Chuyên đề ôn thi HSG toán 7 năm 20 21

Chuyên đề 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối.
2. Tính chất của giá trị tuyệt đối.
3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Chú ý bất đẳng thức: (1)
(2)

a  b �a  b
M � M ,

M �M ,

dấu “=” xảy ra khi M �0

. Dấu “=” xảy ra khi a.b �0.

(3)
dấu “=” xảy ra khi M �0 .
II.
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
1. Tìm đại lượng chưa biết
Ví dụ 1: Tìm các số x và y biết:
a)

5
5
5
x     .
6

9
b) 6

7  x  9,1  3,1.

�
3
 16  �2 x 
4
�
c)
2x  3  3  x

x

2

�
� 0
� .

x y
d)

1
1
 x  y 
100
10 .

e)
.
Ví dụ 2: Tìm các số x và y biết:

x

1
4
y  y 0
2
5
.

 x  2
b)

a)
Ví dụ 3: Tìm x, biết:

x  2  x  3  x  4  4x

a)
Hướng dẫn:
a) x = 9.
b) x = 50.
Ví dụ 4: Tìm x, biết rằng:

x 5  x 5

x

.

b)

2

x  3  x  3

2 3x  1  4

a) A =

x 1  x  3  x  5

.

C  x2  x3  x4  x5

b)

.

1
2
3
100
 x
 x
 ...  x 
 101x.

101
101
101
101

a)
.
b)
2. Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức.
Ví dụ 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) A =
.
b) B =
Ví dụ 6: Tìm GTNN của các biểu thức sau:

 x  2 y 1  0

.

c)

6
, x ��.
x 3

x 5  x 3

c) C =

B  2 x  1  x  3  2x  5

A  9  2x 1

1
x2 3

a)
.
b)
2 C 1.
Hướng dẫn : c) Xét các trường hợp : x  �
Xét x = -1 thì C = 1.
Xét x > 0. Khi đó A lớn nhất khi x nhỏ nhất => x = 1.
So sánh các trường hợp suy ra GTLN của A là 3.
3. Rút gọn các biểu thức chứa dấu GTTĐ
Ví dụ 8: Rút gọn các biểu thức sau:
1

C
.

c)

x 1  x  9

.

.

c)
.
Ví dụ 7: Tìm GTLN của các biểu thức sau:

B

.

x2
x

, với x là số nguyên.


� 4�
M  3 x  2  5 �x  �
� 5�
a)
.

b)

x  15  4 x  19

2

.


BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức:
a)

A  6 x 3  3 x 2  2 x  4,

C

với

x

2
.
3

b)

5x  7 x  1
1
,
x  .
3x  1
2
với
2

c)
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
.

Bài 3: Tìm x, biết:

a a

b)

a a

a)
Bài 4: Tìm x, biết:

2 x  3  5  15.

b)

2x  1  2x  3

x
a)

.

3  x  1  2 x  3

c)

11
2
4
 x

 x
 4x
17
17
17
.

x  1  3x  1

. c)

.

.

2x  3  2x  4  7

b)

A   x  3  2 y  4  7
2

.

B  x  2  x 8

b)

C  x  8  x  13  x  50

d)

2 x  3  2x 1

d)

2019  x  2019  x

.

x  y  y  z  z  t  t  x  2021

Bài 5: Tìm các số x, y, z, t sao cho
Bài 6 : Tìm GTNN của các biểu thức sau :
a)

1
x  , y  3.
2
với

B  2 x 3 y ,

.

.

c)
.
Bài 7 : Tìm GTLN của các biểu thức sau :

A  10  2 x  3   y  2 

a)
Bài 8 : Tìm x, y, z, biết :

B

2

.

b)

13
2009
 y
 z  2007  0
7
2008
a)
.
4
2
 2 x  1   1  y   3 x  5  0
x

c)

a  c  3; b  c  2.

Bài 9 : Cho
Bài 10: Tìm x, biết rằng:
a)

x  2  2 x  3  x  2
x

b)

x
b)

.

Chứng minh rằng

.

1
1
1
 x
 ...  x 
 100 x
1.2
2.3
99.100
.

3

1
2x  3  3

.

1
3
5
 y   z  �0.
2
2
2

a  b  5.

.
.


1 1 1
 
Bài 1 : Tìm các số nguyên dương thỏa mãn a b 7 .

x
y
z



2
x y yz xz
Bài 2 : Cho các số nguyên dương x, y, z. Chứng minh rằng
.
2
1 �� 7
4 �� 5
3 �
�
2008 
 � �
1
 � �
5
 �
.
�
135 50 � � 135 50 � � 135 50 �
Bài 3 : Tính bằng cách hợp lí �
Bài 4 : Tìm x, biết :
2
2
2
x

 ... 

x  2  x  4  x  4  x  6
 x  12   x  14   x  2   x  14  .
a) 

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1




.
11
12
13
14
b) 10
Bài 5 : Tìm các số x, y, z biết rằng :
� 1�
� 1�
 z  5  0
�x  �
�y  �
� 3�
� 2�
và x  2  y  1  z  3 .
1

4


Chuyên đề 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ HỮU TỈ.
I. Lý thuyết
II. Một số dạng bài tập cơ bản.
Bài 1 : Thực hiện phép tính.

� 1 �
��
1
2
2 3�
�
18  �
0,06 : 7  3 .0,38 �
:�
19  2 .4 �
.
�
�
6
2
5
3
4
�
�
�
�
�
�
a)

163.310  120.69
.
6 12
11

b) 4 .3  6
212.35  46.92

219.273  15.49.94
.
9 10
10
6
.2

12
c)

126   8  .35
4

d)



510.73  252.492

 125.7 

3

 59.143

.

Hướng dẫn :
a) Đáp số :

b) Đáp số:

12 10
163.310  120.69 212.310  212.310.5 2 .3  1  5  2.6 4



 .
46.312  611
212.312  211.311
211.311  6  1 3.7 7

c) Đáp số : 0,5.
d) Đáp số : 3,5.
2010
 2 2009  2 2008  ...  2  1 . Tính 2010 H .
Bài 2 : a) Cho H  2

M  54 

b) Tính

1
1
1
1
 1  2    1  2  3   1  2  3  4   ...   1  2  3  ...  12  .

2
3
4
12

Hướng dẫn :
a) Ta có

H  22010  22009  22008  ...  2  1  22010   22009  22008  ...  2  1  2 2010   2 2010  1  1

H
Suy ra 2010  2010.

b) Tính từng ngoặc và suy ra M = 10.
Bài 3 : Tính hợp lí :

1 1 1 10 10 10
 
 
5
9
13
7
11 17 .
P

9
9 12 12 12
1 
 

5
13
7 11 17
a)

1
1
1
 
Q  14 30 46
2
2
2
 
35 75 115
b)

3 15 30
 
8
17 31 .
:
1 20 40


6 51 93

Hướng dẫn:

a)

P

1 �1 1 1 � �1 5 10 �
�   � 3�   �
2 �7 15 23 � �8 17 31 � 5
Q
:
 .
2 �1 1 1 � 4 �1 5 10 � 9
�  � �  �
5
�7 15 23 � 3 �8 17 31 �
b)

17
.
18

Bài 4: Cho

S 1

 S  P
Tính

2020

1 1 1
1

1
1
1
1
1
1
   ... 


P

 ... 

.
2 3 4
2011 2012 2013 và
1007 1008
2012 2013

.

Hướng dẫn:
5

.


P
Ta có

1
1
1
1
1
1
1
1 �
� 1 1

 ... 

�
1    ... 

 ... 

�
1007 1008
2012 2013 � 2 3
1006 1007
2012 2013 �

1 �
� 1 1
�
1    ... 
.
�
1006 �

� 2 3
1
1
1
1 � �1 1
1 �
� 1 1
�
1    ... 

 ... 

� 2 �   ... 
�
1006 1007
2012 2013 � �2 4
2012 �
� 2 3

 1

1 1 1
1
1
2020
   ... 

.
 0.
2 3 4

2012 2013 � S  P �  S  P 

1
1
1
1
1
1
1
1


 ... 



 ... 
49.50 26 27 28
50 .
Bài 5: Chứng minh rằng 1.2 3.4 5.6
Hướng dẫn:

1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1



 ... 
 1       ... 

49.50
2 3 4 5 6
49 50
Ta thấy 1.2 3.4 5.6
1 � �1 1 1 1 �
� 1 1
�
1    ...  � 2 �    �
50 � �2 4 6 50 �
� 2 3
1 1 1
1
1
1
1 � 1 1
1 � 1
1
1
    ... 

 ... 
�
1    ...  �

 ...  .
1 2 3

25 26 27
50 � 2 3
25 � 26 27
50

A

Bài 6: Cho

1
1
1
1
7
5


 ... 
.
 A .
1.2 3.4 5.6
99.100 Chứng minh rằng 12
6

Hướng dẫn: Trước tiên chứng minh được

A

1
1

1

 ... 
51 52
100 .

A

1
1
1
1
1 � �1
1
1 � 1
�1
1
7

 ... 
� 
 ...  � � 
 ... 
.25  .
� .25 
51 52
100 �51 52
75 � �76 77
100 � 75
100

12

A

1
1
1
1
5
.25  .25  .25  .25 
51
76
50
75
6.

Bài 7: Tìm x, biết:

7
�
�� 2 3 � 3
0,5   x ��
: 1   � .
�
12
�� 3 4 � 13
a) �
5

2

b)

 5x  4

n

3

� 2� � 2�
�x  � �x  �.
d) � 5 � � 5 �

e) 5

x2

5

x 3

 1  n ��* 

.

3 � 100
�
2 x  �
.
�

7 � 49
c) �

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1




 750. f) 10
11
12
13
14 .

Bài 8: Tìm các số tự nhiên x và y biết:
2 x 1 y
x
a) 3 .7  9.21 .

27 x
25x
 243
 125.
2 x y
x y
b) 3
và 5

1
1

1
� 1
�
2n : �
1


 ... 
� 2020.
1  2  3  ...  n �
� 1 2 1 2  3 1 2  3  4
Bài 9: Tìm số tự nhiên n biết:
6


Hướng dẫn: Ta có

1  2  ...  n 

1
2
1 �
�1
n  n  1

 2� 
�
1  2  ...  n n  n  1
�n n  1 �
2

. Do đó

Suy ra

1

1
1
1
1
1 �
1 � 2n
�1 1 1 1
�1

 ... 
 1  2 �     ...  
� 1  2 � 
�
1 2 1 2  3
1  2  3  ...  n
n n 1 �
�2 3 3 4
�2 n  1 � n  1

Do đó ta được

2n :

2n

 2020 � n  1  2020 � n  2019.
n 1

Bài 10: Rút gọn
100
99
98
97
96
2
a) A  2  2  2  2  2  ...  2  2 .

100
99
98
97
2
b) B  3  3  3  3  ...  3  3  1.

Hướng dẫn:

2101  2
A
.
3
a)

1  3101
B
.

4
b)

Bài 11:

�1
�
�1
�
�1
��1
�
1
A  � 2  1�
... � 2  1�
.
�2  1�
� 2  1�
2
3
4
100
�
�
�
�
�
�
�
�

2
a) Cho
. So sánh A với

3
5
7
19
 2 2  2 2  ...  2 2  1.
2
2 .3 3 .4
9 .10
b) Chứng minh rằng 1 .2
2

1 2 3 4
100 3
 2  3  4  ...  100  .
3 3
3
4
c) Chứng minh rằng 3 3
Hướng dẫn:

1.3 2.4 3.5 99.101
� 1�
� 1 � � 1 � 3 8 15 9999
A  �
1 �
1 �

...�
1
  2 . 2 . 2 ...
  2 . 2 . 2 ...
�
2 �
2
2 3 4
1002
� 4�
� 9 � � 100 � 2 3 4 100
a) Ta có



1.2.3...98.99 3.4.5....100.101
1 101
101
1
.

.


2.3.4...100 2.3.4...99.100
100 2
200
2.

3

5
7
19
22  12 32  22 42  32
102  92
 2 2  2 2  ...  2 2  2 2  2 2  2 2  ...  2 2
2 2
2 .3 3 .4
9 .10
1 .2
2 .3
3 .4
9 .10
b) Ta có 1 .2



1 1 1 1
1
1
1




...



1


 1.
12 22 22 32
9 2 10 2
10 2

c) Đặt

M

1 2 3 4
100
2 3 4
99 100
 2  3  4  ...  100
3M  1   2  3  ...  98  99
3 3 3 3
3 . Ta có
3 3 3
3
3 .

1
1  99
1 � 100
�1 1
3 1
2 M  3M  M  1  �  2  ...  99 � 100 .
3 �3
�3 3

2
2.
Suy ra
Biểu thức trong ngoặc bằng
Suy ra

2M  1 

1 100 3
3
 100  � M  .
2 3
2
4

Bài 12: Tìm các số hữu tỉ a, b, c biết
7


3
4
3
ab  , bc  , ca  .
5
5
4
a)
c)

b)

a  a  b  c   12, b  a  b  c   18, c  a  b  c   30

.

ab  c, bc  4a, ac  9b.

Hướng dẫn:
a) Nhân từng vế ba đẳng thức, ta được:

 abc 

2



9
3
� abc  � .
25
5 Có hai đáp số:

3
4
3
4
a  ;b  ;c  1
a   ; b   ; c  1
4
5

4
5
và
.

 a  b  c
b) Cộng ba đẳng thức trên, ta được:

2

 36 � a  b  c  �6.

Có hai đáp số

a  2; b  3; c  5 và a  2; b  3; c  5.

 abc 
c) Nhân ba đẳng thức trên theo vế, ta được:

2

�
abc  0
��
abc  36
 36abc � abc  abc  36   0 �

 1
 2

Xét (1): Nếu có một trong các số a, b, c bằng 0 thì hai số cịn lại cũng bằng 0.
2
6. Từ abc = 36 và bc = 4a ta được
Xét (2): Vì abc = 36 và ab = c nên có c  36 � c  �

4a 2  36 � a 2  9 � a  �3. Tương tụ, suy ra b  �2.
Lập luận và tìm được 5 bộ số (a; b; c) là (0; 0; 0); (3; 2; 6); (-3; -2; 6); (3; -2; -6); (-3; 2; -6).
Bài 13: Số 300! Có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
Hướng dẫn:
Bài 14: Một lớp học có 44 HS làm bài kiểm tra mơn tốn. Điểm là một số tự nhiên từ 6 đến 10. Biết cả lớp có
6 HS được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 10 HS được cùng một loại điểm.
Hướng dẫn:
Bài 15: Một tổ có 11 HS thảo luận về học tập. Có 1 HS phát biểu 4 lần, các HS khác đều phát biểu nhưng số
lần phát biểu ít hơn. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 4 HS có số lần phát biểu như nhau.
Hướng dẫn:
Bài 16: Có 50 quyển vở chia cho 11 HS. Chứng minh rằng:
a) Ít nhất cũng có 1 HS được 5 quyển vở trở lên.
b) Với mọi cách chia (kể cả trường hợp khơng có HS được quyển nào), bao giờ cũng có ít nhất hai HS được
một số vở như nhau.
Hướng dẫn:
Bài 17: Cho 400 số hữu tỉ trong đó tích của ba số bất kỳ nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 400 số đã cho là một số dương.
b) Tất cả 400 số đã cho đều là số âm.
Hướng dẫn:
50

�56
�
a  �  1,01�
�55

� . Chứng minh rằng nếu viết số a dưới dạng số thập phân thì số a sẽ có ít
Bài 18: Cho số
nhất 99 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phảy.
Hướng dẫn:
8


Bài 19: Cho 11 số nguyên khác nhau có tổng bằng 390. Chứng minh rằng ln ln tìm được 6 số trong các
số đó, sao cho tổng của chúng khơng vượt quá 195.
Hướng dẫn:
------------------------------

9


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm x biết:

11 �5
� �15 11 �
 �  x �  �  �
� �28 13 �.
a) 13 �42
5 1
x  .
3 3
c)

x

4
 3,75   2,15 .
15

x

11
 5,5 .
2

b)
d)

2
7 3
 x  .
5 5
e) 5

f)

� 5�
x �x 2  � x.
4�
g) �

x  x  2  0.

Bài 2: Tìm x, biết:

3 

x 2

a)

: 33 

1
.
243
2

x

 3x
b)
4

2n

  24  , n �N * .
2n

256
�3 �
.
� � 
4
81

�
�
d)
36
2
 5 x  1  .
49
f)

2
9
3
3
e) 172 x  7 : 98  2 .
6

� 2 � �2 �
�x  � � �.
g) � 3 � �3 �
x 1
x 11
 x  7    x  7   0.

h)

 8 x  1

2 n 1

 52 n1 , n �N .

x
9 5
k) 8  2 �2 .2 , x ��.

i)
Bài 3: Tìm x, y biết:
4

20

� 1�
x  �y  � 0.
� 10 �
a)

10

�1
� �2 1 �
� x  5 �  �y  � �0.
� � 4�
b) �2
2
2
�31 � �49 �
x  � � � � x  y 2 .
�12 � �12 �
d)

2

x x  y 

 51
3 x1

�12 � �5 � �3 �
� � � �  � �.
c) �25 � �3 � �5 �

3

2

3
3
; y x  y  .
10
50

c)
Bài 4: Tìm các số tự nhiên x và y, biết:
x 1 y
x
a) 2 .3  12 .

x
y
y

b) 10 : 5  20 .

y
x8
x
y1
c) 2  4 và 27  3 .

m
n
Bài 5: Tìm các số nguyên dương m và n, sao cho 2  2  256.

Bài 6: Một bảng vuông 3 x 3 ô. Trong mỗi ô của bảng viết số 1 hoặc -1. Gọi
= 1, 2, 3),

di là tích các số trên dịng (i

ck là tích các số trên cột k (k = 1, 2, 3).
d  d  d3  c1  c2  c3  0.

2
a) Chứng minh rằng không thể xảy ra 1
b) Xét bài tốn tương tự với bảng vng n x n.

x , x ,..., x

n mỗi số bằng 1 hoặc – 1. Biết rằng tổng của n tích
Bài 7: Cho n số 1 2
bằng 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4.
Bài 8: Tìm các giá trị của x sao cho:

a)

M   x  10   x  7   0.

b)

N

8x  3
 0.
9x  2

2 3
x
Bài 9: Tìm số tự nhiên x lớn nhất thỏa mãn: 2.2 .2 ...2  2048.

10

x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 ,..., xn x1

2
c) x  x.


Bài 10: Cho 40 số hữu tỉ. Chứng minh rằng:
a) Nếu tổng của bất kỳ ba số nào trong chúng cũng là một số âm thì tổng của 40 số đó là một số âm
b) Nếu tổng của bất kỳ ba số nào trong chúng cũng là một số dương thì tổng của 40 số đó là một số dương.
Chun đề 3: TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
Dạng 1: Tìm đại lượng chưa biết
Bài 1: Tìm số hữu tỉ x trong các tỉ lệ thức sau:

x5
40

.
15 1
�2 �
1
x6 2
x

5
:  2,5 : � x �
.
2
 .
6
x
8
3
�
�
x

4
7
2

a)
b)
c)
x y

5
7 và xy  875.
Bài 2: a) Tìm số hữu tỉ x và y, biết:

x 1 x  2

.
x

2
x

3
d)

3x  5 y 1
x
 .
.
4 Tính tỉ số y
b) Cho tỉ lệ thức x  2 y
a 3 b 6
a 1

, a �3; b �6.

 .
c) Cho tỉ lệ thức a  3 b  6
Chứng minh rằng b 2
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết:

x 9 y 7
 ; 
y
7 z 3 và x  y  z  15.
a)
c) 5 x  8 y  20 z và x  y  z  3.

x 7 y 5
 ; 
y
20 z 8 và 2 x  5 y  2 z  100.
b)
6
9
18
x y z
2
5 và  x  y  z  120
d) 11

x y z
 
e) 12 9 5 và xyz  20.

x y z

 
2
2
2
f) 5 7 3 và x  y  z  585.

12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z


7
9
11
g)
và x  y  z  48.

15
20
40
y  z 1 x  z  2 x  y  3
1





.
xy

1200.
x


9
y

12
z

24
x
y
z
x

y

z
h)
và
i)
a1  1 a2  2 a3  3
a 9


 ...  9
a , a ,..., a9 biết 9
8
7
1 và a1  a2  ...  a9  90.
Bài 4: Tìm các số 1 2
a b c

  , a  b  c �0; a  2020.
Bài 5: a) Cho b c a
Tính b, c.

a b c
abc
a  3b  2c
   4, a ' b ' c ' �0; a ' 3b ' 2c ' �0.
A
 2.
a ' b ' c '
a ' 3b ' 2c ' .
b) Biết a ' b ' c '
Tính
a
b
c
d



 a, b, c, d  0  .
Bài 6: Cho 2b 2c 2d 2a
Tính

A

2021a  2020b 2021b  2020c 2021c  2020d 2021d  2020a




.
cd
d a
ab
bc
11


Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, các tính chất

a c

b
d thì
Bài 7: Chứng minh rằng nếu
2

�a  b � ab
�
� .
c

d
�
� cd
c)

7 a 2  3ab 7c 2  3cd


.
2
2
11c 2  8d 2
b) 11a  8b

5a  3b 5c  3d

.
a) 5a  3b 5c  3d

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)
Bài 8: a) Cho a  b  c và
b) Cho
thức.

c

bd
a c
,  b, d �0 

b
d.
bd
. Chứng minh rằng

a  d  b  c và a 2  d 2  b 2  c 2 ,  b, d �0  . Chứng minh rằng 4 số a, b, c, d lập thành một tỉ lệ

1 1 �1 1 �

 � �
.
a
,
b
,
c
,
d
c
2
b
d
�
�
c) Cho 4 số ngun dương
trong đó b là trung bình cộng của a và c và
Chứng minh
rằng bốn số đó lập thành một tỉ lệ thức.

b 2  ac; c 2  bd . Chứng minh rằng:
Bài 9: Cho 4 số a, b, c, d khác 0 và thỏa mãn
3

a 3  b3  c3 �a  b  c �
a2  b2 a

 .
�
�

3
3
3
2
2
�b  c  d �.
c
b) b  c  d
c) b  c
x y yz

.
2  x  y   5  y  z   3 z  x 
5
Bài 10: Chứng minh rằng nếu
thì 4
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z
x y z


  .
4
3
2 . Chứng minh rằng 2 3 4
Bài 11: Cho

a 3  b3  c 3 a

3
3

3
d.
a) b  c  d

a  bc b  ca c  ab
bc ca ab


.

 .
b
c
bca
cab Chứng minh rằng a
Bài 12: Cho abc
Dạng 3: Các bài tốn có nội dung thực tế.

2
Bài 1: Ba đội công nhân cùng tham gia trồng cây. Biết rằng một nửa số cây đội I trồng bằng 3 số cây của đội
3
II và bằng 4 số cây của đội III. Số cây đội II trồng ít hơn tổng số cây hai đội I và đội III là 55 cây. Tính số
cây mỗi đội đã trồng.

8
Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được tất cả 1020 cây. Số cây lớp 7B trồng được bằng 9 số cây lớp 7A trồng
17
được. Số cây lớp 7C trồng được bằng 16 số cây lớp 7B trồng được. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?
Bài 3: Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao tỉ lệ với 5; 3; 2. Biết thể tích của
bể nước là 15360 dm3. Tính chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể nước.

12


1
1
Bài 4: Ba đơn vị thanh niên có tất cả 112 người. Nếu đơn vị I thêm 4 số người hiện có, đơn vị II thêm 9 số

1
người hiện có và đơn vị III bớt đi 11 số người hiện có thì số người của ba đơn vị sẽ bằng nhau. Hỏi lúc đầu
mỗi đơn vị có bao nhiêu người?

13


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết:

x y z
 
a) 8 3 10 và xy  yz  zx  1206.

x 2 y 5z


2
2
2
5
6 và x  3 y  2 z  325.

b) 4

18 x  27 y 27 y  24 z 24 z  18 x


2 x  3 y; 5 y  7 z và 3x  7 y  5 z  30. d)
100
101
102
c)
và x  y  z  116.

M
Bài 2: Cho biểu thức

5x  2 y  z
x  4 y  3 z trong đó x, y, z tỉ lệ với 2, 3, 4. Tính giá trị của M.

abc bca cab
a
b
c


.
S
  .
bc ca ab
ca
ab Tính tổng

Bài 3: Cho biết bc
yx zy

.
3 x  y   7  y  z   5  z  x 
9
14
Bài 4: Cho biết
. Chứng minh rằng

a  bc b  ca c  ab
bc ca ab



 .
b
c
bca
cab . Chứng minh rằng a
Bài 5: Cho dãy tỉ số bằng nhau: abc
x
y
z
1


  x  y  z .
Bài 6: Tìm x, y, z biết: y  z  5 x  z  3 x  y  2 2
ab bc ca



b
c
a . Chứng minh rằng abc
Bài 7: Cho biết





123

 111123.a 40 .b 41.c 42 .

a bc bca c ab


c
a
b
Bài 8: Cho a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn điều kiện
. Hãy tính giá trị
� b�
� a�
� c�
P�
1 �
1 �
1 �

.
�
�
� a�
� c�
� b�
biểu thức

a b c
 
Bài 9: a) Cho b c a và a  b  c  2007 . Tính a, b, c.
ab cd
a c

�1
 .
b) Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức a  b c  d
ta có tỉ lệ thức b d
3a 6  c 6  a  c 

,  b  d �0 
3b 6  d 6  b  d  6
6

a c
 .
Bài 10: Cho b d Chứng minh rằng

Bài 11: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số khác 0 thỏa mãn

ab  ac bc  ba ca  cb
a b c


  .
2
3
4
3
5 15
thì
Bài 12: Ba máy bơm cùng bơm vào một bể bơi trống có sức chứa 370m3 nước. Thời gian bơm mỗi m3 của ba
máy lần lượt là 4 phút, 5 phút, 6 phút. Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể.
x
y
z
3
2


.
x  z   8 x  y  y  z  .
Bài 13: Cho ba số x, y, z thỏa mãn 2018 2019 2020 Chứng minh rằng: 
x
y
z
t




.
y

z

t
z

t

x
t

x

y
x

y

z
Bài 14: Cho biết
Tính giá trị của
14


M

x y y z zt t  x




.
z t t  x x y z  y

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSNK LẦN 1

A

Bài 1: (1,0 điểm) Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh
Bài 2: (1,5 điểm) a) Cho
b) Cho

A

A

9
19
9
19
 2011
B  2011  2012 .
2012
10
10
10
10
và

4
6
9
7
7
5
3
11
A



B



.
7.31 7.41 10.41 10.57 ;
19.31 19.43 23.43 23.57 . Tính B

1 1 1
1
1
308 307
3
2
1
A
   ... 


;B

 ... 


.
.
2 3 4
308 309
1
2
306 307 308 Tính B

Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x biết:

a)

x

2

�
3
�
 16  �2 x   2 � 0
4
�
� .

 x  1

c)

10

b)

x  1  x  2  2 x  1  5  x  1

  x  1 .
8

x y z
 
2
2
2
Bài 4: (1,5 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: 3 4 5 và 2 x  2 y  3 z  100.

a
b
c
d



Bài 5: (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn 2b 2c 2d 2a .
Tính

A

4a  3b 4b  3c 4c  3d 4d  3a



cd
ad
ab
bc

x
y
z


.
Bài 6: (1,0 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn 2018 2019 2020 Chứng minh rằng:

 x  z

3

 8 x  y

2

 y  z .

x
y
z

t



.
y

z

t
z

t

x
t

x

y
x

y

z
Bài 7: (1,0 điểm) Cho biết
Tính giá trị của
M

x y y z zt t  x




.
z t t  x x y z  y

Bài 8: (1,5 điểm) Cho hình vẽ sau. Tính góc ACB.

15


ĐỀ TỰ LUYỆN SỐ 1

3a 6  c 6  a  c 
a c

, b  d �0 
6 
6
6
 .
3
b

d
b

d



Bài 1: Cho b d Chứng minh rằng
6

ab  ac bc  ba ca  cb
a b c


  .
2
3
4
3
5 15
Bài 2: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số khác 0 thỏa mãn
thì
Bài 3: Tính
3

2

�1 � � 1 � � 1 �
A  4. � � 2. �
 � 3. �
 � 1.
�2 � � 2 � � 2 �
a)
B
b)

1 � 1� 1 � 1� 1 � 1� � 1 �

:�
1 �:1 : �
1 �:1 : �
1 �:...: �
1
.
�
2 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6 � � 100 �

46.95  69.120
C  11 4 12 .
6  8 .3
c)
x y

Bài 4: a) Tìm x và y biết 4 7 và xy  112.
2

2

�31 � �49 �
x  � � � � x  y 2 .
�12 � �12 �
b) Tìm x và y biết:
15
20
40


c) Tìm x và y biết x  9 y  12 z  24 và xy  1200.

x
y
z
1


  x  y  z .
d) Tìm x, y, z biết Tìm x, y, z biết: y  z  5 x  z  3 x  y  2 2
Bài 5: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên

A

2
x 5 .

B

x 2
.
x 1

a)
b)
Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

x 1  x  3  x  5

a) A  5 x  1  2.
b) A =
.

Bài 7: Cho 400 số hữu tỉ trong đó tích của ba số bất kỳ nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 400 số đã cho là một số dương.
b) Tất cả 400 số đã cho đều là số âm.
Bài 8: Cho hình vẽ sau, tính tổng số đo: a + b + c + d + e.

16


Chuyên đề 4: TOÁN SUY LUẬN; PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG.
NGUYÊN LÍ DIRICHLET.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
1. Phương pháp phản chứng
Bài 1: Cho hai số a và b thỏa mãn a + b < 2. Chứng minh rằng trong hai số a và b tồn tại ít nhất một số nhỏ
hơn 1.
Hướng dẫn:
Bài 2: Nếu tổng của 9 số bằng 10 thì có ít nhất một số lớn hơn 1.
Bài 3: Chứng minh rằng nếu nhốt 37 con thỏ vào 12 cái chuồng thì có ít nhất một cái chuồng nhốt nhiều hơn 3
con thỏ.
Bài 4: Bạn Hạnh có 13 hộp bi mà tổng số bi trong ba hộp bất kì là một số lẻ. Hỏi tổng số bi trong 13 hộp có là
số lẻ khơng?
Bài 5: Biết
tích

a1 , a2 , a3 ,..., an là một hoán vị của các số 1, 2, 3,…,n, với n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng

 a1  1  a2  2   a3  3 ...  an  n 

là số chẵn.

1
1
1
199
 2  ...  2 
.
2
a
,
a
,
a
,...,
a
a
a
a
100
1
2
3
100
1
2
100
Bài 6: Gọi
là các số tự nhiên thỏa mãn:
Chứng minh rằng ít nhất
hai số tự nhiên trong các số trên bằng nhau.

1 1
1
  ... 
 1011.
a
,
a
,
a
,...,
a
a
a
a
1
2
3
2021
1
2
2021
Bài 7: Cho 2021 số nguyên dương
thỏa mãn
Chứng minh rằng
ít nhất hai trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau.
Bài 8: Cho 10 số nguyên dương 201; 202; 203;…; 210. Sắp xếp mười số đó một cách tùy ý thành một hàng.
Trừ mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng, ta được mười hiệu. Chứng minh rằng trong 10 hiệu đó tồn tại ít
nhất hai hiệu có chữ số tận cùng giống nhau.
2. Ngun lí Dirichlet
Bài 1: Một lớp học có 44 HS làm bài kiểm tra mơn tốn. Điểm là một số tự nhiên từ 6 đến 10. Biết cả lớp có 6

HS được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 10 HS được cùng một loại điểm.
Hướng dẫn:
Bài 2: Một tổ có 11 HS thảo luận về học tập. Có 1 HS phát biểu 4 lần, các HS khác đều phát biểu nhưng số
lần phát biểu ít hơn. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 4 HS có số lần phát biểu như nhau.
Hướng dẫn:
Bài 3: Có 50 quyển vở chia cho 11 HS. Chứng minh rằng:
a) Ít nhất cũng có 1 HS được 5 quyển vở trở lên.
b) Với mọi cách chia (kể cả trường hợp khơng có HS được quyển nào), bao giờ cũng có ít nhất hai HS được
một số vở như nhau.
Bài 4: Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 201720172017...20170...0 chia hết cho 2016.
Bài 5: Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kì ln có thể chọn được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng
chia hết cho 100.
Hướng dẫn: Khi chia một số cho 100 có 100 số dư từ 0 đến 99. Chia các số dư này thành các nhóm:

17


 0 ;  1;99 ;  2;98 ;...;  49;51 ;  50

(Có 51 nhóm). Có 52 số nguyên nên sẽ có hai số nào đó thuộc cùng một
nhóm trong các nhóm trên, do đó tổng hoặc hiệu của hai số này sẽ chia hết cho 100.

18


BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Cho 400 số hữu tỉ trong đó tích của ba số bất kỳ nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 400 số đã cho là một số dương.
b) Tất cả 400 số đã cho đều là số âm.
Hướng dẫn:

a) Trong 400 số đã cho có ít nhất một số âm, vì nếu khơng thì tích của ba số bất kỳ khơng thể là số âm. Ta tách
riêng số âm đó ra, còn 399 số. Ta chia 399 số này thành 133 nhóm, mỗi nhóm 3 số. Theo bài ra tích của mỗi
nhóm này là số âm vì thế tích của 133 nhóm hay tích của 399 số này là số âm. Nhân thêm số âm đã tách ra ta
được tích của 400 số này là số dương.
b) Ta xếp thứ tự 400 số đã cho

a1 �a2 �... �a398 �a399 �a400

. Trong các số này khơng thể có số nào là số 0 vì

nếu khơng thì tích của ba số bao gồm số 0 đó sẽ bằng 0 (mâu thuẫn). Ta thấy

a399  0; a400  0
chứng minh

a398  0

. Suy ra tích của ba số này lớn hơn 0 (mâu thuẫn). Vì

a399  0; a400  0

. Thật vậy: Do

a1a2 a399  0

mà

a1a2  0

nên

a398  0
nên

a399  0

vì nếu

a398  0

a1  0;...; a398  0

. Tương tự suy ra

thì

. Ta sẽ

a400  0

.

50

�56
�
a  �  1,01�
�55
� . Chứng minh rằng nếu viết số a dưới dạng số thập phân thì số a sẽ có ít nhất
Bài 2: Cho số

99 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phảy.
50

50

50

50

50

50
100
�56
� � 1 101 � � 9 � �9 � �1 � �9 �
�1 �
a  �  1,01 �  �
1 


.

.
� �
� � �� � � �� �
1100 � �
11 � �
100 � �11 � �10 �
�55
� � 55 100 � �

Hướng dẫn: Ta có

 1.0, 000...01
1 2 3  0, 000...01
123
99

99

. Từ đây suy ra a có ít nhất 99 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phảy.

Bài 3: Cho 11 số nguyên khác nhau có tổng bằng 390. Chứng minh rằng ln ln tìm được 6 số trong các số
đó, sao cho tổng của chúng khơng vượt q 195.
Hướng dẫn: Gọi 11 số đã cho là



Nếu

a1 ; a2 ;...; a11

. Giả sử

a1  a2  ...  a11

. Xét số

a6

.

a6 �35 � a6  a5  ...  a1 �35  34  33  32  31  30  195.

Vậy 6 số trên thỏa mãn đề bài.
a  35 � a7  a8  ...  a11 �37  38  39  40  41  195
a  a  ...  a6 �390  195  195
Nếu 6
. Suy ra 1 2
.

Bài 4: Nếu a, b là các số tự nhiên với tích ab là số lẻ thì a và b đều là số lẻ.
Bài 5: Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng
20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất ba chữ số giống nhau.
n
Hướng dẫn: Giả sử trong 20 chữ số trong cách viết thập phân của p khơng có ba chữ số nào giống nhau.
n
Suy ra mỗi chữ số trong 10 chữ số 0; 1; 2; …; 9 xuất hiện đúng hai lần. Do đó tổng các chữ số của p là

2  0  1  2  ...  9   90M3 � p n M3 � p M3

. Điều này mâu thuẫn vì p là số nguyên tố lớn hơn 3.
Bài 6: Trên một đường tròn người ta xếp các số 1, 2, 3, …, 10 (mỗi số xuất hiện đúng một lần).
19


a) Chứng minh rằng không tồn tại cách sắp xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn 10.
b) Tồn tại hay không một cách sắp xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn hoặc bằng 10.
Hướng dẫn:
a) Giả sử tồn tại một cách sắp xếp thỏa mãn đề bài. Khơng mất tính tổng qt, giả sử

a1  a2  10 � a2  9 � a2  10; a1  a10  10 � a10  9 � a10  10 � a2  a10  10

a1  1.

Khi đó ta có

. Điều này vơ lí vì mỗi số

xuất hiện đúng một lần. Suy ra đpcm.

b) Tồn tại một cách sắp xếp như trên. Ví dụ:
Bài 7: Người ta sơn 2000 chiếc hộp (sơn cả hộp một màu). Chứng minh rằng có ít nhất một phát biểu đúng
trong các phát biểu sau:
1. Có ít nhất 45 hộp cùng màu.
2. Có ít nhất 45 chiếc hộp có màu khác nhau từng đôi một.
Hướng dẫn: Giả sử cả hai phát biểu đều sai. Tức là chỉ có nhiều nhất 44 màu sơn và nhiều nhất 44 hộp khác
màu từng đơi một. Khi đó có tất cả 44.44 = 1936 hộp được sơn. Suy ra đpcm.
Bài 8: Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 201920192019...2019 chia hết cho 2017.
Hướng dẫn: Xét dãy các số: 2019; 20192019;…;2019…2019 (2018 bộ số 2019). Khi chia một số cho 2017 thì
có thể có 2017 số dư: 0; 1; 2;…;2016. Như vậy có ít nhất hai số trong dãy trên có cùng số dư khi chia cho
2017. Giả sử hai số này là:

am  2019...2019 (m bộsố2019); a n  2019...2019  n bộ2019 , vớ
i m>n

.

4n
Khi đó am  an  2019...201900..0(m  n bộ2019;4n số0)  2019...2019.10 M2017 . Vì (10, 2017) = 1 nên

2019...2019  m  n boä2019 M2017.
suy ra
Bài 9: Với 25 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và được lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Chứng minh
rằng trong 25 số ấy có thể tìm được hai số bằng nhau.
Hướng dẫn: Với 4 chữ số 1, 2, 3, 4 lập được 4.2.3= 24 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Có 25 số tự nhiên
có 4 chữ số đơi một khác nhau nên sẽ có ít nhất hai số bằng nhau.
Bài 10: Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ, ta ln tìm được ba số mà tổng của chúng chia hết cho 3.
Bài 11: Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên tùy ý bao giờ ta cũng chọn được 15 số mà hiệu của hai số bất
kì trong 15 số ấy chia hết cho 7.
Bài 12: Với số lượng tối thiểu bao nhiêu học sinh thì ta có thể tìm được 2 học sinh có cùng ngày tháng sinh.
Bài 13: Trong một chiếc hộp có chứa các viên bi có 3 màu: xanh, đỏ, vàng (số bi mỗi màu đều lớn hơn 10).
Bạn An cần lấy ít nhất bao nhiêu viên bi trong một lần để số bi được lấy ra khơng ít hơn 3 viên của một màu
nào đó.
20


21


CHUYÊN ĐỀ 5: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
II. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho 4 đường thẳng a, b, c, d cắt nhau tại O.
a) Hỏi có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh.
b) Chứng minh rằng trong các góc tạo thành có một góc nhỏ hơn hoặc bằng 450.
Bài 2: Cho góc xOy và tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy. Gọi Om, On lần lượt là tia phân giác của góc xOz và
yOz. Giả sử góc mOn = 900. Chứng minh rằng Ox và Oy là hai tia đối nhau.
Bài 3: Cho góc xOy nhọn. Dựng Om vng góc với Ox sao cho Om, Oy khác phía đối với Ox. Dựng On
vng góc với Oy sao cho On, Ox khác phía đối với Oy.
a) Chứng minh rằng �xOn  �yOm.

b) �xOy  �mOn  180 .
Bài 4: Trong hình 1, Tính góc N1.
0

Bài 5: Trong hình 2, Cho biết Ax // By;

�A  m0 ; �O  m 0  n 0  0  m, n  90 

. Tính góc B.

Bài 6: Trong hình 3, biết EF song song với GH và �F  �O  �H  x. Tính x.

Bài 7: Trong hình 4, cho biết
rằng a vng góc với c

�A1 

5
�A2 ; �B2  �B1  300 ; �C1  �C2 .
7
Chứng minh

0
Bài 8: Cho hình 5, biết rằng �B  �O  �C  120 . Chứng minh rằng AB // CD.
Bài 9: Cho hình 6, biết Ax//By. Chứng minh rằng �A  �B  �AOB.
0
0
Bài 10: Cho hình 7, có �MOP  130 , �M  60 . Tìm số đo góc P để MN song song với PQ.
Bài 11: Cho hình 8, biết Tính số đo góc xOy.

Bài 12: Cho 5 đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng sao cho khơng có hai đường thẳng nào song song.
Chứng minh rằng tồn tại cặp đường thẳng tạo thành với nhau một góc khơng q 360.
22


Bài 13: Cho đường thẳng d và 5 điểm không nằm trên d. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 3 đoạn thẳng có đầu
mút là 2 trong 5 điểm đó khơng cắt d.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho 8 đường thẳng trong đó khơng có hai đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng có ít nhất hai
đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc nhỏ hơn 230.
Bài 2: Cho đường thẳng d và 7 điểm không nằm trên d. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 6 đoạn thẳng có đầu
mút là 2 trong 7 điểm đó khơng cắt d.
Bài 3: Cho hình vẽ (H9), biết góc A và góc B là những góc tù và �A�Bй
và By khơng song song.

C

3600. Chứng minh rằng Ax

Bài 4: Cho hình 10, biết a song song với b và �A1  �B1. Chứng minh rằng �ACD  �BDC.

Bài 5: Cho hai tia Ax và By song song với nhau, Ax và By cùng phía đối với AB. Gọi C là điểm bất kì trên
mặt phẳng, biết �CAx   ; �CBy   . Tính góc ACB.
Bài 6: Cho góc xOy = 300, điểm A nằm trên tia Ox. Qua A kẻ tia At. Xác định góc xAt để tia At song song với
Oy.
Bài 7: Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng a vẽ 2016 đường thẳng phân biệt. Chứng minh rằng ít nhất cũng
có 2015 đường thẳng cắt a.
Bài 8: Cho hình 11. Tính góc ACB.

23

CHUYÊN ĐỀ 6: TAM GIÁC BẰNG NHAU.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Cần ôn tập về ba trường hợp bằng nhau của tam giác.
2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vng.
II. MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC, N là trung
điểm của cạnh BC. Chứng minh:
a) AM là tia phân giác của góc BAC.
b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng.
c) MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
0
Bài 2: Cho hình vẽ sau, biết �A  �AEC  �ADB, �BFC  105 . Tính góc A.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Tia phân giác góc B và tia phân giác góc ngồi tại
đỉnh C của tam giác ABC cắt nhau tại D. Biết góc BDC = 370. Tìm số đo
của góc A.
Bài 4: Cho hình vẽ sau.
a) Tìm các cặp tam giác bằng nhau.
b) Chứng minh AB // CD.

Bài 5: Cho hình vẽ sau, biết AB = AD, EB = ED; CB = CD.
Chứng minh rằng A, E, C thẳng hàng.
Bài 6: Cho hình vẽ sau, biết AB = AD, CB = CD. Chứng minh rằng AC vng góc với BD.

Bài 7: Cho tam giác ABC có góc B < 900. Trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC, vẽ tia Bx vuông góc với BC,
trên tia đó lấy điểm D sao cho BD = BC. Trên nửa mặt phẳng có chứa C bờ AB vẽ tia By vng góc với BA,
trên tia đó lấy điểm E sao cho BE = BA. Chứng minh:
a) DA = EC.
b) DA vng góc với EC.

Hướng dẫn:

24


a) Chứng minh tam giác ABD = EBC.
b) Gọi giao điểm của DA với BC và EC theo thứ tự là H và K. Chứng minh tam giác HCK vuông tại K.
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AB và bằng AB (D
khác
phía C đối với AB), vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AC và bằng AC (E khác phia đối với AC).
Chứng minh rằng
a) DC = BE.
b) DC vng góc với BE.
Hướng dẫn:
Bài 9: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm
của
AC. Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = MC. Trên tia đối
của
tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm
của
MN.
Bài 10: a) Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh BC = 2AM.
b) Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Chứng minh rằng MN song song
với BC và BC = 2MN.
c) Cho tam giác ABC vng tại A có góc B = 300. Chứng minh rằng BC = 2AC.
Hướng dẫn:
Bài 11: Cho tam giác ABC có góc A nhọn, AB = AC. Kẻ BD vng góc với AC tại D, kẻ CE vng góc với
AB tại E. Gọi O là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh BD = CE.

b) Chứng minh ODC  OEB .
c) Chứng minh AO là tia phân giác của góc BAC.
Bài 12: Cho tam giác ABC. Vẽ phía ngồi tam giác ABC các tam giác vng tại A là ABD và ACE có AB =
AD, AC = AE. Kẻ AH vng góc với BC, DF vng góc với AH, EN vng góc với AH. Chứng minh
a) DF = AH.
b) MN đi qua trung điểm của DE.

25