chuyên đề dạy một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh yếu – kém môn đại số 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP VĨNH YÊN
TRƯỜNG THCS TÔ HIỆU

CHUYÊN ĐỀ
DẠY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC
SINH YẾU – KÉM MÔN ĐẠI SỐ 8

GIÁO VIÊN: PHAN THỊ BÍCH HỢP
TRƯỜNG: THCS TÔ HIỆU – VĨNH YÊN – VĨNH PHÚC
SỐ TIẾT:

06 TIẾT

Vĩnh Yên, tháng 11 năm 2019
1


MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn chuyên đề....................................................................

3

II. Mục đích của chuyên đề..........................................................

5

III. Cấu trúc của chuyên đề.........................................................

6

B. NỘI DUNG
Chương 1: Hệ thông hóa nội dung kiến thức

6

I. Mục tiêu.................................................................................

6

II. Hệ thống kiến thức................................................................

7

III. Phương pháp chung dạy học sinh yếu kém..........................

8

Chương 2: Một số phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử và phương pháp giải các câu hỏi, bài tập phụ đạo học
sinh yếu kém

9

I. Phương pháp đặt nhân tử chung...........................................

9

II. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.......................................

14

III. Phương pháp nhóm các hạng tử...........................................
20
IV. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp các phương
2
pháp..........................................................................................
5
V. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác.......
26
C. KẾT LUẬN.............................................................................

32

D. PHỤ LỤC (Đề kiểm tra).........................................................

36

E. TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................

40

2


CHUYÊN ĐỀ:
DẠY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN
TỬ CHO HỌC SINH YẾU, KÉM - MÔN ĐẠI SỐ 8
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ

1. Lời giới thiệu
Phụ đạo học sinh yếu kém là một công việc khó khăn, đòi hỏi người giáo
viên phải có kiến thức, năng lực chuyên môn, có lòng nhiệt tình, có sự kiên trì
và tình yêu thương học trò. Từ thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy một trong những
nguyên nhân để việc phụ đạo học sinh yếu, kém có hiệu quả là bên cạnh những
kiến thức cơ bản được trang bị ở giờ học chính khoá trên lớp cần có những
chuyên đề mang tính chất tổng quát trong quá trình phụ đạo học sinh yếu kém
để các em có những phương pháp, kĩ năng học tập tốt hơn. Từ đó, các em chăm
chỉ rèn luyện, kiên trì trong học tập, tích cực hơn trong việc tiếp thu kiến thức
và có kết quả đạt chuẩn theo quy định.
Phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng đối với học sinh
THCS. Kiến thức này học sinh đã được tiếp cận với bài toán áp dụng tính chất
phân phối của phép nhân với phép cộng trên tập hợp số ngay từ lớp 6 và có liên
quan đến tất cả các dạng bài tập về đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu
thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biếu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng
thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, … Đặc biệt là dạng
toán biến đổi biếu thức chứa căn thức bậc hai xuất hiện thường xuyên trong các
kì thi vào THPT.
Nhằm giúp học sinh yếu - kém biết phân tích đa thức thành nhân tử trong các
dạng bài tập đơn giản, cung cấp kiến thức để học sinh tự tin với bộ môn Toán,
nên tôi chọn chuyên đề: “Dạy một số phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử cho học sinh yếu – kém môn đại số 8” mong muốn giải quyết vấn đề
nêu trên.
*Tên chuyên đề.
“Dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh yếu – kém
môn đại số 8”
*Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Chuyên đề áp dụng với đối tượng học sinh yếu, kém lớp 8 trường THCS
Tô Hiệu năm học 2019 - 2020.
Phạm vi của chuyên đề là một số bài tập về các phương pháp phân tích đa

thứa thành nhân tử (trong SGK, SBT Toán 8 tập 1, các bài tập đơn giản bám sát
năng lực học sinh).
3


*Kế hoạch thực hiện chuyên đề
Thời gian thực hiện 6 tiết.
2. THỰC TRẠNG CHẤT LƯỢNG GIÁO DỤC CỦA NHÀ TRƯỜNG 2018
– 2019
* Bảng tổng hợp xếp loại học lực của nhà trường năm học 2018 – 2019
Tổng số Tốt (Giỏi)
học sinh
TS
%
Hạnh kiểm
Học lực

637

Khá
TS

%

Trung bình

Yếu

TS

%

TS

%

0

0

546

85,71 91

14,29 0

0

48

7,54

48,51 267

41,92 13

309

2,04

Năm học 2019 - 2020, tôi được phân công giảng dạy Toán khối 8 có 173
học sinh, đầu năm tôi đã tiến hành khảo sát phân loại đối tượng học sinh với kết
quả như sau:
Tổng
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu - Kém
%
Số lượng
%
Số lượng
% Số lượng
%
số học Số lượng
sinh
173
25
14,5 32
18,5 62
35,8 54
31,2
Kết quả trên cho thấy, trong những năm qua mặc dù nhà trường đã quan
tâm, chỉ đạo sát sao về công tác phụ đạo học sinh yếu kém, giáo viên cũng đã cố
gắng trong từng bài giảng, chú ý đến từng đối tượng trong đó có học sinh yếu
kém. Nhưng vì nhiều lí do khác nhau mà tỉ lệ học sinh yếu kém môn Toán 8 của
toàn trường vẫn chiếm khá cao 31,2 %. Vậy để giảm dần tỉ lệ học sinh yếu kém,
chúng ta cần tìm ra nguyên nhân và có những biện pháp thiết thực trong quá
trình dạy học đối với từng chương, từng phần.
3. NGUYÊN NHÂN DẪN ĐẾN HỌC SINH YẾU KÉM

3.1. Về phía học sinh
Học sinh là người học, là người lĩnh hội những tri thức thì nguyên nhân học
sinh yếu kém có thể kể đến là do:
- Học sinh lười học: Qua quá trình giảng dạy, nhận thấy rằng các em
học sinh yếu đa số là những học sinh cá biệt, trong lớp không chịu chú ý chuyên
tâm vào việc học, về nhà thì không xem bài, không chuẩn bị bài, không làm bài
tập, cứ đến giờ học thì cắp sách đến trường. Còn một bộ phận nhỏ thì các em
chưa xác định được mục đích của việc học. Các em chỉ đợi đến khi lên lớp,
nghe giáo viên giảng bài rồi ghi vào những nội dung đã học để sau đó về nhà
lấy ra “học vẹt” mà không hiểu được nội dung đó nói lên điều gì. Chưa có
phương pháp và động cơ học tập đúng đắn.
4


- Cách tư duy của học sinh: Môn Toán là môn học đòi hỏi tư duy
logic, nhưng với một số em với lối tư duy sơ sài, lười nhác nên không có
khả năng làm được các bài tập đơn giản nhất. Từ đó, một số em dần mất đi
hứng thú học và dẫn đến tình trạng yếu kém.
- Học sinh bị hổng kiến thức từ lớp dưới: Đây là một điều không thể
phủ nhận với chương trình học tập hiện nay. Nguyên nhân này có thể nói đến
bản thân từng học sinh và cách đánh giá của giáo viên chưa hợp lí, chính xác.
3.2. Về phía giáo viên
- Còn một số giáo viên chưa thực sự chú ý đúng mức đến đối tượng học
sinh yếu. Chưa theo dõi sát sao và xử lý kịp thời các biểu hiện sa sút của học
sinh.
- Tốc độ giảng dạy kiến thức mới và luyện tập còn nhanh khiến cho học
sinh yếu không theo kịp.
3.3. Về phía phụ huynh
Còn một số phụ huynh học sinh:
- Thiếu quan tâm đến việc học tập ở nhà của con em, phó mặc mọi việc

cho nhà trường và thầy cô.
- Gia đình học sinh gặp nhiều khó khăn về kinh tế hoặc đời sống tình cảm
khiến trẻ không chú tâm vào học tập.
- Một số cha mẹ quá nuông chiều con cái, quá tin tưởng vào các em nên
học sinh lười học, xin nghỉ để làm việc riêng (như đi chơi, giả bệnh, ...) cha mẹ
cũng đồng ý cho phép nghỉ học, vô tình là đồng phạm góp phần làm học sinh
lười học, mất dần căn bản...Từ đó dẫn đến tình trạng yếu kém.
Trên đây chỉ là một số nguyên nhân chủ quan dẫn đến tình trạng học
sinh yếu mà bản thân trong quá trình giảng dạy nhận thấy.
II. MỤC ĐÍCH CỦA CHUYÊN ĐỀ
- Sở dĩ tôi chọn chuyên đề này là vì mong muốn tìm được một phương pháp
tối ưu nhất để áp dụng cho từng học sinh yếu kém môn toán lấp đầy các chỗ
hổng kiến thức và từng bước nâng cao thêm về mặt kỹ năng trong việc giải các
bài tập Toán lớp 8 cho học sinh. Từ đó phát huy, khơi dậy khả năng sử dụng
hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, đồng thời thu hút, lôi cuốn các em ham
thích học môn toán, đáp ứng những yêu cầu về đổi mới phương pháp và nâng
cao chất lượng dạy học hiện nay.
- Chia sẻ một số kinh nghiệm giảng dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử
cho học sinh yếu kém môn Toán 8 của bản thân với đồng nghiệp, với phụ huynh
học sinh.
III. CẤU TRÚC CỦA CHUYÊN ĐỀ
Chuyên đề trình bày dưới cấu trúc như sau:
5


Chương 1: Hệ thông hóa nội dung kiến thức
I. Mục tiêu
II. Hệ thống kiến thức.
III. Phương pháp chung dạy học sinh yếu kém
Chương 2: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và phương

pháp giải các câu hỏi, bài tập phụ đạo học sinh yếu kém
I. Phương pháp đặt nhân tử chung
II. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
III. Phương pháp nhóm các hạng tử
IV. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp các phương
pháp
V. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác
B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. HỆ THỐNG HÓA NỘI DUNG KIẾN THỨC
I. MỤC TIÊU CỦA CHUYÊN ĐỀ
1. Kiến thức:
- Học sinh hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử,
- Học sinh biết cách tìm nhân tử chung và đặt nhân tử chung
- Học sinh biết vận dụng các hằng đẳng thức đã học vào việc phân tích đa thức
thành nhân tử .
- Học sinh biết nhóm các hạng tử một cách thích hợp để phân tích đa thức thành
nhân tử.
- Học sinh hiểu được cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhóm các
hạng tử
- Học sinh biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử đã học vào việc giải loại toán phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Kĩ năng:
- Học sinh thực hiện được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử .
- Học sinh thực hiện thành thạo vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải toán.
3. Thái độ:
- Học sinh có thái độ hăng hái, tích cực xây dưng bài.
- Học sinh có tính cách chủ động trong hoạt động học.
4. Năng lực, phẩm chất cần đạt được:
- Năng lực: HS được rèn năng lực tính toán , năng lực tư duy sáng tạo...

- Phẩm chất: HS có tính chăm học , tự giác.
II. HỆ THỐNG KIẾN THỨC
6


*Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức dưới dạng
tích các đa thức khác.
*Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
*Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm các hạng tử
+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
+ Phương pháp thêm, bớt hạng tử.
III. PHƯƠNG PHÁP CHUNG DẠY HỌC SINH YẾU KÉM
Để dạy học cho học sinh yếu kém đạt kết quả cao trong dạy học người giáo viên
cần phải làm các công tác sau đây:
1. Xây dựng môi trường học tập thân thiện:
- Sự thân thiện của giáo viên là điều kiện cần để những biện pháp đạt hiệu
quả cao. Thông qua cử chỉ, lời nói, ánh mắt, nụ cười…giáo viên tạo sự gần gũi,
cảm giác an toàn nơi học sinh để các em bày tỏ những khó khăn trong học tập,
trong cuộc sống của bản thân mình.
- Giáo viên luôn tạo cho bầu không khí lớp học thoải mái, nhẹ nhàng,

không mắng hoặc dùng lời thiếu tôn trọng với các em, đừng để cho học sinh
cảm thấy sợ giáo viên mà hãy làm cho học sinh thương yêu và tôn trọng mình.
2. Phân loại đối tượng học sinh:
- Giáo viên cần xem xét, phân loại những học sinh yếu đúng với những đặc
điểm vốn có của các em để lựa chọn biện pháp giúp đỡ phù hợp với đặc điểm
chung và riêng của từng em. Một số khả năng thường hay gặp ở các em là: Sức
khoẻ kém, khả năng tiếp thu bài, lười học, thiếu tự tin, nhút nhát…
-Trong quá trình thiết kế bài học, giáo viên cần cân nhắc các mục tiêu đề ra
nhằm tạo điều kiện cho các em học sinh yếu được củng cố và luyện tập phù
hợp.
7


- Trong dạy học cần phân hóa đối tượng học tập trong từng hoạt động, dành
cho đối tượng này những câu hỏi dễ, những bài tập đơn giản để tạo điều kiện
cho các em được tham gia trình bày trước lớp, từng bước giúp các em tìm được
vị trí đích thực của mình trong tập thể.
3. Giáo dục ý thức học tập cho học sinh:
- Giáo viên phải giáo dục ý thức học tập của học sinh tạo cho học sinh sự
hứng thú trong học tập, từ đó sẽ giúp cho học sinh có ý thức vươn lên. Trong
mỗi tiết dạy, giáo viên nên liên hệ nhiều kiến thức vào thực tế để học sinh thấy
được ứng dụng và tầm quan trọng của môn học trong thực tiễn. Từ đây, các em
sẽ ham thích và say mê khám phá tìm tòi trong việc chiếm lĩnh tri thức.
- Bên cạnh đó, giáo viên phải tìm hiểu từng đối tượng học sinh về hoàn cảnh
gia đình và nề nếp sinh hoạt, khuyên nhủ học sinh về thái độ học tập, tổ chức
các trò chơi có lồng ghép việc giáo dục học sinh về ý thức học tập tốt và ý thức
vươn lên trong học tập, làm cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc học.
Đồng thời, giáo viên phối hợp với gia đình giáo dục ý thức học tập của học sinh.
4. Lập danh sách học sinh yếu kém:
Ngay từ đầu năm, giáo viên phải lập danh sách học sinh yếu kém bộ

môn mình, qua phần kiểm tra khảo sát đầu năm hoặc ở năm học trước để
nắm rõ các đối tượng học sinh, lập danh sách học sinh yếu kém và chú ý
quan tâm đặc biệt đến những học sinh này trong mỗi tiết học như thường
xuyên gọi các em đó lên trả lời, khen ngợi khi các em trả lời đúng…
5. Kèm cặp học sinh yếu kém:
- Tổ chức cho học sinh khá, giỏi thường xuyên giúp đỡ các bạn yếu, kém
về cách học tập, về phương pháp vận dụng kiến thức.
- Tổ chức kèm cặp, phụ đạo cho các em. Trong các buổi này, giáo viên chủ
yếu kiểm tra việc lĩnh hội các kiến thức giảng dạy trên lớp, nếu thấy các em
chưa chắc cần tiến hành ôn tập củng cố kiến thức để các em nắm vững chắc
hơn, nói chuyện để tìm hiểu thêm những chỗ các em chưa hiểu hoặc chưa nắm
chắc để bổ sung, củng cố. Hướng dẫn phương pháp học tập: học bài, làm bài,
việc tự học ở nhà
6. Xác định kiến thức cơ bản, trọng tâm và cách ghi nhớ:
- Xác định rõ kiến thức trọng tâm, kiến thức nền (những kiến thức cơ bản,
có nắm được những kiến thức này mới giải quyết được những câu hỏi và bài
tập) trong tiết dạy cần cung cấp, truyền đạt cho học sinh.

8


- Đối với học sinh yếu kém không nên mở rộng, chỉ dạy phần trọng tâm, cơ
bản, theo chuẩn kiến thức kĩ năng, hoặc làm bài tập nhiều lần và nâng dần mức
độ của bài tập sau khi các em đã nhuần nhuyễn dạng bài tập đó.
- Nhắc lại kiến thức kiến thức cơ bản, công thức cần nhớ ở cấp THCS mà các
em đã hỏng, cho bài tập lý thuyết khắc sâu để học sinh nhớ lâu.
- Khi dạy học sinh kỹ năng biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc
hai giáo viên phải tìm hiểu nắm bắt xem học sinh còn yếu kém ở kỹ năng nào,
phân tích rõ những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục sai lầm đó.
7. Kết hợp chặt chẽ với phụ huynh học sinh để:

- Theo dõi và kiểm tra bài vở của con em mình thường xuyên.
- Giúp đỡ học sinh trong quá trình học tập ở nhà, phải có thời gian biểu
cho học sinh.
- Đôn đốc, động viên các em đi học chuyên cần.
- Thường xuyên liên hệ với giáo viên chủ nhiệm lớp để nắm được tình
hình học tập của học sinh, từ đó giáo viên chủ nhiệm cùng trao đổi với phụ
huynh học sinh để tìm biện pháp tốt nhất giúp cho học sinh tiến bộ.
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CÂU HỎI, BÀI TẬP PHỤ ĐẠO HỌC
SINH YẾU KÉM
I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG.
1. Phương pháp chung:
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏ nhất).
(Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A.(B + C).
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
1. Phương pháp cụ thể với học sinh yếu kém:
Hướng dẫn học sinh giải những bài tập đơn giản nhất, đa số các bài tập
này có trong sách giáo khoa, sách bài tập. Cách thức hướng dẫn tăng theo trình
tự sau:
+ Mức độ 1: Nhân tử chung chỉ là một số thực (Ví dụ 1)
+ Mức độ 2: Nhân tử chung là một đơn thức một biến (Ví dụ 2)
+ Mức độ 3: Nhân tử chung là một đơn thức nhiều biến (Ví dụ 3)
+ Mức độ 4: Nhân tử chung là một đa thức (Ví dụ 4)
+ Mức độ 5: Biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung (Ví dụ 5, 6, 7)
9

Mỗi một dạng bài tập trong từng ví dụ tôi cho học sinh luyện tập nhiều
bài tập tương tự đến khi thành thạo mức độ thấp mới chuyển lên mức độ cao.
*Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 5x – 5y thành nhân tử.
Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số trong các hạng tử trên?
(Học sinh trả lời là: 5).
- Tìm nhân tử chung của từng phần biến: x, y?
(Học sinh trả lời là: không có).
Lời giải:
Ta có:
5x – 5y = 5(x – y)
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. 2x – 2y
b. -3x – 3y
c. 4x + 4y – 4z
d. -9x2- + 9y – 9z
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 3x – 6y thành nhân tử. (BT-39a-SGK-tr19)
Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 3; 6 trong các hạng tử trên?
(Học sinh trả lời là: 3 vì ƯCLN(3, 6) = 3).
- Tìm nhân tử chung của từng phần biến: x, y?
(Học sinh trả lời là: không có).
Lời giải:
Ta có:
3x – 6y = 3.x – 3.2y
= 3(x – 2y)
Chú ý: Sau khi giáo viên hướng dẫn cho học sinh giải xong thì yêu cầu học sinh
kiểm tra lại kết quả (yêu cầu học sinh nhân đơn thức với đa thức để có 3(x – 2y)
=3x – 6y).

Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. 3x + 12y
b. -24x – 18y
c. 16xy + 12y2
d. -25x -100y + 50
Ví dụ 3: Phân tích đa thức

2
x + 2xy + 4xy2 thành nhân tử.
5

Gợi ý:
10


- Tìm nhân tử chung của các hệ số

2
, 2, 4 trong các hạng tử trên?
5

(Học sinh trả lời là: không có).
- Tìm nhân tử chung của từng phần biến: x , xy, xy2?
(Học sinh trả lời là: x).
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là: x
Lời giải:
Ta có:

2
2

2
x + 2xy + 4xy2 = x. + x.2 y + x.4 y 2 = x( + 2 y + 4 y 2 )
5
5
5

Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2 2
x + 5x3 + x2y
5
2
b. x + 2xy – x2
3

a.

c. -12x3 + 7x4 – 13x5
Ví dụ 4: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử.
(BT-39c-SGK-tr19)
Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên?
(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7)
- Tìm nhân tử chung của từng phần biến: x2 y, xy2, x2y2?
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy.
Lời giải:
Ta có:
14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. 4x y – 2xy2 + 8x2y

b. - 5x2 y – 20xy3 + 35x3y2
c. - 13x2 yz – 26xy3z + 39x2y2z
Ví dụ 5: Phân tích đa thức

2
2
x(y – 1) – y(y – 1) thành nhân tử.
5
5

Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số
(Học sinh trả lời là:

2
)
5
11

2 2
, trong các hạng tử trên?
5 5


- Tìm nhân tử chung của từng phần biến: x(y – 1) , y(y – 1)?
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là

2
(y – 1).
5

Lời giải:
Ta có:

2
2
2
2
x(y – 1) – y(y – 1) = ( y − 1).x − ( y − 1). y
5
5
5
5
2
= (y – 1)(x - y)
5

Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. x(2y +1) – y(2y + 1)
b.

1
1
xy(x + y) + y(x + y)
3
3

c. - 6x2y(x – 3) – 8xy(x – 3)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.
(BT-39e-SGK-tr19)

Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8?
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x)?
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân
tử chung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x).
Lời giải:
Cách 1: Ta có:
10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
Cách 2: Ta có:
10x(x – y) – 8y(y – x) = -10x(y– x) – 8y(y – x)
= -2(y– x).5x - 2(y – x).4y
= -2(y – x)(5x + 4y)
Hai cách giải ví dụ này tôi khuyến khích học sinh yếu làm cách một vì
trong trường hợp đó dễ làm hơn vì khi đó các hệ số của các hạng tử đều dương.
Tình huống: Có học sinh sẽ thắc mắc hai kết quả không giống nhau. Do
đó giáo viên cần giải thích cho học quy tắc đổi dấu để có: 2(x – y)(5x + 4y) =
-2(y – x)(5x + 4y)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2
(đổi dấu sai )
12


= (x – y)[9x + 10(x – y)]
= (x – y)(19x – 10y).

(sai từ trên)
(kết quả sai )

Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2
Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử : –10 và (y – x)2 của tích –10(y – x)2
(vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x)).
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x).
Ví dụ 8: Tính giá trị của biểu thức sau: x(x – y) + y(y – x) tại x = 53, y = 3.
(Bài 23b-SBT-tr8)
Tình huống:
Ở đây, học sinh theo thói quen sẽ thay ngay giá trị của x, y vào biểu thức
để tính toán. Để cho học sinh tự rút ra được kiến thức cho mình giáo viên nên để
học sinh yếu lên bảng làm theo thói quen cũ. Sau đó khi học sinh gặp khó khăn
mới giới thiệu cách giái bài toán là vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành
nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung để giải thì học sinh sẽ hiểu được
vai trò quan trọng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong các dạng bài
tập.
Lời giải:
Ta có:
x(x – y) + y(y – x) = x(x – y) - y(x – y)
= (x – y) (x - y)
= (x - y)2
Thay x = 53, y = 3 vào biểu thức trên ta có: (53 - 3)2 = 502 = 2500
Vậy giá trị của biểu thức là 2500 tại x = 53, y = 3.
Qua các ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số
và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). Vận dụng

kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
để giải toán.
Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách
tổng quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5x – 20y
b) 5x(x – 1) – 3x(x – 1)
13


c) x(x – y) + y(y – x)

Bài 2: Tính giá trị biểu thức
a) x2 + xy + x tại x = 77 và y = 22
b) x(x – y) + y(y – x) tại x = 53 và y = 3
Bài 3. Tìm x, biết :
a) 7x2 + 2x = 0
b) 2x(x – 9) + 5(x – 9) = 0
c) 4(x – y) – 6y(y – x)2
II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC:
1. Phương pháp chung:
Sử dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa
về “dạng tích”
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3

6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
2. Phương pháp cụ thể với học sinh yếu kém:
Đầu tiên muốn áp dụng phương pháp này yêu cầu học sinh cần phải thuộc
dạng các hằng đẳng thức, do đó trong phụ đạo học sinh yếu kém liên tục kiểm
tra các hằng đẳng thức đã học.
Phụ đạo cho học sinh các kiến thức bị hổng như: các tính chất lũy thừa,
quy tắc dấu, dấu ngoặc, đổi dấu, … Điều này hết sức có ý nghĩa trong việc giúp
học sinh nhận ra dạng hằng đẳng thức.
Hướng dẫn học sinh giải những bài tập đơn giản nhất, đa số các bài tập
này có trong sách giáo khoa, sách bài tập. Cách thức hướng dẫn tăng theo trình
tự sau: (Với mỗi hằng đẳng thức tôi đều giao bài tập với mức độ nhận dạng khó
dần như sau)
+ Mức độ 1: Bài tập đưa ra nhận dạng các hằng đẳng thức ngắn gọn, dễ
nhớ nhất. Học sinh dễ phát hiện ra hằng đẳng thức nhất (Chủ yếu hằng đẳng
thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu hai bình
phương).
+ Mức độ 2: Bài tập đưa ra nhận dạng các hằng đẳng thức phức tạp hơn.
(Chủ yếu hằng đẳng thức lập phương của một tổng (hiệu), tổng (hiệu) hai lập
phương).
14


+ Mức độ 3: Yêu cầu học sinh phải biến đổi các hạng tử mới xuất hiện
hằng đẳng thức.
Mỗi một dạng bài tập trong từng ví dụ tôi cho học sinh luyện tập nhiều
bài tập tương tự đến khi thành thạo mức độ thấp mới chuyển lên mức độ cao.
Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 + 6x + 9 thành nhân tử.
(BT- 43a-SGK-tr20)

Gợi ý:
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(HS: có dạng: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2).
- Khi đó A được thay bởi biểu thức nào? B được thay bởi biểu thức nào?
HS: A được thay bởi x, B được thay bởi 3).
Lời giải:
Ta có:
x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3x + 32
= (x + 3)2
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. x2 + 2x + 1
b. x2 + x +

1
4

c. 4x2 + 16x + 16
d. 9x2 + 12x + 4
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 10x + 25 thành nhân tử.
Gợi ý:
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(HS: có dạng: A2 - 2AB + B2 = (A - B)2).
- Khi đó A được thay bởi biểu thức nào? B được thay bởi biểu thức nào?
(HS: A được thay bởi x, B được thay bởi 5).
Lời giải:
Ta có:
x2 – 10x + 25 = x2 – 2.5x + 52
= (x – 5)2
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. x2 - 2x + 1

b. x2 - x +

1
4

c. 9x2 - 6x + 1
d. 16x2 - 24x + 9
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 10x – 25 – x2 thành nhân tử.
15


(BT-43b-SGK-tr20)
Gợi ý:
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(HS: có thể chưa nhận ra dạng của hằng đẳng thức luôn).
- Bậc của đa thức là 2. Vậy đa thức giống với dạng hằng đẳng thức nào?
(HS: có dạng: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 hoặc A2 – 2AB + B2 = (A – B)2).
- Sắp xếp về dạng của hằng đẳng thức A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 hoặc A2 –
2AB + B2 = (A – B)2
(HS: 10x – 25 – x2 = – x2 + 10x – 25)
- Dấu của các hạng tử trong đa thức chưa giống với dấu của các hạng tử
trong hằng đẳng thức mà các em liên hệ vậy ta phải làm gì để đưa về
dạng hằng đẳng thức mà các em liên hệ?
(HS: 10x – 25 – x2 = – ( x2 – 10x +25)).
Lời giải:
Ta có:
10x – 25 – x2 = – ( x2 – 10x +25)
= – ( x2 – 2.5x +52)
= – ( x - 5)2
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a. - x2 + 2x - 1
b. - x2 -

1
+x
4

c. 6x - 1 - 9x2
d. - 9 - 24x - 16x2
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x2 – 9 thành nhân tử.
Gợi ý:
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(HS: có dạng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) ).
- Khi đó A được thay bởi biểu thức nào? B được thay bởi biểu thức nào?
(HS: A được thay bởi x, B được thay bởi 3).
Lời giải:
Ta có:
x2 – 9 = x2 – 32
= (x – 3)(x + 3)
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. x2 – 16
b. 4x2 – 9
16


c. x4– 1
d. 25 - 9x2
Ví dụ 5: Tính nhanh: 732 – 272.
Gợi ý:
- Biểu thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?

(HS: có dạng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) ).
- Khi đó A được thay bởi bao nhiêu? B được thay bởi bao nhiêu?
(HS: A được thay bởi 73, B được thay bởi 27).
Lời giải:
Ta có:
732 – 272 = (73 – 27)(73+ 27)
= 46 . 100
= 4600
Ví dụ 6: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử.
(BT-28a-SBT-tr6)
Gợi ý:
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(HS: có dạng A2 – B2)
- Khi đó A được thay bởi biểu thức nào? B được thay bởi biểu thức nào?
(HS: A được thay bởi x + y, B được thay bởi x - y).
Lời giải sai:
(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (sai quy tắc dấu)
= 0. 2x
=0
(kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện sai quy tắc dấu.
Lời giải đúng:
(x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y. 2x
= 4xy
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu.
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương,
bình phương của một hiệu.

Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. (2x + y)2 – (2x – y)2
b. (x + 3y)2 – (x – 3y)2
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x3 + 27 thành nhân tử.
17


Gợi ý:
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(HS: có dạng A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)).
- Khi đó A được thay bởi biểu thức nào? B được thay bởi biểu thức nào?
(HS: A được thay bởi x, B được thay bởi 3).
Lời giải:
x3 + 27 = x3 + 33
= (x + 3)(x2 - 3x+ 32)
= (x + 3)(x2 - 3x+ 9)
Ví dụ 8: Phân tích đa thức 8x3 + 1 thành nhân tử.
Gợi ý:
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(HS: có dạng: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)).
Lời giải sai:
8x3 + 1 = (8x + 1)(64x2 - 8x + 1) (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Học sinh sai khi xác định số hạng trong hằng
đẳng thức. Khi đó giáo viên cần gợi ý lại cho học sinh A, B trong công thức của
hằng đẳng thức được thay bởi biểu thức nào?
(HS: A được thay bởi 2x, B được thay bởi 1).
Lời giải đúng
Ta có:
8x3 + 1 = (2x)3 + 13
= (2x + 1) [(2x)2 - 2x.1 + 12]

= (2x + 1)(4x2 - 2x + 1)
Ví dụ 9: Phân tích đa thức (a + b)3 – (a – b)3 thành nhân tử.
(BT- 44b-SGK-tr20)
Gợi ý:
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(HS: có dạng: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)).
- Khi đó A được thay bởi biểu thức nào? B được thay bởi biểu thức nào?
(HS: A được thay bởi a + b, B được thay bởi a - b).
Lời giải sai:
Ta có:
(a + b)3 – (a – b)3 = (a + b – a – b) [(a + b)2 + (a + b) (a – b) + (a – b)2]
= 0. [(a + b)2 + (a + b) (a – b) + (a – b)2]
=0
Sai lầm của học sinh ở đây là: Sai quy tắc dấu
Lời giải đúng
18


Ta có:
(a + b)3 – (a – b)3 = [(a + b) – (a – b)] [(a + b)2 + (a + b) (a – b) + (a – b)2]
= (a + b – a + b)(a2 + 2ab + b2 + a2 – b2 + a2 – 2ab + b2)
= 2b. (3a2 + b2)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 thành nhân tử.
Gợi ý:
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(HS: có dạng A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3).
- Khi đó A được thay bởi biểu thức nào? B được thay bởi biểu thức nào?
(HS: A được thay bởi 2x, B được thay bởi y).
Lời giải:
Ta có:

8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3
= (2x + y)3.
+ Giáo viên củng cố cho học sinh:
Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài
toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức
cho thích hợp.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 – 9
b) 9x2 + 6xy + y2
c) x2 + 4y2 + 4xy
d) 6x – 9 – x2
Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x2 + 14x + 49
b) 9x2 – 4
c) 27x3 + y3
d) (a + b)3 + (a – b)3
Bài 3. Tìm x, biết :
a) x2 – 8x + 16 = 0
b) 4x2 + 12x + 9 = 0.
III. PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ:
1. Phương pháp chung:
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
một trong hai dạng sau: hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
19


- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân
tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử
thì có thể chia ra các dạng sau đây:
a. Dạng 1: Nhóm hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung:
* Phương pháp cụ thể với học sinh yếu, kém:
Phương pháp này dễ gây nhụt chí học tập của học sinh yếu kém vì vậy
giáo viên cần phải có hệ thống bài tập thật hợp lý. Vì vậy các mức độ bài tập
giao cho học sinh sẽ được sắp xếp như sau:
+ Mức độ 1: Nhóm hai hạng tử thành một nhóm làm xuất hiện nhân tử
chung nhưng dễ quan sát được ngay các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung (Ví
dụ 1)
+ Mức độ 2: Nhóm các hạng tử thành hai nhóm làm xuất hiện nhân tử
chung nhưng ở dạng sắp đặt sẵn học sinh chỉ cần đặt dấu ngoặc là nhóm được
ngay các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung. (Ví dụ 2)
+ Mức độ 3: Nhóm các hạng tử thành hai nhóm làm xuất hiện nhân tử
chung nhưng ở mức độ cao hơn là sau khi nhóm học sinh biến đổi mới xuất hiện
nhân tử chung. (Ví dụ 3)
*Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 7x + 7y + z(x + y) thành nhân tử.
Gợi ý:
- Các hạng tử có nhân tử chung hay không?
- Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
(HS: nhóm (7x + 7y)).
Lời giải:
Ta có:
7x + 7y + z(x + y) = (7x + 7y) + z(x + y)
= 7(x + y) + z(x + y)
= (x + y)(7 + z).

Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. 3x - 3y + (x - y)x2
b. 2x(x - 2 ) - x + 2
c. (2x – y)z + 2x - y
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 5x – 5y + ax – ay thành nhân tử.
(Bài tập 32a-SBT-tr6)
20


Gợi ý:
- Các hạng tử có nhân tử chung hay không?
- Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
Cách 1: nhóm (5x – 5y) và (ax – ay)
Cách 2: nhóm (5x + ax) và (– 5y – ay )
Lời giải:
Cách 1: 5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y) + (ax – ay)
= 5(x – y) + a(x – y)
= (x – y)(5 + a).
Cách 2: 5x – 5y + ax – ay = (5x + ax) + (–5y – ay)
= x(5 + a) – y.(5 + a)
= (5 + a)(x – y).
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. x + y + xz + y z
b. x – 5 + ax – 5a
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử.
Gợi ý:
Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)
Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
Lời giải sai:
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)x
(kết quả sai)
Sai lầm của học sinh là: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung (HS cho
rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0)
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)
= (x – y)(x + 1).
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. 3x + y + 3ax + ay
b.

1
1
x – y - xy + y2
3
3

b. Dạng 2: Nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức:
*Phương pháp cụ thể với học sinh yếu, kém:
Hướng dẫn học sinh giải những bài tập đơn giản nhất, đa số các bài tập
này có trong sách giáo khoa, sách bài tập. Cách thức hướng dẫn tăng theo trình
tự sau:
21


+ Mức độ 1: Nhóm các tử hạng thành một nhóm làm xuất hiện hằng đẳng
thức nhưng ở dạng sắp đặt sẵn học sinh chỉ cần đặt dấu ngoặc là nhóm được
ngay các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức (Ví dụ 4)
+ Mức độ 2: Nhóm các hạng tử thành một nhóm làm xuất hiện nhân tử

chung nhưng học sinh phải đổi chỗ hạng tử mới làm xuất hiện một nhóm các
hạng tử có dạng hằng đẳng thức (5)
+ Mức độ 3: Đổi chỗ các hạng tử để nhóm để nhóm các hạng tử thành hai
nhóm làm xuất hiện nhân tử chung nhưng ở mức độ cao hơn là sau khi nhóm
hcoj sinh biến đổi mới xuất hiện nhân tử chung. (Ví dụ 6, 7, 8)
*Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x2 – 2xy + y2 – z2 thành nhân tử.
Gợi ý:
- Trong 4 hạng tử trên ta nên nhóm các hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng
thức?
Sai lầm của học sinh là: nhóm (y2 – z2) để xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai
bình phương.
Giải:
x2 – 2xy + y2 – z2 = (x2 – 2xy + y2) – z2
= ( x – y)2 – z2
= ( x – y – z)( x – y + z).
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. x2 – 2x + 1 – z2
b. x2 + 6xy + 9y2 – 4
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 + 4x – y2 + 4 thành nhân tử.
Gợi ý:
- Trong 4 hạng tử trên ta nên nhóm các hạng tử nào để xuất hiện hằng
đẳng thức ?
(HS: Nhóm (x2 +4x + 4)).
Giải:
x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x+ 4) – y2
= ( x + 2)2 – y2
= ( x +2 + y)( x + 2 - y).
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. x2 + 1 – z2 – 2x

b. x2– 4+ 6xy + 9y2
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 thành nhân tử.
(Bài tập 48c-SGK-tr22)
Lời giải sai:
22


x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt +t 2)
= ( x – y)2 – ( z – t )2
= ( x – y –z – t ) ( x – y + z – t)
Lý do sai: Đặt dấu sai khi nhóm các hạng tử (khi đặt dấu trừ ngoài dấu ngoặc).
Cách giải đúng:
x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 - 2zt + t2)
= (x – y)2 – (z - t )2
= (x – y – z + t) (x – y + z - t)
+ Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.
- Kiểm tra lại cách đặt dấu trừ ra ngoài dấu ngoặc khi thực hiện nhóm
các hạng tử của đa thức.
c. Dạng 3: Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
*Phương pháp chung:
Nhóm để xuất hiện nhân tử chung và hằng đẳng thức ngay trong một bài
toán.
*Phương pháp cụ thể với học sinh yếu, kém:
Hướng dẫn học sinh giải những bài tập đơn giản nhất, đa số các bài tập
này có trong sách giáo khoa, sách bài tập. Nhưng với học sinh yếu, kém thì đây
là bài toán mà các em gặp nhiều khó khăn. Do đó giáo viên cần xây dựng hệ
thống câu hỏi gợi ý phù hợp, gợi mở được hứng thú học tập cho học sinh. Giáo
viên không nên nóng vội đưa ra bài tập khó gây chán nản cho học sinh.
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x3 – x + xy – y thành nhân tử.

Gợi ý:
- Các hạng tử có nhân tử chung hay không?
- Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
(HS: nhóm (x3 – x), (xy – y)).
Lời giải:
Ta có:
x3 – x + xy – y = (x3 – x) + (xy – y)
= x(x2 – 1) + y(x – 1)
= x(x – 1)(x + 1) + y(x – 1)
= (x – 1) [x(x + 1) + y]
= (x – 1)( x2 + x + y)
Ví dụ tương tự: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. x2 – 4 + xy – 2y
b. x2y + xy + x2 – 1
Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – x – y2 – y thành nhân tử.
23


(Bài tập 31a- SBT-tr 10).
Lời giải sai: x2 – x – y2 – y = (x2 – y2 ) – (x – y )
(đặt dấu sai)
= (x + y)(x – y) – (x – y) (sai từ trên)
= (x – y)(x + y – 1)
(kết quả dấu sai).
Sai lầm của học sinh là:
x2 – x – y2 – y = (x2 – y2 ) – (x – y ) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai)
Lời giải đúng: x2 – x – y2 – y = (x2 – y2 ) – ( x + y )
= (x + y)(x – y) – (x + y)
= (x + y)(x – y – 1).
+ Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:

- Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước
dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm.
- Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh
cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân
tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực
hiện lại.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x2 + xy + 5x + 5y
b) x2 – y2 + 3x – 3y
c) x2 – 8x + 16 – y2
d) 4x2 – y2 + 10y – 25.
Bài 2. Tìm x, biết :
a) 2x(x – 7) + 5x – 35 = 0
b) x(x – 3) – 7x + 21 = 0.
Bài 3. Tìm x, biết :
a) x3 – 2x2 + x – 2 = 0
b) x3 – 5x2 – x + 5 = 0.
Bài 4. Tính nhanh : 562 + 312 – 132 + 56.62.
IV. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH PHỐI
HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP
1. Phương pháp chung:
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm hạng tử, đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức.
2. Phương pháp cụ thể với học sinh yếu, kém:
Kinh nghiệm khi phân tích một bài toán thành nhân tử
24

+ Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp
theo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng
phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.
+ Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp
theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử
chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.
+ Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước
tiếp theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc
dùng hằng đẳng thức.
+ Đặc biệt, phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm không thể
sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền. Nhưng phương pháp dùng hằng đẳng
thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền.
Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phép
biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước giải
phải có sự kiểm tra, phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ trình
nhất định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù hợp.
Xây dựng cho học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài
toán, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng
thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm
tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, tìm những cách giải
hay, cách giải khác.
*Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 + 2x3 + x2 thành nhân tử.
Gợi ý:
- Đa thức trên có nhân tử nào chung?
- Ta còn phân tích thành nhân tử được nữa không?
Lời giải:
x4 + 2x3 + x2 = x2(x2 + 2x + 1)
= x2 (x + 1)2.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử.

(Bài tập ?2 -SGK-tr22)
Các sai lầm cuả học sinh:
Lời giải chưa hoàn chỉnh:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để).
x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để).
Lời giải đúng:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
25