PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN TIỂU LUẬN BỘ MÔN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN NGỌC THẮNG
CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ
KHĨA 20

PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN

TIỂU LUẬN
BỘ MÔN

LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS. PHAN VĂN THIỆN

HUẾ, THÁNG 5-2012


Tóm tắt
Tiểu luận này trình bày một số tính chất về hàm tử hiệp biến, phép biến đổi tự
nhiên, phần tử độc xạ, phép tương đương tự nhiên, được thể hiện trong Bài tập 1, Bài
tập 2 và Bài tập 3. Học viên xin gửi lời chân thành cảm ơn đến TS. Phan Văn Thiện,
Thầy đã tận tình truyền đạt những kiến thức trong học phần Lý thuyết Phạm trù và
Hàm tử và đã cho học viên cơ hội tiếp cận các tính chất liên quan đến phép biến đổi
tự nhiên.
Định nghĩa 1. Cho một phạm trù C là cho các dữ kiện sau:
• Một lớp các vật ObC, những phần tử A, B, C, . . . ∈ ObC được gọi là những vật
của phạm trù C; một lớp các xạ MorC.

• Với hai vật A, B của C cho một tập hợp nằm trong MorC, kí hiệu là HomC (A, B )
và được gọi là tập hợp các xạ từ A tới B. Để chỉ f ∈ HomC (A, B ) ta viết
f

f : A −→ B hay A −→ B.
• Với ba vật A, B, C của C có một ánh xạ

HomC (B, C ) × HomC (A, B ) −→ HomC (A, C )
(g, f )
−→
gf
được gọi là phép hợp thành của các xạ f và g.
Các dữ kiện trên phải thỏa mãn:
– Phép hợp thành có tính kết hợp: nếu
A

f

/

B

g

/

C

h

/

D

là những xạ đã cho, thì ta có
h(gf ) = (hg )f.
– Với mọi vật A của C, tồn tại một xạ 1A : A −→ A, được gọi là xạ đồng
nhất của vật A, sao cho với mọi xạ f : A −→ B, với mọi xạ g : C −→ A,
ta có
f 1A = f, 1A g = g.
– Nếu các cặp vật (A, B ), (A′ , B ′ ) khác nhau thì HomC (A, B )∩HomC (A′ , B ′ ) =
∅.
Nhận xét 2. Xạ đồng nhất 1A được xác định duy nhất bởi vật A. Thật vậy, nếu 1A
và 1′A đều là những xạ đồng nhất của vật A thì ta có 1A = 1A 1′A = 1′A . Đảo lại, A
được xác định duy nhất bởi 1A vì các tập các xạ đôi một không giao nhau.
1


Ví dụ 3. Phạm trù Set các tập hợp gồm:
• Lớp các vật Ob S et = {tất cả các tập hợp}.
• Lớp các xạ Mor Set = {tất cả các ánh xạ giữa các tập hợp}.
• Phép hợp thành là tích các ánh xạ.
• Với mỗi vật A của Set, ta có ánh xạ đồng nhất 1B = IdB .
Định nghĩa 4. Xạ f : A −→ B được gọi là đơn xạ nếu với mọi xạ k : X −→ A, l :
X −→ A sao cho f k = f l thì ta có k = l.
Định nghĩa 5. Xạ g : B −→ C được gọi là toàn xạ nếu với mọi xạ k : C −→ Y, l :
C −→ Y sao cho kg = lg thì ta có k = l.
Định nghĩa 6. Xạ f được gọi là song xạ nếu f đồng thời là đơn xạ và tồn xạ.
Nhận xét 7.
• Nếu f : A −→ B và g : B −→ C là các đơn xạ thì gf : A −→ C là đơn xạ.

• Nếu gf là đơn xạ thì f là đơn xạ.
• Nếu f : A −→ B và g : B −→ C là các tồn xạ thì gf : A −→ C là tồn xạ.
• Nếu gf là tồn xạ thì g là tồn xạ.
• Nếu f : A −→ B và g : B −→ C là các song xạ thì gf : A −→ C là song xạ.
• Nếu gf là song xạ thì f là đơn xạ và g là toàn xạ.
Định nghĩa 8. Một xạ f : A −→ B trong một phạm trù C được gọi là đẳng xạ hay
khả nghịch nếu tồn tại một xạ g : B −→ A sao cho gf = 1A và f g = 1B . Khi đó, ta
kí hiệu g = f −1 , gọi là xạ nghịch đảo của f .
Hai vật A, B của phạm trù C được gọi là đẳng xạ hay tương đương nếu tồn tại
∼ B.
một đẳng xạ f : A −→ B, kí hiệu A =
Nhận xét 9.
• Nếu xạ g tồn tại thì nó là duy nhất. Thật vậy, nếu g ′ : B −→ A cũng là một xạ
sao cho: g ′ f = 1A và f g ′ = 1B ta sẽ có
g = 1A g = (g ′ f )g = g ′ (f g ) = g ′ 1B = g ′ .
• Nếu f : A −→ B và g : B −→ C là các đẳng xạ thì hợp thành của chúng
gf : A −→ C cũng là đẳng xạ, và ta có (gf )−1 = f −1 g −1 . Thật vậy, ta có

(f −1 g −1 )(gf ) = 1A ,
2

(gf )(f −1 g −1 ) = 1C .


• Mọi xạ đồng nhất đều là đẳng xạ và là xạ nghịch đảo của nó.
• Mọi đẳng xạ đều là song xạ, điều ngược lại không đúng.
Định nghĩa 10. Cho C và D là hai phạm trù. Một hàm tử hiệp biến H hay gọi tắt,
một hàm tử H từ phạm trù C đến phạm trù D
H : C −→ D
là một cặp ánh xạ

• Ánh xạ - vật H : ObC −→ ObD cho tương ứng mỗi vật A của phạm trù C với
một vật H(A) của phạm trù D.
• Ánh xạ - xạ H : MorC −→ MorD cho tương ứng mỗi cấu xạ f : A −→ B của
phạm trù C với một cấu xạ H(f ) : H(A) −→ H(B ) của phạm trù D.
Các ánh xạ này thỏa mãn các điều kiện sau
– H(1A ) = 1H(A) với mọi vật A của C.
– H(gf ) = H(g )H(f ) với mọi hợp thành gf xác định trong C.
Nhận xét 11. Một hàm tử hiệp biến bảo toàn các xạ đồng nhất và hợp thành của
các xạ. Do đó, nó cũng bảo tồn các đẳng xạ.
Định nghĩa 12. Giả sử H : B −→ C và K : C −→ D là các hàm tử hiệp biến. Khi đó
KH : B −→
D
A −→ K(H(A))
f −→ K(H(f ))
xác định một hàm tử hiệp biến, được gọi là hợp thành của các hàm tử H và K.
Định nghĩa 13. Cho hai phạm trù C, C ′ . Ta gọi tích của hai phạm trù C và C ′ , kí
hiệu C × C ′ , là một phm trự gm
ã Ob(C ì C ) = {(C, C ′ )|C ∈ Ob(C ), C ′ ∈ Ob(C )}.
ã HomCìC ((A, A ), (B, B )) = {(f, f ′ )|f ∈ HomC (A, B ), f ′ ∈ HomC ′ (A′ , B ′ )}.
ã Vi (f, f ) HomCìC ((A, A′ ), (B, B ′ )), (g, g ′ ) ∈ HomC×C ′ ((B, B ′ ), (C, C ′ )), ta
có hợp thành

(g, g ′ ) ◦ (f, f ′ ) = (gf, g ′ f ′ ) ∈ HomC×C ′ ((A, A′ ), (C, C ′ )).
Định nghĩa 14. Cho các phạm trù C, C ′ , D. Một hàm tử H : C × C ′ −→ D từ phạm
trù tích C × C ′ vào phạm trù D được gọi là song hàm tử (hai lần hiệp biến).
Như vậy theo định nghĩa, một song hàm tử H : C × C ′ −→ D là một cặp ánh xạ
3


• Ánh xạ - vật: (A, A′ ) −→ H(A, A′ ),

• Ánh xạ - xạ: (f, f ′ ) −→ H(f, f ′ )
thỏa mãn
– H(1A , 1′A ) = 1H(A,A′ ) ,
– H(gf, g ′ f ′ ) = H(g, g ′ )H(f, f ′ ).
Định nghĩa 15. Cho H, K : C −→ D là hai hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù D.
Một phép biến đổi tự nhiên φ từ H đến K là một ánh xạ
φ : ObC −→
MorD
A −→ H(A) −→ K(A)
sao cho với mỗi xạ f : A −→ B trong C, biểu đồ sau giao hoán
H(A)


φ(A)

H(f )

/ K(A)

H(B )

φ(B)

/



K(f )

K(B )

Để diễn tả sự kiện biểu đồ trên giao hoán, ta thường nói φ(A) tự nhiên tại A.
Định nghĩa 16. Cho H, K : C −→ D là hai hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù
D. Một phép biến đổi tự nhiên φ từ H đến K được gọi là một đẳng xạ tự nhiên hay
một tương đương tự nhiên, hay một đẳng xạ hàm tử nếu với mọi vật A của C, φ(A)
∼ K.
là một đẳng xạ. Khi đó, ta viết H =
Định nghĩa 17. Hàm tử H : C −→ D được gọi là trung thành nếu mọi cặp vật A, B
của phạm trù C, ta có
H : HomC (A, B ) −→ HomD (H(A), H(B ))
là một đơn ánh, tức là H chuyễn mỗi cặp cấu xạ phân biệt thành cặp cấu xạ phân
biệt.
Hàm tử H : C −→ D được gọi là trung thành đầy đủ nếu mọi cặp vật A, B của
phạm trù C, ta có
H : HomC (A, B ) −→ HomD (H(A), H(B ))
là một song ánh.
Hàm tử H : C −→ D trung thành đầy đủ và sao cho với mỗi vật B trong phạm
trù D đẳng xạ với một vật H(A), A ∈ ObC thì H được gọi là một phép tương đương
phạm trù.

4


Bài tập 1. Chứng minh rằng hàm tử H : C −→ D là một phép tương đương khi và
chỉ khi tồn tại hàm tử K : D −→ C sao cho HK tương đương tự nhiên với 1D , hàm tử
đồng nhất trên D, và KH tương đương tự nhiên với 1C , hàm tử đồng nhất trên C.
Lời giải.
⇐) Giả sử có hàm tử K : D −→ C sao cho HK tương đương tự nhiên với 1D , và KH
tương đương tự nhiên với 1C . Khi đó, có xạ φ : 1D −→ HK sao cho với mỗi vật
∼ H(K(B )).

B của phạm trù D, φ(B ) là một đẳng xạ, suy ra B =
Ta cũng có đẳng xạ tự nhiên ψ : KH −→ 1C . Khi đó, với mỗi xạ A −→ A′ trong
HomC (A, A′ ), biểu đồ sau giao hoán
ψ(A)

/

KH(A)


ψ(B)

KH(A′ )

/

A


A′

Suy ra H là một hàm tử trung thành. Tương tự, K cũng là một hàm tử trung
thành.
Với mỗi xạ β : H(A) −→ H(A′ ) trong phạm trù D, cảm sinh ra xạ α : A −→ A′
nhờ biểu đồ giao hốn trên và ta có K(β ) = K(H(α)). Vì K là một hàm tử trung
thành nên β = H(α). Suy ra hàm tử H : C −→ D là một phép tương đương
phạm trù.
⇒) Giả sử H là một phép tương đương phạm trù. Khi đó với mỗi vật B trong phạm
trù D ta có thể tìm được một vật K(B ) trong phạm trù C và một đẳng cấu
φB : B −→ HK(B ).

Mỗi xạ β : B −→ B ′ trong phạm trù D cảm sinh ra xạ
φB , βφ−1
B : HK(B ) −→ HK(B ).
Vì H là trung thành đầy đủ nên có duy nhất xạ K(B ) −→ K(B ′ ) sao cho
φB , βφ−1
B = H(K(β )), nói cách khác, sao cho biểu đồ sau giao hốn
B

φB

β



B′

φ′B

/

/

HK(B )


HK(β)

HK(B ′ )

Khi đó K là một hàm tử. Từ biểu đồ trên, ta thấy φ là một phép biển đổi tự

nhiên.
Với mỗi vật A của phạm trù C, ta có một đẳng cấu φH(A) : H(A) −→ HKH(A)
và vì H là trung thành đầy đủ nên có duy nhất một đẳng cấu ψA : KH(A) −→ A
sao cho
h(ψA ) = φ−1
H(A) .
5


Để chứng minh ψ là một phép biến đổi tự nhiên, ta cần chứng minh với mỗi
xạ A −→ A′ , biểu đồ trong phần chứng minh trước là giao hốn. Tác động H
vào biểu đồ đó và dùng h(ψA ) = φ−1
H(A) ta được một biểu đồ giao hoán nhờ tính
tự nhiên của φ. Vì H là trung thành nên biểu đồ đó giao hốn. Ta có hệ thức
Hψ = (φH)−1 chính là h(ψA ) = φ−1
H(A) .
−1
Ta cịn phải chứng minh K(φB ) = ψK(B)
với mỗi vật B của phạm trù D. Vì H là
−1
trung thành nên chỉ cần chứng minh HK(φB ) = H(ψK(B)
). Dùng h(ψA ) = φ−1
H(A)
−1
ta có H(ψK(B)
) = φHK(B) . Thay β bởi φB trong biểu đồ trên ta có điều phải
chứng minh.

Bài tập 2. Cho HK : C × C ′ −→ D là các song hàm tử từ phạm trù tích C × C ′ đến
phạm trù D. Cho φ là ánh xạ

φ : Ob(C × C ′ ) −→
MorD
A × A′
−→ H(A, A′ ) −→ K(A, A′ )

.

Chứng minh φ là một phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử H đến song hàm tử K
khi và chỉ khi φ(A, A′ ) là tự nhiên tại A đối với mọi A′ đã cho và φ(A, A′ ) là tự nhiên
tại A′ đối với mọi A đã cho.
Lời giải.
⇒) Xét φ là một phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử H đến song hàm tử K. Khi
đó, với mỗi xạ của phạm trù tích C × C ′ , tức là mỗi cặp xạ f : A −→ B của C
và f ′ : A′ −→ B ′ của C ′ , biểu đồ sau giao hoán
φ(A,A′ )

H(A, A′ )


K(A, A′ )

/

H(f,f ′ )



φ(B,B ′ )

H(B, B′ )

K(f,f ′ )

K(B, B′ )

/

Nói riêng, các biểu đồ sau giao hoán
φ(A,A′ )

H(A, A′ )

K(A, A′ )

/



H(f,A′ )



φ(B,A′ )

H(B, A′ )

K(f,A′ )

K(B, A′ )

/

′
′ φ(B,A / )
H(B, A )
K(B, A′ )



H(B,f ′ )
′

φ(B,B )

H(B, B′ )

/



K(B,f ′ )

K(B, B′ )

Vậy φ(A, A′ ) là tự nhiên tại A đối với mọi A′ đã cho và φ(A, A′ ) là tự nhiên tại
A′ đối với mọi A đã cho.
6


⇐) Đảo lại, nếu các biểu đồ thứ hai và thứ ba ở trên là giao hốn thì suy ra biểu

đồ sau giao hoán.
φ(A,A′ )

H(A, A′ )

/ K(A, A′ )

H(f,A′ )



′



φ(B,A )

H(B, A′ )


/

K(B, A′ )

H(B,f ′ )
′



φ(B,B )

H(B, B′ )

/

K(f,A′ )

K(B,f ′ )

K (B, B′ )

Vậy φ là một phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử H đến song hàm tử K.

Định nghĩa 18. Cho H : C −→ Set là một hàm tử từ một phạm trù C đến phạm
trù các tập hợp Set. Một phần tử độc xạ đối với H là một cặp (u, R) gồm một vật R
của C và một phần tử u ∈ H(R) thỏa mãn các tính chất: với mọi vật X của C và mọi
phần tử v ∈ H(X), tồn tại duy nhất một xạ f : R −→ X sao cho H(f)(u) = v.
∈

u

H(R)


∈

v

R
∃! f

H(f)



H(X)

X

Định nghĩa 19. Cho R là một quan hệ tương đương trong tập A. Nếu ta cho ứng
với mỗi phần tử x của A với lớp tương đương [x]R mà nó xác định, thì rõ ràng ta
được một toàn ánh từ A lên tập thương A|R.

tnR : A −→ A|R
x −→ [x]R
Ánh xạ này được gọi là ánh xạ tự nhiên từ tập A lên tập thương A|R, kí hiệu là tnR.
Định lí 20. Tính chất độc xạ của tập thương.
Cho R là một quan hệ tương đương trong tập A và φ : A −→ X là một ánh xạ sao
cho (a, b) ∈ R ⇒ φ(a) = φ(b). Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ f : A|R −→ X
sao cho φ = f tnR, tức là sao cho biểu đồ sau giao hoán.
A|R

A

{=
tnR{{{
{{
{{

∃!f

φ

/

!

X

Bài tập 3. Cho A là một tập hợp và R là một quan hệ tương đương trên A.
A
a) Chứng minh rằng HR
: Set −→ Set xác định như sau

7


– với mỗi X ∈ ObSet,
A
HR
(X ) = {φ : A −→ X| (a, b) ∈ R =⇒ φ(a) = φ(b)}.

– với mỗi ánh xạ f : X −→ Y ,
A
A
A
HR
(f ) : HR
(X ) −→ HR
(Y )

φ
−→
fφ

là hàm tử hiệp biến.
A
.
b) Hãy tìm phần tử độc xạ của HR

Lời giải.
a)

A
A
– Xét ánh xạ f : X −→ Y , φ ∈ HR
(X ), ta kiểm chứng HR
(f )(φ) = f φ ∈
A
HR
(Y ). Thật vậy, với mọi (a, b) ∈ R, ta có

φ(a) = φ(b)

⇒ f (φ(a)) = f (φ(b))

⇒ (f φ)(a) = (f φ)(b).

A
A
Vậy HR

(f )(φ) ∈ HR
(Y ).
A
– Với mọi xạ đồng nhất 1X của Set, ta có HR
(1X ) = 1HRA (X) . Thật vậy, với
A
mọi φ ∈ HR (X ), ta có
A
(1X )(φ) = 1X ◦ φ = φ.
HR

– Với mọi ánh xạ f, g của Set sao cho hợp thành gf có nghĩa, ta có
A
A
A
HR
(g ) ◦ HR
(f ) = HR
(gf ).
A
Thật vậy, với mọi φ ∈ HR
(X ), ta có
A
A
A
A
(HR
(g ) ◦ HR
(f ))(φ) = HR
(g )(HR

(f )(φ))
A
A
=HR
(g )(f φ) = g (f φ) = (gf )φ = HR
(gf )(φ).
A
Vậy HR
là một hàm tử hiệp biến.
A
b) Theo định nghĩa, phần tử độc xạ của HR
là một cặp (u, R), trong đó R là một
A
vật của Set, tức là một tập hợp, và u là một phần tử của HR
(R), tức là một
ánh xạ u : A −→ R sao cho (a, b) ∈ R ⇒ u(a) = u(b).

Cặp (u, R) phải thỏa mãn các tính chất độc xạ sau: đối với mọi tập hợp X và mọi
phần tử v ∈ HXA , tức là mọi ánh xạ v : A −→ X sao cho (a, b) ∈ R ⇒ v (a) =
v (b), tồn tại duy nhất một ánh xạ f : R −→ X sao cho v = HXA (f )(u) = f u.
Theo tính chất độc xạ của tập thương trong Định lý 20, cặp (u = tnR, R = A|R)
thỏa mãn tính chất ấy.

8


Tài liệu tham khảo
[1] I. Bucur, A. Deleanu, Introduction to the theory of cateories and functors, 1968.
[2] N. T. Lanh, Đại số, NXBGD, 1985.
[3] B. Mitchell, Theory of Categories, Academit Press, 1965.

Email address:
Tel: +841695377526
Typed by TEX

9