(SKKN mới NHẤT) SKKN sử dụng phần mềm toán học giải và tạo câu hỏi trắc nghiệm vận dụng cao trong các đề minh họa môn toán

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE

----------

BẢN MÔ TẢ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI

SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC
GIẢI VÀ TẠO CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO
TRONG CÁC ĐỀ MINH HỌA MƠN TỐN

Năm học : 2017 - 2018

1

download by :


1.Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC GIẢI VÀ TẠO CÁC CÂU TRẮC
NGHIỆM VẬN DỤNG CAO TRONG CÁC ĐỀ MINH HỌA MƠN TỐN
Trần Thanh Liêm – Trường THPT Chuyên Bến Tre
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn.

3. Mơ tả bản chất của sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Đề tài này xin đóng góp một số ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào việc giải toán,
tạo câu hỏi trắc nghiệm tạo các câu hỏi tương tự một cách chính xác, nhanh chóng; với
lời giải rõ ràng và hình vẽ minh họa trực quan.
Trong đề minh họa mơn tốn của Bộ Giáo Dục và các đề thi thử của các tỉnh trong

năm học 2017-2018 có một số thay đổi cơ bản là có khoảng 15 câu hỏi khó, vận dụng
cao mà thí sinh phải giải bằng tự luận một cách nhanh chóng chính xác; học sinh khơng
thể chỉ dựa vào bấm máy tính để suy luận, dự đoán ra kết quả được. Một số giải pháp đưa
ra trong những năm trước là khai thác các tính năng của máy tính cầm tay để dự đốn kết
quả hoặc tìm ra chính xác kết quả một cách nhanh chóng, nhưng với đề minh họa năm
nay thì ưu thế của máy tính chỉ giải được một số câu nhất định.
Do vậy , để đạt kết quả bài thi với điểm số 8, 9, 10 thì học sinh phải có một nền
tảng kiến thức vững chắc, có sự thơng minh, nhạy bén và phải có kỹ năng giải bài tốn
nhanh chóng chính xác chứ khơng phải chỉ dựa vào trí nhớ và sự phỏng đốn hoặc nhờ
sự trợ giúp của máy tính cầm tay.
Đề tài này nhằm giúp giáo viên hiểu rõ vấn đề hơn khi phải giải thích những bài
tốn khó, những bài tốn vận dụng cao. Nhờ các phần mềm tốn học giáo viên có thể tính
tốn nhanh chóng, chính xác vẽ được các hình ảnh minh họa trực quan, có những ví dụ và
chứng minh trực quan, thuyết phục.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
Trong SKKN nầy chúng tôi sẽ đề cập đến các vấn đề mà chúng tôi đã thực hiện
thành cơng và có hiệu quả trong thời gian qua.
Sau đây tơi xin đóng góp một cách xây dựng các câu hỏi khó bằng cách sử dụng
phối hợp các phần mềm như Mathcad, Mathematica, Cabri 3D …để lập một chương trình
cho kết quả tự động một cách chính xác, có lời giải rõ ràng càng tốt; khi đó chỉ cần thay
đổi số liệu ta có ngay kết quả khác từ đó xây dựng phương án nhiễu hoặc tạo bài tốn
mới nhanh chóng, chính xác.

2

download by :


Cách sử dụng các phần mềm trên đã có nhiều sách hướng dẫn trên thị trường hoặc
trên Internet hoặc đã được Sở Giáo Dục tập huấn trong thời gian trước.

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
1) Sử dụng phần mềm Mathcad, Mahematica, Cabri 3D giải một số câu vận dụng
cao :
Trong đề tài này chúng tôi giới thiệu một phương pháp để giải một số câu vận dụng cao
và sử dụng các phần mềm toán học Mathcad, Cabri 3D, Mathematica để tạo các bài toán
tương tự hoặc bài toán mới.
Bài toán 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất
của hàm số

trên đoạn

A.

bằng 3. Số phần tử của S là:

B.

C.

D.

(Trích câu 36 đề minh họa của Bộ Giáo Dục 2017-2018)

Cách giải 1 :
Xét hàm số

trên đoạn

Ta có:

có:
Do đó
Nếu
Nếu

suy ra

TH1:

(thỏa)

TH2:
Vậy

(thỏa)
là giá trị cần tìm.

Cách giải 2 :
Từ đề bài ta suy ra :

3

download by :


Vì ứng với giá trị lớn nhất nguyên nên m phải là số nguyên , do đó
Ở trên chỉ là điều kiện cần, ta phải thử lại chỉ có m =-1 , m =1 là thỏa mãn đề bài.
Nhận xét : Mỗi cách giải đều có ưu điểm riêng, cách giải 1 sẽ phức tạp hơn nhiều nếu
đạo hàm có nhiều nghiệm hơn ; cách giải 2 quen thuộc , dễ hiểu hơn đối với học sinh vì ít
phải biện luận các trường hợp hơn. Dựa vào cách giải 2, ta phân tích giải bài tốn bằng

Mathematica và tạo bài toán mới.
Giải bằng Mathematica :
Từ đề bài ta suy ra :

Ta tìm

Vậy

và

bằng các lệnh như sau :

suy ra có 3 giá trị nguyên của m là m= -1;0;1

Học sinh có thể thử lại bằng chức năng Table của máy tính cầm tay khi thay lần lượt
m = -1; m = 0 ; m =1. (Thực ra muốn chính xác hơn học sinh phải thế m vào hàm số khảo
sát nhanh ).
Trong Mathematica ta cũng có lệnh Table tương tự trong máy tính cầm tay :

Lệnh này cho giá trị của hàm số trên đoạn
với bước nhảy là ¼ , theo kết quả hiện
ra thì giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3. Tương tự :

4

download by :


Trong giảng dạy, giáo viên muốn minh họa trực quan hơn để học sinh thấy thuyết phục
hơn, có thể vẽ đồ thị hàm số bằng Mathematica như sau :

Theo đồ thị, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] bằng 2 nên loại.
Vậy đáp số m = -1; m = 1.
Trên đây là cách giải cụ thể bằng lệnh của Mathematica. Tuy nhiên để sáng tạo bài toán
mới với kết quả nhanh chóng ta có thể lập một lệnh đặc biệt như sau :

Kết quả hiển thị nhanh chóng chính xác, lệnh này giúp giáo viên tạo bài toán mới :

5

download by :


Vậy ta có bài tốn mới :
Bài tốn 1.1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số
A.

trên đoạn
B.

bằng 5. Số phần tử của S là:

C.

D. 3

Ta chỉ cần thử lại với m =0 , m=1, m=2.

Vậy m =0 nhận vì giá trị lớn nhất bằng 5.

Vậy m = 1 loại vì giá trị lớn nhất bằng 4.Có thể kiểm bằng đồ thị :

6

download by :


Vậy m =2 nhận vì giá trị lớn nhất bằng 5.
Vậy có 2 giá trị của m thỏa bài tốn.
Khơng phải lúc nào bài tốn dạng trên cũng có nghiệm, Mathematica sẽ cho ta kết quả
tức thì, giáo viên khơng phải mất cơng sức để giải bài tốn :
Bài tốn 1.2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số
A.

trên đoạn

bằng 4. Số phần tử của S là:

B.

C.

D. 3

Vậy bài tốn trên vơ nghiệm. Chọn C.
Ta có thể điều chỉnh đoạn cần xét, giá trị lớn nhất để có số giá trị m như ý muốn.

7

download by :


Bài toán 1.2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số
A.

trên đoạn

bằng 2. Số phần tử của S là:

B.

C.

D. 3

Thử lại :

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 nên nhận m =0. Chọn A.
Tương tự cách làm trên ta tạo được một số bài toán tương tự như sau :
Bài toán 1.3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số
A. -2

trên đoạn

bằng 4. Tổng các phần tử của S là:

B.

C.

D. 3

Thử lại chỉ nhận 2 giá trị m= -2; m =0.
Bài toán 1.4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số
A.

trên đoạn

bằng 4. Số phần tử của S là:

B.

C.

D. 3

Chọn m = -1

8

download by :


Nếu chỉnh lại giá trị lớn nhất là 4, ta có ngay kết quả

Khơng có m thỏa đề.
Bài tốn 2 : Cho hàm số
số

Hàm số

có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm

đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.

B.

C.

D.

(Trích câu 39 đề minh họa của Bộ Giáo Dục 2017-2018)
Cách giải 1 :
Dựa vào đồ thị hàm số
sau :

ta suy ra bảng biến thiên của hàm số

9

download by :

như

Ta có nhận xét đồ thị hàm số

và đồ thị hàm số

trục tung nên ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số

Từ đó suy ra bảng biến thiên của

đối xứng nhau qua
như sau :

và chọn kết quả.

Cách giải trên khá phức tạp đòi hỏi học sinh phải nắm vững các phép biến đổi đồ thị, dễ
nhầm lẫn, thao tác chậm.
Cách giải 2 :
Ta có
Dựa vào đồ thị của f’ ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên

Chọn C

Nhận xét : Cách giải 2 so với cách 1 có nhiều ưu điểm, cách giải đơn giản dễ hiểu. Tuy
nhiên có nhiều học sinh sẽ thắc mắc tại sao dựa vào đồ thị của f’(x) lại suy ra kết quả
cho f’(x-2) ; điều này đối với học sinh giỏi các em có thể hiểu được, đối với học sinh khá
có thể dùng phần mềm Mathematica minh họa bằng đồ thị cho học sinh như sau :
* Ta chọn 1 hàm số thỏa mãn đồ thị y =f ’(x) bằng lệnh :

10

download by :


Đây là hàm số bậc 3, ta vẽ đồ thị bằng lệnh :
Đồ thị này thỏa hình vẽ đề bài.
Ta lấy nguyên hàm của hàm số trên để tìm
f(x)

Bây giờ thay biến x bởi 2 – x ta có :

Ta vẽ đồ thị hàm số f(2-x) để suy ra các khoảng đồng biến của nó :

Theo đồ thị, rõ ràng hàm số đồng biến trên 2 khoảng (-2 ;1) và

.

Như vậy cách giải 2 là hồn tồn chính xác, ngắn gọn được thể hiện qua đồ thị, điều này
giải tỏa được thắc mắc của nhiều học sinh cho ràng kết quả phải khác.
Dựa trên ý tưởng này, ta có thể ra nhiều bài tốn cho học sinh rèn luyện.
11

download by :


Bài tốn 2.1 : Cho hàm số
số

Hàm số

có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm

đồng biến, nghịch biến trên những khoảng nào?

Cách giải  :
Hàm số đồng biến :

Dựa vào đồ thị của f’ ta có:

Khoảng đồng biến :
Hàm số nghịch biến :

Dựa vào đồ thị của f’ ta có:

Khoảng nghịch biến :
Thử lại :

Tìm hàm f(1-2x) : thay x bởi 1- 2x vào biểu thức f(x) :
12

download by :


Vậy kết quả trên chính xác.
Ta có thể tạo bài toán phức tạp hơn như sau :

Bài toán 2.2 : Cho hàm số
số

Hàm số

có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm

đồng biến, những khoảng nào?

Cách giải  :
Hàm số đồng biến :

Trường hợp 1 : Nếu
Ta phải có
Dựa vào đồ thị của f ’ ta có:

Trường hợp 2 : Nếu
13

download by :


Ta phải có
Dựa vào đồ thị của f ’ ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên 2 khoảng :

,

Kiểm tra bằng đồ thị :

Kết quả tìm được là chính xác.
Tương tự, ta tạo các bài toán mới :
Bài toán 2.2 : Cho hàm số

như hình bên. Hỏi hàm số

Hàm số

có đồ thị

đồng biến, những

khoảng nào?
Cách giải  :
14

download by :


Hàm số đồng biến :

Ta phải có
Dựa vào đồ thị của f ’ ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên 2 khoảng :

Có thể kiểm tra bằng đồ thị.

Bài tốn 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có 7 điểm cực trị?

A.

B.

C.

D.

(Trích câu 43 đề minh họa của Bộ Giáo Dục 2017-2018)
Cách giải 1 :
15

download by :


Xét

hàm

số

có

Lập bảng biến thiên của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số

ta có :

được vẽ bằng cách :

+) Lấy đối xúng phần đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox.
+) Xóa đi phần đồ thị bên dưới trục Ox.Do đó để đồ thị hàm số

có 7 điểm cực trị thì :

Vậy có 4 giá trị ngun của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Cách giải 2 :
Đặt

16

download by :


Phương trình
có 7 điểm cực trị
Mà
Nên

có 7 nghiệm phân biệt

có 3 nghiệm phân biệt x = -1, x = 0, x=2
phải có 4 nghiệm phân biệt khác x = -1, x = 0, x=2

Lập bảng biến thiên của hàm số

.

Theo bảng biên thiên (*) có 4 nghiệm phân biệt
Kết hợp với

suy ra có tất cả 4 nghiệm nguyên

Có thể kiểm tra kết quả trên bằng cách cho Mathematica vẽ đồ thị :

17

download by :


Với m =1 : đồ thị hàm số như sau

Với m =2 : đồ thị hàm số như sau

Với m =3 : đồ thị hàm số như sau

Với m =4 : đồ thị hàm số như sau

Với 4 trường hợp trên ta thấy hàm số có 7 điểm cực trị. Thử vẽ đồ thị với m = 0, m =5
ta thấy chỉ có 5 điểm cực trị .
18

download by :


Với m =0 : đồ thị hàm số như sau

Với m =5 : đồ thị hàm số như sau

Nhận xét : hai cách giải trên đều có những lợi thế riêng, ở đây ta chọn cách 2 để sáng

tạo bài toán mới như sau :
Bước 1 : Tạo 1 hàm số fp(x) có 3 điểm cực trị, chẳng hạn

Bước 2 : Tìm 1 nguyên hàm của hàm số fp(x) đặt là hàm f

Ta đặt bài tốn :

Bài tốn 3.1:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có 7 điểm cực trị?

A.

B.

C.

D.

Ta có lời giải như sau :
Đặt

19

download by :


Phương trình
có 7 điểm cực trị

Mà
Nên

có 7 nghiệm phân biệt

có 3 nghiệm phân biệt x = -1, x = 1, x=2
phải có 4 nghiệm phân biệt khác x = -1, x = 1, x=2

Thay vì lập bảng biến thiên của hàm số

, giáo viên có thể dùng Mathematica vẽ

nhanh đồ thị của f(x)

Theo bảng biên thiên (*) có 4 nghiệm phân biệt
Kết hợp với

suy ra có tất cả 4 nghiệm nguyên

Có thể kiểm tra kết quả trên bằng cách cho Mathematica vẽ đồ thị để xác nhận kết quả
đúng, chẳng hạn :

20

download by :


Có 7 điểm cực trị. Trong khi với m =-13 chỉ có 5 điểm cực trị

Tương tự cách làm trên, ta có thể tạo ra bài tốn khó hơn :

Bài tốn 3.2:

Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để hàm số
có 9 điểm cực trị?

A. 10

B. 1

C. 19

D. 22

Bài tốn này sẽ gây nhiều khó khăn cho học sinh chọn các giải bằng phép lấy đối xứng,
tịnh tiến đồ thị

, nếu giải bằng cách 2 thì học sinh sẽ tiết kiệm

thời gian hơn rất nhiều.
21

download by :


Với cách giải 2 ta có kết quả : phương trình f’(x) =0 có 4 nghiệm nên phương trình
f(x) = - m phải có 5 nghiệm, lập bảng biến thiên ( trong bài này sẽ dễ hơn ), ở đây vẽ
nhanh đồ thị bằng Mathematica để dễ thấy ảnh, minh họa trực quan hơn.

Chẳng hạn :

22

download by :


Tương tự ta sẽ tạo được vơ số bài tốn mới.

Bài tốn 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
mặt phẳng
sao cho

Hỏi có bao nhiêu

đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A, B, C
?

A.

B.

C.

D.

(Trích câu 41 đề minh họa của Bộ Giáo Dục 2017-2018)
Giải : Đáp án A
Phương trình mặt phẳng
Ta có

với

với
và

Ta có 8 trường hợp :

Nhưng 4 trường hợp dưới trùng với 4 trường hợp trên. Ta xét 4 trường hợp :
Suy ra

và

mà

không thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn u cầu bài tốn.
Bằng Mathcad ta có thể lập một chương trình giải tự động như sau :

23

download by :


Vơ nghiệm

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa đề như trên.
Tương tự ta tạo được các bài toán :
24

download by :


Bài tốn 4.1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
nhiêu mặt phẳng
B, C sao cho
A.

Hỏi có bao

đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A,
?
B.

C.

D.

Bài tốn 4.2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
nhiêu mặt phẳng
B, C sao cho
A.

Hỏi có bao

đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A,
?
B.

C.

D.

Mở rộng hơn, phương pháp giải tương tự :
Bài toán 4.3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
nhiêu mặt phẳng
B, C sao cho
A.

Hỏi có bao

đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A,
?
B.

C.

D.

Bài tốn 4.4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
nhiêu mặt phẳng
B, C sao cho
A.

Hỏi có bao

đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A,
?
B.

C.

D.

3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
- Giáo viên có thể áp dụng phương pháp nầy để giải và sáng tạo các bài toán mới cho
học sinh rèn luyện trước các kì thi.
- Điểm sáng tạo của giải pháp này là kết hợp được một số lệnh trong Mathmatica,
Mathcad để giải bài toán thi tốt nghiệp với kết quả nhanh chóng, chính xác. Khi thay đổi
dữ liệu ban đầu của bài tốn thì kết quả sẽ lập tức được cập nhật một cách chính xác và
nhanh chóng.
- Sử dụng các giải pháp trong đề tài trên giáo viên có thể giảng dạy cho lớp 12 để ôn thi
tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia.

25

download by :