Hướng dẫn học sinh giải một số bài tập về dãy số, giới hạn của dãy số và một số bài toán của số liên quan đến dãy số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG CÁC
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
MÔN TOÁN THPT
Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh giải một số bài tập về dãy số, giới

hạn của dãy số và một số bài toán của số liên quan đến dãy số
Người thực hiện: Bùi Thị Lan Anh
Bùi Thị Thúy Hà
Phạm Thị Lan
Trường: THPT VÙNG CAO VIỆT BẮC

NĂM HỌC: ……………………


LỜI NÓI ĐẦU
Dãy số là phần kiến thức không thể thiếu trong chương trình dạy toán cho các trường
chuyên. Các bài tập phần dãy số, giới hạn của dãy số, bài tập về số liên quan đến dãy số
cũng là những bài tập thường gặp trong các kì thi HSG cấp tỉnh, trại hè Hùng Vương,
Olimpic 30-4, quốc gia, quốc tế, Olimpic Toán khu vực.
Dãy số được trình bày trong chương trình toán bậc phổ thông như là là cầu nối giữa đại
số và giải tích. Lần đầu tiên học sinh làm quen với khái niệm dãy số, giới hạn, tính liên tục
mà được sử dụng nhiều về sau này. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian nên thời lượng dành
cho việc dạy và học dãy số và giới hạn của dãy số trong chương trình toán PT không được
nhiều, bởi vậy học sinh chỉ học một số khái niệm ban đầu và làm quen với một số bài tập
hết sức đơn giản. Vì vậy mà các bài tập về dãy số và số là các bài toán tương đối khó với
các em học sinh và ngay cả với các thầy cô giáo ít quan tâm với những bài tập này.
Trong sách giáo khoa của lớp 11 có rất ít các bài tập về dãy số và giới hạn và hiện nay
không có nhiều tài liệu tham khảo về phần này. Điều đó gây không ít khó khăn cho việc dạy
và học đối giáo viên và học sinh trong quá trình ôn luyện các đội tuyển HSG các cấp.

Trong sáng kiến kinh nghiệm này mục đích của chúng tôi tổng hợp và đưa ra một số dạng
bài toán về dãy số, giới hạn và các bài toán của số liên quan đến dãy số nhằm phục vụ cho
quá trình ôn luyện nhóm chuyên, ôn luyện đội tuyển HSG các cấp của tổ bộ môn Toán. Vì
vậy, việc trang bị những kiến thức cơ bản về số và dãy số cho học sinh trong các đội tuyển
HSG là hết sức cần thiết, việc bồi dưỡng cho học sinh một phương pháp giải có hiệu quả là
một việc rất bổ ích.
Trên quan điểm hoạt động, chúng tôi muốn nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh giải
một số bài tập về dãy số, giới hạn của dãy số và một số bài toán của số liên quan đến dãy số.
Đối tượng nghiên cứu là học sinh các lớp chuyên toán, học sinh ôn thi HSG các cấp
về môn Toán của Trường PT Vùng cao Việt Bắc.


NỘI DUNG
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ VÀ DÃY SỐ:
1. Dãy số
1.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa:
+ Mỗi giá trị của hàm số là một số hạng của dãy số.
u(1) là số hạng thứ nhất (Số hạng đấu): u1
u(2) là số hạng thứ nhất (Số hạng đấu): u2
……………………………………………………………………

u(n) là số hạng thứ n: un
+ Khi dãy số u = u(n) bởi (un) ta gọi un là số hạng tổng quát.
Người ta viết dạng khai triển : u1, u2, u3,…., un,……
1.2. Cách cho một dãy số :
Cách1: Cho bởi công thức của số hạng tổng quát.
Cách 2: Co dãy số bằng quy nạp
Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định số hạng.
1.3 . Dãy số tăng, giảm:

1.4. Dãy bị chặn:

1.5. Dãy số có giới hạn:
+ Dãy số tăng và bị chặn trên là dãy có giới hạn.
+ Dãy số giảm và bị chặn dướilà dãy có giới hạn.

I. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG


Dạng 1: Xác định công thức tổng quát của dãy số :
Bài 1: Cho (

) xác định bởi:

Xây dựng công thức

eo n.

Giải:
Ta có:

Ta viết:
Do đó:

• Chú ý: Các bước thực hiện
B1: Dự đoán công thức của
B2: Chứng minh công thức đúng với n = 1 (n = n0)
B3: Giả sử công thức đúng với n = k ta chứng minh công thức đúng với n = k+1
Bài 2: Cho (un) xác định:

Ta thấy :


Dự đoán
(1)
Chứng minh bằng quy nạp :
+) Kiểm tra với n=1 ta có
đúng
+) Giả sử CT ( 1) đúng với n = k ta có :
với n = k +1
Ta có :
Vậy :

Bài 3 : Cho

Xác định công thức

.

?

Giải:
Ta thấy:

Dự đoán:

(2)

Ta chứng minh bằng quy nạp:
+) Kiểm tra (2) với n = 1 đúng.

ta phải CM CT (1) đúng


+) Giả sử (2) đúng với n = k tức

ta phải cm (2) đúng với n = k+ 1

Ta có

Vậy :

Bài 4:

a) Chứng minh rằng:

chứng minh rằng

một cấp số cộng. Suy ra biểu thức của

b)

.
Giải:
a) Suy ra theo quy nạp.
=
b)

Bài 5:

,

Chứng minh rằng

và ( ) xác định

một cấp số cộng. Suy ra biểu thức của

.


Giải:
Ta có :

Bài 6 : Cho

Xác định
Giải :
a) Ta có :

Vậy :

?


Bài 7 :
Xác định

?

Giải :

Ta có :
+) Với n = 1 ta có

ta chứng minh bằng quy nạp :
(*) đúng.

+)Giả sử (*) đúng với n = k tức là
ta phải chứng minh (*) đúng với n = k+1.
Thật vậy :

(Đpcm)

Bài 8 :
CMR : Tồn tại một cấp số nhân (Vn)và hằng số
Giải : Ta có :

.
.
.


Nhân vế với vế các đẳng thức trên và giản ước các thừa số ta có :

Trong đó:

Bài 9 : Cho dãy số (un) xác định :
Xác định un ?
Giải : Ta có

Đặt :


Bài 10 :

Xác định
Giải :

Ta có :

(2)

thay (n+1) bởi n ta có :
Lấy (3) – (4) :
(5)

Phương trình đặc trưng của (5) là:


Thay n = 1; n = 2 ta có hệ :

Dạng 2 : Tìm giới hạn của dãy số

Bài 11 :

Từ đó suy ra lim un = 0.
Giải :
a, Chứng minh bằng quy nạp.
b,

Bài 12 :
CMR :

Giải :
a) Chứng minh bằng quy nạp.
b)
c)

Bài13 :

(Đề thi olimpic 30/4 năm 2011)


:

Vậy :

Bài 14:
CMR :

Giải :


Bài 15 :

Giải :
Ta có :

Mặt khác :
Nếu

Bài 16 :
Giải :
Ta CM :

là dãy số tăng và bị chặn dưới bởi 1(CM bằng quy nạp)

bị chặn trên thì tồn tại một giới hạn hữu hạn bằng a, suy ra


Bài 17 :
CMR :

có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Giải :
+ Ta CM dãy số bị chặn dưới bằng phương pháp quy nạp
Nhận xét :

*GS với

và
Suy ra :
+ CM dãy số giản
Thật vậy : Ta có
Giả sử :

ta có

ưới bởi 1nên có giới hạn.

Bài 18 :


Ta có :

Ta có :

Bài 19 : Cho trước số dương a, xét dãy số

:

.

+ Nếu

Vậy
+ Xét :

bị chặn trên thì

không bị chặn trên nên

có giới hạn hữu hạn L. Khi đó


Bài 20 : Tìm
Giải :

1+5+9+…+(4n-3)


Vậy :
Bài 20: ( Đề thi đội tuyển dự thi chung khảo quốc gia 2008- 2009 tỉnh Thái Nguyên)

Tìm số hạng tổng quát
Giải:
Tứ đẳng thức
Ta có pt đặc trưng
Vậy

Với

Vậy

.

Bài 22: (Đề thi HSG khối 11 tỉnh Thái Nguyên năm học2011-2012)

?
Giải:
Đặt


Ta có

=

.

Thay vào giả thiết, ta được :

(vì
Hay
Đặt

)
.

,

ta có :

Theo cách đặt :

Do đó :

Bài 23:

Tìm số dư khi chia
Giải:
Phương trình đặc trưng

chia cho 2011?


Từ giả thiết có :

Theo ĐL nhỏ Fecma có: (5, 2011) = 1

Vậy dư của phép chia

Bài 24:
Giải :
Từ

Đặt

chia cho 2011 là 1999.


Bài 25:
Giải :

Đặt

Bài 26:

Tìm

phần nguyên của tổng

Giải :
Xét 2 dãy (

Xét
*

thỏa mãn :

.


Lại có :

Dạng 3:Một số bài toánliên hệ giữa dãy số và phần nguyên :
Bài 1: Dãy số

được xác định như sau :
CMR :

Giải :

(1)
Chú ý:

Vậy từ (1) suy ra :

là số chẵn (2).

Rõ ràng :
Ta có :
Vì
phần nguyên ta có :

là một số nguyên và

nên theo ĐN

Từ (2) suy ra :

là số lẻ (Đpcm)

Bài 3 :

CMR :
Giải :
Ta có :
Vậy :
Ta có :

>0

:
Do
(4)

:

(6)

(3)


Thay (7) vào (2) ta có :
<(1996-n)+1

(8)

1996-n

<(1996-n)+1
(Đpcm)

Dạng 4 : Một số bài toán liên hệ giữa dãy số và đồng dư
Bài 1 :
CMR:

không chia hết cho 4.

Giải:
Từ cách xác định ta có:
Ta sẽ CM:
Cụ thể ta sẽ CM

và dĩ nhiên n

Thật vậy trước nhận xét này đã đúng với n = 2,3,4,5,…giả sử nhận xét này đúng với n =
2+3p
1.
Với n = 2+3(p+1) theo trên ta có :
+1
Theo giả sử quy nạp thì 2+3(p+1)-2 và 2+3(p+1)-1 có dạng

Bài 2: Cho dãy số

:

Thật vậy với k = 1 ta có:

thì:


Giả sử (1) đúng với n = k tức ta có :

Ta có:

Theo giả thiết quy nạp (2), (3) ta có:

Từ (4) suy ra (1) đúng
Nói riêng

Vì
Vậy từ (5) suy ra

là số chính phương. (Đpcm)

Bài3:
Cho dãy số nguyên dương

xác định như sau:

chia hết cho 2 và thương là số chính phương
Giải:
Ta có:

Rõ ràng kết luận đúng khi n = 0; n = 1. Xét với

theo cách xây dưng dãy, ta có:

Bình phương hai vế đẳng thức trên ta có: