(THCS) hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lâp – Tự do – Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
“HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VỀ TỈ LỆ THỨC”

Người thực hiện: ............
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THCS ............

............, tháng 04 năm 2019

1


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi : Phịng Giáo dục và Đào tạo ............
Tơi là: ............
Ngày, tháng, năm sinh: 07/06/1976
Đơn vị công tác: Trường THCS ............
Chức danh: Giáo viên
Trình độ chun mơn: Đại học Tốn
Tỉ lệ đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 100%
Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến:
"Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức"
1. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: ............
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
- Mơn tốn, đặc biệt đại số lớp 7 chương I- Số hữu tỉ, số thực, chương IIHàm số và đồ thị.

- Môn vật lý 7, 9 phần Quang học.
3. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Sáng kiến đã được thể nghiệm trong năm học 2017 – 2018 và đã được áp
dụng trong năm học 2018 - 2019
4. Mô tả bản chất của sáng kiến:
4.1. Thực trạng trước khi thực hiện đề tài:
Qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn 7 và tham khảo các đồng nghiệp, bản
thân tôi và nhiều giáo viên cũng thấy khó dạy phần tốn về tỉ lệ thức để học sinh
thấy dễ hiểu. Còn đối với học sinh thấy khó và rất khơng thích học tốn về tỉ lệ
thức. Kết quả học tập của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra,
bài thi của học sinh, có nhiều lời giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự
sáng tạo. Giáo viên mới chỉ dừng lại ở việc vận dụng các bước giải một cách

2


nhuần nhuyễn chứ chưa chú ý đến việc phân loại dạng toán, kỹ năng giải từng
loại và những điều cần chú ý khi giải từng loại đó.
Tơi rất băn khoăn, suy nghĩ làm thế nào để dạy học sinh thấy tốn về tỉ
lệ thức dễ hiểu, dễ học. Tơi đã mạnh dạn phân dạng và sắp xếp bài tập tỷ lệ
thức sao cho các em có thể giải được bài tập tỉ lệ thức một cách dễ dàng nhất.
4.2. Kết quả khảo sát điều tra ban đầu
Học sinh lớp 7 trường THCS ............. Tổng số có 02 lớp với 75 học sinh,
chất lượng về học lực bộ mơn tốn cịn thấp, cụ thể qua bài kiểm tra khảo sát
chất lượng đầu tháng 8 năm 2017 kết quả như sau:
Bảng 1
Tổng
Điểm
số học
Khối

sinh
7

75

Giỏi

Khá

T. Bình

Yếu

Kém

8 = 10,7% 10 = 13,3% 30 = 40% 20 = 26,7% 7 = 9,3%

4.3. Một số giải pháp được áp dụng:
Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để
nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỉ lệ
thức, của dãy tỷ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt những bài tốn
cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc
chọn lời giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng tốn, bằng các bài tốn từ
đơn giản đến phức tạp sau đây:
Dạng 1: Tìm số hạng chưa biết
Bài tốn 1: Tìm x, y biết:
a)

x y
= và xy = 90

2 5

b)

x y
= và xy = 252
7 9

c)

x y
= và xy = 54
2 3

d)

x y
= và x2 - y2 = 4
5 3

3


Giải
Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên theo tính
chất nào? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào? Học sinh thường mắc sai
lầm như sau:
x y x. y 90
= =
=

=9
2 5 2.5 10
⇒ x = 2.9 = 18
y = 5.9 = 45

Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng
cho các em hướng giải tốn.
Hướng thứ nhất
Dùng phương pháp tính giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ
thống hoá, khái quát hoá về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp.
Đặt

 x = 2k
x y
= =k⇒
2 5
 y = 5k

Mà xy = 90 ⇒

2k.5k = 90
10k2 = 90
k = 3

k2 = 9 ⇒ 
 k = −3
* Với k = 3 ⇒

x = 2.3 = 6

y = 5.3=15
* Với k = -3 ⇒

x = 2.(-3) = -6

y = 5.(-3) = -15
Vậy (x;y) = (6; 15); (-6; -15)
Hướng thứ hai:
Khái qt hố tồn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liên quan
đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai.
2

2

x y  x
 y
 xy 
Ta có: = →   =   =   (Tính chất mở rộng của tỷ lệ thức)
2 5  2
 5
 2.5
⇒

x2 y 2 xy 90
=
=
=
=9
4 25 10 10

4


⇒

x2
= 9 ⇒ x 2 = 36 ⇒ x = ±6
4

⇒

y2
= 9 ⇒ y 2 = 225 ⇒ y = ±15
25

Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)
Qua việc hệ thống hoá, khái quát hoá và chọn hướng đi cho các em để có
lời giải thích hợp. Các em đã vận dụng nó để làm tốt các phần b, c, d.
Bài tốn 2. Tìm x, y, z biết
a)

x y y z
= ; =
và x + y + z = 37
2 3 5 14

b)

x y y z
= ; = và 2x + 3y - z = 186

3 4 5 7

c)

x y y z
= ; = và x + y + z = 92
2 3 5 7

d)

x y y z
= ; = và 2x + 4y - 2z = -4
3 5 3 8

Giải:
a) Để tìm được lời giải của bài tốn này tơi đưa ra việc nhận xét xem liệu
có tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau hay khơng?
u cầu đó đã hướng các em hệ thống hố kiến thức cơ bản, tính chất mở rộng
để chọn lời giải cho phù hợp.
Ta có:

x y
x 1 y 1
x
y
= ⇒ . = . hay =
2 3
2 5 3 5
10 15
y z

y 1 z 1
y
z
= ⇒ . = . hay
=
5 4
5 3 4 3
15 12

⇒

y
x+ y+ z
x
z
37
=
=
=
=
=1
10 15 12 10+ 15+ 12 37

⇒

x = 10.1 = 10
y = 15.1 = 15
z = 12.1 = 12

Vậy x = 10; y = 15; z = 12.

b) Để giải được phần b của bài tốn, ngồi việc tìm được tỷ số trung gian
để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tơi cịn hướng cho các em tìm hiểu xem có gì
5


đặc biệt trong tổng 2x + 3y - z, để giúp các em nhớ lại tính chất của phân số
bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài tốn cho thích hợp.
Ta có:

x y
x 1 y 1
x
y
= ⇒ . = . hay =
3 4
3 5 4 5
15 20
y z
y 1 z 1
y
z
= ⇒ . = . hay
=
5 7
5 4 7 4
20 28

⇒

y

2x + 3y − z
x
z
186
=
=
=
=
=3
15 20 28 2.15+ 3.20− 28 62

⇒

x = 15.3 = 45
y = 20.3 =60
z = 28.3 = 84
Vậy x = 45; y = 60; z = 84.

Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù hợp
cho phần c và d.
Bài tốn 3: Tìm x, y, z biết
a)

3x = 5y = 8z và x + y + z = 158

b)

2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60

c)

2x = 3y = 5z và x + y - z = 95

Giải:
Đối với bài tốn 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài tốn trên. Song tơi đã
nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc
đến tính chất đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời
giải cho phù hợp.
Hướng thứ nhất ( thường dùng): Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng
thức giữa hai tích ta có lời giải sau:
Ta có:
3x = 5y ⇒

x y
x 1 y 1
x
y
= ⇒ . = . hay
=
5 3
5 8 3 8
40 24

5y = 8z ⇒

y z
y 1 z 1
y
z
= ⇒ . = . hay

=
8 5
8 3 5 3
24 15

⇒

y
x+ y+ z
x
z
158
=
=
=
=
=2
40 24 15 40+ 24+ 15 79

6


⇒

x = 40 . 2 = 80
y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30

Hướng thứ hai (ít dùng): Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của

đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em
có lời giải của bài tốn như sau:
Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120
3x.

Từ 3x = 5y = 8z
Hay

1
1
1
= 5y.
= 8z.
120
120
120

y
x+ y+ z
x
z
158
=
=
=
=
=2
40 24 15 40+ 24+ 15 79

(Tương tự như trên có ...)

Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Hướng thứ ba: Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành 1 thương.
Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau:
x y z x + y + z 158
= = =
=
= 240
Từ 3x = 5y = 8z ⇒ 1 1 1 1 1 1 79
+ +
3 5 8 3 5 8 120
⇒x =

1
.240= 80
3

y=

1
.240= 48
5

z=

1
.240= 30
8

Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có cơng cụ để giải tốn và từ đó

các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em
phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c.
* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các em
phải có tư duy một chút để tạo lên tích trung gian như sau:
+ Từ 2x = 3y ⇒ 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y
+ Từ 5y = 7z ⇒ 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z
7


⇒

10x = 15y = 21z

⇒

y
3x + 5z − 7y
x
z
60
=
=
=
=
= 840
1
1
1
1
1

1
15
3. + 5. − 7.
10 15 21
10
21
15 210

⇒

x=

1
.840= 84
10

y=

1
.840= 56
15

z=

1
.840= 40
21

Vậy x = 84; y = 56; z = 40.
Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về dạng tốn này.

Bài tốn 4. Tìm x, y, z biết rằng
a)

x−1 y− 2 z− 2
=
=
vµx + 2y − z = 12
5
3
2

b)

x−1 y− 2 z− 3
=
=
vµ2x + 3y − z = 50
2
3
4

c)

x−1 y+ 4 z+ 2
=
=
vµ2x + 3y − 5z = 10
3
2
2

Để tìm được lời giải của bài tốn này tơi cho các em nhận xét xem làm
thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50 hoặc 2x +
3y - 5z = 10. Với phương pháp phân tích, hệ thống hố đã giúp cho các em nhìn
ra ngay và có hướng đi cụ thể.
Hướng thứ nhất: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số
bằng nhau có lời giải của bài tốn như sau:
Ta có:
x − 1 y − 2 z − 2 2(y − 2) 2y − 4
=
=
=
=
5
3
2
2.3
6
x − 1+ 2y − 4 − (z − 2) x + 2y − z − 3 12− 3
=
=
=
=1
5+ 6 − 2
9
9
⇒

x-1=5 ⇒ x =6
x-2=3 ⇒ y=5

z - 2 = 2 ⇒ z =4

Hướng thứ hai: Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau:
8


x−1 y− 2 z− 2
=
=
=k
5
3
2

Đặt
⇒

x - 1 = 5k

⇒ x = 5k + 1

y - 2 = 3k

⇒ y = 3k + 2

z - 2 = 2k

⇒

z = 2k + 2

x + 2y - z = 12 ⇒ 2k + 1 + 2(3k+2) - (2k + 2) = 12

Ta có:

⇒ 9k + 3 = 12

k=1

⇒

Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6
y=3.1+2=5
z=2.1+2=4
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự
giải phần (b) và (c) của bài toán 4.
Bài toán 5: Tìm x, y, z biết rằng
a)

y
x
z
=
=
= x+ y+ z
y+ z+1 x+ z+1 x+ y− 2

b)

y+ z+1 x+ z+ 2 x+ y− 3

1
=
=
=
x
y
z
x+ y+ z

Đối với bài tốn 5 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu, đi từ
kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện x +
y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng
nhau và đã có lời giải của bài toán phần (b) như sau:
Giải: Điều kiện x, y, z ≠ 0
Ta có:
y + z + 1 x + z + 2 x + y − 3 y + z + 1+ x + z + 2 + x + y − 3 2(x + y + z)
=
=
=
=
=2
x
y
z
x+ y+ z
x+ y+ z
⇒

1
1

= 2 ⇒ x + y + z = = 0,5
x+ y+ z
2

x + y = 0,5 - z
y + z = 0,5 - x
x + z = 0,5 - y
9


Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:
y + x +1
0,5 − x + 1
=2⇒
=2
x
x
⇔ 0,5 - x + 1 = 2x
⇔ 1,5 = 3x
⇔ x = 0,5
x + z + 2 0,5− y + 2
=
=2
y
y
⇔ 2,5 - y = 2y
⇔ 2,5 = 3y
⇔ y=

5

6

x + y − 3 0,5− z − 3
=
=2
z
z
⇔ -2,5 - z = 2z
⇔ -2,5 = 3z
⇔ z= −

Vậy (x; y; z) = (0,5;

5
6

5 5
;- )
6 6

Dạng 2. Chứng minh tỷ lệ thức
Việc hệ thống hoá, khái qt hố các kiến thức của tỷ lệ thức cịn có vai
trị rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức cơ sở với hệ thống các bài
tập từ đơn gản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng
đã cho các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và yêu cầu của bài toán.
1) Các phương pháp :
a
b

Để Chứng minh tỷ lệ thức : =

c
Ta có các phương pháp sau :
d

Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

a c
; có cùng một giá trị nếu trong đề
b d

bài đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho
là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
10


Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của
đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế
phải.
Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của
đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập
a
b

Bài 1: ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: =
suy ra tỷ lệ thức:

c

hãy
d

a −b c −d
=
.
a
c

Giải:

( a − b ) c = ac − bc(1)

Cách 1: Xét tích a ( c − d ) = ac − ad (2)
Từ

a c
= ⇒ ad = bc(3)
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c = a(c- d) suy ra
- Cách 2: Đặt

a−b c−d
=
a
c

a c
= = k ⇒ a = bk , c = dk

b d

Ta có:
a − b bk − b b ( k − 1) k − 1
=
=
=
(1), (b ≠ 0)
a
bk
bk
k
c − d dk − d d ( k − 1) k − 1
=
=
=
(2), (d ≠ 0)
c
dk
dk
k

Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: từ
Ta có:
Do đó:

a −b c −d
=
a

c

a c
b d
= ⇒ =
b d
a c

a −b a b
b
d c−d
= − = 1− = 1− =
a
a a
a
c
c
a −b c −d
=
a
c

11


- Cách 4:
Từ
a c
a b a −b
= ⇒ = =

b d
c d c−d
⇒

a a −b
a −b c −d
=
⇒
=
c c−d
a
c

- Cách 5: từ
a c
b d
b
d
= ⇒ = ⇒ 1− = 1−
b d
a c
a
c
a−b c−d
⇒
=
a
c

Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức

a c
= ta có thể suy ra các tỉ
b d

lệ thức sau:
a±b c±d a +b c+d
=
;
=
b
d
a
c (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài toán 2. Cho tỷ lệ thức
a)

a− b c − d
=
a+ b c + d

b)

2a + 5b 2c + 5d
=
3a + 4b 3c − 4d

c)

2a + 3b 2c + 3d
=
2a − 3b 2c − 3d

a c
= . Hãy chứng minh
b d

Để giải bài tốn này khơng khó, song u cầu học sinh phải hệ thống hoá
kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng tốn để tìm
hướng giải cụ thể.
* Hướng thứ nhất: Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để
chứng minh phần a.
Đặt

a c
= = k ⇒ a = bk
b d

c = dk

12


Ta có:
a− b
=
a+ b
c− d
=

c+ d

bk− b b(k − 1) k − 1
=
=
bk+ b b(k + 1) k + 1
a− b c − d
=
(§ pcm)
→
dk− d d(k − 1) k − 1
a+ b c + d
=
=
dk+ d d(k + 1) k + 1

* Hướng thứ hai: Sử dụng phương pháp hốn vị các số hạng của tỷ lệ
thức và tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau:
Từ

a b
a c
= ⇒ = (hốn vị các trung tỷ)
b d
c d
=

a− b a+ b
=
(theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)

c− d c+ d

⇒

a− b c − d
=
(hoán vị các trung tỷ)
a+ b c + d

Ngồi hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tính
chất cơ bản của tỷ lệ thức:
Từ

a c
= ⇒ ad = bc
b d

Xét tích:

(a - b) (c + d) = ac + ad - bc - bd
(a + b) (c - d) = ac - ad + bc - bd

⇒

(a - b) (c + d) = (a+ b) (c - d) (cùng bằng ac - bd)

⇒

a− b c − d
=

(Đpcm)
a+ b c + d

Với việc hệ thống hoá các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số hướng
giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu, để
trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó để học sinh tự giải các bài tập
phần b, c của bài 1.
Bài toán 3 Cho
a)

a c
= Hãy chứng minh:
b d

a2 + b2 ab
=
;
c2 + d2 cd

b)

( a− b) 2
( c − d) 2

=

ab
cd

13

c)

( a+ b) 2
( c + d) 2

ab
=
cd

d)

( a− b) 2
( c − d) 2

(a + b)2
=
(c + d)2

Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ tính
tốn dễ nhầm lẫn hơn. Tơi phải phân tích, cho học sinh ơn lại về luỹ thừa và kiến
thức về tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình bày
hơn. Tôi đã nhấn mạnh lại công thức:
2

2

a c  a
ac

 c
Nếu:
và hướng cho các em trình bày lời
= →  =  =
b d  b
bd
 d
giải của bài toán phần c.
Giải:
Từ

a c
 a b
= ⇒   = (hoán vị các trung tỷ)
b d
 c d

⇒

ab a2 b2 2ab a2 + 2ab+ b2
 a
 b
=
=
=
=
  =  =
cd b2 d2 2cd c2 + 2cd+ d2
 c
 d

Hay

( a+ b) 2
( c + d) 2

2

2

=

ab
cd

Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được lời
giải phần a, b, d và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để
chứng minh tỷ lệ thức.
a b
a2 + b2 a
=
=
Bài toán 4: Cho
. Hãy chứng minh 2
b c
b + c2 c

Để giải được bài tốn này u cầu học sinh phải có bước suy luận cao
hơn, khơng dập khn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức để có
hướng giải phù hợp.

* Hướng thứ nhất: Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái, biến
đổi vế trái bằng vế phải ta có lời giải sau:
Từ

a b
=
b c

⇒ b2 = ac. Thay vào vế trái ta có:

14


a2 + b2 a2 + ac a(a + c) a
=
=
= (Đpcm)
b2 + c2 ac+ c2 c(a + c) c
* Hướng thứ hai: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng
thức ta có lời giải sau:
Vì cần có a2; b2 nên ta nhân từng vế của

a b
= với chính bản thân nó ta có:
b c

a b
a a b b a2 b2 a2 + b2
⇒
=

. = . =
=
=
(1)
b c
b b c c b2 c2 b2 + c2
mà

a b
a2 a2 a
2
⇒ b = ac ⇒
=
=
= (2)
b c
b2 ac c

Từ (1) và (2) ⇒

a2 + b2 a
= (Đpcm)
b2 + c2 c

Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh mơn
tốn 7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tịi độc lập
suy nghĩ để nhớ kỹ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải tốn đạt hiệu quả cao. Đó chính
là cơng cụ giải tốn của mỗi học sinh. Ngồi ra phương pháp này cịn là cơng cụ
đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng tốn có lời văn về phần đại lượng tỷ lệ
thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch.

Dạng 3. Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ
nghịch
Bài toán 1.
Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 1/7 số
gạo của kho đó, xuất ở kho B đi 1/9 số gạo kho đó, xuất ở kho C đi 2/7 số gạo
của kho đó. Khi đó số gạo ở 3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi khó lúc đầu.
Biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ.
Để giải bài tốn này tơi đã cho học sinh đọc kỹ đề bài, tóm tắt, phân tích
kỹ mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau:
Giải
Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x, y, z tạ gạo (x, y, z > 0)

15


1
8
x= x
7
7

Số gạo lúc sau ở kho A là:

x+

Số gạo lúc sau ở kho B là:

y−

1

8
y= y
9
9

Số gạo lúc sau ở kho C là:

z−

2
5
z= z
7
7

Theo bài ta có:

8
8
5
x = y = z (1) và y- x = 20
7
9
7

Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN (8; 5) = 40 ta có:
y
y− x
x
z

20
=
=
=
=
=2
35 45 56 45− 35 10
⇒

x = 35.2 = 70 (tạ)
y = 45.2 = 90 (tạ)
z = 56.2 = 112 (tạ)

Vậy số gạo lúc đầu ở 3 kho A, B, C lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ.
Ngồi việc hướng dẫn học sinh tìm tịi những lời giải khác nhau cho bài
tốn, tơi cịn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số
liệu, dữ kiện để có bài tốn mới với phương pháp giải tương tự.
Chẳng hạn:
Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo bằng các dữ liệu sau:
1) Tổng số gạo ở 3 kho là 272 tạ
2) Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ
3) Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ
Thì ta sẽ được các bài tốn mới có cùng đáp số.
* Dạng chuyển động
Bài tốn 2
Một người dự kiến đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian dự định. Thực
tế khi đi phải giảm 1/4 vận tốc so với dự định nên vào đến B muộn hơn thời gian
dự định là 30 phút. Tính thời gian dự định lúc đầu.
Trước khi giải bài tốn này tơi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kỹ đề bài.
Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của một chuyển động trên một

đoạn đường. Chú ý rằng: Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là hai
16


v

t

1
2
đại lượng tỷ lệ nghịch. Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức: v = t và các em đã có
2
1

hướng đi tìm t1, t2.
Giải:
Gọi v1 là vận tốc dự định, t1 là thời gian dự định; v2 là vận tốc thực đi; t2 là
thời gian thực đi.
v1; v2 cùng đơn vị; t1; t2 cùng đơn vị (v1> 0; v2> 0; t1> 0; t2> 0)
Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ
nghịch. Do đó:

v1 t2
3
=
v1
mà
v
2 =
v2 t1

4

t2
v
t −t
4
4−3
= 1 = ⇒ 2 1 =
⇒ t1 3
3
t1
3
v1
4

(theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)

30 1
= → t1 = 30.3 = 90 (phút)
t1 3

Vậy thời gian dự định đi lúc đầu là 90 phút.
Khai thác lời giải của bài toán 2 học sinh có thể dễ dàng giải được các bài
tốn sau:
Bài tốn 3:
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được 1/2
quãng đường thì ơ tơ tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn được 10 phút.
Tính thời gian ơ tơ đi từ A đến B.
Bài tốn 4:
Một ơ tơ đi từ A đến B với vận tốc 40km/h và dự định đến B lúc 11h45.

Sau khi đi được 4/5 quãng đường thi người đó đi với vận tốc 30km/h nên đến B
lúc 12h.
Hỏi người đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB là bao nhiêu?
* Dạng hình học
Bài tốn 5:
Tìm tỷ lệ 3 cạnh của 1 tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt từng hai
đường cao của tam giác đó thì các kết quả tỷ lệ với 5, 7, 8.
17


Đối với bài toán này để đi tới vận dụng được kiến thức về tỷ lệ thức. Tôi
đã đưa các em tìm mối quan hệ giữa cạnh và đường cao tương ứng trong tam
giác. Bằng kiến thức của hình học các em đã có hướng đi và lời giải của bài
toán.
Giải:
Gọi 3 cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c (a, b, c > 0) và 3 đường cao
tương ứng là ha, hb, hc (ha, hb, hc >0).
Theo bài ra ta có: (ha + hb) : (hb + hc) : (hc + ha) = 5 : 7 : 8 (do vai trị của
ha, hb, hc như nhau).
Ta có công thức:
S∆ABC =

aha bhb chc
=
=
(1)
2
2
2

Ta đặt:
ha + hb hb + hc hc + ha
=
=
=k
5
7
8
⇒

ha + hb = 5k
+

hb + hc = 7k
hc + ha = 8k

2(ha + hb + hc) = 20k ⇒ ha + hb + hc = 10k
mà :
ha + hb = 5k ⇒

hc = 5k

hb + hc = 7k ⇒

ha = 3k

hc + ha = 8k ⇒

hb = 2k

Thay ha, hb, hc vào (1) ta có:

a.3k b.2k c.5k
=
=
2
2
2
a.3k = b.2k = c.5k
⇒

3a = 2b = 5c

⇒

3a.

1
1
1
a
b c
= 2b. = 2c. =
=
=
30
30
30 10 15 6

Vậy a : b : c = 10 : 5 : 6

18


Tương tự các em suy luận và giải được bài toán sau đây:
Bài toán 6:
Độ dài các cạnh của tam giác tỷ lệ với 2; 3; 4. Hỏi các chiều cao tương
ứng của tam giác đó tỷ lệ với nhau theo tỷ số nào?
* Dạng tốn tìm số
Bài tốn 7:
Tìm một số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của
nó tỷ lệ với 3 số 1; 2; 3.
* Để giải được bài toán này làm thế nào để bài toán liên quan đến kiến
thức đang học, đã học. Tôi đã nhấn mạnh dấu hiệu chia hết cho 18 và từ đó có
hướng đi và lời giải cho bài tốn.
Giải:
Gọi 3 chữ số của số phải tìm là a, b, c (a, b, c ∈ N; 0≤ a, b, c≤ 9)
Theo đầu bài ta có:
a b c a+ b + c a+ b + c
= = =
=
∈Z
1 2 3 1+ 2 + 3
6

mà ta có 18 = 2.9 trong đó (2; 9) = 1
Vì vậy số có 3 chữ số cần tìm là số chia hết cho 2 (số chẵn) và có tổng các
chữ số chia hết cho 9.
0≤ a≤9
0≤ a≤ 9
0≤ a≤ 9

0≤ a + b + c ≤ 27
a + b + c = 9

mà (a + b + c)  9 ⇒ a + b + c = 18
a + b + c = 27

* Với a + b + c = 9

⇒

a b c 9
= = = ∉ Z loại
1 2 3 6

* Với a + b + c = 18

⇒

a b c 18
= = =
= 3∈ Z
1 2 3 6

⇒

a = 3; b = 6; c = 9
19


⇒ Số phải tìm là 396 hoặc 936

* Với a + b + c = 27 ⇒

a b c 27
= = =
= ∉Z loại
1 2 3 6

Vậy số phải tìm là 396 hoặc 936
Với phương pháp hệ thống hoá các kiến thức, giáo viên cần làm cho học
sinh hiểu được mối quan hệ chặt chẽ giữa các kiến thức với nhau. Từ đó các em
mới vận dụng tốt, để thao tác tư duy tốt và giải toán đạt hiệu quả cao.
Dạng 4: Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số
bằng nhau
1. Sai lầm khi áp dụng tương tự
H/s áp dụng

x y x. y
x y z x. y.z
= =
hay = = =
a b a.b
a b c a.b.c

Bài tập 1: (Bài 62 – SGK-T31) tìm 2 số x,y biết rằng
Học sinh sai lầm như sau :

x y
= và x.y =10
2 5

x y x. y 10
= =
=
= 1 suy ra x = 2,y = 5
2 5 2.5 10

Bài làm đúng như sau:
Cách 1: Từ

x y
x.x x. y
x 2 10
= ⇒
=
⇒
= ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2 từ đó suy ra y = ±5
2 5
2
5
2
5

Vậy x = 2, y = 5 hoặc x =-2, y = -5
Cách 2: Từ

x y
x2 x y
x 2 10
= ⇒

− . =0⇒
=
= 1 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2 ⇒ y = ±5
2 5
4 2 5
4 10

Cách 3: Đặt

x y
= = k = > x = 2k ; y = 5k vì xy = 10 nên 2k. 5k = 10
2 5

=> k = 1 => k = 1; k = -1 .vậy x = 2, y = 5 hoặc x =-2, y = -5
2

Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng :

x y z
= = và x.y.z = 648
2 3 4

H/s sai lầm như sau
x y z x. y.z 648
= = =
=
= 27
2 3 4 2.3.4 24

Suy ra a = 54, b = 81, c = 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1

2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0

20


Khi rút gọn h/s thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá
trị cần tìm.
Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là

a
b
c
=
=
.
b+c c+a a +b

Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1: Ta có

a
b
c
=
=
b+c c+a a +b

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a
b

c
a +b+c
a+b+c
=
=
=
=
b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2( a + b + c)
1
ta phải làm
2

h/s thường bỏ quên đk a + b + c = 0 mà rút gọn luôn bằng
như sau:
+ Nếu a + b + c = 0 thì b + c = -a; c + a = -b; a + b = -c
nên mỗi tỉ số

a
b
c
;
;
đều bằng -1
b+c c+a a+b
a

b

a +b+c

c

1

+ Nếu a + b + c ≠ 0 khi đó b + c = c + a = a + b = 2 ( a + b + c ) = 2
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
x+ y

y+z

z +t

t+x

Bài tập 4: Cho biểu thức P = z + t + t + x + x + y + z + y
x

y

z

t

Tính giá trị của P biết rằng y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z (1)
Lời giải:
Cách 1: ¸p dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
x
y
z
t

x+ y+ z +t
=
=
=
=
y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z 3( x + y + z + t )
x

y

z

t

Cách 2: Từ (1) suy ra x + z + t + 1 = z + t + x + 1 = t + x + y + 1 = x + y + z + 1
→

x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t
=
=
=
y+ z+t
z+t + x
x+ y +t
x+ y+z

Ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
Ở cách 2 học sinh mắc sai lầm :
21

suy ra luôn y + z + t = z + t + x = x + y + t = x + y + z
Phải làm đúng như sau :
Nếu x + y + z + t ≠ 0 suy ra y + z + t = z + t + x = x + y + t = x + y + z
suy ra x = y = z = t suy ra P = 4
Nếu x + y+ z + t = 0 ⇒ x + y = - (z + t) ; y + z = - (t + x). Khi đó P = - 4
Ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau .Nhưng ở bài tập 3 nên dùng
cách 1, bài tập 4 nên dùng cách 2
Bài tập tương tự :
1) Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện

a +b −c b+c − a c + a −b
=
=
c
a
b





Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
a
c
b
b



a



c





2) Cho dãy tỉ số bằng nhau :
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
a
b
c
d

Tìm giá trị của biểu thức M biết : M =

a+b b+c c+d d +a
+
+
+
c+d d +a a+b b+c

Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng
nhau (nhưng khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại, nếu các số

hạng dưới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau.
Bài tập 5 Một học sinh lớp 7 trình bày lời giải bài tốn “ Tìm x.y biết:
2x + 1 3 y − 2 2x + 3 y −1
=
=
” Như sau:
5
7
6x

Ta có:

2x + 1 3y − 2 2x + 3 y −1
=
=
5
7
6x

(1)

Từ hai tỷ số đầu ta có:

2x + 1 3y − 2 2x + 3 y −1
=
=
5
7
12

Từ (1) và (2) ta suy ra

2x + 3 y −1 2x + 3y −1
=
(3)
6x
12

(2)

⇒ 6x = 12 ⇒ x = 2

Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3
Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm
Em hãy nhận xét lời giải của học sinh trên
22


Lời giải :Học sinh trên sai như sau
Từ (3) phải xét hai trường hợp
TH 1 : 2x + 3y - 1 ≠ 0 .Khi đó ta mới suy ra 6x = 12.Từ đó giải tiếp như trên
TH2 : 2x + 3y - 1 = 0.Suy ra 2x = 1 - 3y, thay vào hai tỉ số đầu, ta có
1− 3y +1 1− 3y +1+ 3y − 2
=
=0
5
5+7

Suy ra 2 - 3y = 3y - 2 =0 ⇒ y =
Bài tập 6: Tìm x,y biết :

2
1
. Từ đó tìm tiếp x = −
3
2

1+ 2 y 1+ 4 y 1+ 6 y
=
=
(1)
18
24
6x

Giải tương tự như bài tập 5 nhưng bài này chỉ có một trường hợp
3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thường sai lầm nếu A2 = B2 suy ra A = B
Bài tập 7: Tìm x biết
Giải:

x − 1 −60
=
−15 x − 1

x − 1 −60
2
2
=
⇒ ( x − 1) = ( −15 ) . ( −60 ) ⇒ ( x − 1) = 900

−15 x − 1

h/s thường sai lầm khi suy ra x - 1 = 30 suy ra x = 31
phải suy ra 2 trường hợp x - 1 = 30 hoặc x - 1= -30 từ đó suy ra x = 31
hoặc x =-29
Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng
x y z
= = và 2 x 2 + 3 y 2 − 5 z 2 = −405
2 3 4

Lời giải:
Đặt

x y z
= = = k suy ra x = 2k, y = 3k, z = 4k
2 3 4

Từ 2 x 2 + 3 y 2 − 5 z 2 = −405 suy ra 2. ( 2k ) + 3 ( 3k ) − 5 ( 4k ) = −405
2

2

2

8k 2 + 27 k 2 − 80k 2 = −405
−45k 2 = −405
k2 = 9

Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k = 3, mà phải suy ra k = ±3
5. Những thông tin cần được bảo mật : Không

6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
23


6.1. Đối với giáo viên:
Để rèn kỹ năng giải toán về tỉ lệ thức cho học sinh đạt hiệu qua cao ta cần
lưu ý một số nội dung như sau:
-Thường xuyên kiểm tra miệng và phần bài tập về nhà trong những giờ
học nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản của từng bài học.
- Lồng ghép nhiều dạng bài tập về tỉ lệ thức vào các tiết luyện tập, tự
chọn, bồi dưỡng
-Việc rèn luyện kỹ năng tính tốn cho học sinh phải thực hiện thường
xun, lâu dài xuyên suốt quá trình giảng dạy trong cả năm học.
6.2. Đối với học sinh:
Để làm tốt được dạng toán về tỉ lệ thức học sinh cần phải nắm chắc và
hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỉ lệ thức, của dãy tỷ
số bằng nhau. Tuy nhiên trong quá trình làm bài học sinh cần vận dụng linh hoạt
nội dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp, có như vậy mới đạt được kết
quả tốt.
7. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tác giả
Sau khi thực hiện đề tài tơi thấy: Các em làm bài tập tốn với một phong
cách tự tin, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải. Đặc biệt là
với mỗi bài tốn đưa ra các em ln tìm hiểu các cách giải khác nhau. Từ đó tìm
được phương án tối ưu để giải tốn.
Và điều dễ thấy nhất đó là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Bài
kiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhận
thức, về phương pháp giải, về tính thơng minh sáng tạo.
Kết quả kiểm tra khảo sát lần 1 vào tháng 02 năm 2018 :
Bảng 2

Điểm
Khối
7

Sĩ số

Giỏi

75

10 = 13,3%

Khá

T. Bình

Yếu

Kém

13 = 17,3% 32 = 42,7% 15 = 20% 5 = 6,7%

24


Kết quả kiểm tra khảo sát lần 2 vào tháng 05 năm 2018 :
Bảng 3
Điểm
Khối
7

Sĩ số

Giỏi

75

15 = 20%

Khá

T. Bình

Yếu

Kém

20 = 26,7% 35 = 46,6% 5 = 6,7%

0

8. Danh sách những người đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng
sáng kiến lần đầu :
- Danh sách học sinh được thể nghiệm trong năm học 2017 - 2018:
Số
TT

1
2
3

4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

Họ và tên

Ngày
Nơi công
tháng năm tác(hoặc
sinh

nơi thường
trú)

............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............
............

Chức
danh

Trình độ
chun
mơn

HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS
HS

HS
HS
HS

Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A
Lớp 7A

Nội
dung
công
việc hỗ
trợ

25