SKK sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12

MỤC LỤC
Trang
A.Đặt vấnđề .........................................................................................................2
I.Lời nói đầu...............................................................................................................2
II.thực trạng của vấn đề..............................................................................................2
B.Giải quyết vấn đề
I. h c ại

t

...........................................................................3

dạng t n ha đƣ c

d ng.........................................................3

II. C c dạng bài tập thƣờng gặp.................................................................................3
C.Kêt luận.........................................................................................................20

1


HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lời nói đầu
Tr ng chƣơng trình ình h c gi i t ch p
b n cạnh c c dạng t n uen
thu c nhƣ vi t phƣơng trình ặt ph ng phƣơng trình đƣờng th ng . Ta c n gặp
c c bài t n tì v tr của đi
đƣờng th ng ha

ặt ph ng i n uan đ n
t điều
i n cực tr .
à dạng T n hó, ch có tr ng chƣơng trình n ng ca và đề tu n
inh ại h c ca đ ng.
Tr ng u trình trực ti p gi ng dạ và nghi n c u t i thấ đ
à dạng t n
h ng ch hó à c n h ha
i cu n đƣ c c c e h c inh h gi i.
u ta
bi t d ng inh h ạt và h
i n th c của hình h c thuần t v ctơ phƣơng
ph p t a đ gi i t ch thì có th đƣa bài t n tr n về
t bài t n uen thu c.
II.Thực trạng vấn đề
Tr ng thƣc t gi ng dạ t i nhận thấy nhiều h c inh b ất i n th c cơ b n
tr ng hình h c h ng gian h ng n
v ng c c i n th c về hình h c vec tơ
phƣơng ph p đ tr ng h ng gian. ặc bi t hi nói đ n c c bài t n về cực tr
tr ng hình h c thì c c e rất “ S ”. Trƣ c hi à chu n đề nà t i đã h
tở
p A và B v i t ng 90 h c inh t u đạt đƣ c nhƣ au

S ƣ ng
T ( %)

Không
nhận
bi t
đƣ c

60
66,7

hận bi t
nhƣng không
bi t vận d ng
20
22,2

hận bi t và
bi t vận d ng
chƣa gi i đƣ c
h àn ch nh
9
9,9

hận bi t và
bi t vận d ng
gi i đƣ c bài
h àn ch nh
1
1.1

ng trƣ c thực trạng tr n v i tinh thần u th ch b
n nhằ gi p c c e
h ng th hơn tạ ch c c e niề đa
u th ch
n t n ở ra
t c ch
nhìn nhận vận d ng inh h ạt ng tạ c c i n th c đã h c tạ nền t ng ch c c

h c inh tự h c tự nghi n c u.T i đã ạnh dạn vi t chu n đề “
ng n h c
sinh giải
ts
i t n cực tr tr ng h nh h c giải t ch l
.
2


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Nh c lại
t s ạng t n hay đ c s
ng.
1
lên
- i à hình chi u vu ng góc của
n (α).
- i t phƣơng trình đƣờng th ng
(qua M
và vu ng góc v i (α))
- Tì gia đi H của
và (α).
* u u cầu tì đi
đ i ng v i
ua
ặt ph ng (α) thì ta v n tì hình chi uH của M
n (α), d ng c ng th c trung đi
u ra t a đ
.
b.

- i t phƣơng trình tha
của d
- i  d có t a đ the tha
t
à hình chi u vu ng góc của đi

(α)

n d hi

ud MH  0

-Tì t u ra t a đ của .
II. C c ạng i tậ th ờng gặ
1.Cac i t n cực tr liên qu n đến t
t đi
th
B i t n 1:
1, A2, ..An
1, k2,.,kn
(α).
k1 MA1  k2 MA2  ...  kn MAn
(α)
-Tì

đi

điều i n ch tr
1+ k2+ ….+ n

c.

.

I th a k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n  0

-Bi n đ i : k1 MA1 + k 2 MA 2 +...+ k n MA n = (k1 + k 2 +...+ k n )MI = k MI
 Tì
V

v tr của

hi MI đạt gi tr nh nhất

: Ch
ặt ph ng (α)
B -2;1;2 , C 1;-7;0 . Tì đi

–
tr n

+ 3z + 0 = 0 và ba đi
ặt ph ng (α) a ch :

A 1;0;1 ,

1) MA + MB  MC có gi tr nh nhất.
2) MA -2MB  3MC có gi tr nh nhất.

3

i đi

th a GA + GB +GC = 0 thì à tr ng t của ta gi c ABC và
G(0;-2;1)
1) Ta có MA + MB  MC = MG + GA + MG  GB  MG  GC = 3 MG có gi tr
:

nh nhất hi
à hình chi u vu ng góc của
n ặt ph ng (α)
nhận n = (2; -2; 1) à vect ch phƣơng
x = 2t

y = -2-2t
hƣơng trình tha
z = 1+3t

T ađ
ng v i t à nghi phƣơng trình
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0  17t  17  0  t  1
ậ v i (- 0 - ) thì MA + MB  MC có gi tr nh nhất.
2)
i I(
z) à đi th a IA -2IB  3IC  0
Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)
23
3
 x = 4; y = - ; z = - vậ I(4;  23 ;  3 )

2
2
2
2
Ta có MA -2MB  3MC = MI+IA -2(MI  IB)  3(MI  IC) = 2MI có gi tr nh nhất
hi

à hình chi u vu ng góc của I n ặt ph ng (α)

x = 4+2t

23

hƣơng trình tha
I y =  -2t
2

3

z
=

+3t

2
T ađ
ng v i t à nghi phƣơng trình
73
73
23

3
0t
2(4  2t)  2(  2t)  3(  3t)  10  0  17t 
2
34
2
2
ậ v i M( 

5 245 135
;
;
) thì MA -2MB  3MC đạt gi tr nh nhất.
17
34
17

B it n
kn = k .
k1MA12

 k2 MA22

1

A2 ….An

1,

(

k2 ….

n

)

1+

k2+ ….+

 ...  kn MAn2

:
- Tì đi I th a k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n  0
-Bi n đ i : T = k1MA12  k 2MA 22  ...  k nMA n2 =
4


= (k1 +...+ k n )MI2 + k1IA12  k 2IA 22  ..  k nIA 2n + 2 MI(k1 IA1 +..+ k n IA n )
= kMI 2 + k1IA12  k 2IA 22  ...  k nIA 2n
Do k1IA12  k 2IA 22  ...  k nIA 2n h ng đ i Bi u th c T nh nhất h ặc n nhất hi
I nh nhất ha
à hình chi u vu ng góc của I n ặt ph ng ha đƣờng th ng.
-

1+

k2+ ….+

k1+ k2+ ….+

n

n

= k > 0,

T

= k < 0,

t.
V

Ch
ặt ph ng (α) + + z + = 0 và ba đi A(
-1),
B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
1) Tì
tr n ặt ph ng (α) a ch
A2 + MB2 có gi tr nh nhất.
2) Tì
tr n ặt ph ng (α) a ch
A2 - MB2 – MC2 có gi tr n
nhất.

Gi :1) G i đi
Ta có

I(

z) th a IA + IB = 0 thì I à trung đi

3 3
AB và I (2; ;  )
2 2

A2 + MB2 = (MI + IA)2 +(MI + IB)2

 IA2 + IB2 +2MI2 +2MI(IA + IB) = IA 2 + IB2 +2MI2
Do IA 2 + IB2 h ng đ i n n A2 + MB2 nh nhất hi I2 có gi tr nh nhất ha
à hình chi u vu ng góc của I n (α)
ƣờng th ng I
ua đi I và có vtcp nα  (1;2;2)

x = 2+t

3

hƣơng trình tha
I  y = + 2t
2

3

 z =  2 +2t
T ađ
ng v i t à nghi phƣơng trình

3
3
2  t  2(  2t)  2(  2t)  7  0  9t  9  0  t  1
2
2
1 7
 M (1;  ;  )
2 2

5


2
2

+ MB2

AB 2
+ MB = 2MI +
, do AB2
2
2

2

2

(α).
2) i (
z) à đi th a JA - JB -JB = 0

Hay (1  x;2  y; 1  z)  (3  x;1  y; 2  z)  (1  x; 2  y;1  z)  (0;0;0)
3  x  0

 3  y  0  J(3; 3;0)
z  0


A2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA)2 - (MJ + JB)2  (MJ + JC)2

Ta có

 J A2  JB2  JC2  MJ 2 + 2MJ(JA  JB  JC)
 JA2  JB2  JC2  MJ 2
Do JA2  JB2  JC2 h ng đ i n n MA2 - MB2 – MC2 n nhất hi
ha
à hình chi u của tr n ặt ph ng (α).

nh nhất

I và có vtcp n α  (1;2;2)
x = 3+t

Phƣơng trình tha
: y = -3+ 2t
z = 2t

T ađ
ng v i t à nghi phƣơng trình
ƣờng th ng

ua đi

3  t  2(3  2t)  2.2t  7  0  9t  4  0  t  
23 35 8
; ; )
9
9 9
23 35 8
ậ v i M ( ;  ;  ) thì
9
9 9

4
9

 M(

V
A(0;

A2 - MB2 – MC2 có gi tr

Cho đƣờng th ng d có phƣơng trình
- ) B( ) C( 3 3). ã tì đi
2
2
1) MA - 2MB có gi tr n nhất
2) MA2 + MB2 + MC2 có gi tr nh nhất.

n nhất.

x-1 y-2 z-3
=
=
và c c đi
1
2
1

tr n d a ch

:
1)

i đi

I(

z) à đi

th a IA -2 IB = 0
6


Hay: (x;1  y; 2  z)  2(2  x; 1  y; 2  z)  (0;0;0)
4  x  0

 3  y  0  I(4; 3;6)
- 6+z  0


Ta có

A2 - 2MB2 = (MI + IA)2  2(MI + IB)2

 IA2  2IB2  MI2 + 2MI(IA  2 IB)  IA 2  2IB2  MI 2
Do IA 2 - 2 IB2 h ng đ i n n A2 -2 MB2 n nhất hi I2 có gi tr nh nhất
ha
à hình chi u vu ng góc của I n d.
x = 1+t

d y = 2+ 2t
z = 3+ t


ƣờng th ng d có vtcp u  (1;2;1) , phƣơng trình tha

M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3)

hi

vu ng góc của I n d n n IM.u  0  6t  4  0  t  

1 2 7
3 3 3

ậ v i M ( ; ; ) thì

A2 - 2MB2 có gi tr

à hình chi u

2
1 2 7
 M( ; ; )
3
3 3 3

n nhất

2)
i đi
(
z) à đi th a GA + GB +GC = 0 thì
à tr ng t ta
ABC và (
).
2
Ta có A + MB2 + MC2 = (MG + GA)2 + (MG + GB)2 +(MG + GC)2
2
2
2
2
= GA  GB  GC +3MG + 2MG(GA  GB  GC)
= GA2  GB2  GC2 +3MG 2
Do GA2  GB2  GC2 h ng đ i n n A2 + MB2 + MC2 nh nhất hi
nhất ha
à hình chi u vu ng góc của
n đƣờng th ng d.
M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)

Khi
à hình chi u vu ng góc của I
n đƣờng th ng

gi c

nh

d

thì

1
1 5
GM .u  0  6t  3  0  t    M ( ;1; )
2
2 2
1 5
ậ v i M ( ;1; ) thì A2 + MB2 + MC2 có gi tr nh nhất.
2 2
B i t n 3: Cho
A,B
(α) .
.

(α)

+
(α)

+

+
+

7


u (a A+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A B nằ về hai ph a v i (α).
A + B nh nhất hi thu c AB ha
à gia đi của (α) và AB.
2. u (a A+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A B nằ về
t ph a v i (α).
hi đó ta tì đi A đ i ng v i A ua (α). Do A + B = A + B à đạt
gi tr nh nhất hi thu c A B ha
à gia đi của (α) và A B.
1.

V
Tr ng h ng gian v i h t a đ
z ch
ặt ph ng (α) có phƣơng
trình – 2y – 2z + 4 = 0 và hai đi A(
) B( 0 ). Tì đi
tr n ặt
ph ng (α) a ch
A + B có gi tr nh nhất
:
Tha t a đ của A và B và phƣơng trình (α) ta thấ hai đi nằ về hai ph a của
(α).

Ta có A + B có gi tr nh nhất hi
à gia đi của AB và (α).
ƣờng th ng AB ua đi B nhận AB  (1; 1;0) à vect ch phƣơng
hƣơng trình tha
T ađ

x  2  t

của AB  y  t
z  2


ng v i t à nghi

phƣơng trình 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
 3t  2  0  t  

4 2
3 3

Hay M ( ; ;2) à đi
V

2
3

cần tì .

Ch
ặt ph ng (α) có phƣơng trình x – y + z = 0 và ba đi

A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). ã tì đi
tr n d sao cho
1) A + B có gi tr nh nhất
2) MA - MC có gi tr n nhất.

:
1) Tha t a đ của A và B và phƣơng trình (α) ta thấ hai đi nằ về
t ph a
của (α).
i A à đi đ i ng v i A ua (α) đ
A + B có gi tr nh nhất hi
à
gia đi của A B v i (α).
ƣờng th ng AA đi ua A và vu ng góc v i (α) AA nhận n  (1; 1;2) à
vect ch phƣơng

8


x  1  t

AA  y  2  t
 z  1  2t


hƣơng trình tha

T a đ hình chi u vu ng góc

của A tr n (α) ng v i t của phƣơng trình

1
3 3
1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0  6t – 3 = 0 hay t =  H( ; ; 0)
2
2 2
à trung đi

Do

x A ' = 2x H  x A  2

AA n n y A ' =2y H  y A  1  A '(2; 1; 1)
z = 2z  z  1
H
A
 A'

A B có vtcp A'B  (1;0; 3)
x  2  t

A B y  1
z  1  3t


hƣơng trình tha
T ađ

ng v i t à nghi

phƣơng trình

2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0  5t  3  0  t 
13
4
;1;  ) thì
5
5

ậ v i M(

A+

13
4
3
hay M ( ;1;  )
5
5
5

B có gi tr nh nhất.

2) Tha t a đ của A và C và phƣơng trình (α) ta thấ hai đi
nằ về hai ph a
của (α). ậ n n A và C nằ c ng
t ph a đ i v i (α).
Ta thấ MA - MC  MA' - MC  A'C .Nên MA - MC đạt gi tr
n nhất khi
thu c A C nhƣng ở ph a ng ài đ ạn A C t c
à gia đi của A C và (α).

ƣờng th ng A C có vtcp A'C  (1; 3; 3)
x  2  t

A C y  1  3t
z  1  3t


hƣơng trình tha
T ađ

ng v i t à nghi

phƣơng trình

2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0  4t  3  0  t 
5
4

5
4

5
4

ậ v i M ( ;  ;  ) thì MA - MC có gi tr

5 5 5
3
hay M ( ;  ;  )
4

4 4 4

n nhất.

B i t n 4:

.
+

- ƣa phƣơng trình của d về dạng tha
vi t t a đ của
- T nh bi u th c A + B the t t hà
f(t) = A +

.
the tha
B

t
9


- T nh gi tr nh nhất của hà
- T nh t a đ của và t uận
Ch đƣờng th ng  d :

V

-3). ã tì

đi

f(t) t đó u ra t

x-1 y + 2 z-3
=
=
và hai đi
2
2
1

tr n d a ch

C+

C(-

) D(3

D đạt gi tr nh nhất.
:

ƣờng th ng d có phƣơng trình tha

 x  1  2t

 y  2  2t
z  3  t


ua đi
( - 3) có vtcp u  (2; 2;1) và CD  (7;5; 4)
Ta có u . CD = 14 -10 – 4 = 0  d  CD
t ặt ph ng ( ) ua CD và vu ng góc v i d
( ) ua đi C() và nhận u  (2; 2;1) à vect ph p tu n
hƣơng trình ( ) ( + ) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
i
thu c d th a C + D đạt gi tr nh nhất hi
à gia đi
của d và
mp(P).
T ađ
ng v i t à nghi của phƣơng trình
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0  9t + 18  0  t  2
ậ
(-3; 2; 1) thì C + D đạt gi tr nh nhất bằng: 2  2 17
B i t n 5:
.
 d1, N d2
1,d2
trên.

 d1 và  d2 ( t a đ the tha

- Lấ

).

i i h phƣơng trình MN.u1  0 và MN.u2  0 ( u1 , u2 à c c v ctơ ch

phƣơng của d1 và d2 ).
- Tì t a đ
và t uận.
-

V

Ch hai đƣờng th ng

d1 :

x-5 y+1 z -11
x+ 4 y-3 z - 4
=
=
=
=
, d2 :
1
2
-1
7
2
3

1) Ch ng inh d1, d2 ch nhau
 d1 và  d 2 a ch đ dài
2) Tì đi
1) d1 qua M1(

-

ng n nhất.

) có vtcp u1  (1;2; 1)
10


d2 qua M2(-4; 3; 4) có vtcp u2  (7;2;3)
Ta có u1, u2 ] M1M 2 = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168  0
Hay d1 và d2 ch nhau.
2). M  d1 và  d 2 a ch đ dài
ng n nhất hi và ch hi
đ ạn vu ng góc chung của d1 và d2.
hƣơng trình tha
của hai đƣờng th ng

à đ dài

x  5  t
x  4  7t


d1: y  1  2t , d2: y  3  2t
z  11  t
z  4  3t



M  d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N  d 2 nên N(-4 – t 3 + t

+ 3t )

MN  ( - t - t – 9 t – t + 3t + t – 7)

6t ' 6t  6  0
t  2
MN.u1  0




Ta có 
62
t
'

6
t

50

0
MN
.
u

0

t '  1

2


D đó
ậ v i

(

3 9) và (3; 1; 1)
(

3 9) và (3

) thì đ dài

ng n nhất bằng 2 21 .

x  2  t

Ch đƣờng th ng d: y  4  t và hai đi
 z  2


V
đi

tr n d a ch ta

gi c

AB có di n t ch nh nhất

- Lấ đi
góc của

tr n d
n AB

- Ta

AB có di n t ch S =

gi c

i

A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tì

à hình chi u vu ng
1
AB.MH đạt
2

gi tr nh nhất hi
nh nhất ha
đ ạn vu ng góc chung của AB và d.
Ta thấ d ua 1(2; 4 - ) có vtcp u  (1;1;0)

à

AB qua A(1; 2; 3) và AB  (0; -2;-2) = 2u1
v i u1  (0;1;1) à v c tơ ch phƣơng của AB

11


x  1

AB y  2  t '
z  3  t '


hƣơng trình tha

M(2 + t; 4+ t; -2)  d ,H(1; 2+ t ;3+t )  AB , MH  ( -t -1 t – t -2 t +5)


t ' 2t  3
t '  3
MH.u  0





Ta có
2t ' t  3
t  3

MH.u1  0

ậ
(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) hi đó
= 2 3 , AB = 2 2
1
Di n t ch SMAB  AB.MH  6
2
V

x  0
3: Ch đƣờng th ng d: y  t . Tr ng c c
z  2  t


v i c hai đƣờng th ng d và tr c
có b n nh nh nhất.
i
ặt cầu (S) có t I
Ta thấ
=I +I ≥
MN hi và ch hi
nh
ƣờng th ng d ua (0 0
ua (0 0

hã vi t phƣơng trình

c

ặt cầu (S)

b n nh ti p c v i d tại
ti p c v i
tại
d đó ặt cầu (S) có đƣờng nh nh nhất à 2R =
nhất ha
à đ ạn vu ng góc chung của d và .
) có vtcp u  (0;1; 1)
0) có vtcp i  (1;0;0)

[ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2  0 n n d và
i M(0; t; 2- t) d

ặt cầu ti p

ch

nhau.

(t 0 0) Ox và MN  ( t -t; t – 2)


t  t  2  0
t  1
MN.u  0




Ta có 
t

'

0
MN
.
i

0

t '  0


ậ

(0

)

(0 0 0)
MN

2
1
1
ặt cầu (S) x 2  ( y  )2  ( z  )2 
2
2

ặt cầu (S) có t
hƣơng trình

2. C c

1 1
2 2

I (0 ; ; ) b n

nh

=

i t n cực tr liên qu n đến v tr c

2
2
1
2

đ ờng th ng

ặt h ng.

12


B i t n 1:

.
(α)
.

:
à hình chi u vu ng góc của B n ặt ph ng
(α) hi đó ta gi c AB vu ng tại
và h ng
c ch d(B (α)) = B
AB. ậ d(B (α)) n nhất
bằng AB hi A
hi đó (α) à ặt ph ng đi ua
A và vu ng góc v i AB.
i

V
1: i t phƣơng trình ặt ph ng (α) đi ua đi
I(3 - - )
t h ng n nhất.

D(

-

3) và c ch đi

G i:
t h ng n nhất hi (α) à

(α) c ch đi
I(3 - - )
ặt ph ng đi ua D và
vu ng góc v i DI.

(α) nhận DI  (2; 1; -5) à vect ph p tu n
hƣơng trình ặt ph ng(α) ( -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0  2x + y – 5z + 15 = 0

V

Ch

Tr ng c c
(S) có b n

hai đi
A(
3) B( ) g i (α) à ặt ph ng ua B.
ặt cầu t
A và ti p c v i (α) hã vi t phƣơng trình ặt cầu
nh n nhất.

ặt cầu (S) có b n nh = d(A (α)) n nhất hi (α) ua B và vu ng góc v i AB
BA  (1; 2; 2) à v ctơ ph p tu n của (α)
R = AB=3
hƣơng trình ặt cầu (S) ( -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
B i t n 2:
.
(α)
(α)

i

:
à hình chi u vu ng góc của A n

ặt ph ng

(α)
à hình chi u vu ng góc của A lên ∆
Ta có d(A (α)) = A
A
n nhất thì H
hi đó (α) à ặt ph ng đi ua ∆ và vu ng góc
v i A . Hay (α) ua ∆ và vu ng góc v i p( A).
V
1 Ch ba đi
A(
3) B(3 0 ) C(0 trình ặt ph ng (α) đi ua hai đi
A B và c ch C
nhất.

).

i t phƣơng
t h ng n

13


:
ặt ph ng (α) đi ua hai đi A B và c ch C
t h ng
hai đi A B và vu ng góc v i p(ABC).
AB  (1; 1; 1) , AC  (2; 3; 2)

(ABC) có v ctơ ph p tu n n  [AB, AC]  (1;4; 5)
(α)cóv ctơph ptu n n  [n, AB]  (9  6; 3)  3(3;2;1)
hƣơng trình (α) 3( – 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0
 3x + 2y + z – 11 = 0
B i t n 3:
(α)
(α)
(α)
.
i

à hình chi u của B n ∆ ta thấ d(B ∆) = B
ậ h ng c ch t B đ n ∆ n nhất hi
A
ha
à đƣờng th ng nằ tr ng
(α) và vu ng góc v i AB.
i à hình chi u vu ng góc của
B n (α) hi đó d(B (α)) = B ≥ B
ậ h ng c ch t B đ n ∆ nh nhất hi
ha
à đƣờng th ng đi ua hai
đi A .

n nhất hi (α) đi ua

(α).

AB

V
: Cho ặt ph ng (α)
– +z+
= 0 và đi
i t phƣơng trình đƣờng th ng nằ tr n (α) ua đi
)
t h ng
) h nhất .
) L n nhất.

A (-3; 3; -3).
A và c ch đi

B( 3

:
Ta thấ (α)có v ctơ ph p tu n n  (2; 2;1)
1) i à hình chi u vu ng góc của B n (α)
hƣơng trình B
T a đ đi

x  2  2 t

y  3  2t
z  5  t


ng v i t à nghi

của phƣơng trình

14


2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0  t  2 hay H(-2; 7; 3)
Ta thấ d(B ) nh nhất hi đi ua hai đi A H d vậ AH  (1;4;6) à v c tơ
ch phƣơng của .
x+3 y-3 z +3


1
4
6

hƣơng trình của

2) Ta thấ d(B ) n nhất hi
à đƣờng th ng nằ
góc v i AB.
có v ctơ ch phƣơng u  [AB, n ]  (16;11; 10)
x+3 y-3 z +3


16
11 10

hƣơng trình của

V

: Ch hai đi

i
i
h
3) i
h
1)
2)

tr ng (α), qua A và vu ng

A(

- ) B(-

t phƣơng trình
t phƣơng trình
ng c ch t A đ
t phƣơng trình
ng c ch t A đ

1) ƣờng th ng d ua đi

(

x  1  t

0) và đƣờng th ng d  y  0
z  t


ặt ph ng (α) đi ua d và B.
đƣờng th ng 1 đi ua B c t d a
n 1 n nhất.
đƣờng th ng 2 đi ua B c t d a
n 2 nh nhất.

ch
ch

0 0) có vtcp ud  (1;0; -1) , MB  (2;2;0)

[ud , MB]  (2;2;2)  2(1;1;1)  2n

(α) đi ua B nhận n  (1;1;1) à v ctơ ph p tu n
hƣơng trình (α) + + z – 1 = 0
2)
i
à hình chi u của A n (α) đ d(A 1) nh nhất hi
B,H.

hƣơng trình tha

T ađ

ng v i t à nghi

A

x  2  t


y  1  t
z  1  t


phƣơng trình

2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0  3t  1  0  t  
8 4 4
BH  ( ; ; ) 
3 3 3
Ta thấ u1 và ud

4
4
(2; 1; 1)  u1 
3
3

1

đi ua hai đi

5 2 4
1
 H( ; ; )
3 3 3
3

nhận u1 à

h ng c ng phƣơng n n d và

1

1

v c tơ ch phƣơng
c t nhau (d c ng thu c

ặt

ph ng (α))

15


ậ phƣơng trình

1:

x+1 y-2 z


2
1 1

3)
i
à hình chi u của A n 2 ta có d(A 2 ) = A
AB đ d(A 2 ) n

nhất hi
B ha 2 nằ tr ng (α)và vu ng góc v i AB.
Ta có [n , AB]  (0; 4;4)  4(0;1; 1)  4u2  2 nhận u2 à v c tơ ch phƣơng
ặt h c u2 và ud h ng c ng phƣơng n n d và 2 c t nhau (d c ng thu c ặt
ph ng (α))
x  1

hƣơng trình 2: y  2  t
 z  t


B i t n 4:

(α)
(α)

(α)
.

(α)
.
:
i d1 à đƣờng th ng ua A và ng
ng v i d B à gia đi của d v i (α).
t ( ) à ặt ph ng (d1 )
và I à hình
chi u vu ng góc của B n ( ) và d1.
Ta thấ h ng c ch gi a và d à B và
B
BI n n B

n nhất hi I
hi đó có vtcp u  [BI , n ] .

V

1: Ch đƣờng th ng d

x-1 y-2 z -3


1
2
1

ặt ph ng (α)

và đi A( -1; 1; 1). i t phƣơng trình đƣờng th ng
ch h ng c ch gi a và d à n nhất.
: ƣờng th ng d có vtcp u  (
hƣơng trình tha

nằ

– –z+ =0

tr n (α) đi ua A a

- ) (α) có vtpt n  (2; -1; 1)

x  1  t


d y  2  2t
z  3  t


i B à gia đi của d và (α) t a đ B ng v i t à nghi
2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0  t = -1  B(0; 0; 4)
t d1 à đƣờng th ng ua A và ng ng v i d

phƣơng trình

16


hƣơng trình tha

x  1  t

đƣờng th ng d1: y  1  2t
z  1  t


i I à hình chi u vu ng góc của B n d1
 I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI  (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
Ta có BI.u  0  -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = 0  t = -1  I(-2; -1; 2)
ƣờng th ng có vtcp u  [BI , n ] = (-5; -10; 4)
x+1 y-1 z -1


5 10

4

hƣơng trình
V
:

2: Ch

ặt ph ng ( )

+

– z + = 0 đi

x+1 y
z-4
= =
. Tr ng c c đƣờng th ng đi ua A và
2
1
3

hã vi t phƣơng trình đƣờng th ng d a ch
:
ặt ph ng (α) ua A và
= d nằ tr n (α).
ƣờng th ng

ng

có vtcp u  (

i B à gia đi

của

i

ng

+

ng v i (P)
n nhất.

– z + 2= 0

-3) (α) có vtpt n  (1;1;-1)

và (α) t a đ B ng v i t à nghi

à đƣờng th ng ua A và

hƣơng trình tha

ng

h ng c ch gi a d và

ng v i ( ) có phƣơng trình

-1+ 2t + t – (4- 3t) + 2 = 0  t =
1

) và đƣờng th ng

-

x  1  2t

y  t
z  4  3t


hƣơng trình tha

t

A(

phƣơng trình

1
1 5
 B(0; ; )
2
2 2

ng

ng v i

x  1  2 t

đƣờng th ng 1: y  1  t
z  2  3t


à hình chi u vu ng góc của B n

 H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t)
3
3
1
BH  (1 + 2t; t - ; -3t).Ta có BI .u  0  2 + 4t + t - + 9t = 0  t = 
2
2
28
13
43 3
1
1
) = (26; -43; 3) = u1
 BH =( ;  ;
14
28 28
28
28
1

ƣờng th ng d có vtcp ud  [u1, n ] = (40; 29; 69)
17


hƣơng trình d :

x-1 y+1 z -2


40
29
69

.
B it n :
(α)
(α).

(α)
(α)
.

đƣờng th ng d1 ua A và ng ng v i d.
Trên d1 ấ đi
B h c A à đi
c đ nh g i
à hình chi u vu ng góc của B n (α) và .
BH BK
Ta có in(d ) =
≥

. D vậ góc (d ) nh nhất hi
AB AB
đƣờng th ng A .
óc (d ) n nhất bằng 900 hi  d và có vtcp u  [ud , n ]
V

Ch

th ng d

ặt ph ng (α)

+

–z–

= 0 đi

A(

ha

à

- ) và đƣờng

x+2 y-1 z -3
.



1
1
1

i t phƣơng trình đƣờng th ng
góc n nhất.
2) i t phƣơng trình đƣờng th ng
góc nh nhất.
1)

1

nằ

tr n (α) đi ua A và tạ v i d

t

2

nằ

tr n (α) đi ua A và tạ v i d

t

(α) có vectơ ph p tu n n  (2;2; -1) d có vectơ ud  (1;1;1) ua đi
(3). Ta thấ A  (α) ặt h c n ud  0 n n d h ng ng ng h ặc
nằ tr n (α).
1) 1 tạ v i d

t góc n nhất hi 1  d
D đó 1 có vectơ ch phƣơng u1  [ud , n ] = (-3; 3; 0 ) = -3(1; -1; 0)
hƣơng trình tha

x  1  t

của 1: y  2  t
 z  2


t đƣờng th ng d1 qua A và

2)

hƣơng trình d1:
i

x-1 y-2 z +2


1
1
1

ng
ấ đi

ng v i d
B(

3 -1) d1.

à hình chi u vu ng góc của B n (α)
18


hƣơng trình tha
phƣơng trình

của B

x  2  2 t

y  3  2t t a đ
z  1  t


tạ v i d

2

ua A(

của

4
10 19 5
 K( ; ; )
9
9 9 9

t góc nh nhất hi nó đi ua hai đi

A và

1 1 13
AK  ( ; ; )
9 9 9

- ) có vectơ ch phƣơng u2  9.AK  (1;1;13)
x-1 y-2 z +2


1
1
13

hƣơng trình

2

V

Ch

d:

ng v i t à nghi

( + t) + (3 + t) – (- 1 – t) – 7 = 0

 9t + 4 = 0 hay t = 

2

của

:

x-1 y-2 z -3
.


2
1
1

tạ v i AB

hai đi

A(

0 0)

B( 0 -

i t phƣơng trình đƣờng th ng

0) và đƣờng th ng

ua A vu ng góc v i d và

t góc nh nhất.
i:

ƣờng th ng d có vectơ ud  (2;1;1)
t ặt ph ng (α) ua A và vu ng góc v i d  nằ tr n (α)
(α) nhận ud  (2;1;1) à vectơ ph p tu n.
hƣơng trình (α)
+ + z – 2 = 0.
i à hình chi u vu ng góc của B n (α) B có vectơ ud  (2;1;1)
hƣơng trình tha
phƣơng trình
tạ v i AB
ua A(

của B

x  2 t

y  2  t t a đ
z  t


của

t -2 + t + t – 2 = 0  6t – 4 = 0  t 
t góc nh nhất hi nó đi ua hai đi

ng v i t à nghi

của

2
4 4 2
hay H( ; ; )
3
3 3 3

A và

1 4 2
AH  ( ; ; )
3 3 3

0 0) có vectơ ch phƣơng u  3.AH  (1; 4;2)

hƣơng trình

x-1 y z


1
4 2

19


C. KẾT LUẬN
T thực t gi ng dạ chu n đề nà

t inh nghi
đƣ c r t ra à trƣ c h t
h c inh ph i n ch c c c i n th c cơ b n bi t vận d ng inh h ạt c c i n th c
nà t đó
i dạ c c chu n đề ở r ng n ng ca
h c u i n th c
t c ch
h p v i c c đ i tƣ ng h c inh nhằ b i dƣ ng n ng hi u r n n ng ch h c
sinh.
Nh ng điều tôi đã thực hi n nhƣ nêu ở trên đã có m t s tác d ng đ i v i h c
sinh,c th là : C c e t ra rất a
h ng th v i dạng toán này. đó có th c i
à
t thành c ng của ngƣời gi vi n. t th c đề tài nà t i đã kh sát lạicho
c c e h c inh p A,12B. K t qu nhƣ sau:

S ƣ ng
T ( %)

Không
nhận
bi t
đƣ c
0
0.0

hận bi t
nhƣng h ng
bi t vận d ng
3

3.3

hận bi t và
bi t vận d ng
chƣa gi i đƣ c
h àn ch nh
27
30

hận bi t và
bi t vận d ng
gi i đƣ c bài
h àn ch nh
60
66,7

Rõ ràng là các em đã có sự ti n b . hƣ vậ ch c ch n phƣơng ph p à t i n u
ra tr ng đề tài đã gi p c c e phận ại đƣ c bài tập và n
h v ng phƣơng
ph p à và trình bầ bài gi p c c e tự tin hơn tr ng h c tập cũng nhƣ hi đi thi.
Tu
t ủa chƣa thật nhƣ
ng đ i nhƣng v i tr ch nhi
của
t ngƣời thầ
tr ng
t ch ng ực nà đó t i có th b t b n h n hi h c tr của ình có th
làm t t các bài toán “ Cực tr trong hình h c gi i tích l p
”
T i u n nghĩ rằng ự ti n b và thành đạt của h c inh u n à

c đ ch ca c
à ngu n đ ng vi n t ch cực của ngƣời thầ . D vậ t i
ng ƣ c đƣ c chia ẻ v i
u đ ng nghi p
t
u nghĩ nhƣ au
t bài t n có th có rất nhiều c ch gi i ng vi c tì ra
t ời gi i h p
ng n g n th v và đ c đ
à
t vi c h ng dễ. D đó đ ch à
t chu n đề
trong rất nhiều chu n đề
t phƣơng ph p tr ng hàng vạn phƣơng ph p đ gi p
ph t tri n tƣ du ự ng tạ của h c inh. i vi n trƣ c h t ph i cung cấp ch
h c inh n ch c c c i n th c cơ b n au đó à cung cấp ch h c inh c ch nhận
dạng bài t n th hi n bài t n t đó h c inh có th v n d ng inh h ạt c c i n
thƣc cơ b n ph n t ch tì ra hƣ ng gi i b t đầu t đ u và b t đầu nhƣ th nà à
rất uan tr ng đ h c inh h ng
hi đ ng trƣ c
t bài t n hó à dần tạgây
h ng th a
n t n t đó tạ ch h c inh t c ph ng tự h c tự nghi n c u.
20


Tu n i dung của chu n đề h r ng
ng tr ng hu n h thời gian có hạn
ngƣời vi t cũng ch ra đƣ c c c v d bài t n đi n hình.
ất

ng ự đóng góp
i n của c c bạn uan t
chu n đề nà đƣ c đầ đủ h àn thi n hơn./.
ÁC

Ậ CỦA T Ủ T ƢỞ
Ơ
Ị

và đ ng nghi p đ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng5 năm 2013
T i in ca đ an đ à S
của
ình vi t h ng a ch p n i dung của
ngƣời h c.

Nguyễn V n Tân
H Th Mai

ÁNH GIÁ CỦA HỘI Ồ
KHOA HỌC CƠ SỞ
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
..............................................
Vĩnh L c, Ngày 14 tháng 5 n m
2013
Thay mặt H KH cơ sở
Chủ T ch

Nguyễn V n Tân
21


VII. TÀI LIỆU T AM K ẢO
1. ình h c
Bài tập hình h c
– nhà B D n
00
2. ình h c n ng ca Bài tập hình h c
n ng ca – nhà B D n
3. Tạp ch T n h c và tu i trẻ n
0 0.
4. C c dạng T n LT
của han u h iB à in
00

00 .

22