Tài liệu Ôn tập Cơ học lượng tử ppt

1

ÔN TẬP CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
§1. Hàm sóng
a.Tiên ñề : Trạng thái của hạt vi mô ñược mô tả bằng một hàm
( , )r t
Ψ

nói chung là phức ñược gọi
là hàm sóng.
b. Ý nghĩa Vật lý : ðại lượng
2
| ( , ) |r t dVΨ

cho ta xác suất tìm thấy hạt trong yếu tố thể tích
dV
bao
quanh ñiểm
r

vào thời ñiểm
t
.
ðại lượng :
2
( , ) | ( , ) |r t r tρ = Ψ
 
ñược gọi là mật ñộ xác suất.
c. ðiều kiện chuẩn hoá : Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích
V

hữu hạn bằng
2
( , ) | ( , ) |
V
P V t r t dV= Ψ
∫

. Nếu miền lấy tích phân mở rộng ra toàn không gian
( )V
→ ∞
thì giá trị của
tích phân tương ứng sẽ là xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian và phải bằng 1 (biến cố chắc
chắn). Do ñó :
2
| ( , ) | 1r t dV
∞
Ψ =
∫

(ñiều kiện chuẩn hoá).
d. Nguyên lý chồng chất. Nếu hệ ở trong các trạng thái ñược mô tả bởi các hàm sóng
1
Ψ
và
2
Ψ
thì
hệ cũng có thể ở trong trạng thái mô tả bởi hàm sóng
1 1 2 2 1 2
( , : )c c c c constΨ + Ψ

.
Hệ quả : Các phương trình mà hàm sóng thoả mãn phải là các phương trình tuyến tính.
§2. Toán tử.
a. ðịnh nghĩa : Toán tử là một phép toán khi tác dụng lên một hàm nào ñó trong không gian hàm ñã
cho sẽ cho ta một hàm khác cũng thuộc không gian hàm ñó.
b. Các phép toán trên toán tử : + Tổng :
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( )A B A B
+ ψ = ψ+ ψ
.
+ Tích :
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( )AB A B
ψ = ψ
. Nói chung
ˆ ˆ
ˆ ˆ
AB BA
≠
. ðại lượng
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,A B AB BA
 
= −
 
ñược gọi là giao hoán tử
của

ˆ
A
và
ˆ
B
.
c. Phương trình trị riêng của toán tử : Nếu
ˆ
( ) ( )F q f q
ψ = ψ
(1)
( : )f const
thì
( )q
ψ
ñược gọi là
hàm riêng của toán tử
ˆ
F
ứng với trị riêng
f
còn (1) là phương trình trị riêng của
ˆ
F
.
d. Toán tử tuyến tính. Toán tử
ˆ
F
ñược gọi là toán tử tuyến tính nếu :
1 1 2 2 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ
( )
F c c c F c F
ψ + ψ = ψ + ψ
(
1 2
( , : )
c c const
hay tổng quát
ˆ ˆ

( : )
n n n n n
n n
F c c F c const
 


ψ = ψ



 

 
∑ ∑

e. Toán tử hermite ( toán tử tự liên hợp).
+ Toán tử liên hợp phức : Toán tử liên hợp phức với toán tử
ˆ

F
, ký hiệu
*
ˆ
F
là một toán tử,
sao cho : nếu
ˆ
F
ψ = ϕ
thì
* * *
ˆ
F
ψ = ϕ
, do ñó :
* * *
ˆ ˆ
( )F F
ψ = ψ
.
+ Toán tử chuyển vị : Toán tử chuyển vị của toán tử
ˆ
F
, ký hiệu
ˆ
F
ɶ
là một toán tử sao cho :
1 2 2 1

ˆ ˆ
F dq F dq
ɶ
ψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
. Khi ñó, ta có :

ˆ ˆ
ˆ ˆ
AB BA
=
ɶ
ɶ

+ Toán tử liên hợp hermite với toán tử
ˆ
F
, ký hiệu
ˆ
F
+
là một toán tử, sao cho :
* * *
1 2 2 1
ˆ ˆ
F dq F dq
+
ψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
, như thế ta có thể viết một cách hình thức :

*
ˆ ˆ
F F
+
=
ɶ

+ Toán tử hermite (toán tử tự liên hợp) : Toán tử
ˆ
F
ñược gọi là toán tử hermite hay toán tử tự
liên hợp nếu thoả mãn hệ thức :
* * *
1 2 2 1
ˆ ˆ
F dq F dqψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
, khi ñó ta có thể viết
ˆ ˆ
F F
+
=

f. Các tính chất của toán tử hermite.


 Trị riêng của toán tử hermite là thực .
Chứng minh : Giả sử
n
f

là trị riêng của toán tử hermite
ˆ
F
ứng với hàm riêng
n
ψ
. Khi ñó ta
có :
* *
ˆ ˆ
(1)
n n n n n n n n
F f F dq f dqψ = ψ ⇒ ψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
. Lấy liên hợp phức hai vế biểu thức (1) ta ñược

2

* * * *
ˆ

(2)
n n n n n
F dq f dqψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
. Do
ˆ
F
là toán tử hermite nên
* * *

ˆ ˆ

(3)
n n n n
F dq F dqψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
Từ
(1),(2) và (3) suy ra :
* * * *

n m n n m n n n
f dq f dq f fψ ψ = ψ ψ ⇒ =
∫ ∫
,hay
n
f
là thực .


 Các hàm riêng của toán tử hermite là trực giao với nhau.
Chứng mính : Giả sử
n
ψ
và
m
ψ
là các hàm riêng của toán tử hàm riêng
ˆ
F
ứng với các trụ

riêng
n
f
và
m
f
. Khi ñó ta có :
ˆ
n n n
F f
ψ = ψ
(1) và
* * *
ˆ
m m m
F f
ψ = ψ
(2) ( do
m
f
là thực) .
Từ (1) suy ra
* *
ˆ
m n n n n
F dq f dqψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
(3) . Từ (2) suy ra
* * *
ˆ

n m m m n
F dq f dqψ ψ = ψ ψ
∫ ∫

(4). Vì
ˆ
F
là toán tử hermite nên
* * *
ˆ ˆ
m n n m
F dq F dq
ψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
(5). Từ (3),(4) và (5) ta tìm ñược :
* * * * *
( ) 0 0
n m n m m n n m m n m n
f dq f dq f f dq dqψ ψ = ψ ψ ⇒ − ψ ψ = ⇒ ψ ψ =
∫ ∫ ∫ ∫
(6) khi
n m
f f≠

Nếu các hàm riêng
n
ψ
chuẩn hoá thì
*
1

n n
dqψ ψ =
∫
(7). Các hệ thức (6) và (7) có thể viết
chung lại dưới dạng
*
m n nm
dqψ ψ = δ
∫
(ñiều kiện trực chuẩn)


 Các hàm riêng của toán tử hermite tạo thành một hệ ñủ.
Giả sử
{
}
( )
n
q
ψ
là hệ hàm riêng của một toán tử hermite nào ñó, khi ñó mọi hàm
( )q
ψ
bất kỳ
ñều có thể khaii triển thành chuỗi theo các hàm
( )
n
q
ψ
:

( ) ( )
n n
n
q c q
ψ = ψ
∑
, trong ñó các hệ số
n
c

ñược xác ñịnh bởi công thức
*
( ) ( )
n n
c q q dq= ψ ψ
∫
.
Tiên ñề : Trong cơ học lượng tử mỗi ñại lượng vật lý ñược ñặt ñối ứng với một toán tử tuyến tính tự
liên hợp sao cho khi ño ñại lượng vật lý ta nhận ñược các giá trị là các giá trị riêng của toán tử ứng
với nó.
g. Một số toán tử của cơ học lượng tử.
+ Toán tử toạ ñộ :
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
, ,r r x x y y z z
 
= ⇔ = = =

+ Toán tử xung lượng :

ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,
x y z
p i p i p i p i
x y z

ℏ ℏ ℏ ℏ
∂ ∂ ∂
= − ∇ ⇔ =− = − = −
∂ ∂ ∂

+ Toán tử moment xung lượng :
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
( ) ( , , )
x y z
L r p i r L L L

  
ℏ
= × =− ×∇ = , trong ñó :
ˆ
ˆ ˆ
x z y
L yp zp i y z
z y
ℏ
 

∂ ∂


= − =− −






∂ ∂
 
,
ˆ
ˆ ˆ
y x z
L zp xp i z x
x z
ℏ
 
∂ ∂


= − =− −




 
∂ ∂

,
ˆ
ˆ ˆ
z y x
L xp yp i x y
y x
ℏ
 
∂ ∂


= − =− −






∂ ∂
 

+ Toán tử Hamilton :
2 2
ˆ
ˆ
( ) ( )
2 2
p
H V r V r
m m


ℏ
 
= + =− ∆+

3. Giá trị trung bình của các ñại lượng vật lý : Giá trị trung bình của ñại lượng vật lý
F
trong
trạng thái ñược mô tả bởi hàm sóng
ψ
ñược xác ñịnh bởi công thức :
*
ˆ
( ) ( )F q F q dq= ψ ψ
∫
( khi
ψ
chuẩn hoá) hoặc
*
*
ˆ
( ) ( )
( ) ( )
q F q dq
F
q q dq
ψ ψ
=
ψ ψ
∫

∫
( khi
ψ
chưa chuẩn hoá)
4. ðiều kiện ñể 2 ñại lượng vật lý nhận giá trị xác ñịnh ñồng thời.
Xét ñại lượng vật lý
ˆ
F
, giả sử khi ño
F
ta nhận ñược trị riêng
n
f
. Khi ñó hệ phải ở trong
trạng thái mô tả bởi hàm sóng
k
ψ
là hàm riêng của toán tử
ˆ
F
:
ˆ
n n n
F f
ψ = ψ
.

3

Giả sử

G
là một ñại lượng vật lý nào ñó của hệ, nếu trong trạng thái
n
ψ
ta ño
G
và nhận
ñược giá trị
n
g
thì hàm
n
ψ
cũng phải là hàm riêng của toán tử
ˆ
G
:
ˆ
n n n
G g
ψ = ψ
. ðiều này có nghĩa
là các toán tử
ˆ
F
và
ˆ
G
có chung hàm riêng . Do ñó ta có thể nói : ñiều kiện ñể hai ñại lượng vật lý ño
ñược chính xác ñồng thời là các toán tử tương ứng với chúng có hàm riêng chung.

ðịnh lý : ðiều kiện cần và ñủ ñể hai toán tử tuyến tính
ˆ
F
và
ˆ
G
có hàm riêng chung là chúng giao
hoán với nhau.
Chứng minh : + ðiều kiện cần : Giả sử
ˆ
ˆ
,F G
có chung hàm riêng , cần chứng minh
ˆ
ˆ
,F G
giao hoán
với nhau. Giả sử
n
ψ
là hàm riêng chung của
ˆ
ˆ
,F G
, tức là :
ˆ
ˆ
,
n n n n n n
F f G g

ψ = ψ ψ = ψ
. Khi ñó ta có :
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
n n n n n n n n n
FG F G F g g F g f
ψ = ψ = ψ = ψ = ψ
;
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
n n n n n n n n n
GF G F G f f G f g
ψ = ψ = ψ = ψ = ψ

từ ñó suy ra
ˆ ˆ
ˆ ˆ
(1)
n n
FG GF
ψ = ψ
.Giả sử
Ψ
là hàm bất kỳ, khai triển theo
n
ψ
, ta có :
n n

n
c
Ψ = ψ
∑
.
Vì
ˆ
ˆ
,F G
là các toán tử tuyến tính nên :
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( )
n n
n
FG c FG
Ψ = ψ
∑
(2) và
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( )
n n
n
GF c GF
Ψ = ψ
∑
(3). Từ
(1),(2) và (3), ta có :
ˆ ˆ

ˆ ˆ
( ) ( )FG GF
Ψ = Ψ
hay
ˆ ˆ
ˆ ˆ
FG GF=
.
+ ðiều kiện ñủ : Giả sử
ˆ ˆ
ˆ ˆ
FG GF=
, cần chứng minh
ˆ
ˆ
,F G
có hàm riêng chung. Thật vậy, giả sử
n
ψ
là
hàm riêng của
ˆ
F
:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
n n n n n n
F f GF f G
ψ = ψ ⇒ ψ = ψ
(4). Do

ˆ ˆ
ˆ ˆ
FG GF=
nên
ˆ ˆ
ˆ ˆ
n n
GF FG
ψ = ψ
(5). Từ (4)
và (5), ta nhận ñược :
ˆ ˆ
ˆ
( ) ( )
n n n
F G f G
ψ = ψ
. ðiều này có nghĩa là
ˆ
n
G
ψ
cũng là hàm riêng của
ˆ
F
ứng
với cùng trị riêng
n
f
và do ñó, nếu trị riêng

n
f
không suy biến thì
ˆ
n n n
G g
ψ = ψ
. ðiều này có nghĩa là
n
ψ
cũng là hàm riêng của
ˆ
G
ứng với trị riêng
n
g
.
Tóm lại : ñiều kiện ñể hai ñại lượng vật lý có thể ño ñược chính xác ñồng thời là các toán tử tương
ứng với chúng phải giao hoán với nhau.
5. Hệ thức bất ñịnh Heisenberg.
Giả sử
ˆ
ˆ
,A B
là các toán tử ứng với các ñại lượng vật lý
A
và
B
. Nếu
ˆ

ˆ
,A B
không giao hoán với nhau
thì
ˆ ˆ
ˆ
,A B iC
 
=
 
, trong ñó
ˆ
C
là một toán tử hermite. Gọi
,A B
là giá trị trung bình của
,A B
; ta ñưa
vào các toán tử
ˆ
ˆ
,
A B
∆ ∆
ứng với các ñại lượng vật lý
,
A A A B B B
∆ = − ∆ = −
, khi ñó ta cũng có :
ˆ ˆ

ˆ
,A B iC
 
∆ ∆ =
 
. Xét bất ñẳng thức hiển nhiên sau :
2
ˆ
ˆ
( ) | ( ) | 0 ( )I A i B dV ℝα = α∆ − ∆ ψ ≥ ∀α ∈
∫

(1) . Ta viết lại (1) dưới dạng :
* * *
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( ) ( )I A i B A i B dVα = α∆ − ∆ ψ α∆ + ∆ ψ
∫
(2). Vì
ˆ
ˆ
,A B
là các
toán tử hermite nên
ˆ
ˆ
,A B∆ ∆
cũng là các toán tử hermite , do ñó (2) trở thành :
{
}

* * 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( )( ) ,I A i B A i B dV A i A B B dV
 
α = ψ α∆ + ∆ α∆ − ∆ ψ = ψ α ∆ − α ∆ ∆ + ∆ ψ
 
 
∫ ∫
.
Vì
ˆ ˆ
ˆ
,A B iC
 
∆ ∆ =
 
nên ta có thể viết :
{
}
* 2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ
ˆ
( ) 0I A C B dV A C Bα = ψ α ∆ +α +∆ ψ =α ∆ +α +∆ ≥
∫

Từ ñây ta thấy :
( )I
α
là một tam thức bậc 2 theo

α
có hệ số của
2
α
là
2
0A∆ ≥
, nên ñể
( ) 0I
α ≥
thì
biệt thức của nó phải âm, tức là :
(
)
2
2 2
4 . 0C A B
− ∆ ∆ ≤
hay
(
)
2
2 2
.
4
C
A B∆ ∆ ≥
(3). Lấy căn hai vế của (3)
và ñặt
2 2

, A A B Bδ = ∆ δ = ∆
, ta ñược hệ thức :
| |
.
4
C
A Bδ δ ≥
, hệ thức này ñược gọi là hệ thức bất
ñịnh Heisenberg. Các ñại lượng
2
A Aδ = ∆
và
2
B Bδ = ∆
ñược gọi là ñộ bất ñịnh của
A
và
B
.


4

§2. Phương trình Schrodinger .
1. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian.
Khảo sát hạt chuyển ñộng trong trường thế
( )V r

và có năng lượng không ñổi theo thời gian.
Gọi

E
là năng lượng của hệ và
( )
E
r

ψ
là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lượng
E
. Như thế
( )
E
r

ψ
là hàm riêng của toán tử năng lượng
ˆ
H
ứng với trị riêng
E
. Phương trình trị riêng của
ˆ
H
có
dạng :
ˆ
( ) ( )
E E
H r E r
 

ψ = ψ
(1) . Thay biểu thức
2 2
ˆ
ˆ
( ) ( )
2 2
p
H V r V r
m m
= + = − ∆ +
ℏ
 
vào (1) ta nhận ñược
phương trình :
[ ]
2
2
( ) ( ) ( ) 0
E E
m
r E V r r
  
ℏ
∆ψ + − ψ = (2). Phương trình này ñược gọi là phương trình
Schrodinger không phụ thuộc thời gian. Nếu thế năng
( )V V x
=
, ta có chuyển ñộng 1 chiều và lúc ñó
(2) trở thành :

[ ]
2
2
( ) 2
( ) ( ) 0
d x m
E V x x
dx
ℏ
ψ
+ − ψ =
(3)
a. Các tính chất của chuyển ñộng 1 chiều :
 Nếu thế năng
( )V x
là một hàm chẵn của toạ ñộ thì nghiệm của phương trình (3) phải là
một hàm hoặc chẵn, hoặc lẻ
 Nếu thế năng
( )V x
V(x có ñiểm gián ñoạn hữu hạn tại
0
x
thì hàm sóng và ñạo hàm cấp 1
của nó liên tục tại
0
x
.
b. Hố thế 1 chiều vuông góc sâu vô hạn.
Xét một hạt chuyển ñộng trong trường thế 1 chiều
( )V x

có dạng :
0 khi | |
( )
khi | |
x a
V x
x a
<

=

∞ ≥

.
Phương trình Schrodinger cho hạt có dạng :
[ ]
2
2
( ) 2
( ) ( ) 0
d x m
E V x x
dx
ℏ
ψ
+ − ψ =
(1).
+ Trong miền
| |x a
≥

:
( )V x
= ∞
, hạt không thể ñi vào miền này vì không thể có năng lượng bằng vô
hạn, do ñó hàm sóng phải triệt tiêu trong miền này :
( ) 0 (| | )x x a
ψ ≡ ≥

+ Trong miền
| |x a
<
:
( ) 0V x
=
, phương trình (1) trở thành :
2
2
2
0
d
k
dx
ψ
+ ψ =
(2) với :
2
2
2
0
mE

k = >
ℏ
(3)
Nghiệm tổng quát của (2) có dạng :
( ) cos sinx A kx B kx
ψ = +
(4), trong ñó
,A B
là các hằng số tuỳ
ý. Vì thế năng
( )V x
là hàm chẵn của toạ ñộ nên nghiệm (4) phải là các hàm chẵn hoặc lẻ của toạ ñộ.
* Các nghiệm chẵn : Khi ñó ( ) ( )x x
ψ = ψ −
và từ (4) ta tìm ñược ( ) cosx A kx
ψ =
. Từ ñiều kiện
liên tục của hàm sóng tại
x a
=
ta có :
cos 0
2
n
n
ka k k
a
π
= ⇒ = =
với

n
là các số nguyên lẻ. Từ ñiều
kiện chuẩn hoá, ta có
2 2 2 2
| ( ) | 1 cos 1 1
a a
n
a a
x dx A k xdx A a
− −
ψ = ⇔ = ⇒ =
∫ ∫
, hay
1
A
a
=
.Vậy nghiệm
chẵn có dạng :
1
( ) cos
2
n
n x
x
a
a
π
ψ =
(5), trong ñó

n
là số lẻ.
* Các nghiệm lẻ : Khi ñó
( ) ( )x x
ψ = −ψ −
và từ (4) ta tìm ñược
( ) sinx B kx
ψ =
. Từ ñiều kiện liên
tục của hàm sóng tại
x a
=
ta có :
sin 0
2
n
n
ka k k
a
π
= ⇒ = =
với
n
là các số nguyên chẵn. Từ ñiều
kiện chuẩn hoá , ta có
2 2 2 2
| ( ) | 1 sin 1 1
a a
n
a a

x dx A k xdx A a
− −
ψ = ⇔ = ⇒ =
∫ ∫
, hay
1
A
a
=
.Vậy nghiệm

5

lẻ có dạng :
1
( ) sin
2
n
n x
x
a
a
π
ψ = (6), trong ñó
n
là số chẵn.
Như vậy trong cả hai loại nghiệm chẵn và lẻ, ta có
2
n
n

k
a
π
=
(7) với
n
∈
ℕ
. Thay (7) vào (4) ta nhận
ñược biểu thức của năng lượng của hạt :
2 2 2 2
2
2
( 1,2, )
2 8
n
n
k
E n n
m ma
ℏ
ℏ
π
= = =
. Từ ñây ta thấy rằng,
năng lượng của hạt chuyển ñộng trong hố thế nhận các giá trị gián ñoạn , các giá trị chẵn của
n
ứng
với các nghiệm lẻ (6) , còn các giá trị lẻ của
n

ứng với các nghiệm chẵn (5).
c. Dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính.
Dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính là một hạt thực hiên các dao ñộng bé xung quanh vị trí cân
bằng với thế năng có dạng :
2 2
( )
2
m x
V x
ω
=
, trong ñó
ω
là tần số của dao ñộng tử . Phương trình
Schrodinger của dao ñộng tử có dạng :
2 2 2
2 2
2
0
2
d m m x
E
dx
ℏ
 
ψ ω



+ − ψ =






 
(1). ðặt
m
x
ℏ
ω
ξ =
và
E
ℏ
ε =
ω
(2) ta ñưa (1) về dạng :
2
2
2
(2 ) 0
d
d
ψ
+ ε−ξ ψ =
ξ
(3). Ta tìm nghiệm của (3) dưới dạng
2
/ 2

( ) ( )e y
−ξ
ψ ξ = ξ
(4), thay (4) vào (3), ta nhận ñược phương trình cho
( )y
ξ
dưới dạng :
'' 2 ' (2 1) 0
y y y
− ξ + ε − =
(5). Phương trình (5) là phương trình Hermite , nó có nghiệm riêng dạng ña
thức bậc
n
, khi
2 1 2n
ε − =
(6), nghiệm này ñược gọi là ña thức Hermite và ñược xác ñịnh bởi công
thức :
(
)
2 2
( ) ( 1)
n
n
n
n
d
H e e
d
ξ −ξ

ξ = −
ξ
. Từ (2) và (6), ta nhận ñược biểu thức cho phổ năng lượng của
dao ñộng tử dưới dạng :
1
2
n
E E n
 
= = + ω
 
 
ℏ
(với
0,1,2, n
=
) còn hàm sóng của dao ñộng tử dưới
dạng :
2
( ) ( ) exp
2
n n n
m m
x x C x H x
ℏ ℏ
 
 
ω ω






ψ = ψ = −









 

 
, trong ñó
n
C
là hệ số chuẩn hoá. Từ tính chất
trực giao của
( )
n
H x
, ta tìm ñược
4
1
2 !
n
n

m
C
n
ℏ
ω
=
π

2. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian :
( , )
ˆ
( , )
r t
i H r t
t


ℏ
∂Ψ
= Ψ
∂

3. Phương trình liên tục.
Xét sự thay ñổi theo thời gian của mật ñộ xác suất tìm thấy hạt
2 *
( , ) | ( , ) |r t r t
 
ρ = Ψ = Ψ Ψ
.
Ta có :

( )
*
* *
t t t t
∂ρ ∂ ∂Ψ ∂Ψ
= Ψ Ψ = Ψ + Ψ
∂ ∂ ∂ ∂
(1). Mặt khác từ phương trình
ˆ
i H
t
ℏ
∂Ψ
= Ψ
∂
, ta suy ra :
ˆ
i
H
t
ℏ
∂Ψ
= − Ψ
∂
(2). Lấy liên hợp phức hai vế của (2), ta ñược
*
* *
ˆ
i
H

t
ℏ
∂Ψ
= Ψ
∂
(3). Thay (2),(3) vào
(1) ta nhận ñược :
* * *
ˆ ˆ
i
H H
t
ℏ
∂ρ
 
= Ψ Ψ −Ψ Ψ
 
 
∂
(4). Vì
2
ˆ
( )
2
H V r
m
= − ∆ +
ℏ

nên :

2 2
* * * * * * *
ˆ ˆ
2 2
H H
m m
ℏ ℏ
   
Ψ Ψ − Ψ Ψ = − Ψ∆Ψ −Ψ ∆Ψ = − ∇ Ψ∇Ψ −Ψ ∇Ψ
   
   
(5)
Thay (5) vào (4), ta nhận ñược phương trình :
0j
t

∂ρ
+∇ =
∂
(6), trong ñó
(
)
* *
2
i
j
m

ℏ
= Ψ∇Ψ −Ψ ∇Ψ

6

Phương trình (6) ñược gọi là phương trình liên tục, trong ñó
ρ
là mật ñộ xác suất còn
j

là vector
mật ñộ dòng xác suất. Phương trình liên tục (6) biểu thị ñịnh luật bảo toàn xác suất hay ñịnh luật bảo
toàn số hạt.
4. Trạng thái dừng.
a. ðịnh nghĩa :Trạng thái dừng là trạng thái có năng lượng không phụ thuộc thời gian.
b. Hàm sóng : ðể xác ñịnh dạng tổng quát của hàm sóng mô tả toán tử dừng ta khảo sát phương
trình Schrodinger phụ thuộc thời gian :
( , )
ˆ
( , )
r t
i H r t
t


ℏ
∂Ψ
= Ψ
∂
(1). Ta tìm nghiệm của (1) dưới dạng
( , ) ( ) ( )r t r f t

 
Ψ = ψ
(2).Thay (2) vào (1) ta ñược
:
( )
ˆ
( ) ( ). ( )
df t
i r H r f t
dt
 
ℏ ψ = ψ
ˆ
( )
( ) ( )
i df H r
E
f t dt r

ℏ

ψ
⇔ = =
ψ
. Từ ñó ta có hệ phương trình sau :
ˆ
( ) ( ) (3)
( ) (4)
H r E r
df

i Ef t
dt
 
ℏ


ψ = ψ





=




. Phương trình (3) là phương trình trị riêng của toán tử năng lượng và
E
là
năng lượng của hệ trong trạng thái dừng . Nghiệm của phương trình (4) có dạng
( )
Et
i
f t e
−
=
ℏ
(5). Từ
(2) và (5) ta tìm ñược hàm sóng mô tả trạng thái dừng với năng lượng

E
là : ( , ) ( )
Et
i
r t r e
ℏ
 
−
Ψ = ψ
,
trong ñó
E
và
( )
r
ψ

là nghiệm của phương trình trị riêng của toán tử năng lượng. Trong trường hợp
phương trình (3) có một tập các nghiệm
ˆ
( ) ( ) ( 1,2, )
n n n
H r E r n
 
ψ = ψ =
thì nghiệm tổng quát của
(1) có dạng : ( , ) ( )
n
E t
i

n n
n
r t c r e
ℏ
 
−
Ψ = ψ
∑
. Các hệ số
n
c
ñược xác ñịnh từ ñiều kiện ñầu :
*
( ,0) ( ) ( ) ( ,0)
n n n n
n
r c r c r r dV
   
Ψ = ψ ⇒ = ψ Ψ
∑
∫
.
c. Các tính chất của trạng thái dừng :
+ Mật ñộ xác suất trong trạng thái dừng không phụ thuộc thời gian :
2 2
| ( , ) | | ( ) |
n n n
r t r t
 
ρ = Ψ = ψ ∉

+ Mật ñộ dòng xác suất trong trạng thái dừng không phụ thuộc thời gian :
* * * *
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
n n n n n n n n n
i i
j r t r t r t r t r r r r t
m m

ℏ ℏ
       
   
= Ψ ∇Ψ − Ψ ∇Ψ = ψ ∇ψ −ψ ∇ψ ∉
   
   

5. ðạo hàm theo thời gian của toán tử.Tích phân chuyển ñộng. ðịnh lý Ehrenfest.
a. ðạo hàm theo thời gian của toán tử. ðể mô tả sự thay ñổi theo thời gian của ñại lượng vật lý
người ta ñưa vào khái niệm ñạo hàm của toán tử theo thời gian, ký hiệu

dF
dt
, ñược ñịnh nghĩa như
sau :

dF
dt
là toán tử mà giá trị trung bình tương ứng với nó ở trạng thái bất kỳ bằng ñạo hàm theo
thời gian của giá trị trung bình

F
trong trạng thái ñó :

dF d
F
dt dt
=
hay

*
dF d
dV F
dt dt
Ψ Ψ =
∫
(1).
+ Dạng của

dF
dt
: Ta có
*
* * *
ˆ
ˆ ˆ ˆ
d F
F F dV F dV F dV F dV
dt t t t
∂ ∂Ψ ∂Ψ
= Ψ Ψ ⇒ = Ψ Ψ + Ψ + Ψ

∂ ∂ ∂
∫ ∫ ∫ ∫
(2)

7

Do
Ψ
thoả mãn phương trình
ˆ ˆ
i
i H H
t t
ℏ
ℏ
∂Ψ ∂Ψ
= Ψ⇒ =− Ψ
∂ ∂
(3). Lấy liên hợp phức hai vế phương
trình này ta ñược
*
* *
ˆ
i
H
t
∂Ψ
= Ψ
∂
ℏ

(4). Thay (3),(4) vào (2) ta nhận ñược :
* * * *
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( )( )
d F i i
F dV H F dV FH dV
dt t
ℏ ℏ
∂
= Ψ Ψ + Ψ Ψ − Ψ Ψ
∂
∫ ∫ ∫
(5)
Do
ˆ
H
là toán tử hermite nên
* * * * *
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )( ) ( )H F dV F H dV HF dVΨ Ψ = Ψ Ψ Ψ Ψ
∫ ∫ ∫
(6). Từ (5) và (6)
ta nhận ñược :
( )
* *
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
d F i F i

F HF FH dV H F dV
dt t tℏ ℏ
   
   
∂ ∂
   
 
= Ψ + − Ψ = Ψ + Ψ
   
 
 
   
∂ ∂
   
   
∫ ∫
(7) . So sánh
(1) và (7) ta tìm ñược :

ˆ
ˆ ˆ
,
dF F i
H F
dt t
∂
 
= +
 
∂

ℏ
. ðây là phương trình chuyển ñộng của toán tử.
b. Tích phân chuyển ñộng.
ðại lượng vật lý
F
ñược gọi là tích phân chuyển ñộng nếu toán tử
ˆ
F
có ñạo hàm theo thời
gian bằng 0 :

0
dF
dt
=
. Từ phương trình chuyển ñộng của toán tử ta suy ra rằng, nếu
F
là tích phân
chuyển ñộng thì :
ˆ
ˆ ˆ
, 0
F i
H F
t
∂
 
+ =
 
∂

ℏ
. Trường hợp ñặc biệt khi
ˆ
F
không phụ thuộc tường minh vào
thời gian , khi ñó
ˆ
0
F
t
∂
=
∂
và ta có :
ˆ ˆ
, 0H F
 
=
 
. ðiều này có nghĩa là : Nếu một toán tử
ˆ
F
không phụ
thuộc tường minh vào thời gian và giao hoán với toán tử Hamilton
ˆ
H
thì ñại lượng vật lý
F
tương
ứng là một tích phân chuyển ñộng.

c. ðịnh lý Ehrenfest.
Phát biểu : Giá trị trung bình của các biến số cơ học lượng tử thoả mãn cùng phương trình như các
biến số cổ ñiển tương ứng.
Chứng minh . Vì giá trị trung bình của các ñại lượng vật lý trong cơ học lượng tử ñược xác ñịnh
nhờ biểu thức
*
ˆ
F F dV
= Ψ Ψ
∫
nên ta chỉ cần chứng minh các hệ thức cho toán tử .
+ Xét ñạo hàm của
r

theo
t
, ta có :

ˆ
,
dr i
H r
dt


ℏ
 
=
 
 

(1) (
0
r
t
∂
=
∂

vì
r

không phụ thuộc tường minh vào
t
). Do
2
ˆ
ˆ
( )
2
p
H V r
m


= +
nên
[ ]
{
}
2

1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
, , ( ), , ,
2 2
i
H r p r V r r p r p p p r p
m m m
ℏ
           
     
 
= + = + = −
 
     
 
     
(2). Thay
(2) vào (1) ta nhận ñược :

ˆ
dr p
dt m
 
=
(3).
+ Xét ñạo hàm của
ˆ
p


theo
t
, ta có :

ˆ
ˆ
,
dp i
H p
dt
 
=
 


ℏ
(4) (
ˆ
0
p
t
∂
=
∂

vì
ˆ
p

không phụ thuộc tường minh vào

t
).Do
2
ˆ
ˆ
( )
2
p
H V r
m
= +


nên
2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
, , ( ), ( ),
2
V
H p p p V r p V r p i
m r
∂
       
= + = = −
       
∂
      
ℏ


(5). Thay (5) vào (4) ta
nhận ñược :

ˆ
dp V
dt r
∂
= −
∂


(6). Các phương trình (3) và (6) tương tự như các phương trình
dr p
dt m
=
 
và
dp V
dt r
∂
= −
∂


(ñịnh luật 2 Newton) của cơ học cổ ñiển.


8

§3. Chuyển ñộng trong trường xuyên tâm.
1. Toán tử moment xung lượng .
a. Biểu thức :
(
)
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
( ) , ,
x y z
L r p i r L L L= × = − ×∇ =

  
ℏ
. Trong toạ ñộ Descartes :
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, ,
x z y y x z z y x
L yp zp i y z L zp xp i z x L xp yp i x y
z y x z y x
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − = − − = − = − − = − = − −
    
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
ℏ ℏ ℏ

+ Toán tử bình phương moment xung lượng :
2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
x y z
L L L L= + +

+ Các hệ thức giao hoán :
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , , ,
x y z y z x z x y
L L i L L L i L L L i L
     
= = =
     
ℏ ℏ ℏ


2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , 0
x y z
L L L L L L
     
= = =
     

Trong cơ học lượng tử người ta sử dụng
2
ˆ ˆ

,
z
L L
ñể mô tả moment xung lượng. Trong toạ ñộ
cầu
( , , )r
θ ϕ
biểu thức của các toán tử moment xung lượng có dạng
ˆ ˆ ˆ
sin cotg cos , cos cotg sin ,
x y z
L i L i L iℏ ℏ ℏ
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
= ϕ + θ ϕ = − ϕ + θ ϕ =−
 
 
 
   
 
∂θ ∂ϕ ∂θ ∂ϕ ∂ϕ
   

2
2 2
2 2
1 1
ˆ

sin
sin sin
L ℏ
 
 
 
∂ ∂ ∂
 


=− θ +
  



 
 
θ ∂θ ∂ θ ∂ϕ
 
 


b. Hàm riêng và trị riêng của toán tử moment xung lượng.
* Hàm riêng , trị riêng của
ˆ
z
L
: Phương trình trị riêng của
ˆ
z

L
có dạng
ˆ
z z
L L
ψ = ψ
, sử dụng biểu
thức của
ˆ
z
L
trong toạ ñộ cầu, ta có phương trình :
z
i Lℏ
∂ψ
− = ψ
∂ϕ
. Nghiệm của phương trình này có
dạng : ( )
z
z
i
L
L
Ce
ℏ
ϕ
ψ ϕ = (1). ðể ñảm bảo ñiều kiện ñơn trị của hàm sóng, ta phải có :
( ) ( 2 )
z z

L L
ψ ϕ = ψ ϕ + π
, từ ñó suy ra :
2
1
z
i
L
e
π
= ⇔
ℏ
2 2
z
L
mπ = π
ℏ
với
m
là một số nguyên. Từ ñó suy ra
rằng :
z
L m
=
ℏ
(2)
( )
m
∈
ℤ

Thay (2) vào (1) ta nhận ñược
( )
im
m
Ce
ϕ
ψ ψ =
(3). Từ ñiều kiện chuẩn hoá,
ta có :
2
2
0
| ( )| 1
m
d
π
ψ ϕ ϕ =
∫
⇔
2
2 2 2
0
1
| | 1 2 1
2
im
C e d C C
π
ϕ
ϕ = ⇒ π = ⇒ =

π
∫
. Thay vào (3) ta nhận
ñược :
1
( )
2
im
m
e
ϕ
ψ ϕ =
π
. Kết quả, ta tìm ñược trị riêng của
ˆ
z
L
là
z
L m=
ℏ
và các hàm riêng tương
ứng là :
1
( )
2
im
m
e
ϕ

ψ ϕ =
π

( )m
∈
ℤ
.
* Hàm riêng , trị riêng của
2
ˆ
L
: phương trình trị riêng của
2
ˆ
L
có dạng
2 2
ˆ
L L
ψ = ψ
, sử dụng biểu
thức của
2
ˆ
L
trong toạ ñộ cầu, ta có phương trình :
2
2 2
2 2
1 1

sin
sin sin
Lℏ
 
 
 
∂ ∂ψ ∂ ψ
 


− θ + = ψ
  



 
 
θ ∂θ ∂ θ ∂ϕ
 
 
hay :
2 2
2 2 2
1 1
sin 0
sin sin
L
ℏ
 
∂ ∂ψ ∂ ψ



θ + + ψ =




 
θ ∂θ ∂ θ ∂ϕ
(1) . Phương trình (1) có nghiệm hữu hạn ñơn trị với các
giá trị
0 ,0 2
≤ θ ≤ π ≤ ϕ ≤ π
khi
2
2
( 1)
L
l l
ℏ
= +
(2) với
l
là một số nguyên không âm. Khi ñó nghiệm

9

của (1) là hàm cầu
1
( , ) (cos )

2
im m
lm l
Y e P
ϕ
θ ϕ = θ
π
(3) với (cos )
m
l
P
θ
là ña thức Legendre liên kết. Từ
(2) và (3) ta nhận ñược trị riêng của
2
ˆ
L
là
2 2
( 1)L l l
ℏ
= +
và các hàm riêng tương ứng là ( , )
lm
Y
θ ϕ

( 0,1,2, )l
=
. Khi

l
ñã cho
m
chỉ có thể nhận
2 1l
+
giá trị khả dĩ bằng
0, 1, 2, , l
± ± ±
.
Biểu thức của một số hàm cầu ñầu tiên :
00 10 1, 1
1 3 3
( , ) ; ( , ) cos , ( , ) sin
4 8
4
i
Y Y Y e∓
± ϕ
±
θ ϕ = θ ϕ = θ θ ϕ = θ
π π
π

2 2 2
20 2, 2 2, 2
5 15 15
( , ) (3cos 1) ; ( , ) cos sin , ( , ) sin

16 8 32

i i
Y Y e Y e∓ ∓
± ϕ ± ϕ
± ±
θ ϕ = θ− θ ϕ = θ θ θ ϕ = θ
π π π

* ðiều kiện trực chuẩn của các hàm cầu :
2
*
', ' , ' '
0 0
sin ( , ) ( , )
l m l m ll mm
d d Y Y
π π
ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ = δ δ
∫ ∫

3. Chuyển ñộng của hạt trong trường xuyên tâm.
a. Trường xuyên tâm tổng quát : Trường xuyên tâm là trường mà thế năng của hạt chuyển ñộng
trong trường chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ hạt ñến ñiểm cố ñịnh gọi là tâm của trường. Chọn
gốc toạ ñộ tại tâm của trường, ta có biểu thức của thế năng :
( ) ( )V r V r
=

. Khi ñó toán tử Hamilton có
dạng
2
ˆ

( )
2
H V r
m
= − ∆ +
ℏ
(1). Sử dụng biểu thức của toán tử Laplace trong toạ ñộ cầu ta ñưa (1) về
dạng :
2
2
1
ˆ
( )
2
r
H V r
m r
ℏ
θϕ
 


= − ∆ + ∆ +




 
(2), với
2

2
1
,
r
r
r r
 
∂ ∂


∆ =




 
∂ ∂
2
2 2
1 1
sin
sin sin
θϕ
 
∂ ∂ ∂


∆ = θ +





 
θ ∂θ ∂ θ ∂ϕ

Sử dụng biểu thức của toán tử bình phương moment xung lượng trong toạ ñộ cầu, ta có thể viết
2
2 2
2
ˆ
ˆ
L
L ℏ
ℏ
θϕ θϕ
= − ∆ ⇔ ∆ = −
. Thay vào(2), ta nhận ñược :
2 2
2
ˆ
ˆ
( )
2 2
r
L
H V r
m mr
ℏ
= − ∆ + +
(3) . Từ (3)

ta thấy rằng các số hạng thứ 1 và thứ 3 chỉ chứa
r
nên giao hoán với
2
ˆ ˆ
,
z
L L
( vì các toán tử này chỉ
phụ thuộc vào các góc
,
θ ϕ
), số hạng thứ 2 chứa
2
ˆ
L
nên phải giao hoán với
2
ˆ
L
và
ˆ
z
L
. Do ñó ba toán
tử
2
ˆ ˆ
,H L
và

ˆ
z
L
giao hoán với nhau
⇒
chúng phải có chung hàm riêng. Như vậy các trạng thái dừng
của hạt chuyển ñộng trong trường xuyên tâm phải ñược mô tả bằng hàm sóng là hàm riêng chung
của 3 toán tử
2
ˆ ˆ
,H L
và
ˆ
z
L
. Mặt khác, ta biết hàm riêng chung của các toán tử
2
ˆ
L
và
ˆ
z
L
là hàm cầu
( , )
lm
Y
θ ϕ
. Do ñó dạng tổng quát của hàm sóng mô tả các trạng thái dừng của hạt chuyển ñộng trong
trường xuyên tâm là :

( , , ) ( ) ( , )
lm
r R r Y
ψ θ ϕ = θ ϕ
(4). Phương trình Schrodinger của hạt có dạng :
ˆ
H E
ψ = ψ
(5) Thay các biểu thức (3),(4) vào (5) và ñể ý rằng
2 2
ˆ
( , ) ( 1) ( , )
lm lm
L Y l l Y
ℏ
θ ϕ = + θ ϕ
ta nhận
ñược phương trình cho hàm
( )R r
dưới dạng :
2
2
2 2 2
1 2 ( 1)
( ) ( ) 0
2
d dR m l l
r E V r R r
r dr dr mr
ℏ

ℏ
 
 
+


 
+ − − =




 
 
 
.
Từ ñây ta thấy rằng năng lượng phụ thuộc
l
và hàm
( )R r
phụ thuộc và
E
và
l
. Như vậy trong
trường hợp tổng quát các giá trị năng lượng của hạt chuyển ñộng trong trường xuyên tâm sẽ phụ
thuộc số lượng tử
l
còn hàm sóng sẽ phụ thuộc hai số lượng tử
,l m

⇒
các mức năng lượng sẽ bị suy
biến theo
m
. Do ứng với mỗi giá trị của
l
có
2 1l
+
giá trị khả dĩ của
l
nên các mức năng lượng sẽ
suy biến bội
2 1l
+
.




10

b. Trường Coulomb. Nguyên tử hidro.
Xét chuyển ñộng của electron trong trường Coulomb của hạt nhân với thế năng
2
2
( )
e
V r
r

= −
.
Khi ñó hàm sóng của hạt có dạng
( , , ) ( , , ) ( ) ( , )
nlm nl lm
r r R r Y
ψ θ ϕ = ψ θ ϕ = θ ϕ
, trong ñó
( )
nl
R r
là
nghiệm của phương trình
2 2
2
2 2 2
1 2 ( 1)
( ) 0
2
nl
nl
d dR m l l e
r E R r
r dr dr mr r
ℏ
ℏ
 
 
+



 
+ − − =




 
 
 
. Phương trình này
có nghiệm, hữu hạn ñơn trị khi
4
2 2
( )
2
me
E n
n
= − ∈ ℕ
ℏ
. Lúc ñó
(
)
2 1
2
1
( ) ( )
q
l l

nl nl n
R r R q q e L q
−
+
+
= = với
2
8 | |
n
m E
q r=
ℏ
và
2 1
1
( )
l
n
L x
+
+
là ña thức Laguerre liên kết. Khi
n
ñã cho
l
chỉ có thể nhận
n
giá trị khả
dĩ bằng
0,1, , 1n

−
.
Kết luận : - Các mức năng lượng của electron trong nguyên tử hidro :
4
2 2
( )
2
n
me
E n
n
= − ∈ ℕ
ℏ

- Hàm sóng của electron trong nguyên tử hidro :
( , , ) ( ) ( , )
nlm nl lm
r R r Yψ θ ϕ = θ ϕ
.
Như vậy trạng thái của electron trong nguyên tử hidro ñược xác ñịnh bởi 3 số lượng tử
, ,n l m
:
-
n
ñược gọi là số lượng tử chính, nó nhận các giá trị nguyên dương
1,2, n
=
và xác ñịnh các
giá trị năng lượng của electron :
2

1
n
E
n
∼
.
-
l
ñược gọi là số lượng tử quỹ ñạo, nó nhận các giá trị nguyên không âm, ứng với 1 giá trị
của
n
thì
l
chỉ có thể nhận
n
giá trị khả dĩ bằng
0,1, , 1n
−
; số lượng tử quỹ ñạo xác ñịnh ñộ lớn
của moment xung lượng :
( 1)L l l= +
ℏ
.
-
m
ñược gọi là số lượng tử từ, nó có thể nhận các giá trị nguyên và ứng với một giá trị ñã
cho của
l
thì nó có thể nhận
2 1l

+
giá trị khả dĩ bằng
0, 1, 2, , l
± ± ±
; số lượng tử từ xác ñịnh ñộ lớn
của hình chiếu moment xung lượng lên trục z :
z
L m=
ℏ
.
Theo trên ta thấy, hàm sóng của electron phụ thuộc 3 số lượng tử
, ,n l m
trong khi năng lượng chỉ
phụ thuộc
n
, nên các mức
n
E
sẽ suy biến theo các số lượng tử
,
l m
. Vì khi
n
ñã cho
l
có thể nhận
n
giá trị khả dĩ bằng
0,1, , 1n
−

và với một trị
l
, ta có
2 1l
+
giá trị khả dĩ của
m
nên bội suy biến của
mức
n
E
bằng :
1
2
0
(2 1)
n
l
l n
−
=
+ =
∑
.
§4. Spin và hệ hạt ñồng nhất.
1. Toán tử spin của electron . Hàm spin. Ma trận Pauli.
a. Toán tử spin. Ma trận Pauli : ðối với các hạt vi mô, ngoài các ñại lượng ñặc trưng ñã biết như
toạ ñộ, xung lượng, moment xung lượng, năng lượng còn có một ñại lượng thuần tuý lượng tử là
spin của hạt, ñại lượng này có các tính chất giống như moment xung lượng của hạt. Toán tử tương
ứng với spin ký hiệu

ˆ
ˆ ˆ ˆ
( , , )
x y z
S S S S
=

, ñược xác ñịnh bởi các hệ thức sau :
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , , ,
x y z y z x z x y
S S i S S S i S S S i S
     
= = =
     
ℏ ℏ ℏ

Ngoài ra ta cũng ñưa vào toán tử bình phương spin
2 2 2 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
x y z
S S S S
= + +

, thoả mãn các hệ thức giao hoán
sau :
2 2 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ

, , , 0
x y z
S S S S S S
     
= = =
     
     
  
. Tương tự như moment xung lượng, ñể mô tả spin người ta
dùng 2 toán tử
2
ˆ
ˆ
,
z
S S

với các phương trình trị riêng :
2 2
, ,
ˆ
( 1)
s s
s m s m
S s s
χ = + χ

ℏ
và
, ,

ˆ
s s
z s m s s m
S mχ = χℏ
,

11

trong ñó :
s
là số lượng tử xác ñịnh ñộ lớn của spin,
s
m
là số lượng tử tử xác ñịnh ñộ lớn của hình
chiếu spin lên trục
z
và
,
s
s m
χ
là hàm spin.
ðối với các electron thì
1
2
s =
và
1
2
s

m = ±
. Do ñó các toán tử spin của electron có thể ñược
biểu diễn bằng các ma trận vuông cấp hai. Trong biểu diễn mà
ˆ
z
S
có dạng chéo, ta có :
0 1 0 1 0
ˆ ˆ ˆ
, ,
1 0 0 0 1
2 2 2
x y z
i
S S S
i
−
     
= = =
     
−
     
ℏ ℏ ℏ
và
2
2
1 0
3
ˆ
0 1

4
S
 
=
 
 

ℏ

Các ma trận
0 1 0 1 0
, ,
1 0 0 0 1
x y z
i
i
−
     
σ = σ = σ =
     
−
     
ñược gọi là các ma trận Pauli. Bằng phép nhân
trực tiếp các ma trận, có thể thấy rằng các ma trận Pauli, thoả mãn các hệ thức sau :
[
]
2 2 2
, 2 , , 2 , , 2 , 1
x y z y z x z x y x y z
i i i

   
σ σ = σ σ σ = σ σ σ = σ σ + σ +σ =
   

[
]
, , , 0
x y y z z x
+
+ +
   
σ σ = σ σ = σ σ =
   
, trong ñó
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,a b ab ba
+
 
= +
 

c. Hàm riêng trị riêng của toán tử spin.
+ Hàm riêng, trị riêng của
ˆ
x
S
:phương trình trị riêng:
ˆ
x x

x s x s
S sχ = χ
(1) trong ñó
x
s
a
b
 
χ =
 
 
(2) .Thay
biểu thức của
x
s
χ
và
ˆ
x
S
vào (1) ta ñược
2
x
b a
s
a b
   
=
   
   

ℏ
hay
2 0
2 0
x
x
s a b
a s b
− =


− =

ℏ
ℏ
(3). ðể hệ có nghiệm
không tầm thường ta phải có :
2 2
4
2
x x
s s= ⇒ = ±
ℏ
ℏ
(4).
- Khi
2
x
s =
ℏ

, từ (3) ta ñược
x
s
a
a b
a
 
= ⇒ χ =
 
 
. Từ ñiều kiện chuẩn hoá
1
x x
s s
+
χ χ =
. Suy ra
2
1
( *, *) 1 2| | 1
2
a
a a a a
a
 
= ⇔ = ⇒ =
 
 
. Do ñó :
( )

1
1
1
2
x
s
+
 
χ =
 
 
.
- Khi
2
x
s = −
ℏ
, từ (3) ta ñược

x
s
a
a b
a
 
= − ⇒ χ =
 
−
 
. Từ ñiều kiện chuẩn hoá

1
x x
s s
+
χ χ =
. Suy ra
2
1
( *, *) 1 2| | 1
2
a
a a a a
a
 
= ⇔ = ⇒ =
 
 
. Do ñó :
( )
1
1
1
2
x
s
−
 
χ =
 
−

 
.
+ Hàm riêng, trị riêng của
ˆ
y
S
: phương trình trị riêng :
ˆ
y y
y s y s
S sχ = χ
(1) trong ñó
y
s
a
b
 
χ =
 
 
(2). Thay
biểu thức của
y
s
χ
và
ˆ
y
S
vào (1 ) ta ñược :

0
0
2
y
i a a
s
i b b
−
    
=
    
    
ℏ
suy ra

2
y
ib a
s
ia b
−
   
=
   
   
ℏ
hay
2 0
2 0
y

y
s a i b
i a s b
+ =



− =


ℏ
ℏ
(3). ðể hệ có nghiệm không tầm thường ta phải có :
2 2
4
2
y y
s s
= ⇒ = ±
ℏ
ℏ
(4).
- Khi
2
y
s =
ℏ
, từ (3) ta ñược
y
s

a
b ia
ia
 
= ⇒ χ =
 
 
. Từ ñiều kiện chuẩn hoá
1
y y
s s
+
χ χ =
. Suy ra
2
1
( *, *) 1 2| | 1
2
a
a ia a a
ia
 
− = ⇔ = ⇒ =
 
 
. Do ñó :
( )
1
1
2

y
s
i
+
 
χ =
 
 
.

12

- Khi
2
y
s = −
ℏ
, từ (3) ta ñược

y
s
a
b ia
ia
 
= − ⇒ χ =
 
−
 
. Từ ñiều kiện chuẩn hoá

1
y y
s s
+
χ χ =
. Suy ra
2
1
( *, *) 1 2 | | 1
2
a
a ia a a
ia
 
= ⇔ = ⇒ =
 
−
 
. Do ñó :
( )
1
1
2
y
s
i
−
 
χ =
 

−
 
.
+ Hàm riêng, trị riêng của
ˆ
z
S
:phương trình trị riêng:
ˆ
z z
z s z s
S sχ = χ
(1) trong ñó
z
s
a
b
 
χ =
 
 
(2) .Thay
biểu thức của
z
s
χ
và
ˆ
z
S

vào (1) ta ñược
2
z
a a
s
b b
   
=
   
−
   
ℏ
hay
( 2 ) 0
( 2 ) 0
z
z
s a
s b
− =


+ =

ℏ
ℏ
(3). ðể hệ có
nghiệm không tầm thường ta phải có :
2
z

s = ±
ℏ
(4).
- Khi
2
z
s =
ℏ
, từ (3) ta ñược
0
0
z
s
a
b
 
= ⇒ χ =
 
 
. Từ ñiều kiện chuẩn hoá
1
z z
s s
+
χ χ =
. Suy ra
2
( *,0) 1 | | 1 1
0
a

a a a
 
= ⇔ = ⇒ =
 
 
. Do ñó :
( )
1
0
z
s
+
 
χ =
 
 
.
- Khi
2
z
s = −
ℏ
, từ (3) ta ñược
0
0
z
s
a
b
 

= ⇒ χ =
 
 
. Từ ñiều kiện chuẩn hoá
1
z z
s s
+
χ χ =
. Suy ra
* 2
0
(0, ) 1 | | 1 1
b b b
b
 
= ⇔ = ⇒ =
 
 
. Do ñó :
( )
0
1
z
s
−
 
χ =
 
 

.
2. Hệ hạt ñồng nhất.
a. Hệ hạt ñồng nhất : là hệ các hạt có cùng khối lượng, ñiện tích, spin, moment từ, sao cho trong
cùng ñiều kiện như nhau thì các hạt ấy có các biểu hiện như nhau.
b. Nguyên lý không phân biệt các hạt ñồng nhất : Do nguyên lý bất ñịnh, mỗi hạt không có một
quỹ ñạo xác ñịnh nên về mặt nguyên tắc, dù ta có thể biết chính xác vị trí của các hạt của hệ ở thời
ñiểm ban ñầu thì tại thời ñiểm tiếp theo sau ñó, vị trí của hạt ñã trở nên bất ñịnh, do ñó ta không thể
phân biệt ñược các hạt của một hệ hạt ñồng nhất
c. Trạng thái ñối xứng và phản ñối xứng.
Khảo sát hàm sóng của hệ các hạt ñồng nhất. Trước tiên ta xét hệ 2 hạt, hàm sóng của hệ là
(1,2)
ψ
. Nếu ta hoán vị 2 hạt thì hàm sóng của hệ là (2,1)
ψ
. Do nguyên lý không phân biệt các hạt
ñồng nhất nên việc hoán vị hai hạt sẽ không là thay ñổi trạng thái của hệ, nghĩa là các hàm
(1,2)
ψ
và
(2,1)
ψ
mô tả cùng một trạng thái của hệ, muốn vậy chúng chỉ có thể sai khác nhau một nhân số
không ñổi nào ñó, tức là :
(2,1) (1,2)k
ψ = ψ
. Nếu hoán vị hai lần, ta ñược
2
(1,2) (2,1) (1,2)k k
ψ = ψ = ψ

2
1k⇒ =
hay
1k
= ±
. Như thế có hai khả năng xảy ra :
- khi
1 : (2,1) (1,2)k
= ψ = ψ
, hàm sóng là ñối xứng với phép hoán vị hai hạt
- khi 1 : (2,1) (1,2)k
= − ψ =−ψ
, hàm sóng là phản ñối xứng với phép hoán vị hai hạt .
Như vậy hàm sóng của hệ hai hạt ñồng nhất là một hàm hoặc ñối xứng hoặc phản ñối xứng
ñối với phép hoán vị hai hạt. Kết quả này vẫn ñúng cho hệ có số hạt bất kỳ. Pauli ñã chứng tỏ rằng
các hạt có spin nguyên (các boson) ñược mô tả bằng các hàm sóng ñối xứng, còn các hạt có spin bán
nguyên (fermion) ñược mô tả bằng các hàm sóng phản ñối xứng.
d. Hàm sóng của hệ hạt ñồng nhất. Nguyên lý loại trừ Pauli.
Xét hệ
N
hạt ñồng nhất không tương tác. Phương trình Schrodinger cho hạt có dạng :
2
1
( ) (1,2, , ) (1,2, , )
2
N
i i
i
V r N E N
m

ℏ

=
 
 
− ∆ + ψ = ψ
 
 
∑
(1)

13

Gọi
1 2
, ,
n n
ψ ψ
là các hàm sóng mô tả các trạng thái dừng của từng hạt riêng biệt còn
1 2
, ,
n n
là tập
các số lượng tử ñặc trưng cho trạng thái một hạt. Khi ñó nghiệm của (1) có thể tìm dưới dạng tổ hợp
tuyến tính của các tích dạng
1 2
(1) (2) ( )
N
n n n
N

ψ ψ ψ
(2) với tất cả các hoán vị có thể có của
1 2
, , ,
N
n n n
. Tuy nhiên do nguyên lý không phân biệt các hạt ñồng nhất nên hàm sóng của hệ
N
hạt
phải có tính ñối xứng xác ñịnh. Cụ thể là hàm sóng của hệ
N
boson phải là tổ hợp tuyến tính ñối
xứng hóa của các tích dạng (2) còn hàm sóng của hệ
N
fermion phải là tổ hợp tuyến tính phản xứng
của các tích dạng (2). Kết quả, ta có :
- ðối với hệ
N
boson :
1 2
1 2
1 2
[ , , ]
! !
(1) (2) ( )
!
N
n n n
n n
N N

N
N
ψ = ψ ψ ψ
∑
(3), trong ñó tổng lấy theo
tất cả các hoán vị của các số
1 2
, , ,
N
n n n
;
i
N
là số hạt ở trạng thái
i
n
và
i
i
N N=
∑
.
- ðối với hệ
N
fermion : (4)
Từ (4) ta thấy rằng việc hoán vị hai hạt nào ñó của hệ tương ñương với việc hoán vị hai cột của ñịnh
thức và ñịnh thức sẽ ñổi dấu, nghĩa là hàm sóng của hệ ñã ñổi dấu. Cũng từ (4) ta thấy rằng nếu trong
một trạng thái nào ñó có 2 hạt (hoặc nhiều hơn) thì các hàng tương ứng của ñịnh thức sẽ trùng nhau
và do ñó ñịnh thức sẽ bằng 0. ðiều này có nghĩa là : trong một hệ fermion ñồng nhất, không thể có
quá một hạt trong mỗi trạng thái lượng tử. ðây chính là nội dung của nguyên lý loại trừ Pauli.

14

BÀI TẬP CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
§1. Hàm sóng , toán tử, hàm riêng trị riêng, giá trị trung bình
1. Chứng minh rằng :
(
)
ˆ ˆ
ˆ ˆ
AB B A
+
+ +
=
, trong ñó
ˆ
A
+
là toán tử liên hợp hermite với toán tử
ˆ

A
:
* *
ˆ ˆ
( )A dx A dx
+
ϕ ψ = ψ ϕ
∫ ∫

2. Chứng minh rằng : nếu các toán tử

ˆ
A
và
ˆ
B
là các toán tử hermite và giao hoán với nhau thì toán
tử tích
ˆ
ˆ
AB
cũng là toán tử hermite
3. Chứng minh rằng : nếu các toán tử
ˆ ˆ
ˆ
, ,A B C
thỏa mãn các hệ thức giao hoán
ˆ ˆ
, 0A C
 
=
 
,
ˆ
ˆ
, 0B C
 
=
 
và
ˆ

ˆ
, 0A B
 
≠
 
thì các trị riêng của
ˆ
C
là suy biến.
4. Chứng tỏ rằng toán tử sau là toán tử hermite
ˆ
x
p i
x
ℏ
∂
= −
∂

5. Chứng minh rằng : nếu
ˆ
ˆ
,A B
là những toán tử hermite thì
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,A B AB BA iC
 
= − =
 

trong ñó
ˆ
C
là
toán tử hermite.
6. Chứng minh rằng : giá trị trung bình của các toán tử hermite
ˆ ˆ ˆ ˆ
, A A AA
+ +
(
ˆ
A
là một toán tử tuyến
tính) trong một trạng thái bất kỳ là không âm.
7. Chứng minh rằng trin trung bình của bình phương toán tử hermite là không âm.
8. Chứng minh rằng : nếu các toán tử hermite
ˆ
ˆ
,A B
thoả mãn hệ thức
ˆ ˆ
ˆ
,A B iC
 
=
 
thì :
(
)
2

2 2
( ) ( )
4
C
A B∆ ∆ ≥

9. Hàm riêng và trị riêng của toán tử
ˆ
x
d
p i
dx
= −
ℏ
nếu hàm riêng ( )x
ψ
của
ˆ
x
p
thoả mãn ñiều kiện
( ) ( ) ( : const)x x a a
ψ = ψ +

10. Hàm riêng và trị riêng của toán tử
ˆ
z
L i
∂
= −

∂φ
ℏ
, với
0 2
≤ φ ≤ π
.
11. Hai hàm
1 2
( ), ( )x x
ψ ψ
là hai hàm riêng ñã chuẩn hoá và ứng với cùng một trị riêng. Biết rằng :
*
1 2
( ) ( ) ( )x x dx a a ℝ
+∞
−∞
ψ ψ = ∈
∫
, hãy tìm hàm chuẩn hoá
1 1 2 2
( ) ( ) ( )x C x C x
Φ = ψ + ψ
với
1 2
,C C
là các
hằng số thực sao cho nó trực giao với
1
( )x
ψ

.
12. Giá trị trung bình của xung lượng của hạt trong trạng thái ñược mô tả bởi hàm sóng chuẩn hoá
0
2 2
( )
i
p x
e
x A
x a
ℏ
ψ =
+
, trong ñó
0
, ,
A p a
là những hằng số.
13. Tính các giá trị trung bình
2 2
,
x
x p∆ ∆ và nghiệm lại hệ thức bất ñịnh giữa toạ ñộ và xung lượng
khi :
a. Trạng thái của hạt ở trong giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn bề rộng
a
ñược mô tả bởi
hàm sóng
2
( ) sin ( 1,2, )

n
n x
x n
a a
π
ψ = =
.

15

b. Trạng thái của hạt ñược mô tả bởi hàm sóng
2
1
4
2
( )
ax
a
x e
−
 


ψ =




 
π

, trong ñó
m
a
ω
=
ℏ
. Cho biết
2 2
2
3
1
;
2
x x
e dx x e dx
+∞ +∞
−α −α
−∞ −∞
π π
= =
α α
∫ ∫
.
14. Trạng thái của hạt ñược mô tả bởi hàm sóng
2
2
2
( )
x
ikx

a
x Ae
− +
ψ =
, trong ñó ,a k là những hằng số.
a. Xác ñịnh hệ số chuẩn hoá
A
và toạ ñộ
x
ñể cho mật ñộ xác suất tìm thấy hạt ( )x
ρ
có giá trị lớn
nhất.
b. Tính các giá trị trung bình
2 2
,
x
x p
∆ ∆
và nghiệm lại hệ thức bất ñịnh giữa toạ ñộ và xung lượng .
Cho biết
2 2
2
3
1
;
2
x x
e dx x e dx
+∞ +∞

−α −α
−∞ −∞
π π
= =
α α
∫ ∫
.
15. Sử dụng hệ thức bất ñịnh, hãy ước tính mức năng lượng thấp nhất khả dĩ của :
a. Hạt chuyển ñộng trong giếng thế một chiều vuông góc, sâu vô hạn ñược mô tả bởi hàm sóng
chuẩn hoá
2
( ) sin
n
n x
x
d d
π
ψ =
, trong ñó
d
là bề rộng của giếng thế và
1,2,
n
=

b. Dao ñộng tử ñiều hoà một chiều với
2
2 2
ˆ
ˆ

2 2
x
p m x
H
m
ω
= +

§2. Chuyển ñộng một chiều. Phương trình liên tục
1. Chứng minh rằng hàm
2
1
4
2
( )
m x
m
x e
ℏ
ℏ
ω
−
 
ω


ψ =





 
π
là hàm riêng của toán tử năng lượng của dao ñộng tử
ñiều hoà một chiều.
2. Chứng minh rằng toán tử tịnh tiến
ˆ ˆ
: ( ) ( ) ( : const)
a a
T T x x a a
ψ = ψ +
giao hoán với toán tử
2 2
2
ˆ
( )
2
d
H V x
m dx
ℏ
= − +
nếu thế năng có tính tuần hoàn
( ) ( )
V x V x a
= +

3. Tìm năng lượng và hàm sóng chuẩn hoá của hạt chuyển ñộng trong trường thế có dạng :
0 khi 0
( )

khi hay 0
x a
V x
x a x
≤ ≤

=

∞ > <


4. Xác ñịnh các mức năng lượng của một dao ñộng tử ñiều hoà một chiều, tích ñiện, ñặt trong một
ñiện trường ñều
E

hướng dọc theo trục dao ñộng
Ox
và có thể năng tĩnh ñiện
( )V x eEx
= −
.
4. Xác ñịnh các mức năng lượng của hạt tích ñiện chuyển ñộng trong một từ trường ñều
B

với thế
vector
( )A r


ñược chọn như sau : 0, , 0

x y z
A A Bx A
= = =
. Cho biết :
2 2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
2
p e e
H Ap A
m mc mc

 

= − +

5. Hạt chuyển ñộng từ trái qua phải gặp rào thế có dạng :
0
0 0
0 khi
( )
khi
x x
V x
V x x
<


=

>


a. Tìm hàm sóng mô tả trạng thái của hạt có năng lượng
0
E V
<
trong miền
0
x x
>
,
0
x x
<

b. Xác ñịnh biểu thức của mật ñộ dòng xác suất của hạt tới
0
j , hạt phản xạ
R
j và hạt truyền
qua
T
j .
c. Tính các hệ số phản xạ
0
R
j

R
j
=
và hệ số truyền qua
0
T
j
D
j
=
.

16

6. Hạt chuyển ñộng từ trái qua phải gặp rào thế có dạng :
0

khi 0
( )
0 khi 0
V x
V x
x
<

=

>


a. Tìm hàm sóng mô tả trạng thái của hạt có năng lượng
0
0E V
> >
trong miền
0
x
>
,
0
x
<

b. Xác ñịnh biểu thức của mật ñộ dòng xác suất của hạt tới
0
j , hạt phản xạ
R
j và hạt truyền
qua
T
j .
c. Tính các hệ số phản xạ
0
R
j
R
j
=
và hệ số truyền qua
0

T
j
D
j
=
.
7. Hạt chuyển ñộng từ trái qua phải gặp rào thế có dạng :
0
0 khi 0
( )
khi 0
x
V x
V x
<

=

>


a. Tìm hàm sóng mô tả trạng thái của hạt có năng lượng
0
E V
>
trong miền
0
x
>
,

0
x
<

b. Xác ñịnh biểu thức của mật ñộ dòng xác suất của hạt tới
0
j , hạt phản xạ
R
j và hạt truyền
qua
T
j .
c. Tính các hệ số phản xạ
0
R
j
R
j
=
và hệ số truyền qua
0
T
j
D
j
=
.
8. Hạt chuyển ñộng từ trái qua phải gặp rào thế có dạng :
0
0 khi 0

( )
khi 0
x
V x
V x
<

=

>


a. Tìm hàm sóng mô tả trạng thái của hạt có năng lượng
0
0 E V
< <
trong miền
0
x
>
,
0
x
<

b. Xác ñịnh biểu thức của mật ñộ dòng xác suất của hạt tới
0
j , hạt phản xạ
R
j và hạt truyền

qua
T
j .
c. Tính các hệ số phản xạ
0
R
j
R
j
=
và hệ số truyền qua
0
T
j
D
j
=
. Nhận xét.
9. Hạt chuyển ñộng từ trái qua phải gặp rào thế có dạng :
0
1
khi 0
( )

khi 0
V x
V x
V x
<


=

>


a. Tìm hàm sóng mô tả trạng thái của hạt có năng lượng
0 1
,E V V
>
trong miền
0
x
>
,
0
x
<

b. Xác ñịnh biểu thức của mật ñộ dòng xác suất của hạt tới
0
j , hạt phản xạ
R
j và hạt truyền
qua
T
j .
c. Tính các hệ số phản xạ
0
R
j

R
j
=
và hệ số truyền qua
0
T
j
D
j
=
.
10. Chứng minh rằng, ñối với hàng rào thế có dạng bất kỳ, thoả mãn ñiều kiện
0
lim ( ) 0
x
V x V
→+∞
= >

và lim ( ) 0
x
V x
→−∞
=
thì ta có hệ thức :
1
R D
+ =
, trong ñó
0

R
j
R
j
=
là hệ số phản xạ,
0
T
j
D
j
=
là hệ số
truyền qua.;
0
, ,
R T
j j j
lần lượt là mật ñộ dòng xác suất tới, phản xạ và truyền qua, giả sử hạt có năng
lượng
0
E V
>
.
11. Chứng minh rằng, mật ñộ dòng xác suất của hạt chuyển ñộng tự do bằng :
2
1
(2 )
p
j

m


ℏ
=
π




17

12. Tìm mật ñộ dòng xác suất của hạt ñược mô tả bởi hàm sóng có dạng :
2
2
( , )
ip tipx ipx
m
x t Ae Be e
ℏ
ℏ ℏ
−−
 



ψ = +






 
, trong ñó các hệ số
,
A B
phức.
13. Tìm mật ñộ dòng xác suất của hạt ñược mô tả bởi hàm sóng có dạng :
( )
x x
x Ae Be
ρ −ρ
ψ = +
,
trong ñó các hệ số
,
A B
phức còn
ρ
là thực
§3. Trạng thái dừng.
1. Chứng minh rằng, mật ñộ xác suất và mật ñộ dòng xác suất của hạt ở trạng thái dừng là không
phụ thuộc tường minh vào thời gian.
2. Trạng thái của hạt trong hố thế một chiều vuông góc, sâu vô hạn bề rộng (0 )a x a
< <
ñược mô tả
bởi hàm sóng ( ) ( ) ( : )x Ax a x A const
ψ = −
. Hãy tìm phân bố xác suất các giá trị khác nhau của năng
lượng . Tính giá trị trung binhg và thăng giáng toàn phương trung bình của năng lượng.

3. Hàm sóng ở thời ñiểm ñầu của một hạt có khối lượng
m
chuyển ñộng tự do trong miền
a x a
− ≤ ≤
của hố thể một chiều vuông góc, sâu vô hạn có dạng :
1 2
( ,0) cos sin
2
5 5
x x
x
a a
a a
π π
ψ = +
a. Xác ñịnh hàm sóng ( , )x t
ψ
tại thời ñiểm
0
t
>
.
b. Tính mật ñộ xác suất ( , )x t
ρ
và mật ñộ dòng xác suất
( , )j x t


c. Nghiệm lại ñịnh luật bảo toàn xác suất .

4. Hàm sóng ở thời ñiểm ñầu của một hạt có khối lượng
m
chuyển ñộng tự do trong miền
a x a
− ≤ ≤
của hố thể một chiều vuông góc, sâu vô hạn có dạng :
1 3 1 3
( ,0) cos sin cos
2 5 2
5 5
x x x
x
a a a a
a a
π π π
ψ = + +

a. Xác ñịnh các giá trị ño ñược và xác suất của các giá trị này khi ño năng lượng trong trạng thái
trên.
b. Tính năng lượng trung bình.
c. Tìm hàm sóng
( , )x t
ψ
tại thời ñiểm
0
t
>
bất kỳ. Xác ñịnh xác suất tìm thấy hạt ở thời ñiểm
t

trong trạng thái
2 2
2
2
1
( , ) sin
i
t
ma
x
x t e
a
a
π
−
π
ϕ =
ℏ

5. Hàm sóng ở thời ñiểm ñầu của một hạt có khối lượng
m
chuyển ñộng tự do trong miền
0
x a
≤ ≤

của hố thể một chiều vuông góc, sâu vô hạn có dạng :
8
( ,0) 1 cos sin
5

x x
x
a a a
 
π π


ψ = +




 

a. Xác ñịnh hàm sóng
( , )x t
ψ
tại thời ñiểm
0
t
>
.
b. Tính năng lượng trung bình ở thời ñiểm ñầu và thời ñiểm
0
t
>

c. Xác ñịnh xác suất tìm thấy hạt ở nửa trái của hố thế (miền
(0 )
2

a
x≤ ≤
tại thời ñiểm
0
t
>
.
6. Hàm sóng của dao ñộng tử ñiều hoà ở thời ñiểm
0
t
=
có dạng
[
]
0 1
( ,0) 3 ( ) 4 ( )x C x x
Ψ = ψ + ψ
,
trong ñó
C
là hệ số chuẩn hoá, ( )
n
x
ψ
là hàm sóng của trạng thái dừng thứ
n
của dao ñộng tử với :
2 2
1 1
4 4

2 2
0 1
2
( ) , ( )
m m
x x
m m m
x e x xe
ω ω
− −
   
ω ω ω
 
 
ψ = ψ =
 
 
 
 
   
π π
ℏ ℏ
ℏ ℏ ℏ

a. Tính hệ số chuẩn hoá
C


18

b. Xác ñịnh ( , )x t
Ψ
và
2
| ( , ) |
x t
Ψ
khi
0
t
>

c. Xác ñịnh xác giá trị trung bình trung bình
,
x p
và nghiệm lại ñịnh lý Ehrenfest.
Cho biết :
2
2
3
1
2
x
x e dx
+∞
−α
−∞
π
=
α

∫

§4. ðạo hàm của toán tử theo thời gian, Tích phân chuyển ñộng
1. Tìm biểu thức của toán tử vận tốc ñối với :
a. một hạt có Hamiltonian
2
ˆ
ˆ
( )
2
p
H V r
m
= +



b. một hạt mang ñiện chuyển ñộng trong trường ñiện từ với Hamiltonian
2
1
ˆ
ˆ
2
e
H p A e
m c
 


= − + ϕ





 


trong ñó
( , , )A x y z

là thế vector còn
( , , )x y z
ϕ
là thế vô hướng .
2. Chứng minh rằng :
a. Giá trị trung bình của xung lượng trong trạng thái dừng có phổ gián ñoạn là bằng 0
b. Giá trị trung bình của lực tác dụng lên hạt trong trạng thái dừng có phổ gián ñoạn là bằng 0
3. Chứng minh rằng, ñối với một hạt ở trong trường thế dừng
( )V r

thì :
a.
dr p
dt m
=
 
b.
( )
dp
V r

dt
= −∇



4. Chứng minh rằng : năng lượng, xung lượng, các hình chiếu moment xung lượng và bình phương
moment xung lượng của hạt tự do là các ñại lượng bảo toàn.
5. Tìm các tích phân chuyển ñộng của hạt chuyển ñộng trong trường lực có ñối xứng hình trụ ñồng
chất dài vô hạn dọc theo trục
z
:
( , ) ( )V x y V
= ρ
với
2 2
x y
ρ = +
.
6. Tìm các tích phân chuyển ñộng khi hệ chuyển ñộng trong trường lực có dạng
( , ) ( )V z t f t z
=
.
§5. Moment xung lượng. Chuyển ñộng trong trường xuyên tâm.
1. Thiết lập hệ thức bất ñịnh ñối với các thành phần
x
L và
y
L
2. Chứng minh rằng, nếu ( )
m

ψ φ
là hàm riêng của
ˆ
z
L ứng với trị riêng
m
ℏ
thì các giá trị trung bình
x
L
và
y
L trong trạng thái này ñều bằng 0.
3. Chứng minh rằng, nếu
( )
m
ψ φ
là hàm riêng của
ˆ
z
L
ứng với trị riêng
m
ℏ
thì
ˆ
( )
m
L
±

ψ φ
cũng là các
hàm riêng của
ˆ
z
L ứng với các trị riêng ( 1)m
±
ℏ
. Cho biết
ˆ ˆ ˆ
x y
L L iL
±
= ±
.
4. Chứng minh rằng, trong trạng thái
m
ψ
có
z
L
xác ñịnh thì :
2
2
x y y x
im
L L L L=− =
ℏ
và
2 2

x y
L L=
5. Tìm ñiều kiện ñể hình chiếu moment xung lượng
z
L
và bình phương moment xung lượng
2
L
là tích
phân chuyển ñộng.
6. Biết rằng toán tử Hamilton
ˆ
H
của hệ lượng tử là hermite.
a. Chứng minh rằng các giá trị năng lượng của hệ là thực.
b. Các hàm riêng của
ˆ
H
ứng với các trị riêng khác nhau là trực giao với nhau.
c. Giả sử
{
}
lm
ψ
là hệ hàm riêng ñủ của toán tử bình phương moment xung lượng
2
ˆ
L

và toán

tử hình chiếu moment xung lượng
ˆ
z
L
. Chứng minh rằng nếu hệ
{
}
lm
ψ
cũng là hàm riêng của
ˆ
H
thì
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
, , 0
z
H L H L
 
 
= =
 
 
 
 

.

19

7. Xác ñịnh các giá trị khả dĩ của hình chiếu moment
ˆ
z
L
trong trạng thái của rotator phẳng ñược mô
tả bằng hàm sóng
2
2
( ) cos
3
=ψ φ φ
π
, trong ñó
φ
là góc quay quanh trục
z
.
8. Trong toạ ñộ cầu, toán tử hình chiếu moment xung lượng có dạng
ˆ

z
L i
∂
= −
∂
ℏ
φ
(
0 2

≤ ≤
φ π
)
a. Tìm trị riêng và hàm riêng chuẩn hoá của
ˆ
z
L
b. Tìm xác suất các trị riêng
z
L khi hạt ở trong trạng thái ñược mô tả bởi hàm sóng
1
( ) sin=ψ φ φ
π

9. Hạt ở trong trạng thái ñược mô tả bởi hàm sóng có dạng :
1,1 1,0 1, 1
3 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
8 8
Y Y AY
−
Ψ = + +θ φ θ φ θ φ θ φ
, trong ñó
,
( , )
l m
Y
θ φ
là các hàm cầu
a. Xác ñịnh

A
ñể hàm sóng trên chuẩn hoá
b. Tính
ˆ
( , )L
+
Ψ
θ φ
, trong ñó
ˆ ˆ ˆ
x y
L L iL
±
= ±

c. Tính các giá trị trung bình của
ˆ
z
L
và
2
ˆ
L
trong trạng thái trên. Xác ñịnh xác suất ñể hình chiếu
z
L

nhận giá trị
0
trong trạng thái trên. Cho biết :

, , 1
ˆ
( 1) ( 1)
l m l m
L Y l l m m Y
± ±
= + − ±
ℏ

10. Xác ñịnh các giá trị khả dĩ và xác suất tương ứng của
2
L
và
z
L
trong trạng thái ñược mô tả bởi
hàm sóng có dạng
2
2
2
( )
r
b
r Cz e
−
=

ψ
trong ñó
b

là số thực,
C
là hằng số chuẩn hoá. Cho biết
2
00 20
1 5
, (3cos 1)
4 16
Y Y= = −θ
π π

11. Nguyên tử hidro ở trong trạng thái ñược mô tả bởi hàm sóng có dạng :
3
100 210 322
( , , ) 3 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )
i
r C r r e r
 
 
Ψ = + −
 
 
π
θ φ ψ θ φ ψ θ φ ψ θ φ

trong ñó
( , , )
nlm
r
ψ θ φ

là hàm riêng của toán tử năng lượng.
a. Xác ñịnh hệ số chuẩn hoá
C
. Hàm sóng trên có phải là hàm riêng của
2
ˆ
L
không ?
b. Xác ñịnh các giá trị năng lượng khả dĩ và xác suất của các giá trị này trong trạng thái trên
c. Tìm giá trị trung bình của năng lượng và hình chiếu của moment xung lượng lên trục
z
.
12. Xác ñịnh mật ñộ xác suất theo phương xuyên tâm của electron trong nguyên tử hidro ở trạng thái
với hàm sóng
0
2
( , , ) cos
r
a
r Cre
−
=
ψ θ φ θ
, trong ñó
0
a là bán kính Bohr. Cho biết
0
!
n x
x e dx n

∞
−
=
∫
.
13. Xác ñịnh giá trị trung bình
r
trong trạng thái cơ bản của nguyên tử hidro, ñược mô tả bởi hàm
sóng
( )
r
a
r Ce
−
=
ψ
, trong ñó
a
là bán kính quỹ ñạo Bohr thứ nhất.
§6. Spin và hệ hạt ñồng nhất
.
1. Chứng minh rằng có thể ño ñược ñồng thời bình phương spin và hình chiếu spin lên một trục.
2. Tìm các hàm riêng và trị riêng của các toán tử :
0 1
ˆ
1 0
2
x
S
 



=






 
ℏ
và
0
ˆ
0
2
y
i
S
i
 
−


=







 
ℏ

3. Tìm hàm sóng của hệ 2 electron không tương tác có tính ñến spin của electron.