Tài liệu BÀI TẬP CHƯƠNG 2:SỐ ĐẾM pptx

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
  



BÀI TẬP CHƯƠNG 2:

SỐ ĐẾM


GVBM: CAO THANH TÌNH
BÀI TẬP THUYẾT TRÌNH NHÓM I






DANH SÁCH NHÓM I

1. NGÔ VĂN HÀO – 11520549
2. PHẠM MINH ĐỨC – 11520070
3. VĂN TẤN QUỐC – 11520312
4. TRẦN ANH KHOA – 11520178
5. LÊ ĐÌNH PHI – 11520282
6. PHẠM ĐĂNG VINH – 11520480
7. TRẦN PHƯƠNG CHUNG – 11520034
8. NGUYỄN HOÀNG HUY – 11520576
9. PHAN HUY TÀI – 11520340
10.LÊ VĂN TOÀN – 11520423

11. ĐẶNG ĐÌNH ĐỨC – 11520534
12.HỒNG MINH NHÂN – 10520615
13. PHẠM ĐỨC MẠNH – 10520443
14.NGUYỄN XUÂN THỌ - 09520673
15. TRẦN PHÚC THỊNH – 09520670
16. TRẦN HỮU LỘC – 09520556
17. NGUYỄN MẠNH HÙNG – 09520535
18. VY VĂN ANH – 11520010
19. NGUYỄN PHƯỚC LỘC – 08520654
20. ĐẶNG QUỐC THÁI - 08520340
Bài 1 : Giả sử A = {1,{1},{2}}. Hãy chỉ ra các khẳng định đúng trong số
các khẳng định dưới đây :
a) (Đúng) b) (Đúng) c) (Đúng)
d) (Đúng) e) (Sai) f) (Sai)
Bài 2 : Hãy liệt kê các phần tử trong các tập hợp dưới đây :
a) {0,2}
b)
c) {1/( | }
{ }
Bài 3 : Xét các tập hợp con của Z :
A = , B =
C = D =
E = , F =
Hãy xác định các khẳng định đúng trong số các khẳng định sau đây
a) A = B (Đúng) b) A = C (Đúng) c) B = C (Đúng)
d) D = E (Sai) e) D = F (Đúng) f) E = F (Sai)
Bài 4 : Trong số các tập hợp dưới đây, tập hợp nào khác ?
a) =
b) =
c) = Q)

d)
e) =
f)

Bài 5 : Xét 4 tập hợp con của tập hợp vũ trụ
A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,4,8}
C = {1,2,3,5,7}, D = {2,4,6,8}
Hãy xác định các tập hợp dưới đây
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Giải
a) Ta có :
-
-
b) Ta có :
-
-
c) Ta có :
-
-
-
d) Ta có :
-

-
e) Ta có :
-
-
f) Ta có :
-
-
g) Ta có :
-
-
h) Ta có :
-
-
-
i) Ta có :
-
-
-
Bài 6 : Xét các tập hợp con của Z :
A = {2n | n ∊ Z}, B = {3n | n ∊ Z}
C = {4n | n ∊ Z}, D = {6n | n ∊ Z}
E = {8n | n ∊ Z}
Hãy chỉ ra các khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :
a) E ⊂ C ⊂ A (Đúng)
b) A ⊂ C ⊂ E (Sai)
c) D ⊂ B (Đúng)
d) D ⊂ A (Đúng)
e) B ⊂ D (Sai)
f) ⊂ (Sai)
Bài 7 : Xét các tập con tùy ý A,B,C,D của tập hợp vũ trụ U. Hãy chứng

minh các khẳng định dưới đây
a) Nếu A ⊂ B và C ⊂ D thì và
b) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì và
c) A ⊂ B khi và chỉ khi
d) A ⊂ B khi và chỉ khi
Giải
a) Ta có
- A ⊂ B và C ⊂ D (1)
- (1)
- (2) Điều phải chứng minh
b)c)d) Tương tự
Bài 8 : Dùng các quy luật của Lý thuyết tập hợp để đơn giản các biểu
thức dưới đây
a)
b)
c)
Giải
a)
b)

c)

Bài 8: Một sinh viên có thể chọn bài thực hành từ 1 trong ba danh sách
tương ứng có 29, 15, 31 bài. Vậy sinh viên đó có bao nhiêu cách chọn
bài thực hành
Giải
Theo quy tắc cộng ta có : 29 + 15 + 31 = 75 (cách chọn)
Bài 9 : Người ta ghi nhãn cho những chiếc ghế trong giảng đường bằng
chữ và 1 số nguyên dương không vượt quá 100. Vậy có nhiều nhất bao
nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau.

Giải
Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc, gán một trong 26 chữ
cái và sau đó gán một trong 100 số nguyên dương. Quy tắc nhân chỉ ra
rằng có 26.100=2600 cách khác nhau để gán nhãn cho một chiếc ghế.
Như vậy nhiều nhất ta có thể gán nhãn cho 2600 chiếc ghế.

Bài 10 : Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài n.
Giải
Mỗi một trong n bit của xâu nhị phân có thể chọn bằng hai cách vì mỗi
bit hoặc bằng 0 hoặc bằng 1. Bởi vậy theo quy tắc nhân có tổng cộng 2
n

xâu nhị phân khác nhau có độ dài bằng n.

Bài 11 : Có thể tạo được bao nhiêu ánh xạ từ tập A có m phần tử vào tập
B có n phần tử?
Giải
Theo định nghĩa, một ánh xạ xác định trên A có giá trị trên B là một
phép tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử nào đó của B. Rõ
ràng sau khi đã chọn được ảnh của i - 1 phần tử đầu, để chọn ảnh của
phần tử thứ i của A ta có n cách. Vì vậy theo quy tắc nhân, ta có
n.n n=n
m
ánh xạ xác định trên A nhận giá trị trên B.
Bài 12 : Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ. Bỏ ngẫu nhiên các lá
thư vào các phong bì. Hỏi xác suất để xảy ra không một lá thư nào đúng
địa chỉ.
Giải
Mỗi phong bì có n cách bỏ thư vào, nên có tất cả n! cách bỏ thư. Vấn đề
còn lại là đếm số cách bỏ thư sao cho không lá thư nào đúng địa chỉ. Gọi

U là tập hợp các cách bỏ thư và A
m
là tính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa
chỉ. Khi đó theo công thức về nguyên lý bù trừ ta có:
N
= n!  N
1
+ N
2
 + (1)
n
N
n
,
trong đó N
m
(1  m  n) là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có m lá thư
đúng địa chỉ. Nhận xét rằng, N
m
là tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ n
lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có (n-m)! cách bỏ để m lá thư này đúng
địa chỉ, ta nhận được:
N
m
=
m
n
C
(n - m)! =
n

k
!
!
và
N
= n!(1 
1
1!
+
1
2!
 + (1)
n

1
n!
)
trong đó
m
n
C
=
)!(!
!
mnm
n

là tổ hợp chập m của tập n phần tử (số cách
chọn m đối tượng trong n đối tượng được cho). Từ đó xác suất cần tìm
là:

Bài 13 : Số mã vùng cần thiết nhỏ nhất là bao nhiêu để đảm bảo 25 triệu
máy điện thoại khác nhau. Mỗi điện thoại có 9 chữ số dạng 0XX-
8XXXXX với X nhận giá trị từ 0-9
Giải
Vì số mã vùng có dạng 0XX-8XXXXX, với X nhận các giá trị từ 0-9, có
7 ký tự X do vậy những trường hợp. Do đó theo nguyên lý Dirichet
với 10 triệu máy điện thoại thì cần có số mã vùng là :
. Vậy số mã vùng cần thiết để thỏa yêu cầu là 3.
Bài 14 : Biển số xe gồm 8 ký tự dạng NN-NNNN-XN ví dụ
75_1576_F1. Hai số đầu là mã tỉnh.X là chữ cái ( 26 chữ cái). N gồm
các số từ 0-9. Hỏi 1 tỉnh cần đăng ký cho 1 triệu xe thì cần bao nhiêu
serial X.
Giải
Hai số NN đầu là mã tỉnh, do nhà nước quy định nên không ảnh hưởng
đến kết quả. Sáu số ký tự còn lại là N nhận giá trị từ 0-9 nên có
trường hợp. Theo nguyên lý Dirichlet, số serial X tối thiểu phải thỏa
mãn :
Bài 15 : Trong một tháng gồm 30 ngày, một đội bóng chuyền thi đấu
mỗi ngày ít nhất 1 trận nhưng chơi không quá 45 trận. Chứng minh rằng
tìm được một giai đoạn gồm một số ngày liên tục nào đó trong tháng sao
cho trong giai đoạn đó đội chơi đúng 14 trận.
Giải
Gọi a
j
là số trận mà đội đã chơi từ ngày đầu tháng đến hết ngày j. Khi đó
1  a
1
< a
2
< < a

30
< 45
15  a
1
+14

< a
2
+14 < < a
30
+14 < 59.
Sáu mươi số nguyên a
1
, a
2
, , a
30
, a
1
+ 14, a
2
+ 14, , a
30
+14 nằm giữa 1
và 59. Do đó theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 trong 60 số này bằng
nhau. Vì vậy tồn tại i và j sao cho ai

= aj

+ 14 (j < i). Điều này có nghĩa

là từ ngày j + 1 đến hết ngày i đội đã chơi đúng 14 trận.
Bài 16 : Chứng tỏ rằng trong n + 1 số nguyên dương không vượt quá 2n,
tồn tại ít nhất một số chia hết cho số khác.
Giải
Ta viết mỗi số nguyên a
1
, a
2
, , a
n+1
dưới dạng a
j
=
j
k
2
q
j
trong đó k
j
là số
nguyên không âm còn q
j
là số dương lẻ nhỏ hơn 2n. Vì chỉ có n số
nguyên dương lẻ nhỏ hơn 2n nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại i và j
sao cho q
i
= q
j
= q. Khi đó a

i
=
i
k
2
q và aj =
j
k
2
q. Vì vậy, nếu k
i
 k
j
thì a
j

chia hết cho a
i
còn trong trường hợp ngược lại ta có a
i
chia hết cho a
j
.
Bài 17 : Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là
thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba
người là kẻ thù lẫn nhau.
Giải
Gọi A là một trong 6 người. Trong số 5 người của nhóm hoặc là có ít
nhất ba người là bạn của A hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của A, điều
này suy ra từ nguyên lý Dirichlet tổng quát, vì = 3. Trong trường

hợp đầu ta gọi B, C, D là bạn của A. nếu trong ba người này có hai
người là bạn thì họ cùng với A lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau,
ngược lại, tức là nếu trong ba người B, C, D không có ai là bạn ai cả thì
chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau. Tương tự có thể chứng minh
trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của A.
Bài 18 : Cần phải có bao nhiêu SV ghi tên vào lớp TRR để chắc chắn có
ít nhất 65 SV đạt cùng điểm thi, giả sử thang điểm thi gồm 10 bậc.
Giải
Gọi n là số sinh viên tối thiểu thỏa mãn đề bài, theo nguyên lý Dirichlet
thì = 65. Do vậy
n = 10 * 64 +1 = 641 SV.
Bài 19 : Chỉ ra rằng nếu chọn 5 số từ tập 8 số {1, 2, …, 7, 8} thì bao giờ
cũng có ít nhất 01 cặp số có tổng là 9.
Giải
Từ 8 số ở trên, ta chia thành 04 cặp: {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5} và tổng
của mỗi cặp đều bằng 9.
Như vậy, đề bài sẽ trở thành chọn 5 số từ 4 cặp số trên. Theo nguyên lý
Dirichlet, phải có ít nhất 01 cặp số được chọn hết. Vậy bài toán đã được
chứng minh.

Bài 20 : Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm
những tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ.
Giả sử thứ tự mà các tờ tiền được chọn là không quan trọng, các tờ tiền
cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ.
Giải
Vì ta không kể tới thứ tự chọn tờ tiền và vì ta chọn đúng 5 lần, mỗi lần
lấy một từ 1 trong 7 loại tiền nên mỗi cách chọn 5 tờ giấy bạc này chính
là một tổ hợp lặp chập 5 từ 7 phần tử. Do đó số cần tìm là
5
157 

C
= 462.
Bài 21 : Phương trình x
1
+ x
2
+ x
3
= 15 có bao nhiêu nghiệm nguyên
không âm?
Giải
Chúng ta nhận thấy mỗi nghiệm của phương trình ứng với một cách
chọn 15 phần tử từ một tập có 3 loại, sao cho có x
1
phần tử loại 1, x
2

phần tử loại 2 và x
3
phần tử loại 3 được chọn. Vì vậy số nghiệm bằng số
tổ hợp lặp chập 15 từ tập có 3 phần tử và bằng
15
1153 
C
= 136.
Bài 22 : Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp
lại các chữ cái của từ SUCCESS?
Giải
Vì một số chữ cái của từ SUCCESS là như nhau nên câu trả lời không
phải là số hoán vị của 7 chữ cái được. Từ này chứa 3 chữ S, 2 chữ C, 1

chữ U và 1 chữ E. Để xác định số xâu khác nhau có thể tạo ra được ta
nhận thấy có C(7,3) cách chọn 3 chỗ cho 3 chữ S, còn lại 4 chỗ trống.
Có C(4,2) cách chọn 2 chỗ cho 2 chữ C, còn lại 2 chỗ trống. Có thể đặt
chữ U bằng C(2,1) cách và C(1,1) cách đặt chữ E vào xâu. Theo nguyên
lý nhân, số các xâu khác nhau có thể tạo được là:
3
7
C
.
2
4
C
.
1
2
C
.
1
1
C
=
7 4 2 1
3 4 2 2 1 1 1 0
! ! ! !
!. !. !. !. !. !. !. !
=
7
3 2 1 1
!
!. !. !. !

= 420.
Bài 23 : Có bao nhiêu cách chia những xấp bài 5 quân cho mỗi một
trong 4 người chơi từ một cỗ bài chuẩn 52 quân?
Giải
Người đầu tiên có thể nhận được 5 quân bài bằng
5
52
C
cách. Người thứ
hai có thể được chia 5 quân bài bằng
5
47
C
cách, vì chỉ còn 47 quân bài.
Người thứ ba có thể nhận được 5 quân bài bằng
5
42
C
cách. Cuối cùng,
người thứ tư nhận được 5 quân bài bằng
5
37
C
cách. Vì vậy, theo nguyên
lý nhân tổng cộng có
5
52
C
.
5

47
C
.
5
42
C
.
5
37
C
=
cách chia cho 4 người mỗi người một xấp 5 quân bài.
Bài 24 Khóa 29 CNTT có 150 SV học NNLT Java, 160 SV hoc Delphi,
40 SV học cả hai môn trên.
a. Tìm tất cả SV của khóa 29 biết rằng SV nào cũng phải học ít nhất 01
môn.
b. Biết tổng số SV là 285, hỏi có bao nhiêu SV không học Java hoặc
Delphi.
Giải
Gọi J: SV học Java
D: SV học Delphi
a. Số SV của khóa 29 là:
SV
b. Số SV không học Java hoặc Delphi là (áp dụng nguyên lý bù trừ)
ta tính được:
SV
Bài 25 : Mỗi người sử dụng máy tính dùng password có 6 -> 8 ký tự.
Các ký tự có thể là chữ số hoặc
chữ cái, mỗi password phải có ít nhất 01 chữ số. Tìm tổng số password
có thể có.

Giải

Phân biệt chữ thường với chữ hoa.
Chữ cái thường: 26
Chữ cái hoa: 26
Chữ số: 10
Do đó, tổng cộng có 26 + 26 + 10 = 62 ký tự khác nhau.
Nếu password có n ký tự thì ta có :
Tổng số trường hợp =
Số trường hợp không có chữ số =
Vậy số trường hợp có ít nhất 1 chữ số là = -
Với n = 6,7,8 ta có tổng số trường hợp là

Bài 26 : Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 10:
a) Bắt đầu bằng 00 hoặc kết thúc bằng 11.
b) Bắt đầu bẳng 00 và kết thúc bằng 11.
Giải
a) Bắt đầu bằng 00 hoặc kết thúc bằng 11.
Xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 có dạng: 00.xxxx.xxxx. Ký tự x có thể là
0 hoặc 1, có 8 ký tự x do
vậy có xâu.
Xâu nhị phân kết thúc bằng 11 có dạng: xx.xxxx.xx11. Tương tư ta cũng
tính được có xâu.
Xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 và kết thúc bằng 11 có dạng
00.xxxx.xx11. Tương tự như trên, ta
cũng tính được có xâu.
Vậy số xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 hay kết thúc bằng 11 là:
n = 2
*
2

8
- 2
6
= 512 – 64 =448 xâu.
Bắt đầu bằng 00 và kết thúc bằng 11.
Xâu nhị phân thỏa mãn đề bài phải có dạng: 00.xxxx.xx11. Hai ký tự
đầu và 02 ký tự cuối là
không đổi, do vậy chỉ còn 06 ký tự ở giữa. Do đó số xâu nhị phân thỏa
mãn đề bài là: xâu.
Bài 27: Giả sử một người gửi 10.000 đô la vào tài khoản của mình tại
một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm. Sau 30 năm anh ta có bao
nhiêu tiền trong tài khoản của mình?
Giải
Gọi P
n
là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm. Vì số tiền có trong
tài khoản sau n năm bằng số có sau n  1 năm cộng lãi suất của năm thứ
n, nên ta thấy dãy {P
n
} thoả mãn hệ thức truy hồi sau:
P
n
= P
n-1
+ 0,11P
n-1
= (1,11)P
n-1

với điều kiện đầu P

0
= 10.000 đô la. Từ đó suy ra P
n
= (1,11)
n
.10.000.
Thay n = 30 cho ta P
30
= 228922,97 đô la.
Bài 28 : Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị
phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp. Có bao nhiêu xâu nhị phân
như thế có độ dài bằng 5?
Giải
Gọi a
n
là số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp. Để
nhận được hệ thức truy hồi cho {a
n
}, ta thấy rằng theo quy tắc cộng, số
các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp bằng số các xâu
nhị phân như thế kết thúc bằng số 1 cộng với số các xâu như thế kết thúc
bằng số 0. Giả sử n  3.
Các xâu nhị phân độ dài n, không có hai số 0 liên tiếp kết thúc
bằng số 1 chính là xâu nhị phân như thế, độ dài n  1 và thêm số 1 vào
cuối của chúng. Vậy chúng có tất cả là a
n-1
. Các xâu nhị phân độ dài n,
không có hai số 0 liên tiếp và kết thúc bằng số 0, cần phải có bit thứ n 
1 bằng 1, nếu không thì chúng có hai số 0 ở hai bit cuối cùng. Trong
trường hợp này chúng có tất cả là a

n-2
. Cuối cùng ta có được:
a
n
= a
n-1
+ a
n-2
với n  3.
Điều kiện đầu là a
1
= 2 và a
2
= 3. Khi đó a
5
= a
4
+ a
3
= a
3
+ a
2
+ a
3
= 2(a
2

+ a
1

) + a
2
= 13.
Bài 29 : Hãy tìm nghiệm của hệ thức truy hồi a
n
= 6a
n-1
- 11a
n-2
+ 6a
n-3

với điều kiện ban đầu a
0
= 2, a
1
= 5 và a
2
= 15.
Giải
Đa thức đặc trưng của hệ thức truy hồi này là r
3
- 6r
2
+ 11r - 6. Các
nghiệm đặc trưng là r = 1, r = 2, r = 3. Do vậy nghiệm của hệ thức truy
hồi có dạng
a
n
= 

1
1
n
+ 
2
2
n
+ 
3
3
n
.
Các điều kiện ban đầu a
0
= 2 = 
1
+ 
2
+ 
3

a
1
= 5 = 
1
+ 
2
2 + 
3
3

a
2
= 15 = 
1
+ 
2
4 + 
3
9.
Giải hệ các phương trình này ta nhận được 
1
= 1, 
2
= 1, 
3
= 2. Vì
thế, nghiệm duy nhất của hệ thức truy hồi này và các điều kiện ban đầu
đã cho là dãy {a
n
} với
a
n
= 1  2
n
+ 2.3
n
.
Bài 30 : Tìm công thức hiển của các số Fibonacci.
Giải
Dãy các số Fibonacci thỏa mãn hệ thức f

n
= f
n-1
+ f
n-2
và các điều kiện
đầu f
0
= 0 và f
1
= 1. Các nghiệm đặc trưng là r
1
=
1 5
2

và r
2
=
1 5
2

.
Do đó các số Fibonacci được cho bởi công thức f
n
= 
1
(
1 5
2


)
n
+

2
(
1 5
2

)
n
. Các điều kiện ban đầu f
0
= 0 = 
1
+ 
2
và f
1
= 1 = 
1
(
1 5
2

)
+ 
2
(

1 5
2

). Từ hai phương trình này cho ta 
1
=
1
5
, 
2
= -
1
5
. Do đó
các số Fibonacci được cho bởi công thức hiển sau:

Bài 31: Tìm hệ thức truy hồi và n r . Với n r là số miền của mặt phẳng bị
phân chia bởi n đường thẳng. Biết rằng không có 2 đường thẳng nào
song song và cũng không có 03 đường thẳng nào đi qua cùng 1 điểm.
Giải
Với n đường thẳng, theo đề bài thì đường thẳng thứ n sẽ cắt n – 1 đường
thẳng còn lại tại n – 1
điểm, tức là sẽ cắt n – 1 + 1 = n phần mặt phẳng. Do đó, số phần mặt
phẳng tăng lên là n. Từ đó, ta có
được hệ thức truy hồi: .
Các điều kiện đầu là:
n = 0:
n = 1:
Bài 32 : cho tập hợp A gồm n phần n phần tử ( n 4). Biết rằng số tập
hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử

của A.
Tìm n?
Giải
Số tập hợp con có 4 phần tử của A là .
Số tập hợp con co 2 phần tử của A là .
Theo giả thuyết ta có:

= 20 = 20 – 5n 234 = 0

n = 18 hoặc n = -13 ( loại).

ậy A có 18 phần tử.

Bài 33 : Biết rằng số n nguyên dương thỏa mản biểu thức:

+ 2 + 2 + = 149

Tính giá trị biểu thức: M=

Bài làm:

Xét phương trình: + 2 + 2 + = 149 (1)

Khi

Vậy đk để (1) có nghĩa là là số nguyên.
Áp dụng công thức tính số tổ hợp ta có:

(1)

Khi =5, dễ dàng thấy M=

Bài 34: Một đội tình nguyện có 15 người gồm 12 nam, 3 nữ. Hỏi
có bao nhiêu cách phân công để giúp 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi
tỉnh có 4 nam va 1 nữ.:
Bài làm:
- Chọn 4 nam và 1 nữ cho tỉnh thứ nhất, theo quy tắc nhân ta có:

- Chọn 4 nam và 1 nữ trong số những người còn lại:

- Còn lại là ở tỉnh thứ 3.
- Vậy số cách phân công thỏa yêu cầu là:
N = 1485.140 = 207900

Bài 35 : Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lí nam.
Cần lập đoàn 3 người có cả nam lẫn nữ vừa toán học vừa có vật lí. Hỏi
có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?
Bài làm:
- Ta có 3 cách như sau:
1. 2 vật lí nam, 1 nữ toán:
2. 1 vật lí nam, 2 nữ toán:
3. 1 vật lí nam, 1 nữ toán và 1 nam toán:
Số cách lập đoàn công tác là: 18+12+60 = 90

Bài 36 : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

Bài làm:
Ta coi chữ số 2 và 3 là 1 chư số x. lúc này dãy ta còn 5 chữ số 0, 1, 4, 5,
x.
Số hàng chục nghìn có 4 cách
Số hành nghìn có 4 cách
Số hàng trăm có 3 cách
Số hành chục có 2 cách
Số hàng đơn vị có 1 cách
Vá chúng ta có cách sắp xếp x là 2 cách
Vậy có 4.4.3.2.2.1 = 192 cách thỏa yêu cầu.

Bài 37 : Đội thanh niên xung kích ĐH CNTT có 12 sinh viên. Gồm 5 sv
khoa MMT, 4 sv khoa KTMM, 3 sv khoa CNPM, cần 4 sv tham gia trực,
sao cho 4 sv đó thuộc không quá 2 trong 3 khoa nói trên. Hỏi có bao
nhiêu cách.
Bài làm:
Gọi A là tập hợp tất cả các cách chọn ra 4 sv trong 12 sv
B là tập hợp cách chọn 4 sv trong 12 sv không thỏa mản yêu cầu giả
thuyết.
C là tập hợp cách chọn 4 sv trong 12 sv thỏa yêu cầu giả thuyết
Ta có: A = B C ; B C =
Theo quy tắc cộng: |A| = |B| + |C| |C| = |A| |B| (1)
Ta lại có:
|A| = (2)
Tính |B| ( Vì không thỏa yêu cầu nên tập B sẽ có trường hợp là sẽ có 2
khoa có 1 sv và 1 khoa có 2 sv).
|B| = (3)
Thay (2),(3) vào (1) ta có: |C| = 495 270 = 225.
Vậy có 225 cách chọn.

Bài 38 : Cho tập hợp E = có thể lăp được bao nhiêu số
có 4 chữ số không yêu cầu đội 1 khác nhau. Sao cho mỗi số tạo thành
đều chia hết cho 4.
Bài làm:
Những số từ 2 chữ số trở lên muốn chia hết cho 4 thi phải có 2 chữ số
cuối chia hết cho 4.
Liệt kê số có 2 chữ số chia hết cho 4: 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64.
- Chọn 2 số cuối như trên ta có 9 cách chọn.
- Chọn chữ số hàng nghìn ta có 6 cách chọn.
- Chọn chữ số hàng trăm ta có 6 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 9.6.6 = 324.
Vậy có 324 cách chon thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 39 : Biển số xe là 1 dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng
sau. Các chữ cái lấy từ 26 chữ cái từ A đến Z. Các chữ số được lấy từ 10
số từ 0 đến 9. Có bao nhiêu biển số xe có 2 chữ cái khác nhau, đồng thời
có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó giồng nhau.
Bài làm:
- Chọn 2 chữ cái trong 26 chữ là:
- Chọn 2 số lẻ giống nhau:
- Chọn 2 vị trí trong số 4 vi trí để đặt 2 số lẻ giống nhau:

- Sắp xếp 2 số chẳn vào 2 vị trí còn lại:
( Vì đây là cách chọn 2 phần tử có thể lặp trong 5 phần tử).
Số biển số xe thỏa yêu cầu: N = 650.5.6.25 = 487500.
Bài 40 : Có thể lặp bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho số 1 có mặt tối đa 5
lần, các số 2, 3, 4 có mặt tối đa 1 lần.( Viết từ các số 1, 2, 3, 4.)
Bài làm:
Có thể thấy số 1 sẽ có mặt tối thiểu 3 lần.
Gọi:
- là tập hợp các số có 6 chữ số, mà số 1 có mặt 3 lần và số 2,

3, 4 có mặt 1 lần.
- là tập hợp mà số 1 có mặt 4 lần và số 2, 3, 4 có mặt tối đa 1
lần.( chọn 2 số trong 3 số)
- là tập hợp mà số 1 có mặt 5 lần và số 2, 3, 4 có mặt tối đa 1
lần.( chọn 1 số trong 3 số)
Tính
- Chọn 3 vị trí trong số 6 vị trí để đặt số 1:
- 3 vị trí còn lại đặt 3 số 2, 3, 4 là: 3! = 6
- Theo quy tắc nhân
Tính

Số cách thỏa yêu cầu: A = 120 + 90 + 18 = 228.
Bài 41 : Cho hình thập giác lồi, hỏi có thể lặp được bao nhiêu tam giác
có đỉnh là đỉnh của thập giác lồi nhưng cạnh không phải là cạnh của thập
giác lồi?
Bài làm:
Gọi A là tất cả các tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác lồi.
B là tam giác có đỉnh của là đỉnh của thập giác nhưng có it nhất 1
cạnh là cạnh của thập giác.
C lá tam giác cần tìm.
Ta có: |C| = |A| - |B| (1)
Dễ thấy |A| = (2)
Gọi là tam giác có 1 cạnh là cạnh của thập giác.
là tam giác có 2 cạnh là cạnh của thập giác.
(3)
Tính
- Chọn 1 cạnh của thập giác. Số cạnh là
- Chọn đỉnh của tam giác là 6 đỉnh còn lại

Ta có

Theo đó (4)
Từ (2)(3)(4) ta có
Vậy có 50 tam giác thỏa yêu cầu.
Bài 42 : Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi 1 khác nhau, gồm 5 cuốn
văn học, 4 âm nhạc, 3 hội họa. Ông lấy 6 cuốn sách ra tặng cho 6 học
sinh, mỗi hs 1 cuốn sau khi tặng xong mỗi loại còn lại ít nhất 1 cuốn.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Bài làm:
Gọi A là tập hợp tất cả các cách tặng sách
B là tập hợp cách tặng sách không thỏa yêu cầu.
C là tập hợp cách tạng sách đủ yêu cầu.
|C| = |A| - |B| (1)
Ta có |A| = (2)
Vì không thể xảy ra trường hợp còn lại 1 loại sách.
Nên gọi lần lượt là tập hợp tất cả các
cách sau khi tặng xong hết sách văn học, hội họa, âm nhạc.



|B|= 5040 + 20160 + 60480 = 85680
Từ (1)(2)(3) suy ra |C| = 665280 – 85680 = 579600
Bài 43 : Trong một tháng gồm 30 ngày, một đội bóng chuyền thi đấu
mỗi ngày ít nhất 1 trận nhưng chơi không quá 45 trận. Chứng minh rằng
tìm được một giai đoạn gồm một số ngày liên tục nào đó trong tháng sao
cho trong giai đoạn đó đội chơi đúng 14 trận.
Bài làm:
Gọi a
j
là số trận mà đội đã chơi từ ngày đầu tháng đến hết ngày j. Khi đó
1  a

1
< a
2
< < a
30
< 45
15  a
1
+14

< a
2
+14 < < a
30
+14 < 59.
Sáu mươi số nguyên a
1
, a
2
, , a
30
, a
1
+ 14, a
2
+ 14, , a
30
+14 nằm giữa 1
và 59.
Do đó theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 trong 60 số này bằng nhau.

Vì vậy tồn tại i và j sao cho ai

= aj

+ 14 (j < i).
Điều này có nghĩa là từ ngày j + 1 đến hết ngày i đội đã chơi đúng 14
trận.
Bài 44 : Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là
thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba
người là kẻ thù lẫn nhau.
Bài làm:
Gọi A là một trong 6 người.
Trong số 5 người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của A hoặc
có ít nhất ba người là kẻ thù của A, điều này suy ra từ nguyên lý
Dirichlet tổng quát, vì ]5/2[ = 3. Trong trường hợp đầu ta gọi B, C, D là
bạn của A.
Nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với A lập thành
một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người B, C,
D không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau.
Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ
thù của A.
Bài 45 : Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm
những tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ.
Giả sử thứ tự mà các tờ tiền được chọn là không quan trọng, các tờ tiền
cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ.
Bài làm:
Vì ta không kể tới thứ tự chọn tờ tiền và vì ta chọn đúng 5 lần, mỗi lần
lấy một từ 1 trong 7 loại tiền nên mỗi cách chọn 5 tờ giấy bạc này chính
là một tổ hợp lặp chập 5 từ 7 phần tử.
Do đó số cần tìm là

5
157 
C
= 462.
Bài 46 : Phương trình x
1
+ x
2
+ x
3
= 15 có bao nhiêu nghiệm nguyên
không âm?
Bài làm:
Chúng ta nhận thấy mỗi nghiệm của phương trình ứng với một cách
chọn 15 phần tử từ một tập có 3 loại.
Sao cho có x
1
phần tử loại 1, x
2
phần tử loại 2 và x
3
phần tử loại 3 được
chọn.
Vì vậy số nghiệm bằng số tổ hợp lặp chập 15 từ tập có 3 phần tử và
bằng
15
1153 
C
= 136.
Bài 47 : Có bao nhiêu cách chia những xấp bài 5 quân cho mỗi một

trong 4 người chơi từ một cỗ bài chuẩn 52 quân?
Bài làm
Người đầu tiên có thể nhận được 5 quân bài bằng
5
52
C
cách.
Người thứ hai có thể được chia 5 quân bài bằng
5
47
C
cách.
Vì chỉ còn 47 quân bài.
Người thứ ba có thể nhận được 5 quân bài bằng
5
42
C
cách.
Cuối cùng, người thứ tư nhận được 5 quân bài bằng
5
37
C
cách.
Vì vậy, theo nguyên lý nhân tổng cộng có
5
52
C
.
5
47

C
.
5
42
C
.
5
37
C
=
52!
5 5 5 5 32!!. !. !. !.

cách chia cho 4 người mỗi người một xấp 5 quân bài.
Bài 48 : Giả sử một người gửi 10.000 đô la vào tài khoản của mình tại
một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm. Sau 30 năm anh ta có bao
nhiêu tiền trong tài khoản của mình?
Bài làm
Gọi P
n
là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm.
Vì số tiền có trong tài khoản sau n năm bằng số có sau n  1 năm cộng
lãi suất của năm thứ n, nên ta thấy dãy {P
n
} thoả mãn hệ thức truy hồi
sau:
P
n
= P
n-1

+ 0,11P
n-1
= (1,11)P
n-1

với điều kiện đầu P
0
= 10.000 đô la. Từ đó suy ra P
n
= (1,11)
n
.10.000.
Thay n = 30 cho ta P
30
= 228922,97 đô la.
Bài 49: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5
câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi có thể
lập được bao nhiêu đề thi, mỗi đề gồm5 câu hỏi khác nhau, sao cho
trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không
ít hơn 2?.
Giải
Gọi x, y, z lần lượt là số câu hỏi khó, trung bình, dễ được chọn.
Theo đề bài ta có hệ





152,100,50
,,,5

zyx
Nzyxzyx

Giải hệ ta có nghiệm (2; 1;2); (1; 2; 2); (1; 1; 3).
Với (x; y; z) =(2; 1; 2) ta có
2
15
1
10
2
5
CCC
cách.
Với (x; y; z) =(1; 2; 2) ta có
2
15
2
10
1
5
CCC
cách.
Với (x; y; z) =(1; 1; 3) ta có
3
15
1
10
1
5
CCC

cách.
Vậy có tất cả
2
15
1
10
2
5
CCC
+
2
15
2
10
1
5
CCC
+
3
15
1
10
1
5
CCC
cách.

Bài 50 : Trong một phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm được 2
người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau.
Bài làm:

Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ 0 đến
n  1.
Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là
0 (tức là không quen ai) và có người có số người quen là n  1 (tức là
quen tất cả).
Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành n
1 nhóm.
Vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất 2 người, tức là
luôn tìm được ít nhất 2 người có số người quen là như nhau.