Sử dụng phương pháp hàm số vào giải hệ phương trình

Câu1. (3,0 điểm)
Cho hàm số
2
f x 2mx x 2x 2m( ) ,= + +
với mlà tham số.
Xác định m để hàm số nghịch biến trên R.
Câu 2. (3,0 điểm)
Cho đờng tròn (C) có phơng trình: x
2
+ y
2
2x 6y + 1 = 0 và A(1; 6)
thuộc (C). Lập phơng trình đờng tròn đi qua M(2; -1) và tiếp xúc với
đờng tròn (C) tại A.
Câu 3. (3,0 điểm)
Giải phơng trình sin2x cosx = 1 + log
2
sinx ; với
x 0
2
( ; )


.
Câu 4. (3,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hệ sau luôn có nghiệm (x;y):
2 2
mx 2y m
x y 2mx y 0
>

+ + =

Câu 5. (2,0 điểm)
Giả sử hàm số
[ ] [ ]
f 0 1 0 1: ; ;
liên tục có đạo hàm trên khoảng (0;1), ngoài
ra f(0) = 0, f(1) =1. Chứng minh rằng tồn tại a, b
0 1( ; )
sao cho a b và
f(a)f(b)=1.
Câu 6. (3,0 điểm)
Với mọi x,y 0. Chứng minh rằng:
8 8 6 2 2 6 5 3 4 4 3 5
2 0+ + + + x y x y x y x y x y x y
Câu 7. (3điểm)
Cho a, b là các số dơng. Chứng minh:
b
a 1 a 1 e a 1 b 1( )ln( ) ( )( )+ + + + +
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ..
Sở giáo dục - đào tạo
Thái bình
*****
đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THpt
Năm học 2007-2008
Môn: toán
Thời gian làm 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đáp án và biểu điểm

Câu1(3đ)
*)( 0,75đ) Điều kiện cần để hàm số nghịch biến trên R là hàm số phải xác định trên R hay bất
phơng trình
2
x 2x 2m 0+ +
(1) phải đúng với mọi x
1
1 2m 0 m
2


*) Điều kiện đủ: Xét
1
m
2

với hai trờng hợp sau:
TH1: (0,75) Nếu
1
m
2
=
thì
2
f x x x 2x 1( ) = + +


2x 1
R
f x x x 1 f x

với x> -1
1 với x 1
Do đó f(x) không nghịch biến với mọi x (loại)
( ) ( )






= + =
TH2: (1) Nếu m > 1/2 thì
2
x 2x 2m 0 x R+ + >
. Vậy
x R
ta có
2
x 1 2m x 2x 2m x 1
f x 2m f x
2 2
x 2x 2m x 2x 2m
( )
'( ) '( )
+ + + +
= =
+ + + +
Do đó bất phơng trình f(x) < 0
2
2m x 2x 2m x 1 0( ) + + + <

2
2m x 2x 2m x 1 0 2( ) ( ) + + + + >
Vì
1
m 2m 1
2
> >
và
2 2
x 2x 2m x 2x 1 x 1 0+ + > + + = +

2
2m x 2x 2m x 1 x 1 x 1 0( ) + + + + > + + +
(0,5) Vậy (2) đúng với mọi x hay f(x) < 0 đúng

x khi m >1/2
KL: m >1/2.
Câu2. (3điểm)
*)(1) Đờng tròn (C) có tâm I(1;3). Gọi I là tâm của đờng tròn (C) tiếp xúc với (C) tại
A(1;6) và đi qua M(2;-1)

I thuộc đờng thẳng IA. Mà
IA 0 3( ; )=
uur
; vậy ta chọn
n 0 1( ; )=
r
là

véc tơ pháp tuyến của IA

phơng trình đờng thẳng IA là x-1=0.
*) (1) Mặt khác (C) qua A và M nên I thuộc đờng trung trực của đoạn AM Gọi J là trung
điểm của AM


3 5
J
2 2
( ; )
và
AM
uuuur
=(1; - 7)

Phơng trình đờng trung trực của đoạn AM là
3 5
x 7 y 0 x 7y 16 0
2 2

= + =
ữ ữ

*) (1) Vậy toạ độ I là nghiệm của hệ:
x 1
x 1 0
17
I 1
17

x 7y 16 0 7
y
7
;
=

=





ữ
+ =
=





(C ) có bán kính là
2
24 25
r I M 1
7 7
'

= = + =
ữ

*) Phơng trình đờng tròn là
2
17 625
y
7 49
2
(x-1)

+ =
ữ

2
C
1
2x c
0 1
t t v 0 1 ta c
1 0 t 0 1
2
2
âu 3.
*)( đ) x 0; sinx,cosx>0
2
Phương trình log s in2x sin log osx - cosx
*) (1đ) x 0; s in2x ( ; ], cosx (0;1)
2
Xét hàm số f(t)=log , ới t ( ; ) ó
1
f'(t)= ( ; ) f(
t.ln2

ữ

=



ữ


> t) đồng biến.
*) (1đ) Mà phương trình có dạng f(sin2x)=f(cosx) sin2x=cosx
sinx=1/2 x= .
6



2 2 2 2
C
y 2mx y 0 x m y 1 2 m 1 4
2
âu 4(3 điểm).
*) (2đ) Xét phương trình x ( ) ( / ) / (1)
Bất phương trình: mx-2y > m mx-2y-m > 0 (2)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta có (1) là phương trình đường tròn tâm I(m;-
+ + = + + = +

2

m 1 4 m 2
2
1/2);
bán kính R mà R / . : ( ) là tập hợp các điểm M(x;y) thuộc nửa mặt phẳng (D)
có bờ là đường thẳng (d):mx-2y-m=0 ((D) nằm phía trên (d)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi đường tròn (I,R) và
= +
2
1
2y m m 1 m 0
1 1 1
miền (D) có điểm chung
*)(1đ) Gọi I(x ;y ) ta có : mx ,đúng với mọi m. vậy tâm I của
đường tròn luôn thuộc miền (D). Do đó đường tròn (I,R) luôn có điểm chung với (D).
Hệ có nghiệm với m
= + >
ọi m
Câu5:
*) (1đ) Giả sử hàm số f(x) thoả mãn điều kiện bài toán.
Xét hàm số g(x)=f(x)+x-1 xác định trên đoạn [0;1].
Vì hàm số này liên tục (do f(x) liên tục), hơn nữa
g(0)=-1, g(1)=1,
nên tồn tại
f 1 f c
f b
1 c
f a f b 1
a (0;c), b (c;1) để:
f(c)-f(0) ( ) ( )
*)(1đ) f'(a)= , '( )

c
'( ) '( )


=

=
Câu 6: (3đ)
*) (1) Đặt
; |t| 2.
x y
t
y x
= +
2 2
2
2 2
2
x y
t
y x
+ =
do đó
4 4
4 2
4 4
2 4 4
x y
t t
y x

+ + = +
4 2 2
4 2
( ) 4 2 ( 2)
= t 5 4
A f t t t t t
t t
= = + +
+ +
*)(1) Có :

3
2
'( ) 4 10 1
"( ) 12 10
f t t t
f t t
= +
=
Vì
| | 2 "( ) 0 '( )t f t f t >
đồng biến nên:
2 '( ) '(2) 0
2 '( ) '( 2) 0
t f t f
t f t f
> > >
< < <
*) (1)Lập bảng biến thiên ta đợc MinA=Min
( )f t

=- 2 với
|t| 2
khi t=-2 hay x=-y
Vậy
4 4 2 2
4 4 2 2
2

+ + + +
ữ

x y x y x y
y x y x y x
đợc chứng minh.
b c
c c b
c b
c
C
c e e b 1
e c b e e 1 c x
0 5 N
e e
e
c b
c c
x x
âu7.(3đ)
*) (1đ) Đặt c=ln(a+1) c>0 và a+1=e Bđt của đề bài e . ( )
( ) ( ). xét hàm số f(x)=e , ó f'(x)=e

*)( , đ) ếu c=b thì (1) đúng.
( )
*) (1đ) Nếu c>b ta có (1)
+ +




c b
t
t
e e
2 e 3
c b
m e 4
c
( )
( ). Theo định lý Lagăng tồn tại t (a;c) để: ( ),
à c>t>b e ( ) . Từ (3) và (4) suy ra (2) đúng. Vậy (1) đúng.
*)(0,5đ) Tương tự với b>c.
Vậy (1) được chứng minh. Dấu bằng xảy r

=

>
a khi c=b hay b=ln(a+1).
Ngời thẩm định Ngời soạn đề

GV: Vũ Văn Cẩn

Hiệu trởng ký duyệt