nghiên cứu tính ứng xử của vật liệu trực hướng

Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Lời cảm ơn
Lời cảm ơn
Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi xin chân thành cảm ơn trờng Đại
học Bách khoa Hà nội, khoa Cơ khí và bộ môn Sức bền vật liệu đã tạo điều
kiện để tôi học tập, nghiên cứu. Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc về
sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo hớng dẫn: Tiến sĩ Nguyễn Nhật Thăng.
Sau một thời gian làm việc tích cực dới sự hớng dẫn tận tình của thầy tôi đã
hoàn thành đề tài luận văn của mình.
Tôi cũng xin cám ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Sức bền vật liệu, gia đình,
bè bạn đã tạo điều kiện học tập giúp tôi hoàn thành báo cáo này.
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Lời nói đầu
Lời nói đầu
Vấn đề biến dạng dẻo và sự phá hỏng của vật liệu đã đợc nghiên cứu rất
nhiều, đặc biệt là về đặc tính dẻo của kim loại. Những kết quả này đợc ứng dụng
rộng rãi trong các ngành công nghiệp hiện đại nh chế tạo ô tô, hàng không và
ngay cả trong ngành công nghiệp thực phẩm nh để sản xuất vỏ, hộp đã đạt đợc
những kết quả lớn.
Để đánh giá khả năng tạo hình của vật liệu, Keeler và Goodwin đã xây
dựng đờng cong giới hạn hình thành khi có co thắt ở vật liệu. Tuy nhiên những
đờng cong đó phụ thuộc vào quỹ đạo biến dạng trong khi các sản phẩm trong
công nghiệp phần lớn đòi hỏi qua nhiều công đoạn gia công khác nhau. Nh thế
với mỗi quy trình công nghệ ta cần xác định lại một đờng cong tơng ứng. Để
tránh điều đó ngời ta dựa vào một tiêu chuẩn khác không phụ thuộc vào quỹ đạo
biến dạng. Năm 1982 ông Arrieux đã đề xuất dùng đờng cong ứng suất giới hạn
đợc xây dựng từ đờng cong biến dạng giới hạn theo phơng cán của vật liệu. Các
kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm đã chứng tỏ đề xuất của ông là
hoàn toàn có cơ sở.
Luận văn với đề tài : Nghiên cứu tính ứng xử của vật liệu trực hớng
nhằm mục đích nghiên cứu, xây dựng đờng cong giới hạn hình thành, khảo sát

ảnh hởng của biến dạng trực tiếp và của biến dạng trớc đến khả năng biến dạng
của vật liệu trong quá trình cán, thông qua việc biểu diễn cơ tính của chúng trên
các đờng cong biến dạng giới hạn và đờng cong ứng suất giới hạn. Nó cho phép
ta xác định đợc giới hạn cho phép khi tạo hình và có thể dự tính đợc những khả
năng có thể xảy ra. Hơn thế nữa sự ảnh hởng của biến dạng trớc đến giới hạn
biến dạng giúp ta có biện pháp nâng cao khả năng biến dạng của tấm mà không
cần thay đổi vật liệu hoặc công nghệ cải thiện cơ tính vật liệu. Điều này rất có ý
nghĩa thực tiễn.
Báo cáo này đợc trình bày theo 3 chơng:
Chơng I : Tổng quan về lý thuyết dẻo
Trình bày tổng quát về các điều kiện chảy dẻo, các công thức toán học
trong lý thuyết dẻo nói chung. Đặc tính không thuận nghịch và tính ứng xử của
vật liệu trong trạng thái dẻo.
Chơng II: Đờng cong giới hạn hình thành
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Trình bày khái niệm về đờng cong giới hạn hình thành, các nhân tố ảnh h-
ởng đến chúng.
Chơng III: Đờng cong giới hạn hình thành và các mô hình tính toán khác nhau
Trình bày các phơng pháp xác định đờng cong ứng suất giới hạn theo các
mô hình chảy dẻo khác nhau.
Mô hình Hill + Hollomon
Hill + Swift
Hill + Ludwik
So sánh kết quả và nhận xét trên đồ thị đờng cong ứng suất giới hạn.
Bài toán cụ thể đối với loại vật liệu thép tôn cán ULC/Ti và các kết luận về
cơ tính của vật liệu này khi cán.
Phần phụ lục : Trình bày chơng trình tính toán các đờng cong ứng suất giới hạn
và biến dạng giới hạn, cách sử dụng thuận tiện.
Mặc dù báo cáo này mới chỉ nghiên cứu bài toán biến dạng phẳng theo hai
phơng. Phơng cán và phơng vuông góc với phơng cán dựa trên cơ sở lý thuyết

của tiêu chuẩn Hill (1950) chỉ áp dụng cho vật liệu trực hớng có 3 mặt đối xứng.
Việc so sánh giữa các mô hình tính toán Hill+ Hollomon, Hill + Swift và Hill +
Ludwik cũng cần phải thực nghiệm xác nhận ta mới có thể đa ra mô hình nào tốt
hơn, có kết quả gần với thực tế hơn.
Tuy nhiên tiêu chuẩn Hill là một tiêu chuẩn tổng quát cho mọi loại vật liệu, nếu
nghiên cứu sâu sẽ là công cụ đắc lực cho phát triển cho những bài toán phức tạp
hơn.
Mục lục
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Lời nói đầu 2
Mục lục 3
Chơng 1 5
Tổng quan về lý thuyết dẻo 5
I. 1 Các điều kiện chảy dẻo 5
I .1.1 Tiêu chuẩn Tresca 7
I.1.2 Tiêu chuẩn Von Mises 9
I.1.3 Tiêu chuẩn Hill 12
I.1.4 Tiêu chuẩn Considere 12
I.1.5 Tiêu chuẩn Swift 15
I .2 Lý thuyết chảy dẻo 19
I.2.1 Các phơng trình cơ bản của vật liệu đẳng hớng 19
I. 2.2 Các phơng trình cơ bản của vật liệu dị hớng 20
Chơng II 22
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Đờng cong giới hạn hình thành 22
II. 1 Khái niệm về đờng cong giới hạn hình thành 22
II. 2 Những yếu tố ảnh hởng tới đờng cong giới hạn hình thành 23
II. 2.1 Sự ảnh hởng của tốc độ biến dạng 24
II. 2.2 Sự ảnh hởng của quỹ đạo biến dạng và của biến dạng trớc 24

II. 2.3 ảnh hởng của chiều dày phôi dập 28
III. 2.4 ảnh hởng của các thông số cơ học vật liệu 30
Chơng III 35
Đờng cong giới hạn hình thành với các mô hình tính toán khác nhau 35
III . 1 Bài toán thuận 35
III.1.1 Mô hình Hill + Hollomon 35
A. Cơ sở lý thuyết 35
B. Các giả thiết đơn giản hoá 37
C. ứng suất giới hạn 38
III.1.2 Các mô hình Hill + Swift và Hill + Ludwik 40
A. ứng suất giới hạn với mô hình Hill + Swift 40
B. ứng suất giới hạn với mô hình Hill + Ludwik 41
III.1.3 So sánh các mô hình tính toán 41
III.2 Bài toán ngợc 42
III.2.1 Xác định đờng cong biến dạng giới hạn từ đờng cong ứng suất giới
hạn 43
III.2.2 ảnh hởng của biến dạng trớc 44
Kết luận 47
Phụ lục giới thiệu chơng trình và giải thích 48
Tài liệu tham khảo: 53
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Ch
Ch


ơng 1
ơng 1
Tổng quan về lý thuyết dẻo
Mục đích của lý thuyết dẻo là một mặt nghiên cứu về mặt toán học các điều
kiện đặc trng cho sự biến đổi của vật liệu từ trạng thái đàn hồi sang trạng thái

chảy dẻo và mặt khác mô tả tính ứng xử của vật liệu ở trạng thái chảy dẻo. Các
công thức toán học trong lý thuyết dẻo nói chung phức tạp hơn trong lý thuyết
đàn hồi. Đặc tính không thuận nghịch của biến dạng dẻo, tính ứng xử không
tuyến tính của phần lớn vật liệu và sự ảnh hởng rõ rệt của quá trình đặt tải là các
nguyên nhân cơ bản của sự phức tạp trên. Nói một cách tổng quát lý thuyết dẻo
phải trả lời đợc 3 vấn đề sau :
1. Các điều kiện chảy dẻo là gì ?
2. Trong quá trình chảy dẻo, các điều kiện chảy dẻo tiến triển nh thế nào ?
3. Có các quy luật nào liên hệ ten-xơ ứng suất với ten-xơ biến dạng hay với
ten-xơ vận tốc biến dạng ?
I. 1 Các điều kiện chảy dẻo
Vấn đề ở đây là xác định điều kiện chảy dẻo đặc trng cho khả năng
chuyển từ trạng thái đàn hồi sang trạng thái dẻo khi vật liệu ở một trạng thái
ứng suất nào đó. Trong thí nghiệm kéo đơn trục, sự chảy dẻo xảy ra khi ứng
suất đạt đến ứng suất chảy của vật liệu. Vậy tiêu chuẩn chảy dẻo phải đợc
biểu diễn dới dạng hàm của ten-xơ ứng suất :
f(
ij
) = 0 (1)
Giả sử hàm f tồn tại, vật liệu sẽ ở trong trạng thái đàn hồi nếu:
f(
ij
) < 0 hay f(
ij
) = 0
Và
0<


ij

ij
f


(2)
ở trong trạng thái dẻo nếu :
f(
ij
) = 0 và
0


ij
ij
f


(3)
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Hàm f là luôn bé hơn hoặc bằng không. Điều kiện chảy dẻo có thể đợc
biểu diễn bằng hình học bởi mặt phẳng tải trọng trong không gian Ơ-clít. Tất
cả các trạng thái ứng suất nằm ở bên trong mặt tải trọng tơng ứng với trạng
thái đàn hồi, còn tất cả các trạng thái ứng suất nằm ngoài mặt phẳng tải trọng
tơng ứng với trạng thái dẻo nếu

ij
hớng ra phía ngoài của mặt tải trọng.
Đối với vật liệu kim loại, biến dạng đợc gây ra là do có sự trợt lệch. Thí
nghiệm đã cho thấy rằng áp lực thủy tĩnh học không gây ra biến dạng d.
Nh vậy tiêu chuẩn chảy dẻo không phụ thuộc vào thành phần thuỷ tĩnh

học của ten-xơ ứng suất lệch và hàm f có thể đợc biểu diễn dới dạng sau:
f= f(S
ij
) (4)
ở đó S
ij
là các thành phần của ten-xơ ứng suất lệch.
Trong không gian ứng suất chính, phơng trình (4) biểu diễn một bề mặt
lăng trụ hay hình trục với trục ( đờng đẳng áp thuỷ tĩnh ) đợc định nghĩa bởi

1
=
2
=
3
Các mặt phẳng vuông góc với đờng đẳng áp thuỷ tĩnh (nghiêng đều với
các trục toạ độ ) đợc gọi là các mặt phẳng lệch và đợc cho bởi các phơng trình
sau :

1
+
2
+
3
= 0 (5)
A. Đối với vật liệu dẻo đẳng hớng
Đó là điều kiện dẻo tơng ứng với các trạng thái biến cứng đẳng hớng. Ph-
ơng trình của mặt bao miền đàn hồi chứa tất cả các thành phần của ten-xơ ứng
suất và biến hoá bền. Trong trờng hợp đẳng hớng biến hoá bền đợc chọn là đại l-
ợng vô hớng

S
(ngỡng dẻo).
f(
x
,
y
,
z
,
S
) = 0.
Đối với vật liệu kim loại, ta thờng chấp nhận giả thiết về sự bất biến của thể tích
trong quá trình biến dạng dẻo ( vật liệu không nén đợc), có nghĩa là thuộc tính
của vật liệu không phụ thuộc vào áp suất thuỷ tĩnh, hàm f không phụ thuộc vào
hệ trục chọn. Nh vậy điều kiện chảy dẻo là hàm của các bất biến của ten-xơ ứng
suất lệch (
1
,
2
,
3
):
f = f(
2
,
3
,
S
) = 0
ở đó

1
= tr (S
ij
) =0
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng

2
=1/2 S
ij
. S
ji
=1/6
2
31
2
22
2
12
2
1133
2
3322
2
2211
])()()[(

+++++

3
= det(S

ij
)
I .1.1 Tiêu chuẩn Tresca
Dựa vào các kết quả thí nghiệm năm 1984 Tresca đã đa ra tiêu chuẩn chảy
dẻo cho vật liệu đẳng hớng :

max
= K (6)
ở đó
max
là ứng suất tiếp lớn nhất xảy ra trong mặt phẳng chính của các ứng suất
cực trị
1
,
2
ứng suất chính trung gian không đóng vai trò nào cả.
Biểu thức trên có thể biểu diễn ví dụ nhờ vào vòng tròn Morh ứng suất :
K=

2
21

(7)

1
là ứng suất chính lớn nhất

2
là ứng suất chính nhỏ nhất
K : hằng số đối với từng loại vật liệu đợc gọi là hệ số tuyến tính

Tiêu chuẩn Tresca đợc biểu diễn :
[(
1
-
2
)
2
- 4K
2
][ (
2
-
3
)
2
- 4K
2
][ (
3
-
1
)
2
- 4K
2
] = 0 (8)
Trong không gian của các ứng suất chính bề mặt giới hạn theo tiêu chuẩn
Tresca (những điểm tơng ứng với trạng thái giới hạn sẽ nằm trên bề mặt giới
hạn) sẽ là hình lăng trụ có đáy là hình lục giác. Đó là giao diện của 6 mặt phẳng
có dạng

i
-
j
= 2K (i, j=1, 2, 3). ( Hình I.1)
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng

Hình I.1 Tiêu chuẩn Tresca
Xác định giá trị của hệ số tuyến tính K.
+ Trờng hợp kéo nén đơn:











=
000
000
00
0



max
-

min
==> K =
0
/2
+ Trờng hợp xoắn thuần tuý :











=
0
0
00
000
00



==>
max
-
min
= 2

0
==> K =
0
Trờng hợp đặc biệt (bài toán ứng suất phẳng) với
3
= 0
+ khi
3
là ứng suất chính lớn nhất. ==>
1
= -2K hoặc
2
= -2k
+ khi
3
là ứng suất chính nhỏ nhất. ==>
max
- 0 = 2K
1
= 2K hoặc
2
= 2K
+ khi
3
là ứng suất chính trung gian ==>
1
-
2
= 2K
Theo tiêu chuẩn Tresca sự chuyển tiếp từ trạng thái đàn hồi sang trạng thái

dẻo khi xảy ra ứng suất tiếp lớn nhất đạt đến giá trị tới hạn K. Giá trị đợc xác
định nhờ vào thí nghiệm kéo đơn:
2
y
K

=
(8)

y
là giới hạn đàn hồi của vật liệu, hay bởi thí nghiệm trợt thuần tuý:
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
K=
y

ở đó
y
là ứng suất giới hạn trong trạng thái ứng suất trợt thuần tuý:
Trong hệ tọa độ vuông góc
1
,
2
tiêu chuẩn Tresca ở trạng thái ứng suất
phẳng đợc biểu diễn bởi hình lục giác. (Hình I.2)

Hình 1.2 Tiêu chuẩn Tresca ở trạng thái ứng suất phẳng
I.1.2 Tiêu chuẩn Von Mises
Năm 1913 Von mises đã đa ra tiêu chuẩn cho vật liệu đẳng hớng, ông cho
rằng hàm f chỉ phụ thuộc và bất biến thứ hai của ten-xơ ứng suất lệch. Điều kiện
chảy dẻo Von mises viết nh sau :

f(
2
)=
2
- K
2
(9)
ở đây K là một hằng số đặc trng của vật liệu gọi là hằng số dính kết của vật liệu.
Nó đợc xác định nhờ thí nghiệm kéo đơn hay xoắn thuần tuý:
+ Dựa vào thí nghiệm kéo đơn.










=
000
000
00
0

=
0
0
0
3
1
00
0
3
1
0
00
3
2



S
tr S
2

= 2/3
0
2
=2K
== >
3
0

=K
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng

0
: ứng suất làm cho vật liệu chảy dẻo.
+ Dựa vào thí nghiệm xoắn thuần tuý.
Các ứng suất chính :
1
= -
3
=
0
(
2
= 0)

=
0
0
00
000
00














=
0
0
00
000
00

S
tr S
2
=2
0
2
= 2K
2
==> K =
0
Dới dạng các thành phần ứng suất, tiêu chuẩn Von mises biểu diễn nh sau;
2222222
6)(6)()()( K
zxyzxyxzzyyx
=+++++

Hay dới dạng các ứng suất chính :
2222
6)()()( K
xzzyyx
=++

(10)
Trong hệ toạ độ Đề các của các ứng suất chính
1
,
2
,

3
theo tiêu chuẩn
Von-mises thì mặt giới hạn là mặt trụ tròn xoay có trục là đờng đẳng áp thuỷ tĩnh
(Hình I.3).

Hình I. 3 Tiêu chuẩn Vonmises trong hệ tọa độ

1
,

2
,

3
Trong trạng thái ứng suất phẳng
3
= 0,
Theo (10) :
22
12
2
2
2
1
6)( K
=++

Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Tiêu chuẩn Von mises biểu diễn một đờng ellipse với các bán trục lần luợt
K2

và
K6
(Hình I.4)

Hình I.4 Tiêu chuẩn Vonmises ở trạng thái ứng suất phẳng
Trong trạng thái biến dạng phẳng, tiêu chuẩn Von mises biểu diễn hai đ-
ờng thẳng song song nh hình vẽ ( Hình I.5).

Hình I.5 Tiêu chuẩn Vonmises ở trạng thái biến dạng phẳng
Điều kiện chảy dẻo Vonmises có thể biểu diễn dới dạng khác với việc đa
ra khái niệm ứng suất tơng ứng:
2/12/1
2
)2/3()3(
jiije
SS
==

(11)
hay dới dạng khai triển
22
312313
2
1133
2
3322
2
2211
2
])(6)()()[(2/1

ye

=+++++=
(12)
B. Đối với vật liệu dị hớng
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Đối với vật liệu dị hớng, cơ tính không nh nhau theo các hớng khác nhau.
Do vậy, biểu thức của các điều kiện dẻo dị hớng không thể viết dới dạng hàm
của các bất biến ten-xơ ứng suất.
I.1.3 Tiêu chuẩn Hill
Năm 1948 Hill đã đa ra một khái quát hoá của tiêu chuẩn Von mises đối với
vật liệu dị hớng, áp dụng cho trờng hợp dị hớng riêng. Trong đó vật liệu vẫn giữ
nguyên đợc 3 mặt phẳng đối xứng ở trạng thái hoá bền. ứng suất tơng ứng theo
Hill là :

)(2)()()(
2222222
zxyzxyxxzzzzyyyyxxe
MLNGFH

+++++=
(13)
ở đó F, G, H, L, M, N là các hằng số dị hớng.

xx
,
yy
,
zz
,

xz
,
yz
,
zx
,là các thành phần ứng suất biểu diễn trong hệ trục
chính của vật liệu .
Nếu ta áp đặt ứng suất tơng ứng
e
, bằng các ứng suất chảy trong trờng
hợp kéo đơn theo hớng x, thì từ biểu thức trên ta có :
G + H = 1
Ngỡng chảy dẻo của vật liệu đẳng hớng (Von mises) có thể đợc nhận từ
tiêu chuẩn Hill nếu cho các hằng số vật liệu các giá trị sau:
F = G = H =1/2
L = M = N =3/2
Năm 1979 Hill đã đa ra một tiêu chuẩn tổng quát hơn cho vật liệu dị hớng,
biểu diễn trong hệ trục ứng suất chính và hệ trục chính của vật liệu (2)
m
m
yyxxzz
m
xxzzyy
m
zzyyxx
m
yyxx
m
xxzz
m

zzyy
cba
hgf


=++
+++
222
(14)
ở đó f, g, h, a, b, c, là các hệ số, là tham số tỷ lệ và m > 1 để đảm bảo bề
mặt giới hạn là lồi.
(Lu ý rằng điều kiện dẻo dị hớng của Hill không kể đến ảnh hởng của hiệu ứng
Bauschinger: ngỡng dẻo kéo đợc coi bằng ngỡng dẻo nén.)
I.1.4 Tiêu chuẩn Considere
Đối với mẫu thử dạng tấm vùng thắt đợc biểu diễn dới 2 dạng sau :
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
- Vùng thắt khuyếch tán xảy ra kèm theo sự giảm chiều dầy của tấm trên một
vùng tơng đối rộng
- Vùng thắt cục bộ đợc đặc trng bởi sự giảm chiều dày đáng kể của tấm theo
một dải băng nghiêng so với chiều rộng của tấm. Sự phá huỷ cũng phá hủy dọc
theo dải băng này .
Hình I.6 Đồ thị kéo
Theo Considere điều kiện xuất hiên sự mất ổn định là khi lực tác dụng vào mẫu
thử đạt giá trị cực đại. Điều kiện này đợc viết dới dạng nh sau:
df = 0 (1.5)
với F =

s (1.6)

: ứng suất
s : diện tích mặt cắt ngang.
Phơng trình (15) có thể viết dới dạng :
0=+=
s
dsd
F
df


(1.7)
Gọi : V là thể tích của mẫu thử, L là độ dài của mẫu thử. Ta có :
V = L.S (1.8)
Coi vật liệu là không nén đợc ta có thể viết phơng trình dới dạng sau :
S
dS
L
dL
V
dV
+=

0
=
(1.9)
Theo định nghĩa về biến dạng ta có :
1
l

Tính ứng xử của vật liệu trực hớng

d
L
dL
=
(1.20)
Vậy

d
S
dS
=
(1.21)
Từ đó ta có thể viết phơng trình (1.17) dới dạng :
( )
11 =






+



d
d
(1.22)
Biểu diễn phơng trình (1.22) : theo biến dạng qui ớc e đợc định nghĩa bởi :

o
e
e
e

=
. Ta có :
1==
o
L
L
e
(1.23)
Và
( )
e+= 1ln

(1.24)
Từ đó ta có
( )
e
de
df
+
=
1
(1.25)
Biểu thức (1.22) đợc viết dới dạng sau:
11 =

+
e
de


(1.26)
Biểu thức (1.26) đợc biểu diễn trên hình 1.7 với
3

và
3
e
là ứng suất và biến
dạng tơng ứng với khi xuất hiện sự thắt khuyếch tán.
Giả thiết đồ thị kéo nén đúng tâm
( )

f=
tuân theo định luật của Hoffman

n
k

=
Điều kiện mất ổn định có thể viết dới dạng :
1=

n
.
Vậy sự khởi đầu của việc mất ổn định hay còn gọi là sự xuất hiện của khuyếch
tán đợc cho bởi :
n=

Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Hình 1.7 Tiêu chuẩn Considere
I.1.5 Tiêu chuẩn Swift
Những tính toán đầu tiên dự đoán sự xuất hiện co thắt của tấm tôn mỏng đợc
SWIFT đa ra vào năm 1952. Từ ý tởng của Considere về tiêu chuẩn lực cực đại ;
SWIFT đã áp dụng cho tấm tôn mỏng.
Hình 1.8 Mô hình hình học theo tiêu chuẩn Swift

s
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Ông giả thiết tấm tôn chịu lực tác dụng theo hai phơng và coi sự thắt xảy ra khi
các lực F
1
và F
2
đồng thời đạt tới giá trị cực đại, ta có :
elF

elF
222
111


=
=
(1.27)
Với
1

,
2

là ứng suất chính.
Điều kiện lực cực đại :
0
1
1
1
1
1
1
=++=
e
de
l
dld
F
dF

(1.28)
0
2
2
2
2
22
=++=
e
de
l
dld
F
dF


Gọi
1
1
1
l
dl
d =

;
2
2
2

l
dl
d =

;
e
de
d =
3

(1.29)
Coi vật liệu là dẻo không nén đợc, có nghĩa là:
0
321
=++

ddd
Điều kiện lực cực đại (1.28) có thể đợc viết
0
0
2
2
2
1
1
1
=
=

d
d
d
d
(1.30)
Coi tấm tôn chịu tác dụng của lực theo một tỷ lệ có nghĩa
const==



1
2
Khi đó ứng suất tơng đơng theo Von Mises có thể viết dới dạng sau.
( )
2
2
1
2
221
2
1
1

+=+=
(1.31)
Phơng trình chảy dẻo của Levy-Mises :

( )








2
22
21
3
12
2
21
1
d
d
dd
=
+
=

=

(1.32)

d
: số gia biến dạng tơng đơng đợc viết dới dạng:

( )
( )
2
1
2
3
21
12
1122








+
=
+
=

=

d
d
dd
(1.33)
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Số gia của ứng suất tơng đơng ứng với số gia biến dạng tơng đơng đợc biểu diễn

dới dạng sau:
( ) ( )( )
( )
( )
5.0
2
21
12/122

++= ddd
(1.34)
Ta có :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
5.0
2
22
5.0
2
11
12/2
12/2

+=
+=
dd
dd
(1.35)
thay vào (1.24) sau đó biến đổi rồi chia cho

ta đợc :
( ) ( )
( )



d
d
5.0
223
14/4334 ++=
giả thiết đồ thị kéo (nén) theo quy luật Hollomon
n
k

=
(1.36)
Vậy
1
=
n
kn
d

d



(1.37)

( )( )
( )

+= 2/12
5.0
2
1
(1.38)
biến dạng dẻo tơng đơng đợc viết dới dạng:
( ) ( )
4334/14
22
5.0
2
++=

n
(1.39)
Hình 1.7 biểu thị đờng cong giới hạn tìm đợc theo tiêu chuẩn sự thắt khuyếch
tán của Swift. Ngời ta nhận thấy rằng
1
lấy giá trị đặc biệt khi = 1 (dãn đều
cân bằng) = 0 (kéo đơn) = 1/2
1

2

1
2
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Hình 1.7 Đờng cong giới hạn theo tiêu chuẩn Swift
Tiêu chuẩn Swift cũng cho phép xác định đợc biểu đồ ứng suất giới hạn. Thực tế
nếu coi tải trọng tác dụng theo một tỷ lệ ta có:
( )
z




5.0
3
4
1
+

=
(1.40)
hay
( ) ( )
12
2/12

=
(1.41)
Thay (1.36), (1.39) và (1.41) vào (1.31) tính đến biểu thức của đờng cong biến
dạng theo Hollomon ta đợc:
( )
( )
( )( )
( )
nn
n
nk 4334/14
23
2/13
2
1
++=


(1.42)
Đồ thị ứng suất giới hạn đợc xác định theo tiêu chuẩn Swift đợc biểu diễn trên

hình 1.8 nó biểu thị ứng suất tới hạn ứng với sự xuất hiện sự thắt khuyếch tán.
Hình 1.8 Biểu đồ ứng suất tới hạn theo tiêu chuẩn Swift
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
I .2 Lý thuyết chảy dẻo
Lý thuyết chảy dẻo dựa vào hai giả thiết chính sau :
- Bề mặt giới hạn của vật liệu là dạng lồi (dạng Von mises)
- Véc tơ gia số của biến dạng dẻo là vuông góc với bề mặt của vật
liệu
I.2.1 Các phơng trình cơ bản của vật liệu đẳng hớng
Quan hệ ứng suất và biến dạng
d
ij
= d S
ij
(II.5)
ở đó các d
ij
là các thành phần của ten-xơ gia số biến dạng, d là tham số tỷ
lệ. Công thức này thoả mãn tính không nén đợc của biến dạng dẻo :
d
ij
= d S
ij
= 0 (II.6)
Luật chảy dẻo có thể nhận đợc dới dạng đa ra khái niệm thế dẻo đợc
định nghĩa :
2
2/1)(
eij
h

=
(II.7)
Từ biểu thức (II.5) ta có :
d
ij
=
ij
h
d




'
(II.8)
Trong đó d là tham số tỷ lệ. So sánh với phơng trình (15) ta đợc
d=3/2 d (II.9)
Từ (I.2) (II.5) và (II.7) ta có :
e
d
d



2
3
=
(II.10)
ở đó d là biến dạng tơng ứng

2/1
)(
2
3
jiij
ddd

=
Trạng thái ứng suất phẳng
Tham số biểu diễn quỹ đạo biến dạng trong mặt phẳng biến dạng đợc định
nghĩa nh sau:
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
1
2


d
d
f
=
(II.11)
ở đó
1

d
và
2

d
là các gia số biến dạng chính trong mặt phẳng của tấm tôn

cán.
Còn tham số biểu thị quỹ đạo đặt tải :
1
2



=
(II.12)

1
,
2
, là các ứng suất chính.
Nh vậy ứng suất tơng ứng của Von mises có thể viết nh sau:
2
2
2
1
22
121
2
2
2
1
2
)2(
)1(3
)1(
+

++
=+=+=



e
(II.13)
và gia số biến dạng dẻo tơng ứng có thể viết :
2/1
2/12
1
2/12
1
3
)1(2
2
)1(2





++
=

+
=
ddd
(II.14)
Từ các biểu thức trên, quan hệ quỹ đạo biến dạng và quỹ đạo đặt tải là :

=
2
12
hoặc
2
12
+
+
=



(II.15)
Tiêu chuẩn Levy - Mises là
3
)1(2
1122
1
2/12

d
dddd
=
+
=
+
=

=

(II.16)
I. 2.2 Các phơng trình cơ bản của vật liệu dị hớng
Đối với vật liệu dị hớng, ngời ta coi hàm chảy trùng với thế dẻo :
2
2/1)(
eij
h

=
(II.17)
ở đó
e
là đợc cho bởi biểu thức (II.5)
Gia số biến dạng là nhận đợc từ gradient của thế dẻo :
d
ij
=

ij
h
d




'
(II.18)
Từ các biểu thức trên ta có :
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
))()(('
))()(('
))()(('
xxzzyyzzzz
xxzzzzyyyy
yyxxzzxxxx
GFdd
HFdd
HGdd



+=
+=
+=
(II.19)
zxzx
yzyz
xyxy

Mdd
Ldd
Ndd



'
'
'
=
=
=
Tham số tỉ lệ tìm đợc tơng tự nh trờng hợp đẳng hớng:
e
d
d



='
Trạng thái ứng suất phẳng:
Giả sử trong trạng thái ứng suất phẳng ở đây
xx
,
yy
,
zz
là khác không
nh vậy ứng suất tơng ứng sẽ là :
2

22
2
22)()(
xyyyxxyyxxe
NHGFHG

++++=
Nếu hệ trục chính ứng suất và hệ trục chính vật liệu trùng nhau thì quỹ đạo biến
dạng có thể viết :





H
HFH
d
d

+
==
1
)(
1
2
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Ch
Ch

ơng II
ơng II
Đờng cong giới hạn hình thành
II. 1 Khái niệm về đờng cong giới hạn hình thành .
Việc tạo hình bằng biến dạng dẻo đối với vật liệu kim loại ở dạng tấm mỏng
bị giới hạn bởi sự hạn chế của biến dạng khi nó gây ra sự co thắt cục bộ dẫn đến
sự phá huỷ của vật liệu.
Quá trình nghiên cứu khả năng rèn dập của vật liệu có thể nói chính là quá
trình nghiên cứu và sử dụng đờng cong giới hạn hình thành mà ngời đa ra đầu
tiên là KEELER và sau này là GOODWIN đã bổ sung đầy đủ cho nó trong miền
biến dạng ngang âm (Hình II.1)
Hình II.1 Đờng cong giới hạn hình thành của một tấm tôn
(theo Kee.65 và Goo.68)
Đờng cong giới hạn hình thành nêu lên mối quan hệ giữa các độ dãn dài lớn
và nhỏ (
1
, và
2
). Nhờ có đờng cong giới hạn hình thành ta có thể biết trớc đợc
giới hạn biến dạng tối đa của một tấm tôn trớc khi xuất hiện sự co thắt hoặc phá
huỷ. Vị trí của các điểm biểu thị các trạng thái biến dạng so với đờng cong giới
hạn hình thành, cho phép ta đánh giá xem liệu mẫu còn tiếp tục dập đợc nữa hay
gần đến giới hạn xuất hiện sự co thắt.
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Nói tóm lại, đờng cong giới hạn hình thành biểu diễn trạng thái giới hạn của
vật liệu chịu lực trong quá trình rèn dập. Đờng cong giới hạn hình thành đợc
dùng để đánh giá khả năng biến dạng của vật liệu và so sánh với vật liệu khác.
Đờng cong giới hạn hình thành có thể biểu diễn ở hai dạng cơ bản là :
- Đờng cong biến dạng giới hạn
- Đờng cong ứng suất giới hạn.

Các nhà nghiên cứu cho rằng, những hiện tợng co thắt cục bộ xuất hiện
trên những chiều dày khác nhau của vật liệu là không thể chấp nhận đợc là vì lý
do thẩm mỹ hơn là lý do cơ học.
Sự xuất hiện sự co thắt cục bộ đợc coi nh một tiêu chuẩn cơ bản để loại bỏ
những chi tiết khi dập. Một số kết luận về giới hạn khả năng dập đạt đợc bằng
cách xác định bằng thực nghiệm tất cả các biến dạng nằm trong vùng giới hạn
theo hai kiểu : Dãn phẳng đều theo hai trục đối xứng và kéo đơn.
Quỹ đạo biến dạng của vật liệu đợc đặc trng bằng mối quan hệ:
1
2



=
trong trờng hợp vật liệu là đẳng hớng, mối quan hệ đó có
dạng :
)2/()12(

=
ở đây

=
1
/
2
.
Chỉ số 1 dùng để chỉ hớng biến dạng lớn nhất, còn chỉ số 2 chỉ hớng
vuông góc với hớng 1 trong mặt phẳng của tấm.
II. 2 Những yếu tố ảnh hởng tới đờng cong giới hạn hình thành
Trên biểu đồ biến dạng, đờng cong giới hạn hình thành là ranh giới chia các

trạng thái biến dạng ứng với sự thành công và sự phá huỷ của vật liệu khi bị dập.
đờng cong giới hạn hình thành nhận đợc bằng cách tạo ra các phơng thức biến
dạng khác nhau dẫn đến dự phá hỏng hay sự co thắt của nhiều mẫu kim loại
trong khi dập. Nếu tính đến khả năng có thể gây ra biến dạng của vật liệu, vùng
biểu thị các phơng thức biến dạng thờng gặp khi dập bao gồm từ biến dạng kéo
nén đơn trục đến biến dạng kéo dãn đều theo hai phơng của mẫu.
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng
Hình II.2 Các trạng thái biến dạng thờng gặp
của vật liệu khi bi dập
Độ lớn và hình dạng của đờng cong giới hạn hình thành phụ thuộc rất
nhiều thông số. Ví dụ nh : tốc độ biến dạng, quỹ đạo biến dạng, độ dày của tấm,
các thống số cơ tính của vật liệu và quy luật chảy dẻo đợc sử dụng.
Sau đây là sự ảnh hởng của từng nhân tố trên.
II. 2.1 Sự ảnh hởng của tốc độ biến dạng.
Các nhà nghiên cứu cho rằng đờng cong giới hạn hình thành không phụ
thuộc vào tốc độ biến dạng khi chúng nhỏ hơn 11m/phút đối với những vật liệu
thông thờng. ở đây thực ra là những tấm tôn nói chung chịu biến dạng nguội và
sự ảnh hởng của tốc độ biến dạng là không đáng kể.
Ngợc lại, với một số quá trình dập, nh dập nổ, khi tốc độ biến dạng là rất
lớn thì ta thấy rằng gía trị của biến dạng giảm xuống rất nhiều so với dập tốc độ
thấp.
II. 2.2 Sự ảnh hởng của quỹ đạo biến dạng và của biến dạng trớc
Nhiều kết quả nghiên cứu đã chứng minh ảnh hởng rõ rệt của quỹ đạo
biến dạng và của biến dạng trớc đến đờng cong giới hạn hình thành.
a. ảnh hởng của quỹ đạo biến dạng phức tạp gấp khúc .
Những biến dạng này đợc tạo thành theo 2 giai đoạn ( 2 đoạn thẳng liên
tiếp) : Một đoạn nằm trong vùng thắt (nén đơn, kéo), đoạn còn lại nằm trong
vùng dãn (tức nó đợc tạo thành bởi thí nghiệm dập dãn đều theo hai phơng
của mẫu) hoặc đợc sắp xếp theo thứ tự ngợc lại hình II.3 và hình II.4. Ta có
Tính ứng xử của vật liệu trực hớng

thể thấy rằng những kết quả này phù hợp với nhau theo quan điểm định tính.
Những quỹ đạo gãy khúc bắt đầu ở vùng dãn sau chuyển sang vùng thắt trở
nên bất lợi cho rèn dập. Ngợc lại khi chúng bắt đầu chuyển từ vùng thắt sang
vùng dãn, (mẫu thí nghiệm bị dãn theo hai phơng) là hoàn toàn thuận lợi cho
rèn dập.
miền dãn
miền thắt
0
Hình II.3: ảnh hởng của các quỹ đạo biến dạng
theo ABDELMASSHI (COR.86)

1

2