phương pháp giải các bài toán về giới hạn của dãy số và hàm số

WWW.ToanCapBa.Net
Giới Hạn
A. Kiến thức sách giáo khoa
I. Giới hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn 0
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số
( )
n
u
có giới hạn 0, kí hiệu
( )
n
lim u 0=
(hay
n
limu 0=
), nếu với mọi số dương nhỏ bao
nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
b. Tính chất:
( ) ( )
n
1 1
lim 0; lim 0 0 ; limq 0 | q | 1
n n
α
= = α > = <
c. Định lí: Cho hai dãy số
( )
n n
n n n
n

| u | v
u ,v : limu 0
lim v 0
≤


⇒ =

=


(1)
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số
( )
n
u
có giới hạn là số thực L, kí hiệu
n
limu L=
, nếu
( )
n
lim u L 0− =
( )
n n
limu L lim u L 0= ⇔ − =
b. Các định lí:
• Cho (u
n

) mà u
n
= c, ∀n :
n
limu c=
• limu
n
= L
n
3
3
n
lim | u | | L |
lim u L
=


⇒

=


• Nếu
n n
limu L,lim v M= =
thì:
( ) ( )
n
n n n n n
n

u
L
lim u v L M; lim u .v L.M; lim k.u k.L (k ); lim (M 0)
v M
± = ± = = ∈ = ≠¡
•
( )
n n n
n
n n
v u w , n
limu L
lim v lim w L L
≤ ≤ ∀


⇒ =

= = ∈


¡
(2)
• Dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (v
n
) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. (3)
c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

•
n
2 n 1
n 1 1 1 1 1
1 q
S u u q u q u q u . ;
1 q
−
−
= + + + + =
−
•
n
2 n 1
1
1 1 1 1 n 1
u
1 q
S u u q u q u q limS lim u . ;
1 q 1 q
−
−
= + + + + + = = =
− −
3. Dãy số có giới hạn vô cực
a. Dãy số có giới hạn
+∞
Ta nói rằng dãy (u
n
) có giới hạn +∞, kí hiệu limu

n
= +∞, nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Kết quả:
3
limn ;lim n ;lim n= +∞ = +∞ = +∞
b. Dãy số có giới hạn - ∞
Ta nói rằng dãy (u
n
) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limu
n
= -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
• Quy tắc nhân
n
limu
n
lim v
( )
n n
lim u .v
n
limu
n
lim v
( )
n n
lim u .v

+∞
+∞
+∞

+∞
+
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−
−∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+
−∞
−∞
−∞
+∞
−∞
−
+∞
• Quy tắc chia
n
limu L 0= ≠
có dấu
n n

lim v 0,v 0= ≠
có dấu
n
n
u
lim
v
+ +
+∞
+
−
−∞
−
+
−∞
−
−
+∞
II. Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn
a. Giới hạn hữu hạn
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
1
WWW.ToanCapBa.Net
Cho
( )
0
x a;b∈
và f là hàm số xác định trên tập

( ) { }
0
a;b \ x
. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu
( )
0
x x
lim f x L
→
=
, khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm
0
x
), nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong tập
( ) { }
0
a;b \ x
mà
n 0
lim x x=
, ta
đều có
( )

n
limf x L=
b. Giới hạn vô cực
( )
0
x x
lim f x
→
= +∞
nếu mọi dãy
( )
n
x
trong tập
( ) { }
0
a;b \ x
mà
n 0
lim x x=
thì
( )
n
limf x = +∞
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
( )
a;+∞
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến
+∞, kí hiệu

( )
x
lim f x L
→+∞
=
, nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong khoảng
( )
a;+∞
mà
n
lim x = +∞
, ta đều có
( )
n
limf x L=
3. Các định lí
a. Định lí 1: Giả sử
( )
0
x x
lim f x L
→
=
và
( ) ( )
0

x x
lim g x M L,M
→
= ∈¡
. Khi đó:
•
( ) ( )
0
x x
lim f x g x L M
→
± = ± 
 
•
( ) ( )
0
x x
lim f x .g x L.M
→
= 
 
•
( ) ( )
0
x x
lim k.f x k.L k
→
= ∈ 
 
¡

•
( )
( )
( )
0
x x
f x
L
lim M 0
g x M
→
= ≠
b. §Þnh lÝ 2: Gi¶ sö
( )
0
x x
lim f x L
→
=
. Khi đó:
•
( )
0
x x
lim | f x | | L |
→
=
;
•
( )

0
3
3
x x
lim f x L
→
=
;
• Nếu
( )
f x 0≥
với mọi
{ }
0
x J \ x∈
, trong đó J là một khoảng nào đó chứa
0
x
thì
L 0≥
và
( )
0
x x
lim f x L
→
=
.
c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa
0

x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp
{ }
0
J \ x
. Khi đó:
{ } ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0
0 0
0
x x
x x x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L
→
→ →
∀ ∈ ≤ ≤

⇒ =

= =


4. Giới hạn một bên
a. Định nghĩa:
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng
( )

0 0
x ;b ,x ∈ ¡
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến
x
0
, kí hiệu:
( )
0
x x
lim f x L
+
→
=
, nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong khoảng
( )
0
x ;b
mà
n 0
lim x x=
, ta đều có
( )
n
limf x L=
.
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng

( )
0 0
a;x , x ∈¡
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến
x
0
, kí hiệu:
( )
0
x x
lim f x L
−
→
=
, nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong khoảng
( )
0
a;x
mà
n 0
lim x x=
, ta đều có
( )
n
limf x L=
.

• Các định nghĩa
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
x x x x x x x x
lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x
− − + +
→ → → →
= +∞ = −∞ = +∞ = −∞
được phát biểu tương tự như trên.
b. Định lí:
•
( ) ( ) ( )
0
0 0
x x
x x x x
lim f x lim f x L lim f x L
+ −
→
→ →
= = ⇒ =
•
( )
( )
0 0
x x x x
1
lim | f x | lim 0
f x
→ →

= +∞ ⇒ =
5. Quy tắc tìm giới hạn vô cực
a. Quy tắc nhân b. Quy tắc chia
( )
0
x x
lim f x
→
( )
0
x x
lim g x L 0
→
= ≠
có dấu
( ) ( )
0
x x
lim f x .g x
→
 
 
( )
0
x x
lim f x L 0
→
= ≠
có dấu
( )

0
x x
lim g x 0
→
=
g(x) có dấu
( )
( )
0
x x
f x
lim
g x
→

+∞
+
+∞
+ +
+∞
+∞
−
−∞
+
−
−∞
−∞
+
−∞
−

+
−∞
−∞
−
+∞
−
−
+∞
6. Các dạng vô định
Khi tìm
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x
lim ,lim f x g x ,lim f x g x
g x
−   
   
khi
0 0 0
x x ;x x ; x x ; x ;x
+ −
→ → → → +∞ → −∞
ta gặp các dạng
vô địn, kí hiệu
0
, ,0. ,
0
∞
∞ ∞ − ∞

∞
, lúc đó ta không dùng được các định lí về giới hạn cũng như các quy tắc tìm giới hạn
vô cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
2
WWW.ToanCapBa.Net
B. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.
Ví dụ 1: Tìm:
2
3
2
8n 3n
lim
n
−
Giải:
2
3
3
3
2
8n 3n 3
lim lim 8 8 2
nn
−
= − = =
Ví dụ 2: Tìm:

2
2
2n 3n 1
lim
n 2
− −
− +
Giải:
2
2
2
2
3 1
2
2n 3n 1 2
n n
lim lim 2
2
1n 2
1
n
− −
− −
= = = −
−− +
− +
Ví dụ 3: Tìm:
(
)
2

lim n 1 n 1− − +
Giải:
( )
2
2
2
2n 2
lim n 1 n 1 lim lim 1
1 1
n 1 n 1
1 1
n
n
− −
− − + = = = −
− + +
− + +
.
Dạng 2: Chứng minh
n
limu 0=
Phương pháp giải: Sử dụng định lí:
Cho hai dãy số
( )
n n
n n n
n
| u | v
u ,v : limu 0
lim v 0

≤


⇒ =

=


(1);
( )
n n n
n
n n
v u w , n
limu L
lim v lim w L L
≤ ≤ ∀


⇒ =

= = ∈


¡
(2)
Ví dụ: Chứng minh:
( )
n
1 cos n

lim 0
n
−
=
Giải:
Ta có:
( )
n
1 cos n
1
n n
−
≤
và
1
lim 0
n
=
nên
( )
n
1 cosn
lim 0
n
−
=
Dạng 3: Chứng minh
n
limu
tồn tại

Phương pháp giải: Sử dụng định lí
Dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (v
n
) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
Ví dụ: Chứng minh dãy số
( )
n
u
cho bởi
( )
n
1
u
n n 1
=
+
có giới hạn.
Giải:
Ta có
( ) ( )
( )
n 1
n
n n 1
u
1 n
. 1, n.

u n 1 n 2 1 n 2
+
+
= = < ∀
+ + +
Do đó dãy
( )
n
u
giảm.
Ngoài ra,
( )
*
n
1
n : u 0,
n n 1
∀ ∈ = >
+
¥
nêu dãy
( )
n
u
bị chặn dưới. Vậy dãy
( )
n
u
có giới hạn.
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải: Sử dụng công thức:
1
u
S ,| q | 1
1 q
= <
−
Ví dụ: Tính tổng
2 n
1 1 1
S 1
2 2 2
= + + + + +
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q 1
2
= <
và
1
u 1=
. Vậy:
1
u
1
S 2
1
1 q
1

2
= = =
−
−
Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
3
WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm:
3
2
2n 4n 3
lim
3n 1
− + −
+
Giải:
Cách 1:
Ta có:
3
2 3
2
3
4 3
2
2n 4n 3
n n
lim lim

3 1
3n 1
n
n
− + −
− + −
=
+
+
Lại có
2 3 2
4 3 3 1
lim 2 2 0,lim 0
nn n n
   
− + − = − < + =
 ÷  ÷
   
và
( )
*
3
3 1
0 n
n n
+ > ∀ ∈¥
nên suy ra:
3
2 3
2

3
4 3
2
2n 4n 3
n n
lim lim
3 1
3n 1
n
n
− + −
− + −
= = −∞
+
+
Cách 2:
Ta có:
3
3
2 3
2 3
2
2
2
2
4 3
4 3
n 2
2
2n 4n 3

n n
n n
lim lim lim n.
1
1
3n 1
3
n 3
n
n
 
 
− + −
− + −
 ÷
 
− + −
 
= =
 
+
 
 
+
+
 ÷
 
 
 
Lại có

3
2 3 2 3
2
2 2
4 3 4 3
2 2
2 2n 4n 3
n n n n
limn ;lim 0 lim lim n.
1 1
3 3n 1
3 3
n n
 
− + − − + −
 
− + −
= +∞ = − < ⇒ = = −∞
 
+
 
+ +
 
 
Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
Phương pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính:
x 0
1
lim x.sin

x
→
 
 ÷
 
.
Giải:
Xét dãy
( )
n
x
mà
n
x 0, n≠ ∀
và
n
lim x 0=
. Ta có:
( )
n n n
n
1
f x x sin | x |
x
= ≤
Vì
( )
n n
lim | x | 0 lim f x 0.= ⇒ =
Do đó

x 0
1
lim x.sin 0
x
→
 
=
 ÷
 
.
Ví dụ 2: Tính:
(
)
2
x
lim x x 1 x
→+∞
+ + −
Giải:
Ta có:
(
)
2 2
2
2 2
x x x x
2
1
1
x x 1 x x 1 1

x
lim x x 1 x lim lim lim
2
1 1
x x 1 x x x 1 x
1 1
x x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+
+ + − +
+ + − = = = =
+ + + + + +
+ + +
Ví dụ 3: Tính:
(
)
2
x
lim x 3x 1 x
→−∞
+ + +
Giải:
Ta có:
(
)
2
2 2
x x x x
2
1 1

3 3
3x 1 3
x x
lim x 3x 1 x lim lim lim
2
3 1
x 3x 1 x x 3x 1
1 1
1
x x
x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
+ +
+
+ + + = = = = −
+ + − + +
− + + −
−
(Chú ý: khi
x → −∞
là ta xét x < 0, nên
2
x x= −
)
Dạng 7: Chứng minh
( )
0
x x
lim f x 0
→

=
(Hoặc bằng L)
Phương pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp
{ }
0
J \ x
. Khi đó:
{ } ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0
0 0
0
x x
x x x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L
→
→ →
∀ ∈ ≤ ≤

⇒ =

= =



Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
4
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ: Chứng minh:
2
4
x
x sin x
lim 0
1 x
→+∞
=
+
Giải:
Ta luôn có:
( ) ( )
2 2 2 2
4 4 4 4
x sin x x x x
| f x | f x
1 x 1 x 1 x 1 x
= ≤ ⇒ − ≤ ≤
+ + + +
2 2 2 2 2
2 2
4 4 4 4 4
x x x x x x x
4 4

1 1
x x x x x sin x
x x
lim lim 0; lim lim 0 lim lim 0 lim 0
1 1
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
1 1
x x
→+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →−∞ →+∞
= = = = ⇒ = = ⇒ =
+ + + + +
+ +
.
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
3
2
x x 1
f x
2x 3 x 1

< −

=

− ≥ −



víi
víi
. Tìm
( )
x 1
lim f x
→−
Giải:
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
x 1 x 1
lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1
+ +
→ − → −
= − = − − = −
(1)
( )
( )
( )
3
x 1 x 1
lim f x lim x 1
− −
→ − → −

= = −
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( )
x 1
lim f x 1
→−
= −
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
1
x 1
x 1
f x
1
x 1
x 1
khi
khi

>


+
=

−

<


 +
a. Tìm
( )
x 2
limf x
→
b. Tìm
( )
x 1
limf x
→
Giải:
a.
( )
x 2 x 2
1 1
limf x lim
x 1 3
→ →
= =
+
b.
( )
x 1
limf x
→
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 1 1

lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x
1 x 2 1 x 2
+ + − − + −
→ → → → → →
−
= = = = − ⇒ ≠
+ +
suy ra không tồn tại
( )
x 1
limf x
→
(Chú ý:
( )
0
x x
lim f x
→
tồn tại khi và chỉ khi
( ) ( )
0 0
x x x x
lim f x lim f x L
+ −
→ →
= =
thì
( )
0
x x

lim f x L
→
=
)
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tính
2
x
lim 4x 1
→−∞
−
Giải:
2 2
2 2
x x x
1 1
lim 4x 1 lim x 4 lim | x |. 4
x x
→−∞ →−∞ →−∞
 
− = − = −
 ÷
 
Vì
x
lim | x |
→−∞
= +∞
và

2
2
x x
1
lim 4 2 0 lim 4x 1
x
→−∞ →−∞
− = > ⇒ − = +∞
Dạng 10: Khử dạng vô định
Phương pháp giải
1. Khi tìm giới hạn dạng
( )
( )
0
x x
P x
lim
Q x
→
, với
( ) ( )
0 0
x x x x
lim P x lim Q x 0
→ →
= =
:
• Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho
0
x x−

• Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lượng liên hiệp.
Ví dụ 1: Tìm:
2
x 2
x 9x 14
lim
x 2
→
− +
−
Giải:
( ) ( )
( )
2
x 2 x 2 x 2
x 2 x 7
x 9x 14
lim lim lim x 7 5
x 2 x 2
→ → →
− −
− +
= = − = −
− −
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
5
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 2: Tìm:
x 0

4 x 2
lim
4x
→
+ −
Giải:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x 0 x 0 x 0 x 0
4 x 2 4 x 2
4 x 2 4 x 4 1 1
lim lim lim lim
4x 16
4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2
→ → → →
+ − + +
+ − + −
= = = =
+ + + + + +
Ví dụ 3: Tìm:
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
→
+ −
−
Giải:
( )

( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
3 3
3
3
3
x 1 x 1 x 1
2 2
3 3
3 3
x 7 2 x 7 2. x 7 4
x 7 2 x 7 2
lim lim lim
x 1
x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4
→ → →
+ − + + + +
+ − + −
= =
−
− + + + + − + + + +
( )
( )
x 1
2

3
3
1 1
lim
12
x 7 2. x 7 4
→
= =
+ + + +
Ví dụ 4: Tìm:
x 2
2x 5 3
lim
x 2 2
→
+ −
+ −
Giải:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
x 2 x 2 x 2 x 2
2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2
2x 5 3 4
lim lim lim lim
3

x 2 2 2x 5 3
x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3
→ → → →
+ − + + + + + − + + + +
+ −
= = = =
+ − + +
+ − + + + + + − + +
Ví dụ 5: Tìm:
3
x 1
x 3x 2
lim
x 1
→
− −
−
Giải:
( )
( )
( )
( )
3
3 3
x 1 x 1 x 1
2 2
x 1 x 1
x 1 3x 2 1
x 3x 2 x 1 3x 2 1
lim lim lim

x 1 x 1 x 1 x 1
3x 2 1 3 3 3
lim x x 1 lim x x 1 3
2 2
3x 2 1
x 1 3x 2 1
→ → →
→ →
− − − −
 
− − − − −
= = −
 
− − − −
 
 
− −  
 
= + + − = + + − = − =
 
 
− +
− − +
 
 
Ví dụ 6: Tìm:
4
3
x 1
x 2 1

lim
x 2 1
→−
+ −
+ −
Giải:
Đặt
12 12
12
t x 2 x 2 t x t 2,khi x 1 t 1 ®ã th× = + ⇒ + = ⇔ = − → − →
. Do đó:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
3 2
4
4
2 2
3
x 1 t 1 t 1 t 1
t 1 t t 1
x 2 1 t 1 t t 1 3
lim lim lim lim
4t 1
t 1 t 1 t 1 t 1 t 1
x 2 1

→− → → →
− + +
+ − − + +
= = = =
−
− + + + +
+ −
Ví dụ 7: Tìm:
3
x 1
x 7 x 3
lim
x 1
→
+ − +
−
Giải:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3 3
x 1 x 1 x 1
3
2
x 1
3 3

2
x 1
3
3
x 7 2 x 3 2
x 7 x 3 x 7 2 x 3 2
lim lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1
x 7 2 x 3 4
lim
x 1 x 3 2
x 1 x 7 2. x 7 4
1 1 1 1 1
lim
12 4 6
x 3 2
x 7 2 x 7 4
→ → →
→
→
+ − − + −
 
+ − + + − + −
= = −
 
− − − −
 
 
 
+ − + −

= −
 
 
− + +
 
− + + + +
 
 
 
 
 
 
= − = − = −
 
+ +
+ + + +
 
2. Khi tìm giới hạn dạng
( )
( )
x
P x
lim
Q x
→±∞
, ta lưu ý:
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
6
WWW.ToanCapBa.Net

• Đặt
m
x
(m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
• Sử dụng kết quả:
x
1
lim 0
x
α
→∞
=
( với
0α >
)
Ví dụ 1: Tìm:
2
2
x
3x 4x 1
lim
2x x 1
→+∞
− +
− + +
Giải:
2
2
2
x x

2
4 1
3
3x 4x 1 3
x x
lim lim
1 1
22x x 1
2
x
x
→+∞ →+∞
− +
− +
= = −
− + +
− + +
Ví dụ 2: Tìm:
2
x
x x 1 3x
lim
2 3x
→−∞
+ + −
−
Giải:
2
2
x x

1 1
1 3
x x 1 3x 1 3 4
x x
lim lim
2
2 3x 3 3
3
x
→−∞ →−∞
− + + −
+ + − − −
= = =
− −
−
Ví dụ 3: Tìm:
3
3 2
2
x
8x 3x 1 x
lim
4x x 2 3x
→−∞
+ + −
− + +
Giải:
3
3
3 2

3
3
2
x x
2
3 1
8 1
8x 3x 1 x 8 1
x x
lim lim 1
1 2 4 3
4x x 2 3x
4 3
x
x
→−∞ →−∞
+ + −
+ + − −
= = =
− +
− + +
− − + +
C. Bài tập tự luận
1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.
2
2
x 3
x 5x 6
lim

x 8x 15
→
− +
− +
2.
2
2
1
x
2
8x 1
lim
6x 5x 1
→
−
− +
3.
3 2
2
x 3
x 4x 4x 3
lim
x 3x
→
− + −
−
4.
4 3 2
4 3 2
x 1

2x 5x 3x 1
lim
3x 8x 6x 1
→
− + +
− + −
5.
3
4
x 1
x 3x 2
lim
x 4x 3
→
− +
− +
6.
3 2
4 2
x 2
x 2x 4x 8
lim
x 8x 16
→
− − +
− +
7.
3
5
x 1

x 2x 1
lim
x 2x 1
→
− −
− −
8.
( ) ( ) ( )
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1
lim
x
→
+ + + −
9.
( ) ( ) ( ) ( )
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1 nx 1
lim
x
→
+ + + + −
2. Tìm các giới hạn hàm số sau:
1.
x 2
x 2
lim
3 x 7
→
−

− +
2.
x 1
2x 7 3
lim
x 3 2
→
+ −
+ −
3.
2
x 0
1 x 1
lim
x
→
+ −
4.
2
x 2
x 7 3
lim
x 4
→
+ −
−
5.
3
x 2
4x 2

lim
x 2
→
−
−
6.
3
2
2
x 0
1 x 1
lim
x
→
+ −
7.
( )
3
2
3
2
x 1
x 2 x 1
lim
x 1
→
− +
−
8.
3

x 0
x 1
lim
x 1
→
−
−
9.
x 2
x 2 x 7 5
lim
x 2
→
+ + + −
−
10.
3 3
x 0
1 x 1 x
lim
x
→
+ − −
11.
( )
2
2
x 1
3x 2 4x x 2
lim

x 3x 2
→
− − − −
− +
12.
x 1
2x 2 3x 1
lim
x 1
→
+ − +
−
13.
2 2
2
x 3
x 2x 6 x 2x 6
lim
x 4x 3
→
− + − + −
− +
14.
x 0
x 9 x 16 7
lim
x
→
+ + + −
15.

3
2
3
2
x 1
x 2 x x 1
lim
x 1
→
− + − +
−
3. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
1.
3
2
x 1
x 7 x 3
lim
x 3x 2
→
+ − +
− +
2.
3
x 0
2 1 x 8 x
lim
x
→
+ − −

3.
3
x 0
1 x 1 x
lim
x
→
+ − −
4.
3
2
x 2
x 11 8x 43
lim
2x 3x 2
→−
+ − +
+ −
5.
3
3 2
x 1
7 x 3 x
lim
x 1
→
+ − +
−
6.
2

3
x 1
x 7 5 x
lim
x 1
→
+ − −
−
7.
3
x 0
1 4x 1 6x 1
lim
x
→
+ + −
8.
3
2
x 0
1 2x 1 3x
lim
x
→
+ − +
4. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
7
WWW.ToanCapBa.Net

1.
3 2
4 3 2
x
2x 3x 4x 1
lim
x 5x 2x x 3

+
+ +
2.
2
2
x
x x 1
lim
2x x 1
+
+
+ +
3.
( ) ( )
( ) ( )
2 3
3 2
x
2x 3 4x 7
lim
3x 1 10x 9
+

+
+ +
4.
( ) ( )
( )
20 30
50
x
2x 3 3x 2
lim
2x 1

+
+
5.
2
2
x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2

+ +
+ +
6.
x
5x 3 1 x
lim
1 x

+

5. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.
2 2
x
lim x x 1 x x 1


+ + +

2.
( )
2
x
lim 2x 5 4x 4x 1
+



3.
x
lim x x x
+

+


4.
2

x
lim x. x 1 x
+

+

5.
2
x
lim x 4x 9 2x


+ +

6.
2 4 4
x
lim x 3x 5 3x 2


+

7.
3
3 2
x
lim x 2 x 1
+

+ +

8.
3
2 3
x
lim x 4x 5 8x 1
+

+

D. Bài tập trắc nghiệm
Dãy số có giới hạn 0
1. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a.
1
n
b.
1
n
c.
2n 1
n
+
d.
cosn
n
2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.
n
5

3

ữ

b.
n
1
3

ữ

c.
n
5
3


ữ

d.
n
4
3


ữ

3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.
( )

n
0,909
b.
( )
n
1,012
c.
( )
n
1,013
d.
( )
n
1,901
4. Dãy số nào sau đây không có giới hạn?
a.
( )
n
0,99
b.
( )
n
1
c.
( )
n
0,99
d.
( )
n

0,89
5. Gọi
( )
n
1
L lim
n 4

=
+
. Khi đó L bằng
a.
1
5

b.
1
4

c. 1 d. 0
6. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a.
1
2n
b.
1
n
c.
n
4

3

ữ

d.
( )
n
1
n

Dãy số có giới giạn hữu hạn
7. Cho
n
1 4n
u
5n

=
. Khi đó u
n
bằng
a.
3
5
b.
3
5

c.
4

5
d.
4
5

8. Cho
n n
n
n
2 5
u
5
+
=
. Khi đó limu
n
bằng
a. 0 b. 1 c.
2
5
d.
7
5
9. Gọi
cos2n
L lim 9
n
=
thì L bằng số nào sau đây?
a. 0 b.

3
c. 3 d. 9
10. Tổng của cấp số nhân vô hạn
( )
n 1
n
1
1 1 1
, , , , ,
2 4 8 2
+


là
a. 1 b.
1
3
c.
1
3

d.
2
3

11. Tổng của cấp số nhân vô hạn
( )
n 1
n
1

1 1 1
, , , , ,
3 9 27 3
+


là
a.
1
4
b.
1
2
c.
3
4
d. 4
Nguyn Xuõn Th WWW.ToanCapBa.Net Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
8
WWW.ToanCapBa.Net
12. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n
( )
n 1
n 1
1
1 1 1
, , , , ,
2 6 18 2.3
+

−
−
−
lµ
a.
8
3
b.
3
4
c.
2
3
d.
3
8
13. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n:
( )
n 1
n 1
1
1 1 1
1, , , , , ,
2 4 8 2
+
−
−
− −
lµ
a.

2
3
−
b.
2
3
c.
3
2
d. 2
D·y sè cã giíi h¹n v« cùc
14. KÕt qu¶
( )
3
L lim 5n 3n= −
lµ
a.
−∞
b. – 4 c. – 6 d.
+∞
15. BiÕt
( )
2
L lim 3n 5n 3= + −
th× L b»ng
a.
−∞
b. 3 c. 5 d.
+∞
16.

( )
3 2
lim 3n 2n 5− + −
b»ng
a.
−∞
b. – 6 c. – 3 d.
+∞
17.
2
3
lim
4n 2n 1
−
− +
b»ng
a.
−∞
b.
3
4
−
c. – 1 d. 0
18.
4
2
lim
5n 2n 1− +
b»ng
a.

2
5
b.
1
2
c. 0 d.
+∞
19.
3
4
3n 2n 1
lim
4n 2n 1
− +
+ +
b»ng
a. 0 b.
+∞
c.
3
4
d.
2
7
20.
4
4
2n 2n 2
lim
4n 2n 5

− +
+ +
bằng
a. 0 b.
+∞
c.
1
2
d.
3
11
21.
2 4
4
5n 3n
lim
4n 2n 1
−
+ +
bằng
a.
3
4
−
b. 0 c.
5
4
d.
3
4

22.
3
2
2n 3n
lim
4n 2n 1
+
+ +
bằng
a.
3
4
b.
5
7
c. 0 d.
+∞
23. Dãy số nào sau đây có giới hạn là
+∞
?
a.
2 3
n
u 3n n= −
b.
2 3
n
u n 4n= −
c.
2

n
u 4n 3n= −
d.
3 4
n
u 3n n= −
24. Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ∞?
a.
4 3
n
u n 3n= −
b.
3 4
n
u 3n 2n= −
c.
2
n
u 3n n= −
d.
2 3
n
u n 4n= − +
25.
2
4n 5 n 4
lim
2n 1
+ − +
−

bằng
a. 0 b. 1 c. 2 d.
+∞
26. Kết quả
( )
lim n 10 n+ −
là
a. +∞ b. 10 c. 10 d. 0
27. Kết quả
2
2
3 2n 4n
lim
4n 5n 3
− +
+ −
là
a. 0 b. 1 c.
3
4
d.
4
3
−
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
9
WWW.ToanCapBa.Net
28. Nếu
n

limu L=
thì
n
lim u 9+
bằng
a. L + 9 b. L + 3 c.
L 9+
d.
L 3+
29. Nếu
n
limu L=
thì
3
n
1
lim
u 8+
bằng bao nhiêu?
a.
1
L 8+
b.
1
L 8+
c.
3
1
L 2+
d.

3
1
L 8+
30.
2n 3
lim
2n 5
+
+
bằng
a.
5
7
b.
5
2
c. 1 d.
+∞
31.
4
4
10 n
lim
10 2n+
bằng bao nhiêu?
a.
+∞
b. 10000 c. 5000 d. 1
32.
2

1 2 3 n
lim
2n
+ + + +
bằng bao nhiêu?
a. 0 b.
1
4
c.
1
2
d.
+∞
33.
3
3
n n
lim
6n 2
+
+
bằng
a.
1
6
b.
1
4
c.
3

2
6
d. 0
34.
(
)
2 2
limn n 1 n 3+ − −
bằng bao nhiêu?
a. +∞ b. 4 c. 2 d. – 1
35.
n sin 2n
lim
n 5
+
+
bằng số nào sau đây?
a.
2
5
b.
1
5
c. 0 d. 1
36. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.
2
n
2
n 2n

u
5n 3n
−
=
+
b.
2
1 2n
5n 3n
−
+
c.
2
2
1 2n
5n 3n
−
+
d.
2
n
2
n 2
u
5n 3n
−
=
+
37. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞?
a.

2
n
2
n 2n
u
5n 5n
−
=
+
b.
2
1 2n
5n 5n
+
+
c.
2
n
1 n
u
5n 5
+
=
+
d.
2
n
3
n 2
u

5n 5n
−
=
+
38. Dãy số nào sau đây có giới hạn +∞?
a.
2
n
2
9n 7n
u
n n
+
=
+
b.
n
2007 2008n
u
n 1
+
=
+
c.
2
n
u 2008n 2007n= −
d.
2
n

u n 1= +
39. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1?
a.
2
3
2n 3
lim
2n 4
−
− −
b.
2
2
2n 3
lim
2n 1
−
− −
c.
2
3 2
2n 3
lim
2n 2n
−
− +
d.
3
2
2n 3

lim
2n 1
−
− −
40. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
a.
2
3
2n 3
lim
2n 4
−
− −
b.
3
2
2n 3n
lim
2n 1
−
− −
c.
2 4
3 2
2n 3n
lim
2n n
−
− +
d.

3
2
3 2n
lim
2n 1
+
−
41. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là
+∞
?
a.
2
3
2n 3
lim
n 4
+
+
b.
2
2
2n 3n
lim
2n 1
−
−
c.
2 4
3 2
2n 3n

lim
2n n
−
− +
d.
3
2
3 2n
lim
2n 1
+
−
42. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
1
5
?
a.
2
n
2
n 2n
u
5n 5n
−
=
+
b.
n
1 2n
u

5n 5
−
=
+
c.
2
n
1 2n
u
5n 5
−
=
+
d.
n
2
1 2n
u
5n 5n
−
=
+
43. Nếu
(
)
2 2
L lim n n 2 n 4
 
= + − −
 

 
thì L bằng
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
10
WWW.ToanCapBa.Net
a.
+∞
b.
7 1−
c.
7
2
d. 0
44. Gọi
(
)
2 2
L lim n n 2 n 4
 
= + − −
 
 
. Khi đó L bằng
a.
+∞
b. 6 c. 3 d. 2
45.
2
4n 1 n 2

lim
2n 3
+ − +
−
bằng
a. 1 b.
3
2
c. 2 d.
+∞
46.
cos2n
lim 9
3n
+
bằng
a.
+∞
b.
29
3
c. 9 d. 3
47.
(
)
2 2
lim n 2n n 2n+ − −
có kết quả là
a. 1 b. 2 c. 4 d.
+∞

50. Dãy số nào sau đây có giới hạn
1
3
−
?
a.
2 3
n
3 2
n 3n
u
9n n 1
−
=
+ −
b.
2
n
2
2n n
u
3n 5
− +
=
+
c.
4 3
n
3 2
n 2n 1

u
3n 2n 1
− + −
=
+ −
d.
2
n
3
n 2n 5
u
3n 4n 2
− + −
=
+ −
Giới hạn của hàm số
51.
( )
2
x 1
lim x x 7
→−
− +
bằng
a. 5 b. 7 c. 9 d.
+∞
52.
( )
2
x 2

lim 3x 3x 8
→−
− −
bằng
a.
2−
b. 5 c. 9 d. 10
53.
2
x 1
x 3x 2
lim
x 1
→
− +
−
bằng
a.
1−
b. 1 c. 2 d.
+∞
54.
3 2
x 1
3x x 2
lim
x 2
→−
− +
−

bằng
a. 5 b. 1 c.
5
3
d.
5
3
−
55.
4 5
4 6
x 1
3x 2x
lim
5x 3x 1
→
−
+ +
bằng
a.
1
9
b.
3
5
c.
2
5
−
d.

2
3
−
56.
2 5
4
x 1
3x x
lim
x x 5
→−
−
+ +
bằng
a.
4
5
b.
4
7
c.
2
5
d.
2
7
57.
2 3
2
x 2

x x
lim
x x 3
→−
−
− +
bằng
a.
4
9
−
b.
12
5
c.
4
3
d.
+∞
58.
4 5
4 5
x 1
x 2x
lim
2x 3x 2
→
−
+ +
bằng

a.
1
12
−
b.
1
7
−
c.
2
7
−
d.
−∞
59.
3
2
x 2
x x
lim
x x 1
→−
+
− +
bằng
a.
10
7
−
b.

10
3
−
c.
6
7
d.
−∞
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
11
WWW.ToanCapBa.Net
60.
3
x 1
lim 4x 2x 3
→−
− −
bằng
a. 5 b. 3 c. 1 d.
5−
61.
3
3
2
x 1
x 1
lim
x 3 2
→−

+
+ −
bằng
a. 0 b. 1 c.
3
1
4 2
−
−
d.
2
3
−
62.
4 3 2
4
x
2x x 2x 3
lim
x 2x
→+∞
+ − −
−
bằng
a.
2
−
b.
1−
c. 1 d. 2

63.
4
4
x
3x 2x 3
lim
5x 3x 1
→+∞
− +
+ +
bằng
a. 0 b.
4
9
c.
3
5
d.
+∞
64.
4 5
4
x
3x 2x
lim
5x 3x 2
→+∞
−
+ +
bằng

a.
2
5
−
b.
3
5
c.
−∞
d.
+∞
65.
4 5
4 6
x
3x 2x
lim
5x 3x 2
→+∞
−
+ +
bằng
a.
−∞
b.
3
5
c.
2
5

−
d. 0
66.
4 5
5 4
x
3x 4x 2
lim
9x 5x 4
→+∞
+ +
+ +
bằng
a. 0 b.
1
3
c.
5
3
d.
2
3
67.
4 2
2
x 2
x 4x 3
lim
7x 9x 1
→−

− +
+ −
bằng
a.
1
15
b.
1
3
c.
35
9
d.
+∞
68.
4 2
2
x 1
x 4x 3x
lim
x 16x 1
→−
− +
+ −
bằng
a.
1
8
b.
3

8
c.
3
8
d.
+∞
Giới hạn một bên
69.
x 3
| x 3 |
lim
3x 6
+
→
−
−
bằng
a.
1
2
b.
1
6
c. 0 d.
+∞
70.
3
2
x 1
1 x

lim
3x x
−
→
−
+
bằng
a. 1 b. 0 c.
1
3
d.
+∞
71.
x 1
x 2
lim
x 1
−
→
+
−
bằng
a.
1
2
−
b.
1
2
c.

−∞
d.
+∞
72.
2
x 1
x 1
lim
x 1
+
→
+
−
là
a.
+∞
b. 2 c. 1 d.
−∞
73.
3
2
x 2
x 2x 3
lim
x 2x
−
→−
− +
+
bằng

Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
12
WWW.ToanCapBa.Net
a.
+∞
b.
1
8
c.
9
8
−
d.
−∞
74.
x 0
2x x
lim
5x x
+
→
+
−
là
a.
+∞
b.
2
5

c.
1−
d.
−∞
75.
2
3 2
x 1
x 4x 3
lim
x x
+
→−
+ +
+
là
a.
1−
b. 0 c. 1 d.
+∞
76. Cho hàm số:
( )
2
x 3x 1 x 2
f x
5x 3 x 2

− + <
=


− ≥

víi
víi
. Khi đó
( )
x 2
lim f x
−
→
bằng:
a. 11 b. 7 c.
1−
d.
13−
77. Cho hàm số
( )
3
3
2x 2x x 1
f x
x 3x x 1
víi
víi

− ≥

=

− <



. Khi đó
( )
x 1
lim f x
−
→
bằng
a. – 4 b. –3 c. –2 d. 2
78. Cho hàm số
( )
2
2 x 3
x 1
x 1
y f x
1
khi x 1
8
khi

− +
≠


−
= =



=


. Khi đó
( )
x 1
lim f x
−
→
bằng
a.
1
8
b.
1
8
−
c. 0 d.
+∞
79. Cho hàm số:
( )
2
x 1
x 1
f x
1 x
2x 2 x 1
víi
víi


+
<

=
−


− ≥

. Khi đó
( )
x 1
lim f x
−
→
bằng
a. –1 b. 0 c. 1 d.
+∞
80. Cho hàm số
( )
2
2x
x 1
1 x
f x
3x 1 x 1
víi
víi

<


−
=


+ ≥

. Khi đó
( )
x 1
lim f x
+
→
bằng
a.
−∞
b. 2 c. 4 d.
+∞
Một vài quy tăc tìm giới hạn vô cực (dạng vô định)
81. Cho
2
2
x 1
2x 3x 1
L lim
1 x
→
− +
=
−

. Khi đó
a.
1
L
2
=
b.
1
L
4
=
c.
1
L
4
= −
d.
1
2
−
82. Cho
2
2
x 2
x 4
L lim
2x 3x 2
→−
−
=

+ −
. Khi đó
a.
4
L
5
=
b.
4
L
5
= −
c.
1
L
2
=
d.
1
L
2
= −
83.
2
x 2
x 3x 2
lim
2x 4
→
− +

−
bằng
a.
+∞
b.
3
2
c.
1
2
d.
1
2
−
84.
2
x 2
x 12x 35
lim
x 5
→
− +
−
bằng
a.
+∞
b. 5 c.
2
5
d.

2
5
−
85.
2
x 5
x 12x 35
lim
5x 25
→
− +
−
bằng
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
13
WWW.ToanCapBa.Net
a.
+∞
b.
1
5
c.
2
5
d.
2
5
−
86.

2
2
x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2
→−∞
+ +
+ − +
bằng
a.
2
3
b.
2
3
−
c.
1
2
d.
1
2
−
87.
( )
x
lim x 1 x 3
→+∞
+ − −

bằng
a.
+∞
b. 2 c. 0 d.
−∞
88.
(
)
2
x
lim x x 5 x
→+∞
+ −
bằng
a.
5
b.
5
2
c.
5
2
d.
+∞
89.
(
)
2
x
lim x x 2 x

→+∞
+ −
bằng
a.
+∞
b. 2 c. 1 d. 0
90.
4
t 1
t 1
lim
t 1
→
−
−
bằng
a.
+∞
b. 4 c. 1 d.
−∞
91.
4 4
t a
t a
lim
t a
→
−
−
bằng

a.
2
4a
b.
3
3a
c.
3
4a
d.
+∞
92.
4
3
y 1
y 1
lim
y 1
→
−
−
bằng
a.
+∞
b. 0 c.
3
4
d.
4
3

93.
2 5
4
x
3x x
lim
x 6x 5
→+∞
−
+ +
bằng
a.
+∞
b. 3 c. –1 d.
−∞
94.
2
x
4x 1 x 5
lim
2x 7
→+∞
+ − +
−
bằng
a. 0 b. 1 c. 2 d.
+∞
95.
2
x 0

x 1 x x 1
lim
x
→
+ − + +
bằng
a. 0 b. –1 c.
1
2
−
d.
−∞
96.
3
2
x 1
x 1
lim
x 3 2
→−
+
+ −
bằng
a.
−∞
b. 1 c.
2
3
d.
2

3
−
97.
2
x 5
x 2x 15
lim
2x 10
→−
+ −
+
bằng
a. –8 b. –4 c.
1
2
d.
+∞
98.
2
x 5
x 2x 15
lim
2x 10
→
− −
−
bằng
a. –4 b. –1 c. 4 d.
+∞
99.

2
x 5
x 9x 20
lim
2x 10
→
− −
+
bằng
a.
5
2
−
b. –2 c.
3
2
−
d.
+∞
100.
4 5
4
x
3x 2x
lim
5x x 4
→−∞
−
+ +
bằng

Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
14
WWW.ToanCapBa.Net
a.
2
5
−
b.
3
5
c.
−∞
d.
+∞
101.
3
2
x 1
x 1
lim
x x
→−
+
+
bằng
a. –3 b. –1 c. 0 d. 1
102.
( )
3

x
x
lim x 5
x 1
→+∞
+
−
bằng
a. 0 b. 1 c. 2 d.
+∞
103.
2
3
x 1
x 3x 2
lim
x 1
→
− +
−
bằng
a.
2
3
−
b.
1
3
−
c. 0 d.

1
3
104.
3
2
x
2x x
lim
x 2
→+∞
−
+
bằng
a.
−∞
b. 1 c. 2 d.
+∞
105.
( )
x
lim x 5 x 7
→+∞
+ − −
bằng
a.
+∞
b. 4 c. 0 d.
−∞
106.
2

x 3
3x 7x
lim
2x 3
→
−
+
bằng
a.
3
2
b. 2 c. 6 d.
+∞
107.
2
x 1
2 x 3
lim
1 x
→
− +
−
bằng
a.
1
4
b.
1
6
c.

1
8
d.
1
8
−
108. Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để được một khẳng định đúng.
Cột trái Cột phải
1.
2
x 3
x 2x 15
lim
2x 10
→
+ −
+
bằng a)
7
2
−
2.
2
x 5
x 3x 10
lim
2x 10
→
+ −
+

bằng b) 0
3.
2
x 5
x 2x 15
lim
3x 15
→
− −
−
bằng c)
3
2
4.
2
x 5
x 3x 10
lim
2x 10
→−
+ −
+
bằng d)
8
3
e)
7
2
Nguyễn Xuân Thọ WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101

15