(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.62 MB, 18 trang )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến
ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tác giả sáng kiến: Lê Văn Vượng
Mã sáng kiến: 31.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2019
1

download by :

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Trong các đề thi THPT Quốc gia năm học 2015 - 2016, năm học 2016 - 2018
cũng như đề thi Tuyển sinh Đại học năm học 2014 - 2015 trở về trước, đề thi học sỉnh
giỏi Toán lớp 12 Tỉnh Vĩnh Phúc và các tỉnh trên toàn quốc những năm gần đây, đề
thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT trên tồn quốc chúng ta hay gặp bài
tốn giải phương trình và hệ phương trình. Các bài tốn này đều là bài toán ở mức độ
vận dụng. Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán hệ phương trình này ta khơng thể
dùng các cách giải hệ phương trình học ở lớp 10 như: Biến đổi tương đương thông
thường để đưa về hệ thức Viet, hệ phương trình đối xứng loại I, loại II,…để giải.
Trong đề thi THPT quốc gia 2017 thi Tốn bằng hình thức trắc nghiệm kiến thức thi
trong chương trình 12, đề thi THPT quốc gia 2018 thi Tốn bằng hình thức trắc
nghiệm kiến thức thi trong chương trình lớp 11,12, đề thi thử Toán 12 THPT quốc gia

2019 theo hướng dẫn của Bộ Giáo dục và Đào tạo thi Tốn bằng hình thức trắc
nghiệm kiến thức thi trong chương trình Toán 11, 12 trọng tâm là kiến thức Toán 12.
Khi hướng dẫn học sinh giải các bài tốn hệ phương trình sử dụng hàm số để
học sinh hiểu bài và tìm tịi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo
hướng tích cực , tư duy, sáng tạo trong giải toán.
Với mỗi người giáo viên việc đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện
bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của
người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học
sinh vận dụng được cái gì qua việc học.
Trong SKKN này tôi sẽ nêu hai vấn đề chính:
+ “ Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình ” Giáo viên hướng dẫn học
sinh giải tốn.
+ “ Cách ra hệ phương trình sử dụng hàm số ”. Giáo viên ra đề.
2. Tên sáng kiến:

“Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Lê Văn Vượng.
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên trường THPT Bình Xuyên.
- Số điện thoại: 0988560979,
E_mail: .
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Văn Vượng GV THPT Bình Xuyên.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bài tập Đại số 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, thi
THPT quốc gia theo lộ trình.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/12/2017
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Nội dung của sáng kiến:
7.1.1 Nội dung:
2

download by :

NỘI DUNG
ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. Cơ sở lý thuyết
Cho hàm số
luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên
tập D:
1/ Nếu tồn tại
sao cho
thì trên D phương trình
có
nghiệm duy nhất
.
2/ Nếu
.
3/ Khi cho hệ phương trình hai ẩn (x;y) sử dụng hàm số thường bài toán có
hướng giải sau:
a/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào
phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn.
b/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x
và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn bằng phương pháp hàm
số.
II. Áp dụng
A/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào
phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn.
Cho hàm số
luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục

trên tập D nếu tồn tại
sao cho
thì trên D phương trình
có
nghiệm duy nhất
.
Bài tập 1 Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện
(*).
Ta thấy x =0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Xét
. Từ phương trình (1) chia hai vế cho
ta được
(3)
Xét hàm số
đồng biến và liên tục trên R.
Từ (3)

với

,

Hàm số luôn

thay vào (2) ta được:

hoặc
3

download by :

+ Với
+ Với
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình

,

Bài tập 2 Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện

(*).

Phương trình (1)
Xét hàm số
và liên tục trên R.
Từ (3)

.
với

Hàm số luôn đồng biến

,

thay vào (2) ta được:
.

Vậy nghiệm của hệ phương trình

Bài tập 3 Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn:
Phương trình (1)
Xét hàm số

với

,

Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
Từ (3)
thay vào (2) ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình

4

download by :

Bài tập 4 Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện
Ta nhận thấy
Xét

(*). Từ phương trình (1)
không là nghiệm của hệ phương trình.

Phương trình (1)

Xét hàm số
biến và liên tục trên R.

với

Hàm số luôn đồng

,

Từ (3)

thay vào (2) ta được:
(4)

Đặt

phương trình (4)

(5)

Xét hàm số

.

Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
Ta thấy u=0 là nghiệm của phương trình (5)

x=1

Vậy nghiệm của hệ phương trình

thỏa mãn (*).

.

Bài tập 5 Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện

(*).

Ta nhận thấy
Phương trình (1)
Xét hàm số

(3)

với

,

Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
Từ (3)
thay vào (2) ta được:

5

download by :

thỏa mãn (*).

Vậy nghiệm của hệ phương trình

hoặc

Bài tập 6 Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện

.

Phương trình (1)

(3)

Xét hàm số
với
,
Hàm số luôn nghịch biến và liên tục trên
.
Từ (3)
thay vào (2) ta được:

Thỏa mãn (*)
Vậy nghiệm của hệ phương trình

.

Bài tập 7 Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn: Rút 3y từ (1) thay vào (2) ta được
(3)
Xét hàm số

với

,

hàm số luôn đồng biến và liên tục trên
Từ phương trình (3)

thay vào (2) ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình

.

Bài tập 8 Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
Phương trình (1)

(3)
6

download by :

Xét hàm số
với
,
Hàm số luôn nghịch biến và liên tục trên R.
Từ (3)
thay vào (2) ta được:

Điều kiện
.
Đặt

(*) Ta được

Trừ vế với vế ta được
+ Với x=y thay vào (4) ta được x =u =2

là nghiệm

+ Với x+y+1=0 thay vào (4) ta được

là nghiệm

Vậy nghiệm của hệ phương trình

.

Bài tập 9 Cho hệ phương trình:

Giả sử hệ phương trình có nghiệm
A. 10

bằng

B. 15

C.

Hướng dẫn: Điều kiện

D.

.(*)

Phương trình(1)

(3)

Xét hàm số

,
Hàm số luôn đồng biến trên R.

Từ (3)

.

Thay vào (2) ta được
Đặt

điều kiện

Phương trình (1)

(**).
(2)

,

đồng biến trên

.

Hàm số g(k) ln

Từ (2) ta có
7

download by :

Chọn (D)

Bài tập 10 Hệ phương trình:
Có bao nhiêu nghiệm?

A.1

B.2

C.3

D.4

Hướng dẫn: Do

.

Bằng cách nhân hai vế phương trình (1) với

ta được
(3)

Xét hàm số

,

. Ta có
Hàm số ln đồng biến trên

Từ phương trình (3) ta có
Thay
vào (2) ta được
nên hệ phương trình có 2 nghiệm chọn (B)

.
phương trình có 2 nghiêm

Nhận xét:
Trong 10 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên
cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài tốn ở góc nhận biêt, thơng hiểu như:
Từ mợt phương trình của hệ có chuyển về phương trình đơn giản ngay được
khơng, có phân tích nhân tử được không … Tiếp theo ta thấy có 1 phương trình của
hệ có thể dùng phương pháp hàm số để giải đưa về mối quan hệ x và y sau đó thế vào
phương trình còn lại để được phương trình 1 ẩn để giải…
Bài tập Giải các hệ phương trình sau
1/
2/
3/

4/
8

download by :

5/
B/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ
x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn dùng phương
pháp hàm số để giải.
Cho hàm số
luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục
trên tập D nếu tồn tại
sao cho
thì trên D phương trình
có
nghiệm duy nhất
.
Bài tập 11 Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện

.

Phương trình (1)
Thay vào (2) ta được
Điều kiện

. Xét hàm số

Ta có

liên tục trên
,

Bảng biến thiên:

x

2

y’

0

+

y

Ta có

4

3
-

2

x =3 là nghiệm của phương trình

mãn (*). Vậy nghiệm của hệ phương trình

. Với x=3

y=3 thỏa

.

Bài tập 12 Giải hệ phương trình:

Xét

Hướng dẫn:Ta thấy y =0 không là nghiệm của hệ phương trình.
chia hai vế của phương trình (1) cho ta được
thay vào (2) ta được
(3)
9

download by :

Xét hàm số:

liên tục trên R
Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.

Ta có

y =1. Vậy nghiệm của hệ phương trình

.

Bài tập 13 Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn: Phương trình (1)
Thay vào (2) ta được

(3)

Xét hàm số
Hàm số đồng biến và liên tục trên
Ta có
. Từ (3)
Vậy nghiệm của hệ phương trình

.

…

Bài tập 14 Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn: Điều kiện

Phương trình (1)

(3)

Xét
từ phương trình (3) vế trái lớn hơn vế phải
Xét
từ phương trình (3) vế trái nhỏ hơn vế phải
Xét x=y vế trái bằng vế phải

Vậy x=y thay vào (2)
(1)
Hướng dẫn: Điều kiện
(*)
Phương trình (1)
Xét hàm số

(2)
,

Hàm số luôn đồng biến trên R.

Từ (2)

y=2 là nghiệm

của phương trình . Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(2;2)
Bài tập 15 Giải hệ phương trình:
10

download by :

Hướng dẫn: Điều kiện

(*)

Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình.
Xét

chia hai vế của (1) cho

ta được

thay vào (2) ta được

(3)

Phương trình (3)

Xét

(4)

,

hàm số ln

đồng biến trên R. Từ phương trình (4) ta có

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Bài tập 16 Cho hệ phương trình:
Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm

và

MN bằng?
Hướng dẫn: Điều kiện

(*)

Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được
Với x=y thay vào (2) ta được

(2)
Xét

,

Hàm số luôn đồng biến trên R.
11

download by :

Từ phương trình (2) ta có
là nghiệm cần tìm . Với
Vậy

Chọn (B)

Bài tập 17

Cho hệ phương trình:

Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm
trung điểm của MN có tọa độ là? A.(0;0)
Hướng dẫn: Điều kiện
(*)

B.(1;2)

và
C.(3;-1)

D.(2;-3).

Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được
Với x=y thay vào (2) ta được
Điều kiện
. Hàm số

là hàm chẵn trên

Xét

hàm số ln nghịch

biến trên

. Ta có

x = 2 là nghiệm.

Xét

hàm số ln đồng

biến trên

. Ta có

x = - 2 là nghiệm

Với
Vậy
Tọa độ trung điểm của MN là (0;0)

Chọn (A)

Bài tập 18 Hệ phương trình:

có bao nhiêu

nghiệm? A.0
B.1
C.2
D.3
Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình.
Xét

chia hai vế của (1) cho

ta được

thay vào (2) ta được
Xét hàm số

12

download by :

Xét

,

g(t) là hàm số đồng

biến trên R.
Ta có

nên f(x)

đồng biến trên R . Ta có
x =1 y=1.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x;y) =(1;1)
Chọn (B)
Bài tập 19 Cho hệ phương trình:
Giả sử hệ phương trình có nghiệm
trong các khoảng sau?
Hướng dẫn: Điều kiện
(*)

tḥc khoảng nào

Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được
Với x=y thay vào (2) ta được

(3)

Phương trình (3)

(4)

Xét

,

Hàm số ln đồng biến trên
Từ (4)

.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Chọn (C).

Bài tập 20 Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn: Phương trình (1)
Phương trình (2)
Xét hàm số

(3)
với

ta có bảng biến thiên

13

download by :

x

1

-1

-

f’(x)
f(x)

26
6

Phương trình (3) có

vậy phương trình (3)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(6;6)
Bài tập 21 Giải phương trình

Hướng dẫn: Điều kiện

(*)

Phương trình (1)

(3)

Xét
từ phương trình (3) vế trái lớn hơn vế phải
Xét
từ phương trình (3) vế trái nhỏ hơn vế phải
Xét x=y vế trái bằng vế phải
Vậy x=y thay vào (2)

(4)

Giải phương trình (4) Điều kiện
Phương trình (4)

(5) .

Ta thấy vế phải
có bảng biến thiên

. Xét hàm số
x

-1

y

0

ta

1

0

-

y’

với

+

6

8
1

Phương trình

là nghiệm cần tìm.
14

download by :

Vậy (x;y)=(0;0)
Bài tập 22 Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện

Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình.
Xét

chia hai vế của (1) cho

ta được

thay vào (2) ta được
Ta thấy x=0 khơng là nghiệm phương trình (3).
Xét x>0 chia hai vế của phương trình (3) cho

ta được:

Xét
,
Hàm số ln đồng biến trên R.
Từ phương trình (2) ta có
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(1;1).
Nhận xét:
Trong 12 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên
cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài tốn ở góc nhận biêt, thơng hiểu như:
Có biến đởi 1 phương trình của hệ phương trình tìm mới liên hệ x,y có phân
tích nhân tử được khơng … khi đã có mối quan hệ x và y ta thay vào phương trình
còn lại của hệ và dùng hàm số để giải.

Cách ra “Hệ phương trình sử dụng hàm số để giải”
Bước 1: Xây dựng một phương trình hai ẩn để tại mối quan hệ x và y sử dụng
1/ Viét đảo
2/ Đẳng cấp ví dụ
3/ Đánh giá được mối quan hệ x và y

15

download by :

Bước 2:
Xây dựng một phương trình hai ẩn để thay mối quan hệ x và y sử dụng ở bước
1 thay vào được phương trình 1 ẩn sử dụng hàm sớ
1/
2/

với

4/

trong đó

ln

là hàm số ln đồng biến hoặc ln nghịch biến trên R.
5/
6/
với ac>0
Bước 3:
Với phương trình đã lập ở bước 2 ta giải bài toán này bằng cách biến đổi theo
chiều xi kiểm tra tính chính xác, mức độ đề để điều chỉnh và kết thúc ra đề.
Bài tập Giải các hệ phương trình sau
1/

2/

3/

4/

5/

7.1.2 Danh mục tài liệu tham khảo:
[1]. Đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi THPT quốc gia mơn Tốn..
[2]. Đề thi HSG Tốn 12 Tỉnh Vĩnh Phúc.
[3]. Sách giáo khoa Bài tập giải tích 12 nâng cao Nxb.Giáo dục.
[4]. Các đề thi thử ĐH của khối chuyên ĐHSP Hà Nội.
16

download by :

7.2 Khả năng áp dụng của sáng kiến:
SKKN này đã được áp dụng cho học sinh 12, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 .
SKKN này đã được áp dụng cho giáo viên: Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho
giáo viên cách ra bài tập hệ phương trình vơ tỷ sử dụng hàm số.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Học sinh lớp 12 sau khi học tính đơn điệu hàm số, bồi dưỡng học sinh khá giỏi,
kiến thức áp dụng thi THPT quốc gia theo lộ trình. Tài liệu cho giáo viên bồi dưỡng
thường xuyên.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng
sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
- So sánh lợi ích kinh tế, xã hội thu được khi áp dụng giải pháp trong đơn so

với trường hợp khơng áp dụng giải pháp đó, hoặc so với những giải pháp
tương tự đã biết ở cơ sở (cần nêu rõ giải pháp đem lại hiệu quả kinh tế, lợi ích xã hội
cao hơn như thế nào hoặc khắc phục được đến mức độ nào những nhược điểm của
giải pháp đã biết trước đó - nếu là giải pháp cải tiến giải pháp đã biết trước đó);
- Số tiền làm lợi (nếu có thể tính được) và nêu cách tính cụ thể.
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả:
Đề tài này đã được tác giả dạy cho học sinh lớp 12 lớp đầu cao, bồi dưỡng học
sinh giỏi, ôn thi THPT quốc gia năm học trước. Giúp học sinh làm tốt các bài toán
giải phương trình vơ tỷ sử dụng phương pháp hàm số.
Sáng kiến kinh nghiệm này là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên và học
sinh. Độc giả quan tâm có thể bổ sung thêm làm cho tài liệu thêm phong phú và hấp
dẫn hơn
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
.....................................................................................................................................
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng
sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số
Tên tổ
TT chức/cá nhân
1

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

17

download by :

2

............., ngày…...tháng......năm........
Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)

Bình Xuyên, ngày 18.tháng 01 năm 2019
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)

Lê Văn Vượng

18

download by :

(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về