(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp tìm công thức tổng quát và tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

“ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI”

Tác giả sáng kiến: NGUYỄN THỊ THÙY
DƯƠNG.
Mã sáng kiến: 05.52

1

download by :Vĩnh

Yên, tháng 2/2020


BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong những năm gần đây, Tỉnh Vĩnh Phúc luôn đứng trong tốp đầu cả nước về
chất lượng thi ĐH-CĐ và thi THPT Quốc gia. Là một trường đang trên đà phát triển,
trường THPT Nguyễn Thái Học luôn nỗ lực để duy trì và nâng cao hơn nữa chất lượng
giáo dục mọi mặt của nhà trường. Nhiệm vụ ấy vừa là trách nhiệm, vừa là niềm vinh
dự của mỗi giáo viên. Là một giáo viên được ban Giám hiệu giao nhiệm vụ giảng dạy
lớp mũi nhọn khối A của trường, ôn thi THPT Quốc gia, phụ trách đội tuyển toán lớp

11, tơi nhận thấy mình phải có trách nhiệm giúp các em học sinh đạt được điểm số cao
nhất trong khả năng của các em.
“DÃY SỚ” là mợt trong những kiến thức hay và khó trong chương trình Đại số
và Giải tích lớp 11. Trong các đề thi khảo sát chuyên đề của các trường có không ít
những câu hỏi trắc nghiệm về dãy số đã gây khó khăn đối với học sinh. Đặc biệt trong
các đề thi học sinh giỏi lớp 11 câu dãy số luôn xuất hiện và là câu khó đối với nhiều
học sinh. Trong đó dạng toán phổ biến nhất về dãy số là dạng bài về tìm công thức số
hạng tổng quát của dãy số( CTTQ) và tình giới hạn của dãy số. Để giúp học sinh
THPT đặc biệt là học sinh lớp khá giỏi lớp 11 trường THPT Nguyễn Thái Học có thể
gải quyết được một số dạng bài tập liên quan đến dãy số, tôi chọn viết đề tài:
“ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA
DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI”
Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá
trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng
nghiệp. Đề tài tập trung nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát và cách tính giới hạn
một

số

dãy

số

cho

bằng

công

thức

truy

hồi.

2. Tên sáng kiến:
“ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA
DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG
2

download by :


- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại: 0977604246.
- E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại: 0977604246.
- E_mail:
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào dạy học mơn ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
11ở trường THPT và bời dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 1 năm 2016
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
Sáng kiến gồm 4 phần:
PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN 4: KẾT QUẢ
PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
I. Cơ sở thực tiễn.
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt động
học của trò. Đối với người thầy, ngoài việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinh
củng cớ những kiến thức đã học cịn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh,
giúp các em từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách một cách nhẹ nhàng.
Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài
toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần định
hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách

3

download by :


vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết cách đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản,
biết cách biến cái “khơng thể” thành cái “có thể”.
II. Cơ sở lý thuyết.
1. DÃY SỐ
1. 1. Định nghĩa:
a) Mỗi hàm số

xác định trên tập số tự nhiên

được gọi là một dãy số vơ hạn

(gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu:

Dạng khai triển:
Trong đó ta gọi:

là số hạng đầu,

là số thứ

hay số hạng tổng quát

của dãy số.
b) Mỗi hàm số

xác định trên tập

với

được gọi là một

dãy số hữu hạn.
1.2. Dãy số tăng, dãy số giảm 
a) Dãy số

được gọi là tăng nếu

với mọi

b) Dãy số

được gọi là giảm nếu

với mọi

.
.

1.3. Dãy số bị chặn
a) Dãy số

được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số

sao cho

b) Dãy số

được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số

sao cho

c) Dãy số

được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là

tồn tại các số

sao cho

.

2. CẤP SỐ CỘNG
2.1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai)
với n  2

2.2. Số hạng tổng quát:
4

download by :


với k  2

2.3. Tính chất của các số hạng:
2.4. Tổng n số hạng đầu tiên:

=

3. CẤP SỐ NHÂN
3. 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q:công bội)
3. 2. Số hạng tổng quát:

với n  2

3. 3. Tính chất các số hạng:

với k  2

3. 4. Tổng n số hạng đầu tiên:
PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

I. Thuận lợi:
+ Bản thân tôi là giáo viên đã ra trường lâu năm, được Ban giám hiệu phân công
đứng lớp chọn và phụ trách đội tuyển nhiều năm nên có kiến thức tương đối chắc chắn
và bao quát toàn cấp học.
+ Học sinh đã được rèn luyện kỹ năng giải bài tập về cấp số cộng, cấp số nhân là
nền tảng để giải các bài toán về dãy số.
+ Phương pháp được dạy cho đối tượng học sinh khá, nên đa số các em có ý thức
học tập tốt và nắm bắt kiến thức tốt.
II. Khó khăn:
+ Học sinh vẫn quen cách học thụ động, không chịu suy nghĩ tìm tòi trước những
câu hỏi khó, lạ.
+ Thời lượng dạy không được nhiều nên nhiều ý tưởng của giáo viên chưa truyền tải
được hết.
PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
DẠNG 1: TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

5

download by :


Một trong các nội dung thường gặp trong các bài tốn về dãy số là xác định cơng
thức sớ hạng tổng quát của một dãy số cho bởi công thức truy hồi. Có nhiều phương
pháp để giải quyết yêu cầu đó. Tuy nhiên phương pháp thường gặp là biến đởi để qui
về dãy số đặc biệt đó chính là: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Dạng 1.1. Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định :
a, b là các hằng số .
Dãy số kiểu này xuất hiện khá nhiều trong các bài tập về dãy số cũng như trong
các câu hỏi trắc nghiệm. Chúng ta hãy bắt đầu bằng ví dụ đơn giản nhất:

Ví dụ 1: (Bài tập 2.6 phần b sách bài tập đại số và giải tích 11) :

Tìm cơng thức sớ hạng TQ của dãy (un) được xác định như sau :
Lời giải:
Bài toán này có thể giải bằng các cách khác nhau:
Cách 1: Dự đoán SHTQ rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Ta có:
Dự đoán:

.

Dễ dáng chứng minh được công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
Cách 2: Từ công thức truy hồi

một cấp số cộng, với:

suy ra:

suy ra dãy số

. Khi đó:

Ví dụ 2: Xác định SHTQ của dãy số

được xác định bởi:
Lời giải:

6

download by :

là


Tương tự như ví dụ 1, có thể giải ví dụ 2 bằng cách dự đoán công thức SHTQ rối
chứng minh bằng quy nạp. Tuy nhiên từ công thức truy hồi ta có thể thấy ngay dãy số

này là một CSN với:

từ đó suy ra:

* Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên ta thấy bài toán có thể giải quyết dễ dàng bởi dãy số đã
cho chính là những dãy đặc biệt cấp số cộng ( CSC) hoặc cấp số nhân (CSN). Tuy
nhiên không phải dãy số nào cũng là CSC hay CSN. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3: (Bài tập 3.11 phần a sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao)

Cho dãy số

Hãy điền các số thích hợp vào bảng sau đây:
n

3

5

7

un
Lời giải:
Dãy sớ này không phải là CSC hay CSN, tuy nhiên ta có thể biến đổi về CSC, CSN

đối với một dãy trung gian khác.
Thật vậy: Từ công thức truy hồi:

một CSN. Tức là:

ta biến đổi về dãy

, ta sẽ tìm dãy

sao cho

là

như vậy.

Ta có:
Như vậy dãy số

với

là một cấp số nhân xác định như sau:

.Ta thấy (vn) lập thành một CSN với số hạng đầu v1=6 công bội q=3
nên

suy ra
7

download by :

Vậy ta có bảng sau:

n

3

5

7

un

49

481

4369

*Từ ví dụ trên ta có cách làm tổng quát cho dãy số dạng :
như sau:
Cách giải:
+ Nếu
+ Nếu

thì (un) là cấp số cộng với công sai d=b
: Ta sẽ phân tích

nên

hay

Khi đó cơng thức truy hồi của dãy được viết như sau:

Từ đó ta có dãy

là 1 CSN có công bội q=a

Suy ra:
hay

.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho dãy số:
a. Chứng minh dãy số

là 1 CSN

b. Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số trên ĐS:
Bài 2: Tìm công thức SHTQ của các dãy số sau:

a.

ĐS:

8

download by :

.


b.

;

ĐS:

Dạng 1.2: Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định như sau :

, Trong đó

là đa thức bậc

với

là hằng số.

Cách giải:
Ta phân tích
TH1: Nếu a=1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k+1 có hệ số tự do bằng 0
TH2: Nếu a ≠1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k
Khi đó ta viết cơng thức truy hồi của dãy như sau:
Ta tìm được CTTQ của dãy (un) là:

.

Ví dụ 1:(Bài tập 2.5 trang 106 sách đại số và giải tích 11)

Cho dãy (un) xác định bởi

. Tìm CTTQ của dãy (un).
Lời giải:

Cách 1:
Giải sử:
Khi đó ta phân tích:

Đồng nhất hệ số
Khi đó ta xác định được hàm g(n):
9

download by :


Từ cơng thức truy hồi của dãy (un) ta có:

Cách 2:
Từ công thức truy hồi Un+1-Un= 3n-2 ta thay các giá trị n=1,2,….

cộng

theo

vế

ta

được:

Ví dụ 2: (bài 3.28 trang 90 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao)
Cho dãy số (vn) xác định như sau:

Chứng minh rằng:
Lời giải:
Cách 1. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Cách 2. Tìm CTTQ của (vn)
Ta có (vn) được xách định như sau:

Phân tích:

10

download by :


Đồng nhất hệ số ta có:
Vậy ta có hàm
Từ cơng thức truy hồi của (vn)

Từ đó ta chứng minh được
Ví dụ 3: Tính tổng:
Lời giải:

Dãy (Sn) được xác định như sau: (Sn):
g(n)=

; g(n-1)=

Phân tích:

Đồng nhất hệ số:

Từ cơng thức truy hồi:

11

download by :


BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Cho (un ) được xác định như sau:

. Tìm CTTQ của (un).

HD: Tách:

ĐS:

Bài 2: Cho (un ) được xác định như sau:

Tìm CTTQ của dãy

(un).
HD: Tách
Bài 3:(BT2.4 trang 106 sách BT địa số và giải tích 11)

Cho dãy (un) được xách định như sau:

a, Tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy (un).
b, Tìm số hạng thứ 100 của dãy
ĐS:
Bài 4: Tính tổng

HD:

; ĐS:

Bài 5: T ìm CTTQ c ủa d ãy (Un) được xách định như sau:

a,

ĐS:

12

download by :


b,
Bài 6: T ìm CTTQ c ủa d ãy (Un) được xách định như sau:

a,

ĐS:

b,
Dạng 1.3: Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định như sau :

Cách giải:
TH1: Nếu a=

TH2: Nếu

Ta có :

Ta phân tích

Khi đó có k=

Rồi đưa về các dạng đã biết ta tìm được cơng thức tổng quát của (Un).

Ví dụ 1: Cho (un ) được xác định như sau :
Tìm CTTQ của dãy (un ).
Lời giải:

13

download by :


Ví dụ 2: Cho (Un ) được xác định như sau :
Tìm CTTQ của dãy (Un ).
Lời giải:
Ta phân tích :

Từ công thức truy hồi của dãy (Un ) ta có:

Ví dụ 3: Cho (Un ) được xác định như sau:

Tìm CTTQ của dãy (un ).
Lời giải:
Phân tích

Vậy :

14

download by :


Từ

công

thức

truy

hồi

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho dãy (Un) được xác định như sau:
Tìm CTTQ của dãy (un ).

HD:

;

Đs:

Bài 2: Tìm CTTQ của dãy (Un ) được xác định như sau :

a,

ĐS:

b,
Bài 3: Tìm tất cả giá trị

sao cho (Un) xác định bởi:

Là dãy số tăng
Dạng 1.4: Cho dãy (Un) được xách định như sau:

Trong đó

là đa thức bậc

Tìm CTTQ của dãy
Cách giải:
15

download by :

theo

.

 Phân tích
 Phân tích

.

 Trong đó:
+ Nếu a=1 thì g(n) là đa thức bậc k+1 của n
+ Nếu a 1 thì g(n) là đa thức bậc k của n.
Sau đó chuyển cơng thức truy hồi của dãy (un) về các dạng đã học ta tìm được
CTTQ của (un).

Ví dụ 1: Cho dãy (un) được xách định như sau:
Tìm CTTQ của dãy (un).
Lời giải:
Ta phân tích:

Ta phân tích :

Đồng nhất hệ số ta có
và
Từ cơng thức truy hồi của (Un) thì hồi

16

download by :


Vậy CTTQ của (un) là

.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm CTTQ của dãy (un ) được xách định như sau :

ĐS:

Bài 2: Tìm CTTQ của dãy (un) biết:
DẠNG 1.5: Cho dãy (un) được xách định như sau:

Tìm CTTQ của dãy (un).
Cách giải:
Ta đưa CT truy hồi:

về dạng:

Đồng nhất hệ số:
Khi đó x1, x2 là nghiệm phương trình:

sau khi tìm x1, x2 thế vào (*) và

dựa vào các dang đã học tìm được CTTQ của dãy (un).

Ví dụ 1: Xác định CTTQ của dãy
Lời giải:
Ta có:

17

download by :


Đồng nhất hệ số:

x1, x2 là nghiệm phương trình: T2-5T+6=0
Ta chọn

:

Áp dụng dạng 3 ta có:

Từ (*) ta có:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thứ :

Bài 2: Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thức:

ĐS
Bài 3: Xác định công thức tổng quát của dãy (Un) được cho bởi công thức:

18

download by :


Bài 4: Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thức:

a,

ĐS:

b,

ĐS:

c,

ĐS:

d,

e,
CÂU HỎI TRĂC NGHIỆM

Câu 1. Cho dãy số

với

.Số hạng tổng quát

của dãy số là số

hạng nào dưới đây?
A.

.

C.

B.

.

Câu 2. Cho dãy số

.

D.

với

.

. Số hạng tổng quát

của dãy số là

số hạng nào dưới đây?
A.

.

Câu 3. Cho dãy số

với

B.

. C.

. D.

.

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này

:
19

download by :


A.

.

B.

Câu 4. Cho dãy số

.

C.

.

D.

xác định bởi

.

. Giá trị của

để

là
A.

.

B.

Câu 6. Cho dãy số

.

C. Khơng có

.

D.

.

được xác định như sau:

Tính tổng

.

A.

B.

C.

.

Câu 7. Cho dãy số

D.

xác định bởi

Tìm chữ số hàng đơn vị

của
A. 4.

B. 6.

Câu 8. Cho dãy số

C. 0.

với

D. 2.

. Số hạng tổng quát

của dãy số là

số hạng nào dưới đây?
A.

.

B.

.

Câu 9: Cho dãy
A. 2

C.

.

D.

Tính
B.

C. 1

20

D. 3

download by :

.


Câu 10. Cho dãy số

với

. Số hạng tổng quát

của dãy số là

số hạng nào dưới đây?
A.

.

B.

C.

.

D.

Câu 11: Cho dãy số có

.

. Khi đó số hạng thứ n+3 là?

A.

B.

C.

D.

Câu 12. Cho dãy số

.

xác định bởi

A.

Tìm

B.

Câu 13. Cho dãy số

C.

với

D.

. Số hạng tổng quát

của dãy số là số

hạng nào dưới đây?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 14. Cho dãy số

xác định bởi

. Tìm số nguyên dương

nhỏnhất sao cho
A.

.

.
B.

.

C.

.
Câu 15. Tính tổng
21

download by :

.

D.


A.

.

C.

.

B.

.

D.

.

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI
Dạng 2.1. Tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách xác định
CTTQ của dãy số.
Nếu biết CTTQ của dãy số thì việc tính giới hạn không còn khó khăn nữa. Để tìm ra
CTTQ của dãy số có khá nhiều cách. Trong dạng 1 ở chuyên đề này chúng ta đã đưa ra
được một số cách cơ bản để xác định. Các ví dụ sau đây dùng các phương pháp đã biết
ở dạng 1 để tìm CTTQ của dãy số.

Ví dụ 1. Cho dãy số:

. Tính
Lời giải:

Áp dụng dạng 1.1 ta tìm được CTTQ cảu dãy số trên là:
Do đó:

.

Ví dụ 2: Cho dãy số:

. Tính

Lời giải: Áp dụng dạng 1.1 ta tìm được CTTQ cảu dãy số trên là:
Do đó:

Ví dụ 3: Cho dãy số:

. Tính

(HSG Bắc Giang)

Lời giải: Áp dụng dạng 1.5 ta tìm được CTTQ của dãy số trên là:
22

download by :


Do đó:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Cho dãy số:

. Tính

Bài 2: Cho dãy số:

. Tính

.

ĐS:

.

ĐS:

Nhận xét: Nhiều bài toán việc tìm được CTTQ là khó khăn, khi đó ta có thể tìm giới
hạn dãy số theo cách khác dễ hơn.
Dạng 2.2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng
tính đơn điệu và bị chặn.
Để tìm được giới hạn theo cách này ta cần nắm được các tính chất sau của dãy số:
1. Dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới thì có
thì có giới hạn hữu hạn
2. Nếu dãy số

3. Nếu dãy số
4. Giải sử dãy số

Ví dụ 1: Cho dãy số

thỏa mãn điều kiện

thỏa mãn điều kiện

và tồn tại

và tồn tại

có giới hạn hữu hạn thì

xác địn bởi:

. Tìm
Lời giải:

Ta sẽ chứng minh dãy

tăng và bị chặn trên.

Thật vậy: Chứng minh dãy số tăng bằng quy nạp như sau:
- Với n=1 ta có:
23

download by :

thì

thì


- Giả xử

, khi đó

Hay dãy số

. Vậy

tăng nê sẽ bị chặn dưới bởi

. Ta sẽ chứng minh dãy số

chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy:
- Khi n=1 ta có
- Giả sử ,
Vậy dãy số
Giả sử

, khi đó
bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số
thì

có giới hạn hữu hạn.

.

Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có:

Vậy

Ví dụ 2 : Cho dãy số (un) xác định như sau:
Chứng minh dãy số

có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải :

Áp dụng bất đẳng thức CôSi :
hay dãy số

bị chặn dưới bởi

Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh .
Thật vậy :

- Xét hiệu :
24

download by :

bị


Do

hay dãy số giảm.

Như vậy dãy số

giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn. Giả sử

. Ta có phương trình:
Vậy

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định như sau:
Tìm:
Lời giải:
Dễ dàng chứng minh được dãy tăng vì:
chặn dưới bởi u1=2019 hay
Giả sử dãy sớ có giới hạn hữu hạn là a( a>2019) thì :
suy ra dãy sớ khơng có giới hạn hữu hạn hay

Ta có :
Vậy :

Ví dụ 3 : Cho dãy số (un) xác định như sau:
Chứng minh dãy số

có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải :

25

download by :

suy ra dãy số bị