(THCS) một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ............
TRƯỜNG THCS ............

ĐƠN YÊU CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN
“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH
NHÂN TỬ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI”
Thuộc lĩnh vực: Toán

Người thực hiện: ............
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THCS ............

............, tháng 4 năm 2019


CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: - Phịng Giáo dục và Đào tạo ............
- Hội đồng sáng kiến huyện ............
Số
TT

Họ và tên

1

............

Ngày

Nơi
tháng năm công tác
sinh

Chức
danh

Trình độ
chun
mơn

Trường Giáo viên Cao đẳng
THCS ....
Tốn - Lý
........

Tỷ lệ
(%)
đóng
góp vào
việc tạo
ra sáng
kiến
100%

Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Một số phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi ”
1. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
............ – GV Trường THCS ............
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Toán lớp 8.
3. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Sáng kiến được áp dụng thử lần đầu vào ngày 13 tháng 9 năm 2016
4. Mô tả bản chất của sáng kiến:
+ Về nội dung của sáng kiến:
* Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Nhiều định lý đã chứng tỏ được rằng mọi đa thức đều phân tích được thành
tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết, cịn trong thực


hành thì khó khăn hơn nhiều, và địi hỏi những “kĩ thuật”, những thói quen và kĩ
năng “sơ cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường
dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.
1) Các phương pháp thông thường.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể
trên để có thể phân tích đa thước thành nhân tử.
Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử.
M1

= 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)

(Nhóm các hạng tử)

= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2:

M2

Phân tích thành nhân tử.

= a2 - b2 - 2a + 2b
= (a2 - b2) - (2a - 2b)

(Nhóm các hạng tử)

= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2)

(Đặt NTC)

Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử
cần chú ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản
đa thức.
+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào khơng ?
+ Nếu khơng có nhân tử chung, hoặc khơng có hằng đẳng thức thì phải
nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử
chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng
thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:


M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Ta thấy M 3 khơng có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng khơng có nhân tử
chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a 2 - 5b2 có nhân
tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:

M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2.
Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng đẳng
thức:
M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả
hai nhóm là (a + b):
M3 = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2 .
M3 đã có nhân tử chung là: (a + b). Ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]
M3 = (a + b)(8a – 2b)
Như vậy M3 đã được phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy.
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào khơng?
+ Nhóm hạng tử: M4 = 3 xyx2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2
+ Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử
trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M4 đã được phân tích các đa thức thành nhân tử.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt
phối hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các


bước phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức khơng thể phân tích được
nữa).

2) Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp
phân tích thành nhân tử thơng thường (đã học trong SGK) và kết hợp các
phương pháp sau để làm các bài tốn khó.
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
a) Phương pháp tách hạng tử.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 – 16x2 + 100
Tách hạng tử thứ 2 ( Tách – 16x2 = 20x2 – 36x2 ).
x4 – 16x2 + 100 = x4 + 20x2 + 100 - 36x2
= (x4 + 20x2 + 100) - 36x2
= (x2 + 10)2 – (6x)2

(Nhóm hạng tử)

(Dùng hằng đẳng thức )

= (x2 – 6x + 10)( x2 + 6x + 10) (Dùng hằng đẳng thức )
Vì x2 – 6x + 10 = (x-3)2 + 1 khơng phân tích được nữa
Và x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 + 1 khơng phân tích được nữa
( Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 của Phịng GDĐT ............
năm học 2017-2018)
Ví dụ 6. Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2 ( Tách – 8x = – 6x – 2x ).
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
= (3x2 – 6x) – (2x - 4) (Nhóm hạng tử)
= 3x(x – 2) – 2(x – 2) (Đặt nhân tử chung)

= (x – 2)(3x – 2)

(Đặt nhân tử chung)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất ( Tách 3x2 = 4x2– x2 ).
3x2 – 8x + 4 = 4x2– x2 – 8x + 4


= (4x2 – 8x + 4) - x2 (Nhóm hạng tử)
= (2x – 2)2 – x2

(Dùng hằng đẳng thức)

= (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) (Dùng hằng đẳng thức)
= (x – 2)(3x – 2)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
N = a2 - 6a + 8.
Cách 1: a2 - 4a - 2a + 8

(Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)

= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2)

(Đặt nhân tử chung)

Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó
có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử
còn lại.

Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)
= (a - 3)2 - 1 (Dùng hằng đẳng thức)
= (a - 3 +1) (a - 3 - 1) (Dùng hằng đẳng thức )
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)
Cách 3:
N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6a = - 4a + ( - 2a)
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thành 2 nhân tử)
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách
sau là thơng dụng nhất;
- Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa
thức mới được đưa về hiệu hai bình phương (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng
đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử cịn lại (cách 3).


- Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng
phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung
mới (cách 1)
Ví dụ 8: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử.
Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau;
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử
bậc nhất) (như cách 3)
b) Phương pháp thêm bớt hạng tử.
- Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình

phương:
Ví dụ 9: Phân tích đa thức 4x4 + 81 thành nhân tử
4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 ( Thêm và bớt 36x2 vào đa thức)
= (4x4 + 36x2 + 81) - 36x2 (Nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)
= (2x2 + 9)2 – 36x2

(dùng hằng đẳng thức)

= (2x2 + 9)2 – (6x)2

(dùng hằng đẳng thức)

= (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)

(dùng hằng đẳng thức)

= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức x8 + 98x4 + 1 thành nhân tử
x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
( Tách 98x4 = 2x4 + 96x4 và nhóm hạng tử )
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
( Dùng hằng đẳng thức ; Thêm, bớt 16x2(x4 + 1))
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2)
( Dùng hằng đẳng thức; Đặt NTC
= (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 ( Dùng hằng đẳng thức)


= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 ( Dùng hằng đẳng thức)
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
Ví dụ 11: Phân tích đa thức P1 = x4 + 4 thành nhân tử

P1 = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 - 4x2

(thêm 4x2, bớt 4x2)

= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2

(nhóm hạng tử)

= (x2 + 2)2 - (2x)2

(dùng hằng đẳng thức)

= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
Ví dụ 12: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử.
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2)
= (a2 + 8)2 - (4a)2
= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Như vậy việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất
tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức
nào? bình phương của 1 tổng hay hiệu hai bình phương... thì mới phân tích triệt
để được.
- Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 13: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 )
= x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1]
= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 14:

x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
=(x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1]
= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)


Ghi nhớ:
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 +
x4 + 1 ; x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
c) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 15:
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng: (y – 12)(y + 12) + 128
= y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 )
= (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 16: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x  0 ta viết
6
1
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – x + 2 )
x
= x2 [(x2 +
Đặt x -

1
1
) + 6(x )+7]

2
x
x

1
1
= y thì x2 + 2 = y2 + 2, do đó
x
x

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
= [x(x -

1 2
) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2
x

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
Ví dụ 17: A = ( x2  y 2  z 2 )( x  y  z )2  ( xy  yz +zx)2

2 2 2
2 2 2
2
=  ( x  y  z )  2( xy  yz +zx)  ( x  y  z )  ( xy  yz +zx)




Đặt x 2  y 2  z 2 = a, xy + yz + zx = b ta có
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x 2  y 2  z 2 + xy + yz + zx)2


Ví dụ 18:
B = 2( x4  y 4  z 4 )  ( x2  y 2  z 2 )2  2( x2  y 2  z 2 )( x  y  z )2  ( x  y  z )4
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại có: a – b2 = - 2( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx). Do đó:
B = - 4( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 ) + 4 (xy + yz + zx)2
 4 x 2 y 2  4 y 2 z 2  4 z 2 x2  4 x2 y 2  4 y 2 z 2  4 z 2 x2  8x 2 yz  8xy 2 z  8xyz 2
 8 xyz ( x  y  z )
Ví dụ 19: C = (a  b  c)3  4(a3  b3  c3) 12abc
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
2 2
a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m - n ). Ta có:
4
3
2
C = (m + c)3 – 4. m + 3mn  4c3  3c(m2 - n 2 ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
4

= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a +
b)
Ví dụ 20: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt
y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến). Khi đó ta có:
D1 = y2 + 4y - 12

Ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt
D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12)

(Tách 4y = 6y - 2y)

D1 = y (y - 2) + 6(y - 2)

(đặt nhân tử chung)

D1 = (y – 2)(y + 6)

(đặt nhân tử chung)

Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)


Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương phápđã
nêu ở trên. Chú ý có những tam thức khơng thể phân tích tiếp được như :
x2 + x + 6 = (x +

1 2
3
) + 5 . Do vậy khơng phân tích tiếp được nữa
2
4

Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2).
d) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.

Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý
Bơ du ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng
phép chia đa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x 2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân
tích tiếp được dựa vào các phương pháp nêu ở trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
 đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có
x = -1.
 đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét được tổng các hệ số như trên thì ta xét các ước của hệ
số tự do d (hệ số không đổi). Nếu ước nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng
0 thì ước đó là nghiệm
Ví dụ 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - 4
Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1;  2;  4 , chỉ có f(2) = 0 nên
x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x)
thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1:



 



3
2
2
2

x3 – x2 – 4 = x  2 x  x  2 x   2 x  4   x  x  2   x( x  2)  2( x  2)



2
=  x  2 x  x  2




Cách 2:



 



x3  x2  4  x3  8  x2  4  x3  8  x 2  4  ( x  2)( x2  2 x  4)  ( x  2)( x  2)





 2

2
=  x  2   x  2 x  4  ( x  2)   ( x  2)( x  x  2)




Ví dụ 22: Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: 1,  5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) khơng có nghiệm
ngun. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x =

1
là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
3

f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 3x3  x 2  6 x2  2 x  15 x  5



 



 3x3  x2  6 x2  2 x   15 x  5
= x 2 (3x 1)  2 x(3x 1)  5(3x 1)  (3x 1)( x 2  2 x  5)
Vì x 2  2 x  5  ( x2  2 x  1)  4  ( x  1)2  4  0 với mọi x nên khơng phân tích
được thành nhân tử nữa
Ví dụ 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các
hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4)
= x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví dụ 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho
(x – 1) ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm ngun cũng khơng có nghiệm hữu
tỉ nên khơng phân tích được nữa
Ví dụ 25: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.


a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0  x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 cho (x - 1) 
Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 26: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E2 = x3 - 3x + 2
Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E2  0 do đó loại x =  1
Xét các Ư(2) =  2 có x = -2 là nghiệm của E2
 E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1)

(Chia E2 cho(x - 2))

E2 = (x + 2) (x -1)2
Các ví dụ trên đây là một số phương pháp để phối kết hợp với
các phương pháp thơng thường giúp học sinh phân tích được các bài
tốn khó thành nhân tử giúp cho q trình rút gọn phân thức cũng như
giải phương trình.
e) Phương pháp hệ số bất định :
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự
do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
f(-1)
và
đều
a-1
a+1

là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
Ví dụ 27: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số  1,  3 không là nghiệm của đa thức, đa thức khơng có
nghiệm ngun cũng khơng có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd


 a  c  6
ac  b  d  12


ad  bc  14

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: bd  3

Xét bd = 3 với b, d  Z, b  1;  3 với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở
thành
a  c  6

ac  8
2c  8 c  4




a  2
a  3c  14 ac  8
bd  3

Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Ví dụ 28: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
a  4  3
b  2a  7 a  1


 b  5
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c  
c  2b  6
c  4

2c  8

Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc
chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1 nên
2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)

Ví dụ 29 : 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy – 3
= (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3
ac  12
bc  ad  10 a  4


c  3
 3c  a  5

bd  12
b   6

d  2
3d  b  12
 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)


3) Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a)

x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phương pháp tách).

Gợi ý 4 cách làm.
C1: Tách - 4x = - 3x + (-x)
C2: Tách 3 = 4 - 1.
C3: Tách 3 = 12 - 9
C4: Tách - 4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.

81a4 + 4

b)

(thêm bớt hạng tử)

Gợi ý: Thêm 2 lần tích của 9a2 và 2  Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36a2
(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phương pháp đổi biến).

c)

Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y
x3 - 2x2 - x + 2

d)

(phương pháp tìm nghiệm).

Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phương pháp khác để phân tích các bài tập
trên thành nhân tử.
Bài tập 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
M=

a 3  4a 2  a  4
với a = 102
a 3  7 a  14a  8

Gợi ý:
+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phương pháp nhóm hằng đẳng thức đưa

tử thành nhân tử.
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử
chung, tách hạng tử.
+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức.
+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:


a)

y2 - 5y + 4 = 0.

Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử  phương trình trở về phương trình
tích.
b) y 3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành
phương trình tích  giải phương trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24.
Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý:
+ Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phương pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên
liên tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A M 3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên một
trong hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4. Vậy A M 8

+ Nhưng ƯCLN (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp ln
chia hết cho 24.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gợi ý:
+ Trước hết sử dụng các phương pháp của phân tích đa thức thành nhân tử
để phân tích A.


A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7
* Lập luận.
Vì (x - 2)2  o và (y + 1)2  0, dấu " = "xảy ra khi x = 2 và y = - 1 nên
A = (x - 2)2 + (y + 1)2 + 7  7
Vậy AMin = 7 khi x = 2; y = -1
Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A= x2 + 2y + z2 + 2x + y2 + 2z
Gợi ý:
+ Trước hết ta phân tích A.
A= x2 + 2y + z2 + 2x + y2 + 2z
A = (x2 + 2x) + ( y2+ 2y) + ( z2 + 2z) (nhóm hạng tử)
A= (x2 + 2x + 1) + ( y2+ 2y + 1) + ( z2 + 2z + 1) – 3 (Thêm, bớt hạng tử)
A = ( x + 1)2 + ( y + 1 )2 + ( z + 1)2 - 3
* Lập luận.
Dấu " = "xảy ra khi x = -1 ; y = - 1 và z = -1 nên
A = ( x + 1)2 + ( y + 1 )2 + ( z + 1)2 – 3  -3
Vậy AMin = -3 khi x = -1 ; y = - 1 và z = -1
Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A= -8x2 - 6y2 + 16x – 12y - 1

+ Trước hết ta phân tích A.
A= -8(x2 – 2x + 1) – 6(y2 + 2y + 1) + 8 + 6 – 1 ( Thêm, bớt hạng tử)
A= -8(x-1)2 - 6(y+1)2 + 13 ( Dùng hằng đẳng thức)


A= 13 - 8(x-1)2 - 6(y+1)2
* Lập luận.
Dấu " = "xảy ra khi x = 1; y = -1 nên
A= 13 - 8(x-1)2 - 6(y+1)2  13
Vậy Amax = 13 khi x = 1 và y = -1
( Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 của Phịng GDĐT ............
năm học 2014-2015)
+ Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
Sáng kiến này có thể áp dụng cho nhóm học sinh giỏi Toán Trường THCS
............ - ............ - ............ nói riêng và cho việc bồi dưỡng chọn học sinh giỏi
tốn THCS trong các trường học khác nói chung đồng thời còn là một tài liệu
tham khảo cho các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.
Đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi
dưỡng học sinh giỏi, tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những mạch kiến
thức rất trọng tâm của chương trình Tốn.
5. Những thơng tin cần được bảo mật: Không
6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Bồi dưỡng HSG mơn Tốn để học sinh đạt giải (đặc biệt là giải cao ) trong
các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện là một việc làm rất khó khăn, vất vả và tốn
nhiều cơng sức của cả thầy và trò, trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Huyện,
cấp Tỉnh, ... nhiều năm cũng có những bài tốn về chun đề phân tích đa thức
thành nhân tử. Vậy điều kiện cần thiết phải có để áp dụng sáng kiến này là phải
chọn được đối tượng học sinh khá, giỏi mơn Tốn của lớp 8,9 và người giáo viên
phải tìm ra phương pháp bồi dưỡng hiệu quả, phải hiểu sâu rộng vấn đề cần
truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy

học sinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính
tích cực, sáng tạo và tự giác của học sinh là rất cần thiết vì khơng những giúp


học sinh học tập dễ dàng mà còn rèn cho các em bản lĩnh kiên cường, tự tin khi
bước vào kỳ thi.
7. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
7.1. Theo ý kiến tác giả
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường
THCS ............ trong năm học 2016 – 2017 đã thu được các kết quả khả quan.
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua
mỗi kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ
thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng tốn có liên quan đến việc
phân tích đa thức đạt kết quả tốt, rất nhiều học sinh chủ động tìm tịi và định
hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều
sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử.Bên cạnh đó các phương pháp này giúp các em dễ dàng tiếp cận
với các dạng tốn khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ
năng trong q trình học tập và giải tốn khi học bộ mơn Tốn.
* Bài tập khảo sát: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A= -8x2 - 6y2 + 16x – 12y - 1
* Kết quả:
- Trước khi áp dụng:
Tổng số
HS
8

Điểm 0 – 4

Điểm 5 – 6

Điểm 7 - 8

Điểm 9 – 10

2

3

2

1

Điểm 0 – 4

Điểm 5 – 6

Điểm 7 - 8

Điểm 9 – 10

0

2

3

3

- Sau khi áp dụng:
Tổng số
HS
8


7.2. Theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần
đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có): Khơng
8. Danh sách những người đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng
sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số Họ
TT tên
1

vàNgày thángNơi cơngChức
năm sinh tác
danh

............ 05/11/1991 Trường
THCS

Trình
độNội dung cơng việc
chun
hỗ trợ
mơn

Giáo viên Cao đẳng Áp dụng sáng kiến
Tốn - Lý

............
Tơi xin cam đoan mọi thơng tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự
thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.

............, ngày 9 tháng 4 năm 2019
Người nộp đơn

............


KẾT QUẢ CHẤM CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN NHÀ TRƯỜNG
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….