dung lượng của đa giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH



VÕ THỊ LƯƠNG



DUNG LƯỢNG CỦA ĐA GIÁC



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC






THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH


VÕ THỊ LƯƠNG

DUNG LƯỢNG CỦA ĐA GIÁC

Ngành : Toán.
Chuyên ngành : Toán giải tích.

Mã số : 60 46 01.


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG


THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011
LỜI MỞ ĐẦU

Nội dung của luận văn là trình bày lại bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic
capacity of polygons” của các tác giả Alexander Yu. Solynin và Victor A. Zalgaller. Bài báo
này chứng minh bài toán được đưa ra bởi Polya và Szego: Dung lượng loga của n-giác đều
là nhỏ nhất trong các dung lượng loga của n-giác với diện tích không đổi. Năm 1951, Polya
và Szego đã sử dụng phép đối xứng Steiner để chứng minh bài toán trong trường hợp
3, 4n =
. Với
5n ≥
, phương pháp này không giải quyết được. Năm 2004, Alexander Yu.
Solynin và Victor A. Zalgaller đã chứng minh được bài toán trong trường hợp tổng quát
3n ≥
qua bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons”. Ý
tưởng chứng minh của bài báo này là quay về phương pháp cổ điển tìm diện tích của một đa
giác: chia một đa giác thành các tam giác và sử dụng tính chất cộng tính của diện tích.
Luận văn được chia thành 2 chương
Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho chương 2, bao gồm các kiến thức về
dung lượng loga, hàm Euler, hàm lõm và mođun rút gọn.
Chương 2: Trình bày chứng minh kết quả của bài báo “An isoperimetric inequality for

logarithmic capacity of polygons”, gồm có:
• Mục 2.1: Giới thiệu bài toán (định lý 2.1).
• Mục 2.2: Mối liên hệ giữa mođun rút gọn của một miền đơn liên
D
chứa
∞
trong
∞

với các mođun rút gọn của các tam giác tạo thành
D
.
• Mục 2.3: Nội dung chính là chứng minh định lý 2.3.5: “nếu một n-giác
D
có bao lồi

D
có số cạnh lớn hơn hoặc bằng 3 thì có ít nhất một hệ các tam giác tỉ lệ phủ
D
”.
• Mục 2.4: Trình bày chứng minh định lý 2.1
• Mục 2.5: Trình bày một số áp dụng định lý 2.1 cho một số trường hợp cụ thể.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã gặp rất nhiều khó khăn, nhưng với sự hướng dẫn tận
tình của TS. Nguyễn Văn Đông đã giúp tôi sáng tỏ nhiều vấn đề. Thầy không chỉ tìm giúp
tôi những tài liệu tham khảo mà còn hướng dẫn chi tiết cách trình bày và chỉnh sửa luận
văn.Tôi vô cùng cám ơn thầy.
Tôi cũng xin cám ơn các thầy cô trong khoa Toán trường ĐH Sư Phạm thành phố Hồ Chí
Minh cũng như phòng sau đại học của trường.
Tôi cảm ơn bố mẹ và những người thân trong gia đình đã tạo điều kiện, động viên, khuyến
khích, giúp tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin cám ơn một số bạn đã giúp tôi rất nhiều

trong suốt khóa học cũng như đã cùng tôi tìm tài liệu.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cám ơn.



MỤC LỤC


LỜI MỞ ĐẦU 2

MỤC LỤC 4
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 5
1.1.Dung lượng 5
1.2.Hàm Euler 12
1.3.Hàm lõm 15
1.4.Mođun rút gọn 19
Chương 2: Dung lượng của đa giác 27
2.1.Giới thiệu bài toán 27
2.2.Mođun rút gọn của miền ngoài đa giác đều 27
2.3.Phủ tam giác của một đa giác 34
2.4.Chứng minh định lý 2.1 49
2.5.Áp dụng: Tính dung lượng của những đa giác đều. 56
KẾT LUẬN 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1.Dung lượng

Chứng minh các kết quả sau có thể xem trong [7].
Đầu tiên ta sẽ nhắc lại khái niệm và một số định lý cơ bản của dung lượng.
Định nghĩa 1.1.1: Dung lượng loga của một tập
E ⊂ 
được xác định bởi:
( )
( )
: sup
I
cE e
µ
µ
=
,
ở đây sup lấy trên mọi độ đo xác suất Borel
µ
trên

với giá của nó là một tập con compact
của E. Đặc biệt nếu K là một tập compact với độ đo cân bằng v, thì
( )
( )
:
I
cK e
ν

=
.
Có rất nhiều dung lượng khác thỏa tính chất này nhưng dung lượng loga có thuận lợi
hơn do nó kết nối gần gũi với giả tích phức nhất. Trong luận văn này ta gọi tắt dung lượng
loga là dung lượng.
Định lí 1.1.2 a) Nếu
12
EE⊂
thì
( ) ( )
12
cE cE≤

b) Nếu
E ⊂ 
thì
( ) ( )
{ }
sup : , compactcE cK K EK= ⊂

c) Nếu
E ⊂ 
thì
( )
( )
c E cE
αβα
+=
với mọi
,

αβ
∈

d) Nếu K là một tập con compact của

thì
( ) ( )
e
cK c K= ∂
.
Ta có dung lượng là một hàm tập hợp đơn điệu.
Định lí 1.1.3 a) Nếu
123
KKK⊃⊃⊃
là các tập con compact của

và
n
n
KK=

thì:

( ) ( )
lim
n
n
cK cK
→∞
=

b) Nếu
123
BBB⊂⊂⊂
là các tập con Borel của

và
n
n
BB=

thì:

( ) ( )
lim
n
n
cB cB
→∞
=

Dung lượng không là hàm tập hợp cộng tính như độ đo. Tuy nhiên ta có mối liên hệ
giữa dung lượng và hợp các tập hợp như sau.
Định lí 1.1.4 Cho
( )
n
B
là một dãy các tập con Borel của

, lấy

n
n
BB=

và
0d >
.
a) Nếu
( )
diam B d≤
thì khi đó
( )
cB d≤
và
( )
11
log
log
()
n
n
d
d
cB
cB
≤
  
  



∑

b) Nếu
( )
,
jk
dist B B d≥
với
jk≠
thì

( )
11
log
log
()
n
n
d
d
cB
cB
+
+
≥
  
  


∑

.
Mặc dù định nghĩa
1.1.1
là tốt trong việc đưa ra nhiều tính chất lý thuyết của dung
lượng nhưng nó chưa thực sự đáp ứng cho việc tính dung lượng các tập đặc biệt. Ngay cả
các trường hợp đơn giản nhất, như một đĩa, việc tính toán cũng cần đòi hỏi phải làm việc cật
lực và hầu hết các tập hợp khác hầu như không thể. Tuy nhiên việc tính toán dung lượng các
tập compact có phần đơn giản hơn vì nó dựa vào mối liên hệ giữa dung lượng và các hàm
Green.
Định lí 1.1.5 Cho K là một tập compact không là tập cực và D là thành phần của
\ K
∞


mà chứa
∞
. Khi đó:
( ) ( ) ( )
, log log 1
D
g z z cK o∞= − +
khi
z →∞

Hệ quả 1.1.6 Nếu
ω
∈
và
0r >
thì

( )
( )
,cB r r
ω
=
.
Định lí 1.1.7 Cho
12
,KK
là những tập compact của

và
12
,DD
lần lượt là thành phần
chứa
∞
của
12
\, \KK
∞∞

. Nếu
12
:fD D→
là một hàm phân hình thỏa:
( ) ( )
1fz z
ο
= +

khi
z →∞

Khi đó:
( ) ( )
21
cK cK≤
,đẳng thức xảy ra khi f là ánh xạ bảo giác của
1
D
lên
2
D
.
Hệ quả 1.1.8 Nếu
ab≤
thì
[ ]
( )
,
4
ba
c ab
−
=
.
Định lí 1.1.9 Cho K là một tập compact và
( )
0
d

j
j
j
q z az
=
=
∑
ở đây
0
d
a ≠
.
Khi đó:
( )
( )
( )
1/
1
d
d
cK
cq K
a
−

=



.

Hệ quả 1.1.10 Nếu
0 ab≤≤
thì
[ ] [ ]
( )
22
, , /2c b a ab b a−− = −
.
Định lí 1.1.11 Cho K là tập con compact của

và
:TK→ 
là ánh xạ thỏa mãn:

( ) ( ) ( )
,T z T Az z K
α
ω ωω
− ≤− ∈

ở đây A và
α
là các hằng số dương. Khi đó:
( )
( )
( )
c T K Ac K
α
≤
.

Định lí 1.1.12 Cho K là một tập compact của

.
(a) Nếu K liên thông và có đường kính là d thì:
( )
/4
cK d≥

(b) Nếu K là một đường cong khả trường có độ dài
l
thì:
( )
/4cK l≤

(c) Nếu K là một tập con của trục thực có độ đo Lelesgue bằng
m
thì:
( )
/4cK m≥

(d) Nếu K là một tập con của đường tròn đơn vị có độ đo cung là
a
, thì:
( ) ( )
sin / 4cK a≥

Định lí 1.1.13 (Định lí một phần tư Koebe)
Nếu f là một đơn ánh chỉnh hình trên
( )
0,1B

với
( )
00f =
và
( )
'0 1f =
, thì:
( )
( )
( )
0,1 0,1/ 4fB B⊃
.
Định lí 1.1.14 Nếu K là một tập con compact của

với đường kính d thì
( )
/2cK d≤

Sau đây ta sẽ trình bày một vài ví dụ về tính dung lượng của các tập compact .
Ví dụ 1 : Tính dung lượng của
K
với K là một elip với bán kính trục a, b.
Ta có thể đặt:
( )
11
, 1.ar br r
rr
=+ =−>

Xét:

( )
: \ 0, \f Br K
∞∞
→


1
zz
z
+

Với
( )
\ 0, 1.
i
z e Br r
θ
ρρ
∞
= ∈ ⇔ >>

( )
11 1 1
os sin
ii
fz z e e c i
z
θθ
ρ ρ θρ θ
ρρ ρ

−
 
=+= + = + + −
 
 

Ta có:
( )
1
tt
t
ϕ
= +
và
( )
1
tt
t
ψ
= −
là các hàm tăng trên
( )
1, +∞
.
Mà
1r
ρ
>>
nên
1 11 1

;rr
rr
ρρ
ρρ
+ >+ − >−
.
Vậy nếu
(
)
\ 0,z Br
∞
∈
thì
( )
\fz K
∞
∈
,

do đó
( )
: \ 0, \f Br K
∞∞
→
là ánh xạ chỉnh hình.
Ta có:
( )
( )
2
11

'
1.fz z f z
zz
=+⇒ =−

( )
'
0fz≠
với

( )
\ 0,z Br
∞
∀∈
.
Vậy
f
là ánh xạ bảo giác và
( ) ( )
1fz z
ο
= +
khi
z →∞
.
Theo định lý trên ta có:
( ) ( )
( )
0, .
2

ab
cK cB r r
+
= = =



Ví dụ 2: Tính dung lượng của tập
( ) ( )
2
1
0, 0,R.e ,
k
n
i
n
k
KB r rR
π
=
∪



=∪<
.
Để tính
( )
cK
ta sẽ đi chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.15: Cho
( )
[ ]
1
0,1 0, , 1KB R R=∪≥
.
Chứng minh rằng
( )
1
2 1/
4
RR
cK
++
=
.
Chứng minh: Đặt
1
1
: \ \ 2,fK R
R
∞∞

→ −+



,
( )
1

z fz z
z
= +
.
Ta chứng minh
f
là ánh xạ bảo giác. Thật vậy:
Xét
( )
[ ]
1
\ 0,1 0,z Kz R
∞
∈ ⇔∉ ∪
:
Nếu
( )
11
,z z R fz z R
zR
+
∈ >⇒ =+>+
nên
( )
1
\ 2,fz R
R
∞

∈ −+




.
Nếu
,
i
z z re
θ
∉=
với
0 2 , 1,r
θ π θπ
<< > ≠
, khi đó:

( )
11 1
os sin .fz z r c ir
zr r
θθ
 
=+= + + −
 
 

Vì
1r >
nên
( )

Imf 0z ≠
suy ra
( )
1
\ 2,fz R
R
∞

∈ −+



.
Nếu
z
−
∈
thì
1z <−
.
Ta có:

( )
1
fz z
z
= +
nên
( )
2

1
'1fz
z
= −
.
Bảng biến thiên:

Do đó
( )
11
2 2,fz z R
zR

= + <− ∉ − +


,
suy ra
( )
1
\ 2,fz R
R
∞

∈ −+



.
Nên

1
1
: \ \ 2,fK R
R
∞∞

→ −+



là ánh xạ chỉnh hình.
Lại có:
( )
'
0fz≠
với

( )
[ ]
\ 0,1 0,
zB R
∞
∀∈ ∪
.
Nên
1
1
: \ \ 2,fK R
R
∞∞


→ −+



là ánh xạ bảo giác,

( ) ( )
1fz z
ο
= +
khi
.z →∞


Theo định lý 1.1.7 và hệ quả 1.1.8, ta có:

( )
1
1
2
1
2,
4
R
R
cK c R
R
++



=−+ =




.
Trở lại bài toán tìm
( )
cK
với
( ) ( )
2
1
0, 0,R.e ,
k
n
i
n
k
KB r rR
π
=
∪

=∪<


.
Sử dụng phép vị tự tâm O, tỉ số

1
k
r
=
, đưa
K
về

( )
( )
22
0 11
11
R
0,1 0, .e 0,1 0, .
kk
nn
ii
nn
kk
R
K B B Re R
rr
ππ
= =
∪∪
  

=∪=∪ =
  



  
.
Xét
( )
n
qz z=
,
( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
11
11
12
1
0,1 0,
0,1 0,
0,1 0,
k
n
i
nn
k

qK qB R
qB q R
B Re
π
−−
−−
=
∪
∪
∪=
=

= ∪



Với
1
11
n
n
R R RR= ⇒=
, nên:

( )
( ) ( )
( )
1
2
01

1
0,1 0, .
k
n
i
n
n
k
cK cB Re cK
π
=
∪


=∪=





(Định lý 1.2.1.5)
Do bổ đề 1.1.15, ta có

( )
( ) ( )
1
1
1
1
1

0
1
0
1
1
2
2
2
44 4
2
.
4
nn
n
n
n
n
n
nn
n
Rr
R
R
R
rR
R
cK
Rr
rR
cK rcK r



 

++
++

++
 


 


= = =










 
++

 
 


⇒= =





Ví dụ 3: Tính dung lượng của
{ }
0
: .
d
d
K z az a r= ++ ≤

Gọi
D
là thành phần của
\ K
∞

và chứa
∞
.
Đặt:
( )
1/
0

, log

d
d
d
az a
gz
r

++

∞=


.
Vì
( )
1/
0

d
d
d
az a
qz
r

++

=



là hàm chỉnh hình,
( )
0qz≠
trên miền
D

nên
( )
1/
0

, log
d
d
d
az a
gz
r

++

∞=


là hàm điều hòa trên
{ }
\D ∞
, bị chặn bên ngoài mỗi lân
cận của
∞

.
Khi
z →∞
thì
( ) ( )
1/ 1/
0
, log log log 1
dd
d
dd
a
r
gz z z
aa
ο
  
∞= + + − = +
  
  
  
.

( )
,0gz∞→
khi
z
ζ
→
với

D
ζ
∞
∈∂
gần khắp nơi (vì
K
ζ
∈∂
).
Do đó:
( )
1/
0

, log
d
d
d
az a
gz
r

++

∞=


là hàm Green của
D
.

Mà
( ) ( ) ( )
, log log 1
D
g z z cK
ο
∞= − +
nên

( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1/
0
1/ 1/
0
1/ 1/

log log log 1
log log log log 1
log log
d
d
d
dd
d
dd
dd
dd

az a
z cK
r
a
r
z z cK
aa
rr
cK cK
aa
ο
ο

++

=−+


  
++ − = − +
  
  
  
 
⇒ = ⇔=
 
 
 
Vậy
( )

1/d
d
r
cK
a

=



.


1.2.Hàm Euler

Chứng minh các kết quả này có thể xem trong [6].
1.2.1 Hàm Euler Gamma
Định nghĩa 1.2.1.1 Hàm Euler Gamma được xác định bởi công thức:
( ) ( )
1
0
:Re 0
zt
z t e dt z z
∞
−−
∞
Γ= ∈ >
∫


.
Tính chất 1.2.1.2 :

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
12
. 1 1, 1 !.
1

2 11
1 1 .
.1 ,
sin
1
. 2 2.
2
n
n
z
i n nn n
z zz
ii z n z z
z zz

z zz z n
iii z z
z
iv z z z
π
π
π
−
Γ =Γ+=Γ =
Γ+=Γ


⇒Γ + = Γ

Γ+=+Γ+


= + +−
Γ− Γ =

Γ Γ+ = Γ



Cho
F
là hàm xác định bởi
( )
( ) ( )
( )

0
,,, .
!
n
nn
n
n
ab
t
F abct
cn
∞
=
=
∑
,

( ) ( ) ( )
( )
1 1
n
a aa n a= + −+
, ta có các công thức sau:



.v
Công thức Gauss:
Với
( )

Re 0abc+− <
thì
( )
( ) ( )
( ) ( )
, ; ;1 .
c cab
F abc
ca cb
Γ Γ −−
=
Γ−Γ−


.vi
Công thức Kummer:
Nếu
Re 1, 0b ab< −≥
thì

( )
( )
( )
11
2
, ;1 ; 1 .
11
2
a
ab

F ab a b
a
ba

Γ+− Γ +


+−− =

Γ+− Γ+




.vii
Công thức Dougall:
Nếu
,ab
không là những số nguyên và
( ) ( )
1 Re Reab cd+ +< +thì:

( ) (
)
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) (
)
2
1

.
sin
n
an bn cdab
cndn asinbcacbdadb
π
ππ
∞
=−∞
Γ + Γ + Γ + −−−
=
Γ+Γ+ Γ−Γ−Γ−Γ−
∑
.
Ví dụ:
3 53
22 2 4
1 7 15
2 28
ππ
π
π
 
Γ= Γ=
 
 
 
Γ= Γ=
 
 

Với số thực
z
đồ thị của hàm Gamma có dạng như sau


1.2.2 Hàm Euler Beta:
• Hàm Beta của
,pq∈
, ký hiệu
( )
,B pq
, xác định bởi: .

( ) ( ) ( )
1
1
1
0
, 1 Re 0,Re 0
q
p
B p q t t dt p q
−
−
= − >>
∫
.
Vì
( )

( )
( ) ( )( ) ( )
( )
1
0
1
1 , 1 1 2
!
q
n
n
n
n
q
t t q q q nq
n
∞
−
=
−
− = −=− − −
∑
hội tụ đều với
01t≤≤
,
nên khi thế vào tích phân ta có:
( ) ( )
( )
(
)

( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
11
1
11
00
0
1
1
0
0
0
0
1
,1
!
1
!
1
1
.
!
1
1

. 1 , ; 1;1
!1
1
1
1
q
p pn
n
n
pn
n
n
n
n
nn
n
n
q
B p q t t dt t t dt
n
q
t dt
n
q
n pn
qp
F qpp
pn p
p q pq
p pq pq

∞
−
−−
=
∞
+−
=
∞
=
∞
=
−

= −=


−
=
−
=
+
−
= =−+
+
Γ +Γ Γ Γ
= =
Γ+Γ Γ+
∑
∫∫
∑

∫
∑
∑

Với

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 , 1 1 .
nn
q q q nq p p p n p− = − − − = + −+

• Những biểu diễn khác của hàm Beta:

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
21 21
2
2
0
1
0
11
1
0
, 2 sin os sin ,
1,
1
1

.
1
pq
pq
p
pq
pq
B pq c d t
dt
dt
π
θ θθ θ
ξ
ξξξ
ξ
ξξ
ξξ
ξ
ξ
−−
∞
−−
−
−−
+
= =

=+=

+



+
= = +

+

∫
∫
∫

1.2.3
Đạo hàm của hàm Euler Gamma ( ký hiệu:

( )
z
ψ
)
Công thức:
( )
( )
( )
( )
1
'
1 11
'1
2
n
z

z
z nzn
ψ
∞
=
Γ

= =− −Γ + −

Γ+

∑
.
Do đó:
( )
( )
( )
,
2
10
1 11 1
' '1 .
2
nn
z
nzn
zn
ψ
∞∞
= =



= − +Γ + − =


+

+

∑∑


1.2.4
Hằng số Euler ( ký hiệu
γ
)
Ta có:
( )
( )
( )
1'
1
1
γψ
Γ
=−=−
Γ
, theo tính toán thì
0.5772156649
γ

=

Ngoài ra hàm
γ
còn được biểu diễn dưới dạng:

( )
1
11 1
1 11
11
lim 1 .
2
n
n
Log Log Log n Log n
nn n
Log n
n
γ
γ
∞
=
→∞
  
 
= − + + = +−
 
  
 

  

⇒= ++ +−


∑

Khi đó, theo Weierstrass ta có dạng biểu diễn của hàm Gamma:

( )
1
1
1.
z
z
n
n
ez
ze
zn
γ
−
−
∞
=

Γ = ∏+



1.3.Hàm lõm

Đầu tiên ta sẽ nhắc lại một vài khái niệm liên quan tới hàm lõm.
Khái niệm
Cho
n
XR⊂

3.1.1
:,fX R→
là hàm lõm tại
xX∈
nếu với điểm
yX∈

bất kỳ và
[ ]
0,1
λ
∈
thì
( ) ( ) ( ) ( )
11 .
f x y fx fy
λλ λ λ
− + ≥− +



3.1.2
:,fX R→
là hàm lõm trên
X
nếu với hai điểm bất kỳ
[ ]
, , 0,1xy X
λ
∈∈
thì
( ) ( ) ( ) ( )
11 .
f x y fx fy
λλ λ λ
− + ≥− +



3.1.3
f
là lồi tại
xX∈
nếu
f−

lõm tại
xX∈
.

3.1.4

f
là lồi trên
X
nếu
f−

lõm trên
X
.
3.1.5
( )
:,
n
fX RX R→⊂
là hàm lõm ngặt trên
X
nếu
( ) ( ) ( ) ( )
11 ,f x y fx fy
λλ λ λ
− + >− +


với
[ ]
, 0,1xy
λ
≠∈

3.1.6 Với mỗi

z
nằm giữa
x
và
y
, điểm
( )
( )
,zf z
trên đồ thị của
f
nằm trên đường
thẳng nối hai điểm
( )
( )
( )
( )
, ,,xf x yf y
.

Ta sẽ trình bày một số định lý được sử dụng ở chương 2.

Định lí 1.3.7 Một hàm liên tục lõm trên
n
XR⊂

nếu và chỉ nếu


( ) ( )

22
fx fy
xy
f
+
+

≥


,
,.xy X∈

Định lí 1.3.8
f
lõm trên
X
⇔

( ) ( )
() ( )
fy fx
ft fx
tx yx
−
−
≥
−−
, với mọi
,,xty X∈

thỏa
xty≤≤
.
Chứng minh
Với
,xy
bất kỳ trong
X

( )
xy≠
. Vì
xty≤≤
nên tồn tại
[ ]
0,1
tx
yx
λ
−
= ∈
−
thỏa
( )
1t xy
λλ
=−+
.
Ta có:

( ) ( )
() ( )
fy fx
ft fx
tx yx
−
−
≥
−−


( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
11
tx
ft fx fy fx
yx
ft fx fy fx
f x y fx fy fx
f x y fx fy
λ
λλ λ λ

λλ λ λ
−
⇔− ≥ −


−
⇔− ≥ −


⇔ −+≥ + −
⇔ − + ≥− +


f⇔
là hàm lõm trên
X
.


Định lí 1.3.9 Cho
f
là hàm xác định trên tập mở
n
XR⊂
và
f
khả vi bậc hai tại
xX∈
.
Nếu

f
lõm tại
x
thì
( )
''fx
là nửa xác định âm
( )
0≤
với mọi
n
yR∈
.
(
( )
''fx
là đạo hàm bậc hai của
f
tại
x
)
Chứng minh
Có thể xem trong [3].
Định lí 1.3.10: (Bất đẳng thức Jensen) Cho
f
là hàm lõm trên
X
, với
[ ]
0,1

i
λ
∈
thỏa
1
1
n
i
i
λ
=
=
∑
và
12
, , ,
n
xx x X∈
thì

( )
11
nn
ii i i
ii
f x fx
λλ
= =

≥



∑∑
.
( )
1.3.10.1

Chứng minh
Xét
2n =
, ta có
12
1
λλ
+=
nên

( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 22 2 1 22
*
2 1 22 11 22
1
1
fxxf xx
fx fx fx fx
λλ λ λ
λ λ λλ
+=−+



≥− + = +

( bất đẳng thức (*) xảy ra do
f
là hàm lõm)
Suy ra
( )
1.3.10.1
đúng.
Giả sử
( )
1.3.10.1
đúng tới
nk=
nghĩa là
( )
11
kk
ii i i
ii
f x fx
λλ
= =

≥


∑∑

.
Ta sẽ chứng minh
( )
1.3.10.1
đúng với
1nk= +
.
Ta có:

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
11
11
11 1
1
1
11 1
1
1
1
1
1
1
kk
ii k k ii
ii
k

i
kk k i
i
k
k
i
kk k i
i
k
fx fx fx
fx fx
fx f x
λλ λ
λ
λλ
λ
λ
λλ
λ
+
++
= =
++ +
=
+
++ +
=
+
= +
= +−

−

≤ +−

−

∑∑
∑
∑


( )
11 1
1
1
1
11
11
1
1
k
i
kk k i
i
k
kk
k k ii ii
ii
fx x
f x xf x

λ
λλ
λ
λλ λ
++ +
=
+
+
++
= =

≤ +−

−

  
≤ +=
  
  
∑
∑∑

Suy ra
( )
1.3.10.1
đúng.


Trường hợp
12

1

n
n
λλ λ
= = = =
,
{ }
( )
1, ,
i
xi n∈ bất kỳ trong
X
thì

( ) ( ) ( )
( )
1
11
1
1
11
1.3.10.1
n
i
nn
i
ii
ii
n

i
n
i
i
i
x
f fx fx
nnn
x
nf f x
n
=
= =
=
=



⇔≥ =






⇔≥



∑

∑∑
∑
∑

Trường hợp
12
1

n
n
λλ λ
= = = =
,
1
1
n
i
i
x
=
=
∑
thì

( ) ( )
1
1
1.3.10.2 .
n
i

i
nf f x
n
=

≥


∑














1.4.Mođun rút gọn

Mođun rút gọn đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh kết quả bài báo “An
isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons”. Tuy nhiên trước khi nói về
mođun rút gọn, ta sẽ trình bày khái niệm và các tính chất mođun của họ đường cong.
Trước hết ta đưa ra khái niệm mođun của họ đường cong
{ }

γ
Γ=

trong
∞

.
Định nghĩa 1.4.1: Cho họ đếm được các đường cong khả trường địa phương
{ }
γ
Γ= trong
∞

,
( )
z
ρ
là hàm đo được không âm trên
∞

.
Gọi
L
P
là tập những metric bất biến bảo giác
( )
z dz
ρ
xác định trên
∞


thỏa:

( )
( ) ( )
( )
2
1.4.1). 1 , , ;
1.4.2).
L
z dz P
A z dxdy z x iy
γ
ρ ργ
ρρ
≥ ∀ ∈ ∈Γ
= <∞ = +
∫
∫∫


Các metric
( )
L
z dz P
ρ
∈
này được gọi là chấp nhận được đối với
Γ
.

Nếu
L
P ≠∅
thì mođun của họ đường cong
Γ
, ký hiệu
( )
mod Γ
, là đại lượng:

( ) ( ) ( )
mod inf , .
L
A z dz P
ρρ
Γ= ∈

Nếu tồn tại một metric
( )
*
L
z dz P
ρ
∈
sao cho
( )
( )
*
mod A
ρ

Γ=
thì metric này được gọi là
metric cực đại.
Giả sử
12
, , ,
n
ΓΓ Γ
là họ các đường cong trong
∞

. Ta ký hiệu
1
n
i
i=
Γ
∑
họ tất cả các
đường cong
{ }
γ
, mà mỗi đường cong này đều chứa những thành phần
( )
1, , , .
i ii
in
γγ
= ∈Γ

Định lý 1.4.2: Cho họ đường cong
( )
,
i ii
DD
∞
Γ⊂ ⊂
,
ij
DD∩=∅
với
,
i
i jD≠
là các
miền.
Nếu
0
i
α
≥
và
1
1
n
i
i
α
=
=

∑
, thì
( )
2
11
mod mod
nn
iii
ii
α
= =

Γ≤ Γ


∑∑

( )
1.4.3

Nếu
( )
*
L
z dz P
ρ
∈
là metric cực đại đối với
, 1, ,
i

inΓ=
thì đẳng thức trong
( )
1.4.3
xảy ra
khi và chỉ khi metric
( )
( )
**
1
n
ii
i
z dz z dz
ρ αρ
=
=
∑
là metric cực đại đối với
1
n
i
i=
Γ= Γ
∑
.
Chứng minh:
Giả sử metric
( )
i

z dz
ρ
là chấp nhận được đối với họ đường cong
i
Γ
. Không giảm tính
tổng quát, giả sử
( )
i
z
ρ
xác định trên
i
D
. Khi đó metric

( ) ( )
*
1
n
ii
i
z dz z dz
ρ αρ
=
=
∑
là chấp
nhận được đối với
.Γ

Thật vậy nếu
1
n
i
i
γ
=
∈Γ= Γ
∑
thì
1
n
i
i
γγ
=
=
∑
với
.
ii
γ
∈Γ

Ta có:

( ) ( )
1
1

i
n
ii
i
z dz z dz
γγ
ρ αρ
=
= ≥
∑
∫∫
, và
( )

( ) ( ) ( ) ( )
2
22 2 2
11
mod 1.4.4
ii
nn
ii i i
ii
DD
z dxdy z dxdy z dxdy
ρ αρ α ρ
∞
= =
Γ ≤ = = <∞
∑∑

∫∫ ∫∫ ∫∫

.
Lấy infimum hai vế, ta được
( ) ( )
2
1
mod mod
n
ii
i
α
=
Γ≤ Γ
∑
.
Đẳng thức xảy ra trong
( )
1.4.3
được suy ra từ
( )
1.4.4
khi ta thay metric

( )
z dz
ρ
bằng
metric
( )

*
z dz
ρ
.


Sau khi đã có khái niệm về mođun của họ đường cong, ta sẽ đi vào phần quan trọng của
mục
1.4
này.

Cho
E
là tập compact của

, gọi
( )
EΩ
là thành phần liên thông chứa
∞
của
\ E
∞

. Nếu
E
là tập compact liên thông thì
( )
EΩ
là miền đơn liên chứa

∞
.





Định nghĩa 1.4.3
Giả sử
{ }
:
R
C zz R= =
. Với
0R >
đủ lớn,
( )
R
EΩ
là miền hai liên nằm giữa
E
và
R
C
. Ta gọi
mođun của
( )
R
EΩ
là mođun của họ đường cong tách các thành phần biên của

( )
R
EΩ
, ký
hiệu là
( )
( )
mod
R
EΩ
. Khi đó có một giới hạn hữu hạn


( )
( )
( )
( )
1
, lim mod log
2
R
R
mE E R
π
→∞

Ω ∞= Ω −



gọi là mođun rút gọn của
( )
R
EΩ
tại
z = ∞
.

Giả sử
( )
012
,,D Da aa=
là một hình ba cạnh với các đỉnh
012
,,aaa
,
D
∞
⊂ 
là miền đơn liên,
D
có một đỉnh
0
a ≡∞
.
Đặt:
{ }
:
R
U zz R= <

,

RR
D DU= ∩
,
RR
l DC= ∩
,
Ở đây
R
l
chỉ chứa một thành phần liên thông khi
0R >
đủ lớn,
R
D
là một tứ giác với
12
aa
và
R
l
là
hai cạnh không có điểm chung. Gọi
( )
mod
R
D
:
mođun của

R
D
với họ đường cong tách cạnh
12
aa

ra khỏi
R
l
trong
R
D
. Giả sử
( )
02
ϕ ϕπ
<<
là góc
trong tại đỉnh
0
a ≡∞
của
D
.
Giới hạn

( ) ( ) ( )
( )
12
; | , lim mod 1/ log

R
R
mD aa D R
ϕ
→∞
∞= −

được gọi là mođun rút gọn của
D
tại
∞
.
(Giới hạn trên tồn tại và hữu hạn . Một điều kiện đủ để giới hạn trên tồn tại được chứng
minh trong [10]).
Ví dụ: Xét
( )
{ }
, : ,0 argD P P zz z
ρα ρ α
== = >< <
có đỉnh
012
,,aaa
tương ứng lần lượt là
,,
i
e
α
ρρ
∞

.
Gọi
{ }
:
R
D D zz R
=∩=
,
{ }
{ }
, :,
R
D zz r r R
γγ ρ
∞
Γ= ⊂ = ∩ = < <
.
Ta thấy metric
1
dz
z
α
là chấp nhận được. Thật vậy, đặt
( )
( )
0,
i
z re
ϕ
ϕα

= ∈
ta có với đường
cong khả trường tách các biên
γ
thì

2 22
11 1
1dz dr r d d
zr
γγ γ
ϕϕ
αα α
= +≥ ≥
∫∫ ∫
,
Ngoài ra
22 2
1 11 1
log .
R
R
rdrd dr d
rr
γ
ρ
ϕϕ
α α αρ
∞
= =

∫∫ ∫ ∫


Cho

( )
z dz
ρ
là metric bất kỳ chấp nhận được đối với
Γ
. Đặt
( )
( )
0,
i
z re
ϕ
ϕα
= ∈

Ta có:

( )

( )

( )
1
1.
zdz zrd zd

r
γγ γ
ρ ρ ϕ ρϕ
= ≥⇒ ≥
∫∫ ∫
Do đó:



1 1 11 1
log .
RR
R
drd dr d dr
r
γ
ρρ
ρ ϕ ρϕ
α α α αρ
∞
= ≥=
∫∫ ∫ ∫ ∫


Lại có:

 
2
2
2

1 21
0 rdrd rdrd drd drd
rr
ρ ϕ ρ ϕ ρϕ ϕ
α αα
∞ ∞ ∞∞

≤− = − +


∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
  







2
2
2
2
2
2
0
2
21
2 11
log

21
log log
1
log
R
drd drd rdrd
r
R
d dr rdrd
r
RR
d rdrd
R
rdrd
γρ
α
ρϕ ϕ ρ ϕ
αα
ϕ ρϕ
α ρα
ϕ ρϕ
α ρα ρ
ρϕ
αρ
∞∞ ∞
∞
∞
∞
⇒− ≤
⇒− ≤

⇒− ≤
⇒≤
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫ ∫ ∫∫
∫ ∫∫
∫∫
 




Do đó
( ) ( )
1 11
mod mod log log log .
R
R
DR
ρ
α ρα α
= Γ= = −


( ) ( )
12
1
; | , lim mod log
111
lim log log log
1

log .
R
R
R
mD aa D R
RR
α
ρ
ααα
ρ
α
→∞
→∞

∞= −



= −−


= − 

Tính tương tự ta có
( )
14
; | 0, logmH
ρ
πρ
∞=

với
{ }
: Im 0Hz z= >
có các đỉnh là
,0,
ρ
∞
.
Sự thay đổi của các mođun rút gọn qua các ánh xạ bảo giác được thể hiện qua các kết quả
sau.

Định lý 1.4.4 Cho
k
e
lần lượt là các đỉnh của tam giác
D
,
ϕ
góc trong của
D

tại đỉnh
0
e ≡∞
. Nếu
( ) ( )
:,
f
fD D fDz fz
ς

→= =

là đồng cấu bảo giác,
( )
, 0, 1, 2
kk
fe k
ς
= =
và
nếu trong lân cận
0
1
,\
R
Be C
R
∞

= ⊂



,(
R
đủ lớn) ta có:

( ) ( ) ( )
( )
00

11f z az e
α
ςο
=+− +

với
( )
10
ο
→
khi
0
ze→
,
0
α
>

thì

( ) ( )
0 12 0 12
1
; | , ; | , logmD mDe ee a
ς ςς
ϕα
= −
.
Chứng minh:
Qua ánh xạ

f
, góc trong
ϕ
tại đỉnh
0
e ≡∞
có ảnh là
αϕ
tại đỉnh
0
ς
≡∞
.
Lấy
zB∈
,
( ) ( ) ( )
( )
0 10
11f z az e
α
ςο
=+− +


( ) ( )
( )
( )
( )
0 10

0
11
1
11
az e
a
R
α
α
ςς ο
ςς ο
⇔− = − +
⇔− = +

0
11 1
0: 1 1
aa
RR R R R
αα
δ δ ςς δ
 
  
∃ > − ≤− ≤ +
  
 
  
 
,
trong đó,

1
0
R
δ

→


khi
R →∞
.
Do đó:
( )
( )
( )
( )
11
11
mod mod mod 1.4.5
RR
f Rf
aa
RR
D DD
αα
δδ
 
 
+−
 

 
 
 
 
 
≤≤
 
 
 

Thêm
2
11
log 1aR
R
α
δ
αϕ


−−




vào
( )
1.4.5
, ta được
( )

( )
22
1
1
1111
mod log 1 mod log 1
R
fR
a
R
D aR D aR
RR
α
αα
δ
δδ
αϕ αϕ


+






 
 
−−≤−−
 

 

 
 




( )
2
1
1
11
mod log 1
R
f
a
R
D aR
R
α
α
δ
δ
αϕ


−









≤ −−








Ta có :
( ) ( )
22
1 1 11 1
mod log 1 mod log log 1
RR
DaR DaR
RR
α
δδ
αϕ αϕ ϕ
 
 
− −= − − −
 

 
 
 


( )
12
1
: | , log khimD ee a R
αϕ
= ∞ − →∞

Và khi
R →∞
,
( ) ( )
2
12
1
1
11
; | , mod log 1
R
ff
a
R
m D D aR
R
α
α

δ
ςς δ
αϕ


+








∞= − −









( ) ( )
2
12
1
1
11

; | , mod log 1
R
ff
a
R
m D D aR
R
α
α
δ
ςς δ
αϕ


−








∞= − −









Dẫn đến:
( )
( )
12 12
1
;|, ;|, log.
f
mD mD ee a
ςς
αϕ
∞ =∞− 

Nhận xét: Áp dụng định lý 1.4.4, nếu
:fH D→
là ánh xạ bảo giác thỏa:

( ) ( )
( )
( )
1 1 , 0, 0, 1 0fA A
α
ςς οα ο
= + >≠ →
khi
ς
→∞
,

( ) ( ) ( )
1 2.
,0 ,1f f af a∞=∞ = =

thì:
( ) (
)
12
1
;|, ;|0,1 log
mD aa mH A
απ
∞ = ∞−


11
log 4 log .A
π απ
= −

Mối liên hệ giữa mođun rút gọn và dung lượng được thể hiện qua kết quả sau.
Định lý 1.4.5 Cho
E

là một tập compact,
( )
EΩ
là miền đơn liên với
( )
\EE

∞
∞∈Ω ⊂
.
Khi đó