PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Ở TRƯỜNG THCS ĐẠI PHÚ.

CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đại Phú, ngày

tháng

năm 201..

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
DỰ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2012 - 2013
II. Nội dung
1. Đặt vấn đề
a. Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN 8 Ở TRƯỜNG THCS ĐẠI PHÚ.
b. Lý do chọn sáng kiến kinh nghiệm:
Bồi dưỡng HSG mơn Tốn để học sinh đạt giải (đặc biệt là giải cao ) trong các
kỳ thi học sinh năng khiếu cấp huyện là một việc làm rất khó khăn, vất vả và tốn nhiều
cơng sức của cả thầy và trò. Việc tìm ra phương pháp bồi dưỡng hiệu quả là rất cần
thiết vì khơng những giúp học sinh học tập dễ dàng mà còn rèn cho các em bản lĩnh
kiên cường, tự tin khi bước vào kỳ thi.
Phân tích đa thức thành nhân tử là một chun đề khó và rộng, chiếm một vị trí
quan trọng trong chương trình bồi dưỡng với các dạng tốn như: Phân tích đa thức
thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất của biểu thức, tìm nghiệm ngun của phương trình, giải phương trình, chứng
minh chia hết,…Do đó việc tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
nhanh chóng, thơng minh, chính xác là rất cần thiết đối với cả giáo viên và học sinh.
Vì vậy tơi chọn đề tài này nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực
hành thành thạo dạng tốn trên để tăng số học sinh đạt giải, nâng chất lượng giải trong
các kỳ thi chọn học sinh năng khiếu mơn tốn 8 cấp huyện.
c. Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu:

-Nhóm Học sinh giỏi Tốn lớp 8 Trường THCS Đại Phú - Sơn Dương
–Tun Quang.
2. Giải quyết vấn đề
a. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Để việc bồi dưỡng đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền
đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm
trung tâm của q trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo và
tự giác của học sinh.
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì
trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành
tích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phương
pháp nâng cao để phân tích, đó là:
1) Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C).
2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức.


1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung
hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:
+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.

4) Phối hợp các phương pháp cơ bản: Vận dụng và phát triển kỹ năng
là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
5)Phương pháp tìm mghiệm của đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là
ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng
tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm ngun của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
f(-1)
và
đều là số
a-1
a+1

ngun. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
6)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:


Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản
đã học để giải.
7) Phương pháp tách hạng tử:
8) Phương pháp đặt biến phụ:
9)Phương pháp hệ số bất định: Đó là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đó suy
ra các hệ số cần tìm trong sự phân tích đa thức thành nhân tử.

b) Thực trạng của vấn đề:
-Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt là
các bài tốn khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo.
- Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ?
Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học.
-Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán
khác nhau.
-Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic.
-Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn
nại khi gặp bài toán khó.
c) Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
* Quy trình và cách thức:
- Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đâu năm học
- Tổ chức thi tuyển chọn các em có năng khiếu về bộ mơn. Đặc biệt là phải học
được mơn Tốn.
- Tổ chức cho học ơn luyện theo chun đề, trao đổi trực tiếp. Sau mỗi chun
đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh ( Đề ra dạng như đề thi để học sinh làm
quen dần )
- Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy và tự học; tìm tòi nhiều dạng bài tập
phong phú cho học sinh luyện tập khơng chỉ trên lớp mà cả ở nhà.
- Thổi vào học sinh sự tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường và quyết tâm
thi đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh năng khiếu. Động viên, khích lệ học sinh
thường xun và liên tục. Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học
sinh trong từng buổi học.
- Mỗi dạng tốn cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải một cách tỉ mỉ, khai
thác triệt để phương pháp giải và cho các em luyện tập ít nhất là 2 lần bằng những bài
tốn tương tự trên lớp. Sau mỗi buổi học Giáo viên giao bài tập về nhà cho các em
luyện tập để các em được khắc sâu hơn về các dạng tốn đã được ơn tâp.
Trong viƯc gi¶ng d¹y bé m«n to¸n gi¸o viªn cÇn ph¶i rÌn lun cho häc sinh tÝnh
t duy, tÝnh ®éc lËp, tÝnh s¸ng t¹o vµ linh ho¹t, tù m×nh t×m tßi ra kiÕn thøc míi, ra ph ¬ng

ph¸p lµm to¸n ë d¹ng c¬ b¶n nh c¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng mµ cßn ph¶i dïng mét sè
ph¬ng ph¸p khã h¬n ®ã lµ ph¶i cã thđ tht riªng ®Ỉc trng, tõ ®ã gióp c¸c em cã høng
thó häc tËp, ham mª häc to¸n vµ ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o khi gỈp c¸c d¹ng to¸n khã.
Ngêi thÇy gi¸o trong khi gi¶ng d¹y cÇn rÌn lun cho häc sinh cđa m×nh víi kh¶
n¨ng s¸ng t¹o, ham thÝch häc bé m«n to¸n vµ gi¶i ®ỵc c¸c d¹ng bµi tËp mµ cÇn ph¶i
th«ng qua ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư, n©ng cao chÊt lỵng häc tËp, ®¹t kÕt qu¶ tèt
trong c¸c kú thi. Tõ ®ã t«i m¹nh d¹n chän ®Ị tµi s¸ng kiÕn kinh nghiƯm " Ph¬ng ph¸p


phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các
phơng pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phơng pháp giải
phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.
* Kho sỏt thc tin
Khi cha thc hin ti ny, thỡ hu ht cỏc em lm bi tp rt lỳng tỳng, thi gian
lm mt nhiu, thm chớ khụng tỡm ra cỏch gii. thc hin ti ny tụi ó tin hnh
kho sỏt nng lc ca hc sinh thụng qua mt s bi kim tra kt qu nh sau:
Xếp loại
Tổng số HS

2

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

0

0

1

50

1

50

0

0

Thụng qua kt qu kho sỏt tụi ó suy ngh cn phi cú bin phỏp thớch hp ging
dy, truyn t cho hc sinh nm vng nhng yờu cu trong quỏ trỡnh gii nhng bi
toỏn v phõn tớch a thc thnh nhõn t. Tụi mnh dn nờu ra mt s bin phỏp di
õy:
* Mt s bin phỏp
1) Biện pháp thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản nh các
quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia
đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các
quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng
nhớ.
2) Biện pháp thứ hai.
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích
của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)
2.1) Các phơng pháp thông thờng.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
Trong thực hành giải toán thờng phải phối hợp cả ba phơng pháp kể trên để có thể
phân tích đa thớc thành nhân tử.
Ví dụ1:
Phân tích thành nhân tử.
M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)
(Nhóm các hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)

Ví dụ 2:
Phân tích thành nhân tử.


M2

= a2 - b2 - 2a + 2b
= (a2 - b2) - (3a - 2b)
(Nhóm các hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2)
(Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phơng pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý
các bớc sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các
hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện
nhân tử chung của các
nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung,
vậy làm gì để phân tích đợc. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a 2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì
vậy ta dùng phơng pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:
M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2.
Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng đẳng thức:
M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai
nhóm là (a + b):

M3 = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2 .
M3 đã có nhân tử chung là: (a + b). Ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]
M3 = (a + b)(8a 2b)
Nh vậy M3 đã đợc phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy.
Trớc hết hãy xác định xem dùng phơng pháp nào trớc ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
+ Nhóm hạng tử: M4 = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]
+ Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xét hai hạng tử trong
ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M4 đã đợc phân tích các đa thức thành nhân tử.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp
sử dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bớc phân tích đợc rõ
ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích đợc nữa).


2.2) Một số phơng pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trớc hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phơng pháp phân tích
thành nhân tử thông thờng (đã học trong SGK) và kết hợp các phơng pháp sau để làm
các bài toán khó.
+ Phơng pháp tách hạng tử.
+ Phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ.

+ Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phơng pháp dùng hệ số bất định.
a) Phơng pháp tách hạng tử.
Vớ d 5. Phõn tớch a thc thnh nhõn t: 3x2 8x + 4
Cỏch 1: Tỏch hng t th 2
3x2 8x + 4 = 3x2 6x 2x + 4 = 3x(x 2) 2(x 2) = (x 2)(3x 2)
Cỏch 2: Tỏch hng t th nht:
3x2 8x + 4 = (4x2 8x + 4) - x2 = (2x 2)2 x2 = (2x 2 + x)(2x 2 x)
= (x 2)(3x 2)
Ví dụ 6: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a2 - 6a + 8.
Cách 1: a2 - 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể
kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại.
Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)
= (a - 3)2 - 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)
Cách 3:
N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử)
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là
thông dụng nhất;

- Phơng pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới đợc
đa về hiệu hai bình phơng (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có nhân tử
chung với hạng tử còn lại (cách 3).
- Phơng pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)
Ví dụ 7: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử.
Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c
Trong thực hành ta làm nh sau;
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất)
(nh cách 3)
b) Phơng pháp thêm bớt hạng tử.
1. Thờm, bt cựng mt s hng t xut hin hiu hai bỡnh phng:
Ví dụ 8:

4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 36x2

= (2x2 + 9)2 (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 6x + 9)
Ví dụ 9: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 16x2(x4 + 1 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức P1 = x4 + 4 thành nhân tử
P1 = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 - 4x2

(thêm 4x2, bớt 4x2)

= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2

(nhóm hạng tử)

= (x2 + 2)2 - (2x)2

(dùng hằng đẳng thức)

= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
Ví dụ 11: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử.
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2)
= (a2 + 8)2 - (4a)2
= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)


Nh vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi,
song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình phơng của 1 tổng hay hiệu hai bình phơng... thì mới phân tích triệt để đợc.
2. Thờm, bt cựng mt s hng t xut hin nhõn t chung
Ví dụ 12: x7 + x2 + 1 = (x7 x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 13: x7 + x5 + 1 = (x7 x ) + (x5 x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 1)(x3 + 1) + x2(x3 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x 1)(x4 + x) + x2 (x 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 x4 + x2 x) + (x3 x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 x4 + x3 x + 1)
c) Phơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 14: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128

= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
t x2 + 10x + 12 = y, a thc cú dng
(y 12)(y + 12) + 128 = y2 144 + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 15: A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + 1
Gi s x 0 ta vit
6
1
1
1
x4 + 6x3 + 7x2 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 x + 2 ) = x2 [(x2 + 2 ) + 6(x )+7]
x
x
x
t x -

1
1
= y thỡ x2 + 2 = y2 + 2, do ú
x
x

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x -

1 2
) + 3x]2 = (x2 + 3x 1)2
x

Chỳ ý: Vớ d trờn cú th gii bng cỏch ỏp dng hng ng thc nh sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + 1 = x4 + (6x3 2x2 ) + (9x2 6x + 1 )

= x4 + 2x2(3x 1) + (3x 1)2 = (x2 + 3x 1)2
Ví dụ 16: A = ( x2 + y 2 + z 2 )( x + y + z )2 + ( xy + yz +zx)2
2 2 2
2 2 2
2
= ( x + y + z ) + 2( xy + yz +zx) ( x + y + z ) + ( xy + yz +zx)




t x 2 + y 2 + z 2 = a, xy + yz + zx = b ta cú


A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx)2
Ví dụ 17:
B = 2( x4 + y 4 + z 4 ) ( x2 + y 2 + z 2 )2 2( x2 + y 2 + z 2 )( x + y + z )2 + ( x + y + z )4
t x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta cú:
B = 2a b2 2bc2 + c4 = 2a 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a b2) + (b c2)2
2 2
2 2
2 2
Ta li cú: a b2 = - 2( x y + y z + z x ) v b c2 = - 2(xy + yz + zx) Do ú;
2 2
2 2
2 2
B = - 4( x y + y z + z x ) + 4 (xy + yz + zx)2 =

4 x2 y 2 4 y 2 z 2 4 z 2 x 2 + 4 x 2 y 2 + 4 y 2 z 2 + 4 z 2 x2 + 8 x 2 yz + 8xy 2 z + 8xyz 2
= 8 xyz ( x + y + z )
Ví dụ 18: (a + b + c)3 4(a3 + b3 + c3 ) 12abc

t a + b = m, a b = n thỡ 4ab = m2 n2
2 2
a3 + b3 = (a + b)[(a b)2 + ab] = m(n2 + m - n ). Ta cú:
4
3
2
C = (m + c)3 4. m + 3mn 4c3 3c(m2 - n 2 ) = 3( - c3 +mc2 mn2 + cn2)
4
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Ví dụ 19: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt
y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến). Khi đó ta có:
D1 = y2 + 4y - 12
Ta có thể dùng phơng pháp tách hoặc thêm bớt
D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12)
(Tách 4y = 6y - 2y)
D1 = y (y - 2) + 6(y - 2)
(đặt nhân tử chung)
D1 = (y 2)(y + 6)
(đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phơng pháp
đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp đợc nh :
x2 + x + 6 = (x +

1 2
3

) + 5 . Do vậy không phân tích tiếp đợc nữa
2
4

Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2).


d) Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du
ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa
thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x 2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp
đợc dựa vào các phơng pháp nêu ở trên.
Các phơng pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1.
đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét đợc tổng các hệ số nh trên thì ta xét các ớc của hệ số tự do d
(hệ số không đổi). Nếu ớc nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ớc đó là nghiệ
Vớ d 20. Phõn tớch a thc thnh nhõn t: x3 x2 - 4
Ta nhõn thy nghim ca f(x) nu cú thỡ x = 1; 2; 4 , ch cú f(2) = 0 nờn x = 2 l
nghim ca f(x) nờn f(x) cú mt nhõn t l x 2. Do ú ta tỏch f(x) thnh cỏc nhúm cú
xut hin mt nhõn t l x 2
Cỏch 1:
x3 x2 4 =

(

( x 2 ) x2 + x + 2

( x3 2x2 ) + ( x2 2x ) + ( 2x 4) = x2 ( x 2) + x(x 2) + 2(x 2)

)

Cỏch 2:

(

) (

)

x3 x 2 4 = x3 8 x2 + 4 = x3 8 x 2 4 = ( x 2)( x2 + 2 x + 4) ( x 2)( x + 2)

(

)

2

2
= ( x 2 ) x + 2 x + 4 ( x + 2) = ( x 2)( x + x + 2)




Vớ d 21. Phõn tớch a thc thnh nhõn t:f(x) = 3x3 7x2 + 17x 5
Nhn xột: 1, 5 khụng l nghim ca f(x), nh vy f(x) khụng cú nghim nguyờn.

Nờn f(x) nu cú nghim thỡ l nghim hu t
Ta nhn thy x =

1
l nghim ca f(x) do ú f(x) cú mt nhõn t l 3x 1. Nờn
3

f(x) = 3x3 7x2 + 17x 5 =

(

) (

)

3x3 x 2 6 x2 + 2 x + 15 x 5 = 3x3 x 2 6 x 2 2 x + ( 15 x 5 )

=


= x 2 (3x 1) 2 x(3x 1) + 5(3x 1) = (3x 1)( x 2 2 x + 5)
Vỡ x 2 2 x + 5 = ( x2 2 x + 1) + 4 = ( x 1)2 + 4 > 0 vi mi x nờn khụng phõn tớch c
thnh nhõn t na
Vớ d 22. Phõn tớch a thc thnh nhõn t: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhn xột: Tng cỏc h s ca cỏc hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng t
bc l nờn a thc cú mt nhõn t l x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Vớ d 23. Phõn tớch a thc thnh nhõn t:f(x) = x5 2x4 + 3x3 4x2 + 2
Tng cỏc h s bng 0 thỡ nờn a thc cú mt nhõn t l x 1, chia f(x) cho (x 1) ta

cú:
x5 2x4 + 3x3 4x2 + 2 = (x 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vỡ x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 khụng cú nghim nguyờn cng khụng cú nghim hu t nờn
khụng phõn tớch c na
Ví dụ 24: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phơng pháp đã học để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 25: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E2 = x3 - 3x + 2
Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E2 0 do đó loại x = 1
Xét các Ư(2) = 2 có x = -2 là nghiệm của E2
E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1)

(Chia E2 cho(x - 2))

E2 = (x + 2) (x -1)2
Các ví dụ trên đây là một số phơng pháp để phối kết hợp với các phơng
pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc các bài toán khó thành nhân tử
giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng nh giải phơng trình.
e) Phng phỏp h s bt nh :
+ a thc f(x) cú nghim hu t thỡ cú dng p/q trong ú p l c ca h s t do, q l
c dng ca h s cao nht
+ Nu f(x) cú tng cỏc h s bng 0 thỡ f(x) cú mt nhõn t l x 1


+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng
tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
f(-1)
và
đều là số
a-1
a+1

nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
VÝ dô 26.

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

Nhận xét: các số ± 1, ± 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm
nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
 a + c = −6
 ac + b + d = 12


 ad + bc = −14

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: bd = 3

Xét bd = 3 với b, d ∈ Z, b ∈ { ±1, ±3} với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành
 a + c = −6
 ac = −8
 2c = − 8  c = − 4


⇒
⇒

a = −2
 a + 3c = −14 ac = 8
bd = 3

Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
VÝ dô 27

2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
 a − 4 = −3
b − 2a = −7 a = 1


⇒ b = −5

c − 2b = 6
c = −4


−
2
c
=
8

4
3
2
= 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c ⇒ 

Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn
bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1 nên
2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
VÝ dô 28

12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)


= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy 3
ac = 12
bc + ad = 10 a = 4


c = 3
3
c

a
=
5

bd = 12
b = 6

d = 2
3d b = 12
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)

3) Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1a.

x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phơng pháp tách).

Gợi ý 4 cách làm.
C1: Tách - 4x = - 3x + (-x)
C2: Tách 3 = 4 - 1.
C3: Tách 3 = 12 - 9
C4: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
1b.

81a4 + 4

(thêm bớt hạng tử)

Gợi ý:Thêm 2 lần tích của 9a2 và 2 Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36x2
1c:

(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phơng pháp đổi biến).

Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y
1d:

x3 - 2x2 - x + 2

(phơng pháp tìm nghiệm).

Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phơng pháp khác để phân tích các bài tập trên thành
nhân tử.
Bài tập 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
3
2
M = a3 4a a + 4 với a = 102

a 7 a + 14a 8

Gợi ý:
+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phơng pháp nhóm hằng đẳng thức đa tử thành
nhân tử.
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung,
tách hạng tử.
+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức.
+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài tập 3: Giải các phơng trình sau:


3.a)

y2 - 5y + 4 = 0.

Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử phơng trình trở về phơng trình tích.
3b: y 3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình đã cho thành phơng trình
tích giải phơng trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
a)

A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24.

Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý:
+ Trớc hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên liên
tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A 3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộc trong
hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4. Vậy A 8
+ Nhng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24.
b)

B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24.

Với n là số nguyên dơng tuỳ ý.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gợi ý:

+ Trớc hết sử dụng các phơng pháp của phân tích đa thức thành nhân tử để phân
tích A.
A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7
* Lập luận.


Vì (x - 2)2 o và (y + 1)2 0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên A = (x - 2) 2 +
(y + 1)2 + 7 7
Vậy AMin = 7 khi x = 2; y = -1

d) Kết quả đạt đợc:
p dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trờng THCS Đại Phú trong
năm học 2011 - 2012 đã thu đợc các kết quả khả quan .
Kết quả học tập của học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ thi,
đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa
thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết
quả tốt. Bên cạnh đó các phơng pháp này giúp các em dễ dàng tiếp cận với các dạng
toán khó và các kiến thức mới cũng nh việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình
học tập và giải toán khi học bộ môn toán.
HS 1 :Đạt 13,5/20 điểm- Đạt giải khuyến khích HSG Toán cấp huyện.
HS2 : Đạt 15,5/20 điểm - Đạt giải ba HSG Toán cấp huyện

3. Kết luận.
a)Bài học kinh nghiệm:
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả
hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hớng phơng pháp làm bài khi cha có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và
kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì lẽ đó vơí mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả

năng tiếp thu bài của các đối tợng học sinh để từ đó đa ra những bài tập và phơng pháp
giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú học tập, say sa
giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có đợc nh vậy thì
ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hớng dẫn học sinh làm, đa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải
khác nhau cũng nh cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phơng pháp giải toán
nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các
cách giải: Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử ở trên đây giúp


học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử.
Các kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn
rất nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để
tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm
thực hiện tốt chơng trình mới THCS.
b) Kin ngh, xut:
i vi Ban Giỏm Hiu nh trng:
Nhà trờng sắp xếp đảm bảo hợp lý, khoa học và hiệu quả thời gian bồi dỡng cùng
các cơ sở vật chất phục vụ cho việc dạy và học của các môn.
Chế độ thởng đợc nhà trờng thực hiện kịp thời ngay sau khi có thông báo kết quả
các cuộc thi học sinh giỏi các cấp, t gii.
Nhà trờng nên tập trung xây dựng kế hoạch bồi dỡng, chọn lọc qua các năm và
chỉ đạo các tổ chuyên môn, các giáo viên xây dựng kế hoạch bồi dỡng cụ thể, có tính
chất tạo nguồn cho những năm tiếp theo.
Nh trng nên xây dựng một cơ chế hỗ trợ xứng đáng tạo điều kiện cho giáo
viên tham gia bồi dỡng đội tuyển phấn đấu, an tâm hơn trong giảng dạy
XC NHN CA T CHUYấN MễN

.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................

.........................................................................
.........................................................................
T TRNG

NGI VIT SNG KIN
(ký v ghi h, tờn)

Nguyễn Lộc Văn Hà

.................................................

Phn ỏnh giỏ ca Ban giỏm kho Hi thi giỏo viờn gii cp trng
Giỏm kho th nht

Giỏm kho th hai