VỀ MÔĐUN TỰ DO TIỂU LUẬN BỘ MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN NGỌC THẮNG

VỀ MÔĐUN TỰ DO

TIỂU LUẬN
BỘ MÔN

CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS. PHAN VĂN THIỆN

HUẾ, THÁNG 2-2012


Tóm tắt
Tiểu luận này trình bày một số tính chất và ứng dụng của vành di truyền trái,
được thể hiện trong Mệnh đề 30, Mệnh đề 31. Tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn
đến TS. Phan Văn Thiện, Thầy đã tận tình truyền đạt những kiến thức trong học
phần Cơ sở đại số hiện đại và đã cho tác giả cơ hội tiếp cận các tính chất của vành
di truyền.

Trong tiểu luận này, ta chỉ xét các vành có đơn vị.
Định nghĩa 1. Cho R là một vành, (M, +) là một nhóm cộng aben. M được gọi là
một R-mơđun trái nếu có một ánh xạ
R × M −→ M
(r, x) −→ rx

thỏa mãn
i) r(x + y ) = rx + ry;
ii) (r + s)x = rx + sx;
iii) (rs)x = r(sx);
iv) 1x = x
∀r, s ∈ R, ∀x, y ∈ M , 1 là phần tử đơn vị của vành R.
Ta quy ước M là một R-môđun trái khi nói M là một R-mơđun.
Nhận xét 2. Mọi iđêan trái I của vành R đều là một R-môđun với phép nhân vơ
hướng
R × I −→ I
.
(r, i) −→ ri
Định nghĩa 3. Cho M là một R-môđun. Tập con N của M được gọi là một môđun
con của M nếu N là một nhóm con của nhóm cộng M thỏa mãn
rx ∈ N, ∀r ∈ R, ∀x ∈ N.
Nhận xét 4. Cho M là một R-môđun và I là một iđêan trái của vành R. Khi đó
IM = {a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn : ai ∈ I, xi ∈ M, i = 1, n, n ∈ N}
là một môđun con của R-môđun M .
Mệnh đề 5. Cho M là một R-môđun, S là một tập con của M . Khi đó, giao tất cả
các môđun con của M chứa S là môđun con bé nhất của M chứa S.
1


Định nghĩa 6. Môđun con được xác định trong Mệnh đề 5 được gọi là môđun con
của M sinh bởi tập S, ký hiệu ⟨S⟩.
Nếu ⟨S⟩ = M thì S được gọi là hệ sinh của M .
Định nghĩa 7. Cho M là một R-môđun, X là tập con của M . Một tổ hợp tuyến
∑
tính các phần tử của X là một tổng hữu hạn ni=1 ri xi , ri ∈ R, xi ∈ X, i = 1 . . . n.
Phần tử x ∈ M được gọi là biểu thị tuyến tính qua các phần tử của X nếu x có

thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các phần tử của X.
Tập con X ⊂ M được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tập con hữu hạn bao
gồm các phần tử phân biệt x1 , x2 , . . . , xn của X có tổ hợp tuyến tính triệt tiêu
∑n
i=1 ri xi = 0 kéo theo ri = 0, i = 1, n.
Một tập con của M được gọi là một cơ sở nếu nó là một hệ sinh độc lập tuyến
tính của M .
Định nghĩa 8. Cho M, N là các R-môđun. Ánh xạ f : M −→ N được gọi là một
đồng cấu R-môđun nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
f (x + y ) = f (x) + f (y ),
f (rx) = rf (x)
∀x, y ∈ M, ∀r ∈ R.
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu nếu f là đơn ánh, toàn ánh,
song ánh tương ứng. Nếu có một đẳng cấu f : M −→ N thì M được gọi là đẳng cấu
∼ N.
với N , ký hiệu M =
Mệnh đề 9. Cho {Mi }i∈I là một họ khác rỗng các R-mơđun. Tích Descartes
∏
Mi = {(xi )i∈I : xi ∈ Mi }
i∈I

cùng với phép cộng

(xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I , ∀(xi )i∈I , (yi )i∈I ∈

∏

Mi

i∈I

và phép nhân vô hướng
r(xi )i∈I = (rxi )i∈I , ∀r ∈ R, ∀(xi )i∈I ∈

∏

Mi

i∈I

làm thành một R-môđun.
Định nghĩa 10. Cho {Mi }i∈I là một họ khác rỗng các R-môđun. R-môđun

∏

Mi

i∈I

được xác định trong Mệnh đề 9 được gọi là tích trực tiếp của họ R-môđun {Mi }i∈I .
2


Định nghĩa 11. Cho {Mi }i∈I là một họ khác rỗng các R-môđun. Phần tử (xi )i∈I ∈
Mi được gọi là có giá hữu hạn nếu có một tập hữu hạn J ⊂ I sao cho xi = 0, ∀i ∈

∏
i∈I

I \ J.

Mệnh đề 12. Cho {Mi }i∈I là một họ khác rỗng các R-môđun. Tập hợp
⨿
∏
= {(xi )i∈I ∈
Mi : (xi )i∈I có giá hữu hạn}
i∈I

i∈I

là một mơđun con của

∏

Mi .

i∈I

Định nghĩa 13. Cho {Mi }i∈I là một họ khác rỗng các R-môđun. Môđun con

⨿
i∈I

được xác định trong Mệnh đề 12 được gọi là tổng trực tiếp (ngoài) của họ R-môđun
{Mi }i∈I .
Mệnh đề 14. Cho {Mi }i∈I là một họ khác rỗng các môđun con của R-môđun M .
Tập hợp
{
}
∑
∑

Mi =
xi : xi ∈ Mi , J ⊂ I, J hữu hạn
i∈I

i∈J

∪
là một môđun con của M sinh bởi i∈I Mi .
∑
Định nghĩa 15. Môđun con
Mi được xác định trong Mệnh đề 14 được gọi là
i∈I

tổng của các môđun con Mi , i ∈ I.
Định nghĩa 16. Cho {Mi }i∈I là một họ khác rỗng các 
môđun con
 của R-môđun M .
∑
∑
Tổng
Mi được gọi là tổng trực tiếp (trong) nếu Mi ∩ 
Mj  = 0 với mọi i ∈ I,
i∈I

ký hiệu

⊕

j̸=i

Mi .

i∈I

Định nghĩa 17. Một dãy các đồng cấu các R-môđun
···

fi−2

/ Mi−1

fi−1

/

Mi

fi

/

Mi+1

fi+1

/

···

được gọi là khớp tại i nếu Imfi−1 = Kerfi . Dãy trên được gọi là dãy khớp nếu nó

khớp tại mọi i.
Dãy khớp

0

/

X

f

/

Y

được gọi là dãy khớp ngắn.

3

g

/

Z

/

0

Định nghĩa 18. Dãy khớp
/

···

X

f

/

Y

g

/

/

···

Z

được gọi là chẻ ra tại Y nếu Imf là một hạng tử trực tiếp của Y .
Dãy khớp chẻ ra tại mọi môđun (trừ hai đầu) được gọi là dãy khớp chẻ ra.
Nhận xét 19. Dãy khớp ngắn
/

0

X

f

/

Y

g

/

Z

/

0

luôn chẻ ra tại X và Z. Do đó, dãy khớp ngắn chẻ ra khi và chỉ khi nó chẻ ra tại Y .
Mệnh đề 20. Dãy khớp
/X

···

f

/

Y

g

/

Z

/

0

chẻ ra tại Y khi và chỉ khi
∼ Z.
Y = Imf ⊕ B với B =
Chứng minh.
i. (Khi) Rõ ràng, vì Imf là hạng tử trực tiếp của Y .
ii. (Chỉ khi) Giả sử dãy khớp chẻ ra tại Y . Khi đó, có một mơđun con B của Y sao
∼ Z.
cho Y = Imf ⊕ B. Ta sẽ chứng minh B =
Xét ánh xạ
h : B −→ Z
y −→ g (y )
Dễ thấy h là một đồng cấu R-môđun và
Kerh = B ∩ Kerg = B ∩ Imf = 0.
Vậy h là một đơn cấu.
Với mọi z ∈ Z = Img, ta có z = h(y ), y ∈ Y . Vì
Y = Imf ⊕ B = Kerg ⊕ B
nên
y = y1 + y2 , y1 ∈ Kerg, y2 ∈ B.
Suy ra
z = g (y1 + y2 ) = g (y1 ) + g (y2 ) = g (y2 ) ∈ Imh.

∼ Z.
Vậy h tồn cấu. Từ đó B =
4


Định nghĩa 21. Cho R là một vành, S là một tập. Một R-môđun tự do trên tập
S là một R-môđun F cùng với một ánh xạ f : S −→ F sao cho với mọi ánh xạ
g : S −→ X từ tập S vào R-môđun X, tồn tại duy nhất một đồng cấu R-môđun
h : F −→ X thỏa mãn hf = g.
f

/F
~
~
~~
g
~~ h
~
 ~~

S

X

Định nghĩa 22. R-môđun X được gọi là R-môđun tự do nếu X đẳng cấu với một
R-môđun tự do trên một tập S nào đó.
Định lí 23. Cho M là một R-mơđun. Tập con S ⊂ M là một cơ sở của M nếu
và chỉ nếu ánh xạ bao hàm i : S −→ M có thể mở rộng thành đẳng cấu R-mơđun
h : F −→ M , với F là R-môđun tự do sinh bởi S.
Hệ quả 24. R-môđun M là tự do khi và chỉ khi M có một cơ sở.

Mệnh đề 25. Cho F là một R-môđun. F là R-môđun với cơ sở S khi và chỉ khi
⊕
F =
Rs.
s∈S

Chứng minh. Với mỗi s ∈ S, xét ánh xạ
φs : R −→ Rs
r −→ rs

.

Rõ ràng φs là một toàn cấu. Với mọi r ∈ R, ta có
φs (r) = 0

⇒ rs = 0

⇒ r = 0.

Suy ra, φs là một đơn cấu, vậy φs là một đẳng cấu.
Vì S là cơ sở của F nên {Rs}s∈S là một hệ sinh của F . Suy ra
∑
F =
Rs.
s∈S

∑

Với mỗi t ∈ S, xét s ∈ Rt ∩ F =

Rs. Khi đó, có s1 , s2 , . . . , sn ∈ S, si ̸= t, i =

s∈S,s̸=t

1, . . . , n và r, r1 , r2 , . . . , rn ∈ R sao cho
x = rt =

n
∑

r i si

⇒ −rt +

i=1

n
∑

r i si = 0.

i=1

Do S là cơ sở của F nên r = r1 = r2 = . . . = rn = 0. Suy ra x = 0.
Vậy
⊕
F =
Rs.
s∈S

5


Ngược lại, ta có
Rs = φs (R) = φs (R.1) = Rφs (1).
Suy ra
F =

⊕

Rs =

⊕

s∈S

Rφs (1).

s∈S

Do đó {φs (1)}s∈S là hệ sinh của F và độc lập tuyến tính, hay S là cơ sở của F .
Định nghĩa 26. R-môđun X được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu R-mơđun
f : X −→ B và mọi tồn cấu R-môđun g : A −→ B, tồn tại một đồng cấu R-môđun
h : X −→ A thỏa mãn gh = f .
h ~

A

~~

~

X

~

f



/

/

0

B

g

Định lí 27. Mọi R-mơđun tự do đều xạ ảnh.
Chứng minh. Giả sử X là R-môđun tự do, f : X −→ B là đồng cấu R-môđun,
g : A −→ B là tồn cấu R-mơđun. Gọi S là cơ sở của X, i : S −→ X là ánh xạ bao
hàm.
Với mọi s ∈ S, ta có f (s) ∈ B. Do g : A −→ B là tồn cấu nên có phần tử của A
gọi là j (s) sao cho g (j (s)) = f (s). Vì vậy, có thể xây dựng một ánh xạ
j : S −→ A
s −→ j (s)
j ~~~
~

~
~~
~~ ~

h ~

A

~~

~

~

g

/

.

S
i



X


f

B

/

0

Do X là môđun tự do sinh bởi S nên ánh xạ j có thể mở rộng thành đồng cấu
R-mơđun h : X −→ A, hi = j. Ta sẽ chứng minh gh = f .
Với mọi x ∈ X, do S là cơ sở của X nên
x=

n
∑

al sl , al ∈ R, sl ∈ S.

l=1

6


Khi đó
n
n
n
∑
∑
∑
gh(x) = gh(

al sl ) =
al gh(sl ) =
al ghi(sl )
l=1

=

n
∑

l=1

al gj (sl ) =

l=1

n
∑

l=1
n
∑

al f (sl ) = f (

l=1

al sl ))

l=1

= f (x).

Định nghĩa 28. Một vành R được gọi là di truyền trái nếu mỗi iđêan của R là một
R-mơđun xạ ảnh.
Định lí 29. (Kaplansky) Cho R là một vành di truyền trái. Khi đó, mọi môđun con
A của R-môđun tự do F đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp các iđêan trái của R;
hơn nữa, A là một môđun xạ ảnh.
Chứng minh. Gọi {xk : k ∈ K} là cơ sở của R-môđun F . Giả sử tập chỉ số K sắp
thứ tự tốt.
⊕
Với mỗi k ∈ K, xét Fk =
Rxi , khi đó ta có một dãy tăng {Fk }k các mơđun
i
con của F với F0 = 0 và Fk+1 = Fk ⊕ Rxk . Mỗi phần tử a ∈ A ∩ Fk+1 được biểu diễn
duy nhất dưới dạng a = b + rxk , với b ∈ Fk , r ∈ R.
Ánh xạ
θk : A ∩ Fk+1 −→ R
b + rxk −→ r
là một đồng cấu và Kerθk = A ∩ Fk .
Ký hiệu Ik là ảnh của θk , khi đó Ik là một iđêan trái của R, vì thế là một R-mơđun
xạ ảnh. Từ đó, ta có dãy khớp ngắn sau chẻ ra

0

/

A ∩ Fk

/

A ∩ Fk+1

θk

/I

k

/

0

Do đó, tồn tại một môđun con Ck của A ∩ Fk+1 sao cho
∼ Ik .
A ∩ Fk+1 = (A ∩ Fk ) ⊕ Ck và Ck =

(0.0.1)

Xét C là một môđun con của A sinh bởi ∪k∈K Ck . Vì F = ∪k∈K Fk nên mỗi phần
tử a ∈ A đều thuộc Fk+1 nào đó. Gọi µ(a) là số k nhỏ nhất sao cho a ∈ Fk+1 .
Nếu C ̸= A thì tồn tại a ∈ A sao cho a ∈
/ C, suy ra {µ(a) : a ∈ A, a ∈
/ C} ̸= ∅,
suy ra tồn tại một phần tử nhỏ nhất j. Lúc đó, tồn tại y ∈ A, y ∈
/ C sao cho µ(y ) = j
và khơng có phần tử z ∈ A, z ∈
/ C sao cho µ(z ) < j.
Vì y ∈ Fj+1 ∩ A nên y = b + c, với b ∈ A ∩ Fj và c ∈ Cj . Suy ra b = y − c, ta có

y∈
/ C mà c ∈ C nên b ∈
/ C. Do đó b ∈ Fj , mâu thuẫn với cách chọn j.
7


Vậy A=C.
Giả sử c1 + c2 + . . . + cn = 0, ci ∈ Cki , k1 < k2 < . . . < kn . Khi đó ci ∈ Fki +1 , suy
ra
c1 + c2 + . . . + cn−1 = −cn ∈ A ∩ Fkn−1 +1 ∩ Ckn ⊂ (A ∩ Fkn ) ∩ Ckn .
Theo 0.0.1 ta có cn = 0 và c1 + c2 + . . . + cn−1 = 0. Lặp lại các bước trên ta có
c1 = c2 = . . . = cn = 0.
Do đó A =

⊕

Ck và mỗi Ck đẳng cấu với một iđêan trái của R.

k∈K

Mệnh đề 30. Cho R là một vành sao cho mọi iđêan trái trong R đều là R-mơđun
tự do. Khi đó, mọi mô đun con của R-môđun tự do đều là mơ đun tự do.
Chứng minh. Vì mơđun tự do là xạ ảnh nên theo giả thiết R là vành di truyền trái.
Theo Định lý Kaplansky, mỗi môđun con M của R-môđun tự do đều đẳng cấu với
một tổng trực tiếp các iđêan của R. Vì mỗi iđêan là tự do nên M là tự do.
Mệnh đề 31. Cho R là một vành và I là iđêan của R thỏa mãn I là R-môđun tự do
với cơ sở {bj : j ∈ A}. Khi đó, nếu M là một R-mơđun tự do với cơ sở {xi : i ∈ B}
thì IM là R-môđun tự do với cơ sở {bj xi : j ∈ A, i ∈ B}.
⊕
Chứng minh. Vì M = i∈B Rxi và I là iđêan của R nên

⊕
⊕
IM =
IR · xi =
Ixi .
i∈B

Ta viết I =

⊕

i∈B

j∈A Rbj ,

ta có


⊕ ⊕

IM =
Rbj  xi =
i∈B

j∈A

⊕

R · bj xi .

j∈A,i∈B

Nếu r(bj xi ) = 0 với r ∈ R thì rbj = 0 (vì Rxi tự do trên xi ), do đó r = 0 (vì Rbj tự
do trên bj ). Suy ra R·bj ·xi tự do trên bj xi . Vậy IM tự do trên {bj xi : j ∈ A, i ∈ B}.

8


Tài liệu tham khảo
[1] T. Y. Lam, Exercises in Modules and Rings, Springer Science+Business Media,
LLC, 2007.
[2] T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag New York, Inc,
1999.
[3] L. R. Vermani, An Elementary Approach to Homological Algebra, CRC Press
LLC, 2003.
Email address:
Tel: +841695377526
Typed by TEX

9