Chú ý: * pha dao động là đại lượng xác định vị trí và
chiều chuyển động của vật tại thời điểm t (trạng thái

4
của dao động tại thời điểm t). Pha ban đầu xác định vị trí xuất phát và chiều chuyển động tại
thời điểm đầu.
* Tại biên dương: x = A, tại biên âm x = -A, tại VTCB: x = 0.
* Một chất điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng được xem như hình chiếu
của một điểm M chuyển động tròn đều trên một đường tròn với đường kính chính là đoạn
thẳng đó.
* Quỹ đạo của dao động điều hòa là một đoạn thẳng.
* Đồ thị dao động điều hịa là một đường hình sin.
* Chất điểm M chuyển động trịn đều với tốc độ khơng đổi là ωA, còn chất điểm P
vận tốc biến thiên từ 0 đến ωA.
* Tại ví trí x = ± A/ 2 thì động năng bằng thế năng và cơng suất của lực đàn hồi tại
ví trí này cực đại.
* Sau khoảng thời gian Δt, vật đi từ vị trí x1 đến x2 :
Nếu Δt = n. (chu kì) : x1 = x2
Nếu Δt = (n + ½ )(chu kì): x1 = - x2
Nu t = ẳ (chu kỡ) hoc ắ(chu kỡ) hoặc 5/4 (chu kì) ….: A2 = x12 + x22
→ Dao động điều hịa là dao động trong đó li độ của vật (kí hiệu là x ) là hàm cosin hay hàm
sin theo thời gian
4. Chu kì. Tần số. Tần số góc của dao động điều hịa.
Chu kì dao động là khoảng

Tần số: là số dao động

Tần số góc (tốc độ góc)

thời gian ngắn nhất, vật trở lại

tồn phần thực hiện trong Đơn vị : rad/s

vị trí cũ theo hướng cũ. Đơn vị: 1 giây
s

Đơn vị: Hz
T = 2π/ω = t/N

N số dao động thực hiện trong

f =

1 ω
=
= N/t
T 2π

ω = 2π f =

2π
T

t/gian t
Chú ý: * Các đại lượng T, f, ω trong một dao động chỉ phụ thuộc vào cấu tạo của hệ (đặc
tính của hệ)
* T, f , ω : luôn dương
5. Vận tốc, Gia tốc trong dao động điều hòa.


5
Vận tốc
v = x = −ωA sin ( ωt + ϕ )

Gia tốc
a = v' = −ω A cos ( ωt + ϕ )

Liên hệ
v2
A2 = x2 + 2
ω

2

,

= −ω2 x

π

= ωA cos  ωt + ϕ + ÷
2


a2 v2
A = 4+ 2
ω ω
2

* Ở biên: v = 0.

Gia tốc : * Gia tốc ln có

* Ở vị trí cân bằng:

chiều hướng vào tâm quỹ đạo,

Tốc độ = [độ lớn vận tốc]max = v

* Ở biên: [Độ lớn gia tốc]max =

= ωA

ω2A

* Vận tốc sớm pha hơn li độ góc π/2.

* Ở VTCB: a = 0.

* Khi đi từ biên về VTCB → c/đ

* Gia tốc ngược pha với li độ

max

x2
v2
+
=1
A 2 v2max
a2
v2
+

=1
a2max v2max

và nhanh pha hơn vận tốc góc

nhanh dần.
* Khi đi từ VTCB đến biên → c/đ

π/2.
* Gia tốc đổi chiều ở vtcb

chậm dần.

* Vận tốc đổi chiều ở vị trí biên
Chú ý: Vận tốc và gia tốc là đại lượng biến thiên điều hòa theo thời gian (cũng với tần số
góc ω, tần số f, và chu kì T). Chúng cũng có thể âm ,hoặc dương hoặc bằng 0.
6. Khảo sát con lắc lò xo.
Hệ con lắc lị xo gồm ( lị xo có hệ số đàn hồi k, vật nặng có khối lượng m )
Vị trí cân bằng: Vị trí tại đó hợp lực tác dụng lên vật nặng bằng 0.
a. Khảo sát dao động của con lắc về mặt động lực học.
Lực kéo về ( lực kéo về

Gia tốc

có độ lớn tỉ lệ với li độ,

Tần số góc: ω =

có chiều ln hướng về
T=

VTCB và là lực gây ra
gia tốc cho vật dao động.
vtcb
F = -kx = m.a =
-mω2x
( biến thiên điều hòa
theo thời gian, cũng với

2π
m
= 2π
ω
k

Tần số: f =

Lực kéo về đổi chiều ở

k
, Chu kì:
m

ω
1
=
2π 2π

k
m

Trong hệ con lắc lị xo: các đại lượng ω,
k
a = − x = −ω 2 x
m

T, f thì khơng đổi và chỉ phụ thuộc đặc
tính của hệ (hay cấu tạo của hệ ) . CHúng
phụ thuộc vào k và m.


6
chu kì T, tần số f, tần số
góc ω)
Chú ý: H/s cần phân biệt lực kéo về và lực đàn hồi của lò xo. Khi lò xo nằm ngang lực kéo
về có độ lớn bằng độ lớn lực đàn hồi của lị xo. Khi lị xo khơng nằm ngang, lực kéo về
khơng bằng lực đàn hồi của lị xo.
Lực kéo về có chiều hướng về VTCB, cịn lực đàn hồi có chiều hướng về vị trí tại đó lị
xo khơng biến dạng.
Lực kéo về sinh công dương khi vật đi từ biên về vtcb. Và ngược lại, lực kéo về sinh cơng
âm khi vật đi từ vtcb ra biên

Khi lị xo treo thẳng đứng: ω =

k
g
=
,
m
∆l0

ω
1
∆lo
2π
m
=
= 2π
= 2π
, f =
2π 2π
ω
k
g

T=

k
1
=
m 2π

g
∆lo

với Δl0 : độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng ( ∆l0 =

mg
)
k

* Chiều dài lò xo tại VTCB:
lCB = l0 + ∆l0 (l0 là chiều dài tự nhiên)
* Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): lMin = l0 + ∆l0 – A
* Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất): lMax = l0 + ∆l0 + A
⇒ lCB = (lMin + lMax)/2
 FñhM = k (∆l + A)

* Lực đàn hồi: Fñh = k (∆l + x ) ⇒  Fđhm = k (∆l − A) nếu ∆l > A
 F = 0 neáu ∆l ≤ A
 ñhm
* Khi đề bài nói, nâng vật lên đến vị trí lị xo khơng biến dạng rồi thả nhẹ thì A = Δl0
Khi lị xo treo nghiêng một góc α so với mặt phẳng ngang:
* Độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng: ∆l0 =

ω=

k
=
m

mg.sin α
k

g.sin α
ω
1
2π
m
∆lo

=
= 2π
= 2π
,T=
, f =
∆l0
2π 2π
ω
k
g.sin α

k
1
=
m 2π

g.sin α
∆lo


7
b. Khảo sát dao động của con lắc về mặt năng lượng.
Động năng của con lắc
lò xo
Thế năng của con lắc lò
xo
Cơ năng của con lắc lò
xo.
Chú ý

1 − cos ( 2ωt + 2ϕ )
mv2
= W.
2
2
1 + cos ( 2ωt + 2ϕ )
1
Wt = kx 2 = W.
2
2
Wd =

W = Wđ + Wt = Wđ(max) = Wt(max) =

1 2 1
kA = m.ω 2 A2
2
2

* Động năng và thế năng biến thiên tuần hồn theo thời gian (với
tần số góc 2ω, với tần số 2f, với chu kì T/2). Chúng khơng âm.
* Nếu bỏ qua mọi ma sát, Cơ năng của con lắc bảo tồn ( độ lớn
ko đổi), và có độ lớn tỉ lệ (thuận) với biên độ A.

c. Ghép con lắc lò xo:
Loại
Ghép song song:

Độ cứng
k12 = k1 + k2

Chu kì
1
1
1
= 2+ 2
2
T12 T1 T2

Tần số
f = f12 + f22

Ghép nối tiếp

1
1 1
= +
k12 k1 k2

T122 = T12 + T22

1
1
1
= 2+ 2
2
f12 f1
f2

2

12

d. Một lị xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ cứng k 1, k2, … và chiều
dài tương ứng là l1, l2, … thì có: kl = k1l1 = k2l2 = …
CHú ý: Chiều dài lò xo tỉ lệ nghịch với độ cứng của lò xo.
Chiều dài lò xo tỉ lệ thuận với thế năng.
7. Con lắc đơn.
Hệ con lắc lị xo gồm: Dây treo (ko dãn) có chiều dài l và vật nặng có khối lượng m, hệ nằm
trong trọng trường có gia tốc rơi tự do g.
Vị trí cân bằng: Vị trí dây treo có phương thẵng đứng và vật nặng ở vị trí thấp nhất (vị trí
O).
a. Khảo sát dao động của con lắc về mặt động lực học và năng lượng


ur
Lực kéo về Pt

Tần số góc
Chu kì

8
Pt = - mg.sinα. Nếu α nhỏ→ Pt = −mgα = −mg

s
l

( Con lắc đơn chỉ dđđh khi vật dao động với biên độ góc nhỏ (α0 < 100)
g
ω=
l

2π
l
T=
= 2π
= t/N (N là số dao động thực hiện trong thời
ω
g
gian t)

Tần số

ω
1 g
=
= N/t
2π 2π l
Phương trình P/t li độ dài: s = s0.cos(ωt + φ)
dao động

f =

Mối liên hệ : s = α.l

p/t li độ góc: α = α0 cos(ωt + φ)

, s0 = α0.l

Xét biên độ góc lớn

Xét biên độ góc nhỏ(chú ý đổi về

radian)

TC = mg(3cosα − 2 cos α 0 )
Tcmax = TVTCB = mg(3-2cos α 0 )
Tcbiên = Tmin = mgcosα0
Vận tốc

v 2 = 2 gl(cosα − cosα 0 )

3
TC = mg(1 + α 02 − α 2 )
2
Tcmax = TVTCB = mg(1+ α 02 )

 α 02 
Tcbiên = Tmin = mg 1 −
÷
2 

Chú ý: vvtcb= ± vmax= ± 2 gl (1 − consα 0 )

vbiên = 0

α2
Nếu α nhỏ: ( cosα ≈ 1 −
, sin α ≈ α) , ta phải đổi sang radian:
2
v = gl ( α 2 − α 02 )
Động năng:

mv 2
Wd =
2

Thế năng

Nếu góc lớn: Wt = mgl(1 − cos α )
Wt =

2 2
mglα 2 mω s
=
2
2

Nếu góc nhỏ :


9
Cơ năng:

W = W đ + Wt

Nếu bỏ qua ma sát, cơ năng bảo tồn (độ lớn ko

đổi)
Nếu góc lớn: Wt = mgl(1 − cos α 0 )
Wt =

Ứng dụng:

Chú ý

Nếu α nhỏ :

mglα o2 mω 2 s02
=
2
2

Xác định gia tốc rơi tự do tại một vị trí: g =

4π 2 l
T2

* Các đại lượng T, f, ω trong một dao động chỉ phụ thuộc vào cấu tạo của
hệ (đặc tính của hệ), chúng phụ thuộc l và g.
* Các đại lượng biến thiên điều hịa với chu kì T, tần số f và tốc độ góc ω
là: li độ, gia tốc, lực kéo về.
* Các đại lượng biến thiên tuần hồn với chu kì T/2, tần số 2f, tốc độ góc
2ω là:
Động năng, thế năng.
* Các đại lượng bảo toàn (khi bỏ qua ma sát): cơ năng, ω , T, f .
* Khi đi từ biên về VTCB → c/đ nhanh dần.
* Khi đi từ VTCB đến biên → c/đ chậm dần

8. Bài toán con lắc trùng phùng.
Cho hai con lắc có chu kì lần lượt là T1 và T2. Sau một khoảng thời gian Δt (ngắn nhất) hai
con lắc lặp lại trạng thái dao động như nhau ( chúng trùng phùng). Ta có biểu thức sau: Δt
= N1.T1 = N2.T2

Δt = Bội số chung nhỏ nhất của (T1 và T2)
9. Dao động tắt dần, dao động cưỡng bức, hiện tượng cộng hưởng
a. Dao động tự do: là dao động của vật khơng phụ thuộc yếu tố bên ngồi


10
. Dao động điều hịa. Khi khơng có lực ma sát tác dụng vào con lắc. Con lắc sẽ dao động
với biên độ khơng đổi và tần số riêng (kí hiệu f0). Gọi là tần số riêng vì nó chỉ phụ thuộc vào
các đặc tính của hệ dao động.
Đv con lắc lò xo: f0 =

1
2π

k
m

, đv con lắc đơn: f0 =

1
2π

g
l

b. Dao động tắt dần. Trong quá trình dao động của con lắc, khi hệ chịu tác dụng của lực
cản hoặc ma sát (của mơi trường) thì con lắc dao động tắt dần. Biên độ và năng lượng của
con lắc (cơ năng) sẽ giảm dần theo. Cơ năng của con lắc sẽ chuyển hóa thành nhiệt năng.
Ứng dụng: thiết bị giảm xóc, cửa tự khép…Chú ý: Chu kì khơng đổi
c. Dao động duy trì. Để giữ cho biên độ dao động của con lắc không đổi mà không làm

thay đổi chu kì riêng của hệ, người ta dùng một thiết bị nhằm cung cấp cho nó phần năng
lượng bị tiêu hao do ma sát. Dao động của con lắc được duy trì chư vậy gọi là dao động duy
trì.
Vd: dao động của đồng hồ quả lắc.
d. Dao động tắt dần. Muốn cho một hệ dao động không tắt ta tác dụng vào hệ một ngoại
lực tuần hồn. (thơng thường ngoại lực có biểu thức F = F0.cos(Ωt)).
Đặc điểm:
* Dao động cưỡng bức là điều hịa (đồ thị có dạng sin).
* Tần số góc của dao động cưỡng bức bằng tần số góc Ω của ngoại lực.
* Biên độ của dao động cưỡng bức tỉ lệ thuận với biên độ F0 của ngoại lực và phụ thuộc vào
tần số góc Ω của ngoại lực và lực cản môi trường → Biên độ của dao động cưỡng bức ko
đổi.
Vd: dao động của xe buýt khi chỉ tạm dừng ở bến (mà ko tắt máy)
d. Hiện tượng cộng hưởng:
Định nghĩa: Hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng đến một gía trị cực đại khi tần số
f của lực cưỡng bức bằng tần số riêng f0 của hệ dao động.
Điều kiện cộng hưởng: (hệ phải dao động cưỡng bức và f = f0 )


11
Giải thích: Khi tần số lực cưỡng bức bằng tần số riêng của hệ dao động → tốc độ cung cấp
năng lượng = tốc độ tiêu hao năng lượng do ma sát → Biên độ dao động sẽ tăng dần rồi đạt
tới giá trị cực đại.
Ứng dụng:
* Trong xây dựng phải tính tốn đến tần số riêng của vật phải khác so với tần số các lực tác
dụng lên vật nhằm tránh cộng hưởng gây ra gãy đổ, sập
* Ứng dụng hiện tượng cộng hưởng để chế tạo hộp đàn violon, ghita… nhằm khếch đại âm
thanh.
10. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
a. Vector quay: Một vật dao động điều hịa với phương trình x = A.cos(ωt + φ ), có thể

uuuur

được xem như một vector quay OM , được vẽ tại thời điểm
ban đầu như hình vẽ,
với:_ biên độ A = OM ,
_ Gốc tại gốc tọa độ của trục Ox.
_ Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu.
b. Bài tốn: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số :
x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2) .
→ Độ lệch pha của hai dao động: Δφ = φ2 - φ1
* Nếu φ2 > φ1 : dao động 2 sớm (nhanh) pha hơn dao động 1 góc ∆ϕ
* Nếu φ2 < φ1 : dao động 2 trễ (chậm) pha hơn dao động 1 góc ∆ϕ
* Nếu Δφ = 2kπ (với k = 0,±1,±2,…) → Hai dao động cùng pha
* Nếu Δφ = (2k + 1)π (với k = 0,±1,±2,…) → Hai dao động ngược pha
* Nếu ∆ϕ = kπ +

π 
1
=  k + ÷π (với k = 0,±1,±2,…) → Hai dao động vuông pha.
2 
2

→ Dao động tổng hợp có dạng: x = x1 + x2 = A.cos(ωt + φ ) , với :
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )

→ Chú ý:

A1 − A2 < A < A1 + A2

và

tan ϕ =

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2


12
Nếu hai dao động cùng pha: A = Amax = A1 + A2
Nếu hai dao động ngược pha: A = Amin = A1 − A2
Nếu hai dao động vuông pha: A = A12 + A22
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ CỦA CHƯƠNG I – DAO
ĐỘNG CƠ
II.1. Phương pháp áp dụng vòng tròn lượng giác để giải một số bài tốn về dao động
điều hịa.
II.1.1. Sử dụng vịng trịn lượng giác để viết phương trình dao động:
- Bước 1: Viết phương trình tổng quát x = A cos(ωt + ϕ)
- Bước 2: Tìm A và ω thơng qua một số công thức cơ bản sau
A = x2 +

v2
a 2 v 2 v max a max QĐ
2.π
=
+ 2 =
= 2 =
; ω = 2.π.f =
2
4
ω

ω ω
ω
ω
2
T

Với con lắc lò xo thì ta có thể tính ω =

k
g
, con lắc đơn thì ω =
,
m
l

Với con lắc đơn thì ta coi li độ s tương tự như x, biên độ S0 tương tự A

v12 − v22
 2
v12
2
ω =
 A = x1 + ω 2

x22 − x12
ω
⇒
Hoặc có thể tìm A và theo hệ phương trình 

2

 A2 = x 2 + v2
 2
v12
2
2
A
=
x
+
2
1


ω
ω2

- Bước 3: Tìm ϕ
+ Xác định mốc tọa độ là x t = 0 =….
+ Vẽ vòng tròn:
Quy ước trục ox nằm ngang, gốc O nằm ở VTCB, bán kính đường trịn bằng biên độ A
+ Đánh dấu vị trí mốc x t = 0 trên trục ox, rồi hạ đoạn vng với trục ox tại vị trí mốc, đoạn
này sẽ cắt vòng tròn tại điểm M, rồi ta kẻ OM
Lưu ý:
Ở vị trí t = 0 vật chuyển động theo chiều dương thì hạ xuống dưới,
cịn vật chuyển động theo chiều âm thì hạ lên trên.

M

ở vị trí biên A hoặc -A thì điểm M sau khi hạ đường
-A

o

x0

A

x


13
vng góc sẽ trùng ln hai vị trí này.
+ Từ vịng trịn ta sẽ tìm được góc MOˆA
Khi vật chuyển động theo chiều dương thì ϕ = −MOˆA
Khi vật chuyển động theo chiều âm thì ϕ = MOˆA
- Bước 4: Ghép A, ω, ϕ vào phương trình tổng quát là ta sẽ viết được phương trình dao động
của vật.
Bài tập minh họa
Bài 1: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo 10cm, chu kì dao động 1s, gốc thời gian t = 0
lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương hãy viết phương trình dao động của vật?
Hướng dẫn:
Bước 1: Phương trình dao động tổng quát x = A cos(ωt + ϕ)
Bước 2: Tìm A và ω
A=

QĐ 10
2π
=
= 5cm. ω =
= 2π(rad / s)

2
2
T

Bước 3: Tìm ϕ
Vật chuyển động theo chiều dương nên ta hạ đoạn
ˆ = π / 2 , từ đó
vng góc xuống dưới cắt vịng trịn tại M, góc MOA

ta tìm được ϕ = −MOˆA = −

π
2

Bước 4: Ghép các đại lượng trên ta có phương trình dao động của vật là:
π
x = 5 cos(2πt − )cm
2

Bài 2: Một con lắc đơn gồm sợi dây dài 1m, g = π2 = 10m / s 2 , ban đầu con lắc nằm cân bằng,
ta kéo vật nặng con lắc tới vị trí lệch với phương thẳng đứng một góc 0,1rad nằm bên dương
trục tọa độ rồi truyền vận tốc 10 π cm/s. Con lắc dao động điều hòa, mốc thời gian t = 0 lúc
truyền, hãy viết phương trình dao động của vật?
Hướng dẫn:
Bước 1: Phương trình dao động tổng quát s = S0 cos(ωt + ϕ)
Bước 2: Tìm S0 và ω


14
ω=

g
10
v2
(10π) 2
=
= π rad / s; S0 = (α.l) 2 + 2 = (0,1.100) 2 +
= 10 2cm
l
1
ω
π2

Bước 3: Tìm ϕ
Mốc s t = 0 = α.l = 0,1.100 = 10cm
Vật chuyển động theo chiều dương nên ta hạ đoạn
ˆ = π / 3 , từ đó
vng góc xuống dưới cắt vịng trịn tại M, góc MOS
0
ˆ =−
ta tìm được ϕ = − MOS
0

π
3

Bước 4: Ghép các đại lượng trên ta có phương trình dao động của vật là:
π
x = 10 2 cos(πt − )cm
3

II.1.2. Sử dụng vòng tròn lượng giác để tìm thời gian vật dao động điều hịa đi từ vị trí
có tọa độ x1 đến vị trí có tọa độ x 2
Cách làm:
- Bước 1: Xác định mốc tính thời gian x1 , x 2 .
Ta xét xem vật qua vị trí x1 theo chiều dương hay theo chiều âm.
Ta xét xem vật qua vị trí x 2 theo chiều dương hay âm.
- Bước 2: Xác định góc MOˆN
+Vẽ vịng trịn

M

N
-A

X 2 o x1

A

x

+ Đánh dấu vị trí x1 của vật trên trục ox, rồi hạ
đường vng góc sẽ cắt vịng trịn tại M, kẻ OM.
+ Đánh dấu vị trí x 2 của vật trên trục ox, rồi hạ
đường vng góc sẽ cắt vịng trịn tại N, kẻ ON.
( Vật chuyển động theo chiều dương thì hạ đoạn vng góc xuống dưới, chuyển động theo
chiều âm thì hạ đoạn vng góc lên trên).
+ Từ hình vẽ suy ra góc MOˆN
- Bước 3: Ta xác định thời gian:
Áp dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều dao động điều hịa ta có:

15
Khi vật dao động điều hịa đi từ vị trí có tọa độ x1 đến vị trí có tọa độ x 2 thì tương ứng bán
kính cũng qt được góc

ˆN.
MO

Suy ra thời gian để vật đi từ tọa độ x1 đến vị trí có tọa độ x 2

cũng bằng thời gian để bán kính qt góc

ˆN
MO

Ta có:
1 giây bán kính quét được góc

ω

⇒ t x1 → x 2
t x1 → x 2

giây bán kính qt được góc

MOˆN
=
ω

ˆN
MO

Lưu ý:
Ở vị trí biên A hoặc -A thì điểm M hoặc N sau khi hạ đường vng góc sẽ trùng ln
hai vị trí này.
Khi bài toán cho thời gian vật dao động điều hịa đi từ vị trí có tọa độ này đến tọa độ kia
thì ta cũng làm theo các bước như trên là sẽ tìm được dữ kiện mà bài yêu cầu.
Bài tập minh họa:
π
3

Bài 1: Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 5 cos(2πt + ) , xác định thời gian
ngắn nhất tính từ t = 0 đến vị trí cân bằng?
Hướng dẫn:
π
3

Bước 1: Mốc tính thời gian x1 ở thời điểm t = 0, ta có x1 = 5 cos(2π.0 + ) = 2,5cm và vật đi
theo chiều âm vì ϕ =

π
>0
3

Mốc tính thời gian x 2 = 0
Ta xét thấy vật đi từ vị trí 2,5cm theo chiều âm đến vị trí cân bằng cũng theo chiều âm, nên
vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
- Bước 2:
+ Vẽ vòng tròn

+ Đánh dấu vị trí 2,5cm trên trục ox rồi hạ
Đoạn vng góc lên trên cắt vòng tròn tại M.


16
+ Đánh dấu vị trí 0 trên trục ox rồi hạ đoạn
vng góc lên trên cắt vịng trịn tại N.
+ Kẻ OM và ON, rồi từ hình vẽ tìm được góc MOˆN =

π
6

- Bước 3: Tìm thời gian
Khi vật dao động điều hòa đi từ 2,5cm theo chiều âm về 0 thi bán kính cũng qt được góc
ˆN =
MO

π
, nên thời gian vật dao động điều hòa đi từ 2,5cm về 0 bằng thời gian bán kính
6

qt được góc MOˆN =

π
6

Ta có
1 giây bán kính qt được góc ω = 2π

⇒t

ˆN =
t 2,5→ 0 giây bán kính qt được góc MO

2 , 5→ 0

ˆN 1
MO
=
= s
ω
12

π
6

Bài 2: Một con lắc lị xo dao động điều hịa gồm vật nặng có khối lượng 100g, lị xo có độ
cứng k = 100N/m, trong q trình dao động chiều dài của lị xo biến thiên từ 40cm đến
50cm. mốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí li độ -2,5cm theo chiều âm. Xác định thời gian
ngắn nhất từ t = 0 tới vị trí biên dương?
Hướng dẫn:
Bước 1: Mốc tính thời gian x1 ở thời điểm t = 0, ta có x1 = −2,5cm và vật đi theo chiều âm
Mốc tính thời gian x 2 = A .
- Bước 2:
`+ Vẽ vịng trịn
+ Đánh dấu vị trí -2,5cm trên trục ox rồi hạ
Đoạn vng góc lên trên cắt vịng trịn tại M.
+ Đánh dấu vị trí A trên trục ox rồi hạ đoạn


17

vng góc cắt vịng trịn tại N trùng ln biên độ A.
ˆ =
+ Kẻ OM và ON, rồi từ hình vẽ tìm được góc MON

4π
3

- Bước 3: Tìm thời gian
Khi vật dao động điều hịa đi từ vị trí -2,5cm theo chiều âm về A thi bán kính cũng quét
ˆ =
được góc MON

4π
, nên thời gian vật dao động điều hịa đi từ vị trí
3

ˆ =
-2,5cm về A bằng thời gian bán kính qt được góc MON

4π
3

Ta có
1 giây bán kính qt được góc ω = k / m = 100 / 0,1 = 10π

ˆ
MON
4π / 3 2
⇒ t − 2,5→ A =
=

= s
ω
10π 15

ˆ = 4π
t −2,5→A giây bán kính qt được góc MON
3

Bài 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10cm, mốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí
cân bằng theo chiều dương. Thời gian ngắn nhất vật đi từ t = 0 tới vị trí có li độ A/2 là 1s.
Viết phương trình dao động của vật?
Hướng dẫn
- Ta có A = 10cm.
- Tìm ω
Bước 1: Mốc tính thời gian x1 ở thời điểm t = 0, ta có x1 = 0cm và vật đi theo chiều dương
Mốc tính thời gian x 2 = A / 2 và vật cũng đi theo chiều dương
- Bước 2:
+ Vẽ vòng tròn
+ Đánh dấu vị trí x1 = 0cm trên trục ox rồi hạ
Đoạn vng góc xuống dưới cắt vịng trịn tại M.
+ Đánh dấu vị trí A/2 trên trục ox rồi hạ đoạn `


18
vng góc xuống dưới cắt vịng trịn tại N.
ˆ =
+ Kẻ OM và ON, rồi từ hình vẽ tìm được góc MON

π
6

- Bước 3: Tìm thời gian
Khi vật dao động điều hịa đi từ vị trí 0cm theo chiều dương về A/2 theo chiều dương thi bán
π
6

ˆ = , nên thời gian vật dao động điều hòa đi từ vị trí
kính cũng qt được góc MON
ˆ =
0cm về A/2 bằng thời gian bán kính qt được góc MON

π
6

1 giây bán kính qt được góc ω

⇒ ω=

π
6

ˆ =π
t 0→A/2 = 1s giây bán kính qt được góc MON
6

- Tìm ϕ
Mốc x t = 0 = 0cm
Vật chuyển động theo chiều dương nên ta hạ đoạn `
ˆ = π / 2,
vng góc xuống dưới cắt vịng trịn tại M, góc MOA

ˆ =−
từ đó ta tìm được ϕ = − MOA

π
2

Bước 4: Ghép các đại lượng trên ta có phương trình dao động của vật là:
π
π
x = 10 cos( t − )cm
6
2

II.1.3. Sử dụng vịng trịn lượng giác để tìm qng đường mà vật dao động điều hòa đi
được trong thời gian t giây tính từ mốc t = 0.
Bước 1: - Mốc tính quãng đường là x t = 0
- Khi vật dao động điều hòa đi được quãng đường trong thời gian t tương ứng bán
ˆ
kính đường trịn cũng qt được góc MON

1 giây bán kính qt được góc ω


19

ˆ
t giây bán kính qt được góc MON

Với M và N được xác định thơng qua bước 2
Bước 2: tìm quãng đường

+ Vẽ vòng tròn
+ Đánh dấu mốc x t = 0 trên trục Ox rồi hạ đoạn vng góc với trục ox tại mốc sẽ cắt vòng
tròn tại điểm M (Vật chuyển động theo chiều âm thì hạ lên trên, cịn chuyển động theo chiều
dương thì hạ xuống dưới).
·
+ Xoay OM cùng chiều mũi tên đến khi đủ góc MON
thì dừng lại, ta được N trên vịng trịn.

Từ N ta hạ đoạn vng góc xuống trục ox là tìm được tọa độ cuối cùng ( x c ) của vật trong
thời gian t.
+ Đặt bút trùng với mốc, kéo dê bút theo cùng chiều mũi tên của điểm M trên trục ox đến
khi gặp tọa độ x c và chiều kéo trùng với chiều mũi tên của điểm N thì dừng lại. Các đoạn
mà ta kéo chính là qng đường mà vật đi được trong thời gian t.
+ Ta tính các đoạn này thơng qua cosin hoặc sin là được
Lưu ý:
- Khi kéo nếu chưa gặp x c nhưng lại gặp biên độ thì ta phải kéo bút quay lại.
- Khi kéo bút nếu gặp x c nhưng chiều kéo bút chưa cùng chiều mũi tên của N thì vẫn phải
kéo tiếp đến khi gặp x c và cùng chiều mũi tên của điểm N thì mới dừng.
- Nếu tọa độ x trùng với biên độ thì hạ đoạn vng góc sẽ cắt vịng trịn tại M hoặc N trùng
ln biên độ.
·
·
- Nếu góc MON
ra lớn, MON
tách được theo 2π thì ta sẽ làm như sau
·
MON
= n.2π + góc nhỏ còn lại ( n = 0, 1, 2, 3, 4,…)

Cứ bán kính qt được góc 2π ứng với vật đi hết một chu kì, nên qng đường khi đó sẽ là

4A


20
⇒ Khi bán kính qt được góc n 2π ứng với vật đi hết n chu kì, nên quãng đường khi đó sẽ

là n.4A
Sau n chu kì thì vật về vị trí t = 0, nên quãng đường với phần góc nhỏ cịn lại thì ta làm như
bài tốn qng đường như trên với mốc là x t = 0 .
Bài tập 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10cm, chu kì 1s, mốc thời gian t = 0 khi
vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Xắc định quãng đường vật đi được trong 1/3 giây
tính từ mốc t = 0?
Hướng dẫn
Bước 1: - Mốc tính quãng đường là x t = 0 = 0 và theo chiều dương.
- Khi vật dao động điều hòa đi được quãng đường trong thời gian t = 1/3s tương ứng
ˆ
bán kính đường trịn cũng qt được góc MON

1 giây bán kính qt được góc ω = 2π

·
⇒ MON
= 2π / 3

ˆ
t = 1/ 3s giây bán kính quét được góc MON

π/6

π/6

Bước 2: tìm qng đường

Áp dụng ta được quãng đường s = OA + Ax c = 10 + (10 − 10 cos π / 6) = 11,3cm
Bài 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10cm, chu kì 1s, mốc thời gian t = 0 khi vật
qua vị trí tọa độ A/2 theo chiều âm, xác định quãng đường vật đi được trong thời gian 13/3
giây tính từ t = 0?
Hướng dẫn:
Bước 1: - Mốc tính quãng đường là x t = 0 = A/2 và theo chiều âm.
- Khi vật dao động điều hòa đi được quãng đường trong thời gian t = 13/3s tương
ˆ
ứng bán kính đường trịn cũng qt được góc MON

1 giây bán kính qt được góc ω = 2π

·
⇒MON
=26π/ 3 =4.2π+2π/ 3


21

ˆ
t = 13 / 3s giây bán kính quét được góc MON

Bước 2: tìm qng đường
Khi bán kính qt được góc 4. 2π thì vật dao động điều hịa đi được quãng đường 4.4A =
4.4.10 = 160cm.
Sau 4 chu kì thì vật lại về vị trí mốc x t = 0 = A/2 và theo chiều âm. Nên quãng đường của góc
2π / 3 được tính từ mốc x t = 0 = A/2 và theo chiều âm.

Áp dụng ta được qng đường vật đi khi bán kính qt góc 2π / 3 là
= A / 2 + A = 5 + 10 = 15cm
⇒ Quãng đường vật đi trong 13/3s là 160+15 = 175cm

II.1.4. Sử dụng vòng tròn lượng giác để giải bài tốn vật dao động điều hịa đi được
quãng đường s trong thời gian t giây tính từ mốc t = 0.
Cách làm:
Bước 1: - Xác định mốc tính quãng đường x t = 0
- Áp dụng mới liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hịa, thì ta có khi vật dao
·
động điều hịa đi được qng đường s tương ứng bán kính cũng qt được góc MON
.

1 giây bán kính qt được góc ω = 2π

ˆ
t giây bán kính qt được góc MON

Bước 2:
- Vẽ vòng tròn

·
⇒MON
=ω
.t


22
- Đánh đấu mốc tính quãng đường x t = 0 , Rồi hạ đoạn

vng góc với trục ox tại mốc (nếu vật chuyển động
theo chiều dương thì hạ xuống dưới, chiều âm thi hạ lên trên), đoạn này cắt vòng tròn tại M,
kẻ OM.
- Đặt bút trùng với mốc x t = 0 , rồi kéo dê bút theo trục ox theo chiều mũi tên của điểm M, đến
khi đủ quãng đường thì ta dừng lại, ta được tọa độ cuối x c của vật trên quãng đường s. Rồi
ta hạ đoạn vng góc với trục ox tại x c sẽ cắt vòng tròn tại điểm N (nếu vật chuyển động
theo chiều dương thì hạ xuống dưới, chiều âm thi hạ lên trên).
Khi kéo dê bút nếu gặp biên độ mà vẫn chưa đủ quãng đường thì phài kéo bút quay lại cho
tới khi đủ quãng đường thì dừng.
·
- Từ vịng trịn ta tính được góc MON
·
⇒ MON
= ω.t ⇒ dữ kiện cần tìm.

Lưu ý:
- Nếu tọa độ x trùng với biên độ thì hạ đoạn vng góc sẽ cắt vịng trịn tại M hoặc N trùng
ln biên độ.
- Khi gặp bài quãng đường lớn thì ta làm như sau
Quãng đường = n.4A + quãng đường nhỏ còn lại (n = 1, 2, 3, 4, 5,…)
Cứ quãng đường 4A thì vật đi hết một chu kì, và về vị trí ban đầu, nên khi vật đi quãng
đường n.4A sẽ ứng với vật đi hết n chu kì, tức là mất thời gian nT, bán kính qt được góc
n.2π

Cịn qng đường nhỏ cịn lại thì ta làm như bài tốn quãng đường trên.

Bài tập minh họa
Bài 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10cm, mốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí li
độ 5cm theo chiều âm, chu kì dao động là T. Vật đi được quãng đường 25cm mất 1 giây tính
từ mốc t = 0. tìm chu kì dao động của vật?

Hướng dẫn
Bước 1: - Xác định mốc tính quãng đường x t = 0 = 5 và đi theo chiều âm.
- Áp dụng mới liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hịa, thì ta có khi vật dao
·
động điều hòa đi được quãng đường 25cm tương ứng bán kính cũng qt được góc MON
.


23
1 giây bán kính qt được góc ω

·
⇒MON
=ω
.t

2π / 3

ˆ
t giây bán kính qt được góc MON

Bước 2:
- Vẽ vịng trịn
- Đánh đấu mốc tính qng đường x t = 0 = 5 , Rồi hạ đoạn
vng góc lên trên với trục ox tại mốc, đoạn này cắt vòng tròn tại M, kẻ OM.
- Đặt bút trùng với mốc x t = 0 = 5 , rồi kéo dê bút theo trục ox theo chiều mũi tên của điểm M,
đến khi đủ quãng đường 25cm thì ta dừng lại, ta được tọa độ cuối x c = 0 vật đi theo chiều
dương. Rồi ta hạ đoạn vng góc xuống dưới với trục ox tại x c = 0 sẽ cắt vịng trịn tại điểm
N
·

- Từ vịng trịn ta tính được góc MON
= 2π / 3 + π / 2 = 7 π / 6
·
⇒ MON
= ω.t ⇒

7 π 2π
12
=
.1 ⇒ T = s
6
T
7

Bài 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10cm, mốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí li
độ 5cm theo chiều âm, chu kì dao động là T. Vật đi được quãng đường 55cm mất 1 giây tính
từ mốc t = 0. tìm tần số dao động của vật?
Hướng dẫn
Bước 1: - Xác định mốc tính quãng đường x t = 0 = 5 và đi theo chiều âm.
- Áp dụng mới liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hịa, thì ta có khi vật dao
·
động điều hịa đi được quãng đường 25cm tương ứng bán kính cũng qt được góc MON
.

1 giây bán kính qt được góc ω

·
⇒MON
=ω
.t

24

ˆ
t giây bán kính qt được góc MON

Bước 2: Qng đường 55cm = 4 . 10 + 15 = 4A + 15
Khi vật đi được quãng đường 4A thì bán kính qt
được góc 2π mất thời gian là 1T, và vật về vị trí mốc t = 0.
Cịn qng đường 15cm cúng tính từ mốc t = 0 và ta làm như sau
- Vẽ vịng trịn
- Đánh đấu mốc tính quãng đường x t = 0 = 5 , Rồi hạ đoạn
vng góc lên trên với trục ox tại mốc, đoạn này cắt vòng tròn tại M, kẻ OM.
- Đặt bút trùng với mốc x t = 0 = 5 , rồi kéo dê bút theo trục ox theo chiều mũi tên của điểm M,
đến khi đủ quãng đường 15cm thì ta dừng lại, ta được tọa độ cuối x c = − A . Rồi ta hạ đoạn
vng góc với trục ox tại x c = −A sẽ cắt vịng trịn tại điểm N trùng ln -A
·
- Từ vịng trịn ta tính được góc MON
= 2π / 3

Vậy khi vật đi được 55cm thì bán kính qt được góc
·
MON
= 2π + 2π / 3 = ωt = ω.1 ⇒ ω = 8π / 3 ⇒ f = 4 / 3Hz

II.1.5. Áp dụng vòng tròn lượng giác để xác định thời điểm thứ n vật qua vị trí
x 0 ( x 0 ≠ A, ≠ − A )

+ Trường hợp n lẻ: Ta tách n lần = ( n-1) lần + 1 lần cuối

Thời gian là 1T vât qua vị trí x 0 là 2 lần
⇒ t n −1 =

n −1
T
2


25

Thời gian t (n −1) vât qua vị trí x 0 là (n-1) lần
Sau một chu kì thì vật về vị trí t = 0, nên sau (n − 1) / 2 chu kì thì vật cũng về vị trí t = 0.
Vậy thời gian của 1 lần cuối là thời gian tính từ t = 0 tới vị trí x 0 lần đầu
Ta coi x1 = x t =0 ; x 2 = x 0 và làm như bài toán 2.1 là được
⇒ t n = t n −1 + t x1 →x 2 =

n −1
T + t x1 → x2
2

+ Trường hợp n chẵn: Ta tách n lần = ( n-2) lần + 2 lần cuối
Thời gian là 1T vât qua vị trí x 0 là 2 lần
⇒ t n −2 =

n−2
T
2

Thời gian t (n −2) vât qua vị trí x 0 là (n-2) lần
Sau một chu kì thì vật về vị trí t = 0, nên sau (n − 2) / 2 chu kì thì vật cũng về vị trí t = 0.

Vậy thời gian của 2 lần cuối là thời gian tính từ t = 0 tới vị trí x 0 lần thứ 2
Ta coi x1 = x t =0 ; x 2 = x 0 lần hai và làm như bài toán 2.1 là được
⇒ t n = t n −2 + t x1 →x 2 = n − 2 T + t x →x
1
2
2

Bài tập minh họa
Bài 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ 20cm, mốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí li
độ 10cm theo chiều âm, chu kì dao động là T = 1s. Xác định thời điểm thứ 101 vật qua vị tí
li độ -10cm?
Hướng dẫn: Ta tách 101 lần = ( 101-1) lần + 1 lần cuối
Thời gian là 1T vât qua vị trí x 0 là 2 lần
⇒ t n −1 =

101 − 1
T = 50.1 = 50s
2