Sử dụng phương pháp hàm số vào giải hệ phương trình

S ử d ụ ng ph ương pháp hàm để giải, biện luận hệ phương trình:
I-Phương pháp
Thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình xác định.
Bước 2: Chọn một phương trình của hệ có thể dùng phương pháp hàm số để giải.
Lưu ý:
*) Cũng có khi phải thực hiện một số thao tác ( cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình của hệ
hoặc sử dụng phương pháp thế mới xuất hiện được phương trình mà ta sẽ sử dụng phương pháp
hàm).
*) Có những bài phải khai thác điều kiện xác định mới bộc lộ được phương pháp hàm.
*) Lại có những bài buộc phải xét sự biến thiên của y'=f'(x) tức là sử dụng phương pháp hàm hai lần
hoặc nhiều hơn thế.
*) Nếu f(t) đồng biến (hoặc chỉ nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(u)=f(v)
⇔
u=v
*) Nếu phương trình có dạng f(x)=g(x) mà chứng tỏ được

( )
0 0
f(x)®ång biÕn cßn g(x) nghÞch biÕn hoÆc lµ hs h»ng
f(x ) g x



=



Thì suy ra được x
0
là nghiệm duy nhất

Bước 3: Giải hệ mới nhận được.
II- Bài tập:

1.Giải hệ phương trình sau:
a)
tgx tgy y x
; x,y (- ; )
2x 7y 3 2 2
− = −

π π
∈

+ = π

b)
( ) ( )
x y
2 2
2 2 y x xy 2
x y 2

− = − +


+ =


c)
2

2
1
2x y
y
1
2y x
x

= +




= +


2. Cho hệ phương trình:

+ = +


+ = +


x
y
3 x 3m y
3 y 3m x

a. Giải hệ với m=1.

b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
3. Cho hệ phương trình:
( ) ( )
x y
2 2
3 3 y x xy m
x y m

− = − +


+ =


a. Giải hệ với m=8.
b. Tìm m để hệ có nghiệm.
4. Cho hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
3
2 2 2 2
2 x 2 y
log (x y 3) 1 x y
log 8x 2y 2m 4m log 4y 2my 2m
+ +
− + = − +



− + − = + −



a. giải hệ phương trình với m=1.
b. Xác định m để hệ có hai cặp nghiệm (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) thoả mãn

( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2
x 3x 3y y 1 (*)+ + + >
5. Cho hệ phương trình
( )
2
ln x ln y y x
x m x 2y 2 0
− = −



− + + =


a. Giải hệ phương trình với m=1

b. Xác định m để hệ có hai cặp nghiệm phân biệt.
6. Giải và biện luận hệ phương trình:
x y x y
2
2 4
x y x y
2
3 6
m m m m
n n n n
− −
+ +

− = −



− = −

Một số hệ phương trình khác
Bài 1: chứng tỏ rằng với a khác 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
2
2
2
a
2x y
y
a
2y x

x

= +




= +


(đối xứng loại hai quy đồng trừ vế cho vế xuất hiện nhân tử chung)
Bài 2: Cho hệ phương trình:
2 2 2
x y z a
x y z b
1 1 1 1
x y z c


+ + =


+ + =



+ + =


1. Tính tổng T=x

3
+y
3
+ z
3
theo a, b, c.
2. CMR c ó nghi ệm duy nh ất v ới a=0, b=-2, c=-2.
HD
3
1
T [(x+y+z) 3(x y z)(xy yz zx) 3xy]
2
= − + + + + +
B ài 3: T ìm t ất các giá trò của a để hệ sau có nghiệm
2 2
2 2 4 3 2
x 2xy 3y 8
2x 4xy 5y a 4a 4a 12 105

− − =


+ + = − + − +


(hệ đẳng cấp bậc hai: xét y=0, đặt x=ty)
Bài 4: Giải hệ phương trình :
x y 1 2x y
2x y x y
x.2 3y.2 2 (1)

2x.2 3y.8 1 (2)
− + +
+ +

+ =


+ =


(hãy để ý đến lũi õ thừa và mối quan hệ giữa hai phương trình)
Bài 5: Giải và biện luận theo a hệ phương trình:
9
9
| a 1| . a
x y log a
a 1
| a 1| . a
x y xy log a
a 1

−
+ = +


−

−

+ − = +


−

( đặt VP= k và biện luận theo k rồi trả lại BL theo tham số a)
Bài 6 Giải hệ phương trình:
a.
x
y
2 2x 3 y
2 2y 3 x

+ = +


+ = +


b.
x y
2 2
3 3 y x
x xy y 12

− = −


+ + =


c.

2x 3y ; 0<x,y<
x sin y y sin x
+ = π π


− = −

d.
5x 8y 2 ; 0<x, y<
cotgx-cotgy=x-y
+ = π π



e.
cosx cos 2y x 2y (1)

0 x, y ; tgx=3tgy (2)
− = −


≤ ≤ π

Bài 7: Tìm m để hệ phương trình :
2 2
x 4y m(x 2)
2 4.2
mx y 2m 2 0
+ −


=


− − − =


Có hai cặp nghiệm (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) thoả mãn (x
1
- x
2
)
2
+ (y
1
- y
2
)
2
=
32
5
Bài 8: Tìm m để hệ sau có nghiệm

2x 2y
x y x 2y
2 4 2
2 4 2 1 m
+

+ =


+ − = −


(Thử sử dụng phương pháp đồ thò )
Bài 9: Cho hệ phương trình:
2
x y
x y b b 1
;(a 0)
1
a a
2

+ = − +

>

+ =


a. Giải hệ với b=1.

b. Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b
∈
[0; 1].
Bài 10. Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình :
( )
2 2
2(m 1)
2
log (x y ) 1
x y 4
+

+ =


+ =


(sử dụng phương pháp đồ thò).
Bài 11. Tìm a
≥
0 để hệ sau có nghiệm:
3 2
2
35
sin x.cos y a a 6a
4
33
cosx.sin y a 6a
4


= − − +




= − +


Bài 12. Chứng minh hệ sau có nghiệm duy nhất:
2 3 2
2 3 2
2 3 2
x y y y a
y z z z a
z x x x a

= + + +

= + + +


= + + +
