TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỀ TÀI : KHÁI NIỆM PHẠM TRÙ

Page |1

ĐẠI HỌC HUẾ
KHOA TOÁN, TRƯỜNG ĐHSP


TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ
ĐỀ TÀI : KHÁI NIỆM PHẠM TRÙ

Giảng viên hướng dẫn: TS.Phan Văn Thiện
Học viên: Phan Đình Sáu
Chun nghành : Giải tích
Niên khóa: 2011_2013

Huế, tháng 4 năm 2012


Page |2

MỤC LỤC:
Lời tựa
1. Lý thuyết: Trình bày khái niệm về phạm trù, các định nghĩa về đơn xạ, toàn xạ,
song xạ, đẳng xạ, định nghĩa về phạm trù cân đối.
2. Giải ba bài tập 1, 2, 3 trong Bài 1 chương I

3. Tài liệu tham khảo


Page |3

Lời tựa:

Phạm trù và hàm tử là môn học khá mới và trừu tượng, các khái niệm, ký hiệu đều
mới lạ, tổng hợp nhiều kiến thức liên quan về đại số. Vì vậy, việc vận dụng lí thuyết
vào giải bài tập gặp nhiều khó khăn.
Tiểu luận này gồm hai phần:
Phần lí thuyết: Trình bày các định nghĩa, định lý, mệnh đề có liên quan để giải
các bài tập
Phần bài tập: Giải chi tiết ba bài tập 1, 2, 3 trong Bài 1 chương I
Xin chân thành cám ơn TS.Phan Văn Thiện , giảng viên khoa toán trường ĐHSP
Huế đã tận tình giảng dạy trong thời gian qua.
Vì kiến thức và thời gian còn hạn chế, nên chắc chắn tiểu luận khơng tránh khỏi
nhiều sai sót . Chân thành đón nhận những ý kiến nhận xét của Thầy và bạn đọc để
những tiểu luận sau được hoàn thiện hơn.


Page |4

A/ LÝ THUYẾT:
I. Khái niệm phạm trù:
1.Định nghĩa 1.1
Cho một phạm trù 𝒞 có nghĩa là cho các dữ liệu sau:
1. Cho một lớp Ob𝒞 và một lớp Mor𝒞. Lớp Ob𝒞 gọi là lớp các vật, lớp Mor𝒞
gọi là lớp các xạ (cấu xạ).
2. Với hai vật A,B Ob𝒞 ta có một tập hợp (có thể là rỗng). HomC(A,B) nằm
trong Mor𝒞, HomC(A,B) gọi là tập hợp các xạ từ A đến B.
Để chỉ 𝑓 ∈ 𝐻𝑜𝑚𝐶 (𝐴, 𝐵),ta viết f : A

f

B hay A

B. Nếu khơng có gì nhầm

lẫn, ta viết Hom(A,B) thay cho Hom C(A,B)
3. Nếu A,B,C ∈ 𝑂𝑏𝒞, có ánh xạ :
Hom(B,C)× Hom(A,B) ⟶
(g, f)

⟼

Hom(A,C)

gf: gọi là phép hợp thành của các xạ f và g

Các điều kiện sau phải thỏa mãn:
a/ Phép hợp thành có tính kết hợp: Nếu A

f

B

g

C

h

D là các xạ đã

cho thì ta có: h(gf)= (hg)f
b/ Với mọi 𝐴 ∈ 𝑂𝑏𝒞 có một xạ 1𝐴 ∈ 𝐻𝑜𝑚(𝐴, 𝐴), gọi là xạ đồng nhất của A sao

cho với mọi 𝑓 ∈ 𝐻𝑜𝑚 (𝐴, 𝐵),với mọi g ∈ Hom(C,A) ta có 𝑓1𝐴 = 𝑓, 1𝐴 𝑔 = 𝑔
c/ Nếu các cặp vật (A,B), (A’,B’) khác nhau thì: Hom(A,B) ∩ Hom(A’,B’)=∅,
xạ đồng nhất 1𝐴 xác định duy nhất bởi vật A. Với mỗi 𝐴 ∈ 𝑂𝑏𝒞, Hom(A,A) là
một vị nhóm của phép hợp thành (tính kết hợp, có đơn vị)


Page |5

Phạm trù mà lớp các vật là một tập hợp được gọi là phạm trù bé (nhỏ). Phạm
trù mà với mọi vật A, Hom(A,A) chỉ gồm một ánh xạ đồng nhất và với mọi cặp
vật (A,B), A ≠ B ta có Hom(A,B)= ∅ được gọi là phạm trù rời rạc.
II.Các vật và các cấu xạ đặc biệt trong phạm trù:
1. Định nghĩa 2.1
Cấu xạ  : B  C Mor𝒞 gọi là đơn xạ nếu và chỉ nếu với mỗi X  O𝑏𝒞 và với mọi
cặp cấu xạ  , ' : X  A ta có    '     ' nghĩa là  giản ước được bên trái.
Nếu  : A  B và  : B  C là các đơn xạ thì  : A  C cũng là đơn xạ
2. Định nghĩa 2.2
Một cấu xạ  : A  B Mor𝒞 gọi là toàn xạ nếu và chỉ nếu với mọi vật Y  Ob𝒞 và
với mọi cặp cấu xạ  ,  ' : B  Y ta có    '     ' nghĩa là  giản ước được
bên phải.
Nếu  : A  B và  : B  C là các toàn xạ thì  : A  C cũng là tồn xạ
Chú ý: toàn xạ chưa chắc là toàn ánh.
3. Định nghĩa 2.3
Một cấu xạ  : A  B Mor𝒞 gọi là song xạ nếu  đồng thời là đơn xạ và toàn xạ.
Nếu  : A  B và  : B  C là các song xạ thì  : A  C cũng là song xạ
Nếu  : A  C là song xạ thì  là đơn xạ và  là toàn xạ.


Page |6

4. Định nghĩa 2.4
Một cấu xạ  : A  B  Mor𝒞 được gọi là khả nghịch hay đẳng xạ nếu và chỉ nếu
tồn tại một cấu xạ  : B  A Mor𝒞 sao cho   1A ;  1B . Khi đó A được gọi là
đẳng xạ hay tương đương với B.
Kí hiệu A  B
Xạ nghịch đảo của f nếu tồn tại là duy nhất.
Đẳng xạ ⇒ đơn xạ và toàn xạ. Đẳng xạ ⇒ song xạ.
Điều ngược lại nói chung khơng đúng.
5. Định nghĩa 2.5
Phạm trù mà trong đó mọi song xạ đều là đẳng xạ được gọi là phạm trù cân đối.
B / BÀI TẬP:
Bài tập 1:
Đề bài: Giả sử (Ai ) 𝑖 ∈ 𝐼 là một họ vật của phạm trù 𝒞. Hãy kiểm chứng rằng 𝒞 Ai
được xây dựng như sau là một phạm trù:
Vật của CAi là họ cấu xạ ( fi : X ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 , X là một vật của C.
Cấu xạ giữa hai vật ( fi : X ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑔i : Y ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 là cấu xạ f : X ⟶ Y của
𝒞 sao cho với mọi 𝑖 ∈ 𝐼 ta có 𝑓 i = 𝑔i𝑓.
Hợp thành các cấu xạ trong 𝒞Ai là hợp thành các cấu xạ trong 𝒞.


Page |7

Bài giải:
Ta có: Ob(𝒞 Ai) = [(𝑓i: 𝑋 ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ∕ 𝑋 ∈ 𝑂𝑏𝒞],
[(𝑓i: 𝑋 ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼, ( 𝑔i : Y ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ]CAi = [f : X ⟶ Y ∈ HomC(X,Y)∕ 𝑓 i = 𝑔i𝑓,
∀𝑖 ∈ 𝐼]C hợp thành các cấu xạ trong 𝒞 Ai.
Do đó ta có:
*) [(𝑓i: 𝑋 ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼, ( 𝑔i : Y ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ]CAi ⊂ HomC(X,Y) nên nó là một tập hợp.
*) 1( fi : X ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ) = 1 Y
*) Vì phép hợp thành các cấu xạ trong 𝒞Ai chính là tích các cấu xạ trong 𝒞 nên

1( fi : X ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ) = 1 Y là duy nhất và phép hợp thành có tính chất kết hợp.
Vậy 𝒞Ai là một phạm trù.
Bài tập 2:
Đề bài : Giả sử (Ai) 𝑖 ∈ 𝐼 là một họ vật của phạm trù 𝒞. Hãy kiểm chứng rằng Ai𝒞
được xây dựng như sau làm thành một phạm trù:
Vật của Ai𝒞 là họ cấu xạ ( fi : Ai ⟶X)𝑖 ∈ 𝐼 , X là một vật của 𝒞.
Cấu xạ giữa hai vật ( fi : Ai ⟶X)𝑖 ∈ 𝐼 ( gi : Ai ⟶Y)𝑖 ∈ 𝐼 là cấu xạ f : X ⟶ Y của 𝒞
sao cho với mọi 𝑖 ∈ 𝐼 ta có 𝑓𝑓 i = 𝑔i
Hợp thành các cấu xạ trong

Ai𝒞

là hợp thành các cấu xạ trong 𝒞.


Page |8

Bài giải :
Ta có : Ob( Ai𝒞) = [( fi : Ai ⟶X)𝑖 ∈ 𝐼 ∕ 𝑋 ∈ 𝑂𝑏𝒞 ],
[( fi : Ai ⟶X)𝑖 ∈ 𝐼, ( 𝑔i : Ai ⟶Y)𝑖 ∈ 𝐼 ] AiC = [f : X ⟶ Y ∈ HomC(X,Y)∕ 𝑓𝑓 i = 𝑔i ,
∀𝑖 ∈ 𝐼] hợp thành các cấu xạ trong Ai𝒞.
Do đó ta có:
*) [( fi : Ai ⟶X)𝑖 ∈ 𝐼, ( 𝑔i : Ai ⟶Y)𝑖 ∈ 𝐼 ] Ai𝐶 ⊂ HomC(X,Y) nên nó là một tập
hợp.
*) 1( fi : Ai ⟶X )𝑖 ∈ 𝐼 ) = 1X
*) Vì phép hợp thành các cấu xạ trong Ai𝒞 chính là tích các cấu xạ trong 𝒞 nên
1( fi : Ai ⟶X )𝑖 ∈ 𝐼 ) = 1X là duy nhất và phép hợp thành có tính chất kết hợp.
Vậy Ai 𝒞 là một phạm trù.
Bài tập 3:
Đề bài: Chứng minh rằng :

a) Phạm trù Group các nhóm, phạm trù R- Mod các R-mơđun là các phạm trù cân
đối.
b) Phạm trù các không gian tôpô tách được với cấu xạ là ánh xạ liên tục phạm trù
khơng cân đối.
Bài giải:
a) Phạm trù Group các nhóm là phạm trù cân đối.
Phạm trù Group các nhóm là phạm trù trong đó lớp các vật là lớp tất cả các nhóm
, lớp các xạ là lớp tất cả các đồng cấu nhóm.
Giả sử f : A → B là một song xạ ta sẽ chứng minh f là đẳng xạ.
f là song xạ nên f là đơn xạ và toàn xạ.


Page |9

+) Ta xét phép nhúng chính tắc i : Kerf → A thì ta có fi = 0 = f0, vì f đơn xạ nên i
= 0 từ đó suy ra ∀x ∈ Kerf thì x = i(x) = 0(x) = 0 nên Kerf = 0, mà f là đ ồng cấu
nhóm nên suy ra f đơn cấu .
+) Xét đồng cấu p : B → B / Im(f) thì ta có pf = 0 = 0f mà f toàn xạ nên p = 0 tức
là p(b) = 0; ∀b ∈ B suy ra B = Im(f) nên f là toàn cấu. Vậy f là đẳng cấu suy ra
𝑓 −1 cũng là đẳng cấu, đặt g = 𝑓 −1 thì ta có : fg = 1𝐵 và gf = 1𝐴 vậy f là đẳng xạ
nên phạm trù Group các nhóm là phạm trù cân đối.
Phạm trù R- Mod các R-môđun là phạm trù cân đối.
Phạm trù R- Mod các R-mơđun là phạm trù trong đó lớp các vật là lớp tất cả các
R-môđun, lớp các xạ là lớp tất cả các đồng cấu R-môđun.
Giả sử f : A → B là một song xạ ta sẽ chứng minh f là đẳng xạ.
f là song xạ nên f là đơn xạ và tồn xạ.
+) Ta xét phép nhúng chính tắc i : Kerf → A thì ta có fi = 0 = f0, vì f đơn xạ nên i
= 0 từ đó suy ra ∀x ∈ Kerf thì x = i(x) = 0(x) = 0 nên Kerf = 0, mà f là đ ồng cấu
R-môđun nên suy ra f đơn cấu .
+) Xét đồng cấu môđun p : B → Cokerf = B/Im(f) thì ta có pf = 0 = 0f mà f toàn xạ

nên p = 0 tức là p(b) = 0; ∀b ∈ B suy ra B = Im(f) nên f là toàn cấu. Vậy f là một
đẳng cấu suy ra 𝑓 −1 cũng là đẳng cấu, đặt g = 𝑓 −1 thì ta có : fg = 1𝐵 và gf = 1𝐴
vậy f là đẳng xạ nên phạm trù R-Mod các R-môđun là phạm trù cân đối.
b) Phạm trù các không gian tôpô tách được với cấu xạ là ánh xạ liên tục là phạm
trù không cân đối.
Ta sẽ chứng minh có một song xạ nhưng khơng là đẳng xạ.
Xét X = (0; 1) và Y = ℝ là hai không gian tôpô với tôpô thông thường, xét ánh xạ
liên tục sau:


P a g e | 10

f:X→Y
x ↦ x , ∀x ∈ X
Trước tiên ta chứng minh f là đơn xạ, ∀k : Z → X , l : Z → X sao cho fk = fl ta
chứng minh k = l. Giả sử k ≠ l tức ∃x ∈ Z : k(x) ≠ l(x) nên tồn tại 2 lân cận U,V
của k(x), l(x) sao cho U ∩ V = ∅, vì f(U) = U, f(V ) = V nên f(U) ∩ f(V ) = ∅ mặc
khác fk(x) ∈ U, fl(x) ∈ V suy ra fk(x) ≠ fl(x) mâu thuẫn nên k = l vậy f đơn xạ.
Tiếp theo ta chứng minh f toàn xạ, ∀k : Y → T, l : Y → T sao cho kf = lf ta chứng
minh k = l. Giả sử k ≠ l tức ∃x ∈ Y : k(x) ≠ l(x) nên tồn tại 2 lân cận U,V của k(x),
l(x) sao cho U ∩ V = ∅, vì k, l là các ánh xạ liên tục nên tồn tại 2 lân cận U1,V1
của x sao cho k(U1) ⊂ U và l(V1) ⊂ V nên k(U1) ∩ l(V1) = ∅ mà kf(x) ⊂ k(U1)
và lf(x) ⊂ l(V1) nên kf(x) ≠ lf(x) mâu thuẫn nên k = l vậy f toàn xạ. Vậy f là song
xạ.
Cuối cùng ta chứng minh f không phải đẳng xạ, giả sử f là đẳng xạ tức tồn tại ánh
xạ liên tục g : Y → X sao cho fg = 1𝑌 ; gf = 1𝑋 , ta chọn x = 2 thì fg(x) ∈ (0; 1) nên
fg(x) ≠ x vậy f khơng là đẳng xạ nên ta có điều phải chứng minh.


P a g e | 11

TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1 Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết, Cơ Sở Đại Số hiện đại, NXB Giáo dục,
2001.

2 Barry Mitchell, Lý thuyết phạm trù, Academic Press, 1965

3 Barr, Michel Wells, Charles (2002),Toposes, Triples and Theories

4 Asperti, Andrea Longo, Giuseppe (1991), Cat- egories, Types and Structures,
MIT Press

5 Saunder MacLane, Categories for mathematician working, Graduate Texts in
Mathematics 5, Springer- Verlag.