Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến mođun xạ ảnh”

Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến
mođun xạ ảnh”
LỜI MỞ ĐẦU
Trong quá trình học môn đại số do giảng viên tiến sĩ Phan Văn Thiện giảng
dạy, mođun xạ ảnh là một phần quan trọng của học phần này. Và ở đây tôi đã bị thu
hút bởi nhiều định lý, mệnh đề hấp dẫn, chẳng hạn: Tổng trực tiếp của các R –
mođun xạ ảnh là xạ ảnh. Một câu hỏi bật ra một cách tự nhiên “ Phải chăng tích
trực tiếp của các R – mođun xạ ảnh cũng là xạ ảnh”. Cùng với bài toán trên bài toán
thứ hai trong đề tài này liên quan mật thiết đến bổ đề đối ngẫu, một bổ đề khá mới
mẻ đối với bản thân.
Thật may mắn tôi đã có cơ hội làm rõ điều này khi được T.S Phan Văn
Thiện giao cho đề tài “ Môđun xạ ảnh và chứng minh hai bài toán liên quan”.
Tiểu luận được chia thành hai phần:
Phần 1: TỔNG QUAN CÁC KHÁI NIỆM.
Phần 2: BÀI TẬP.
Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn sâu sắc đến T.S Phan Văn Thiện. Chắc
rằng đề tài vẫn còn nhiều vấp váp, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo thêm từ thầy.
Huế, ngày 17 tháng 01 năm 2012
Học viên
DƯƠNG THỊ THU THUỶ


trang 1
Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến
mođun xạ ảnh”
TIỂU LUẬN
TIỂU LUẬN
ĐẠI SỐ
ĐẠI SỐ
Tên đề tài:
CHỨNG MINH HAI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MÔĐUN

CHỨNG MINH HAI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MÔĐUN
XẠ ẢNH
XẠ ẢNH
LỜI MỞ ĐẦU 1
Phần I: TỔNG QUAN CÁC KHÁI NIỆM 3
1. TỔNG TRỰC TIẾP – TÍCH TRỰC TIẾP 3
2. MÔĐUN XẠ ẢNH 4
Phần II: BÀI TẬP 6
1.BÀI TOÁN 1 6
2.BÀI TOÁN 2 8
TÀI LIỆU THAM KHẢO
10
trang 2
Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến
mođun xạ ảnh”
PHẦN I: TỔNG QUAN CÁC KHÁI NIỆM
1.TỔNG TRỰC TIẾP – TÍCH TRỰC TIẾP:
1.1 Tổng trực tiếp:
Cho M
1
, M
2
, M
n
là các R – modun. Xét n –
chiều cùng với 2 phép toán:
1. .
2. .
Khi đó M là một R – mođun và được gọi là tổng trực tiếp của các modun M
1

,
M
2
, M
n
,
Kí hiệu: M
1
M
2
M
n
hay .
Tổng quát, nếu là 1 họ với R – mođun chúng ta có thể giới thiệu tổng
trực tiếp như sau: vô hạn chiều, m
i
= 0 hầu khắp
nơi với i ( nói cách khác chỉ có một số hữu hạn m
i
khác 0) . Hơn nữa hai phép
toán xác định trên tập này là:
1. .
2. . Với .
1.2 Tích trực tiếp:
trang 3
Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến
mođun xạ ảnh”
Trong định nghĩa trên, nếu không có giả thiết m
i
= 0 hầu khắp nơi với i thì

chúng ta thu được khái niệm tổng trực tiếp ngoài mạnh có kí hiệu là . Lúc
này người ta gọi nó là tích trực tiếp của họ R – modun.
Như vậy: Nếu tập I hữu hạn thì tổng trực tiếp ngoài đồng nhất với tích trực tiếp của
các mođun M
i
, nói cách khác M
1
M
2
M
n
=M
1
M
2
M
n
.
1.3 Hạng tử trực tiếp: Cho N là một môđun con của R – môđun M. Môđun con N
được gọi là một hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại modun con P của M sao cho
M = N
.
Khi đó P được gọi là mođun con phụ của N trong M.
2.MÔĐUN XẠ ẢNH
2.1 Định nghĩa:
R – mođun X được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu R – mođun f: X B
và mọi toàn cấu R – môđun g: A B thì có một đồng cấu R – môđun h: X A
thoả mãn .
2.2 Mệnh đề:
Tổng trực tiếp của các R – mođun xạ ảnh là xạ ảnh.

trang 4
X
A
B
0
h
f
g
g
Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến
mođun xạ ảnh”
2.3 Mệnh đề:
Cho X là R – mođun các khẳng định sau là tương đương với nhau:
i) X là R – mođun xạ ảnh.
ii) Mọi dãy khớp ngắn các đồng cấu R – môđun đều chẻ ra.
iii) X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môdun tự do.
2.4 Bổ đề: Cho Thì
Chứng minh: Gọi f sao cho f(P) = 0. Ta chứng minh f(M) = 0.
Thật vậy,
Xét 2 nhóm con của M:
,
.
Rõ ràng tổng của chúng là M. Một phẩn tử của tập A có dạng:
( một phần tử của M).
Vì f(P) = 0 nên . Do đó f(A) = 0.
Tương tự, chúng ta có f(B) = 0.
Vì vậy: f(M) = f(A) + f(B) = 0.
Suy ra .

Ghi chú: Mệnh đề 2.2 không đúng trong trường hợp tích trực tiếp là vô

hạn( không là tổng trực tiếp). Một cách tổng quát, tích trực tiếp của các môđun xạ
trang 5
Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến
mođun xạ ảnh”
ảnh chưa chắc đã là xạ ảnh. Điều này sẽ được làm rõ qua bài toán 1 trong phần 2 của
đề tài.
PHẦN II: BÀI TẬP
Chứng minh:
Cách 1: Dựa trên kiến thức: Nhóm con của một nhóm aben tự do là nhóm
aben tự do.
Đặt M =
Giả sử rằng M là môđun xạ ảnh.
trang 6
1. Bài toán 1: Chứng minh tích trực tiếp không là
môđun
xạ ảnh.
Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến
mođun xạ ảnh”
Khi đó theo mệnh đề 2.3 M đẳng cấu trực tiếp với một hạng tử trực tiếp của một
môdun tự do F tức là F
.
Vì F là một nhóm aben tự do nên M cũng là một nhóm aben tự do. Do nhóm con
của một nhóm aben tự do là nhóm aben tự do nên nếu ta chỉ ra được một nhóm con
của M không phải là nhóm aben tự do thì đây sẽ là điều vô lí, từ đó bài toán được
chứng minh.
Thật vậy,
Xét nhóm A = trong đó với mọi luôn tồn tại m
sao cho a
i
chia hết cho 2

n
(
*Chứng minh A là nhóm con của M:
+ A , M có phần tử đơn vị 0 = (0, 0, ,0, )(1).
+ (0, 0, , 0 ) nên A (2).
+ thì a = trong đó với mọi luôn tồn tại m
sao cho a
i
chia hết cho 2
i
( trong đó với
mọi luôn tồn tại m’ sao cho chia hết cho 2
i
( :
, gọi p = max . Khi đó với
mọi luôn tồn tại p sao cho a
i
+ chia hết cho 2
i
( .
Suy ra (3).
trang 7
Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến
mođun xạ ảnh”
+ thì a = trong đó với mọi luôn tồn tại m
sao cho a
i
chia hết cho 2
i
( ta có

và (4).
Từ (1), (2), (3), (4) ta có A là nhóm con của M.
Nhưng A không phải là nhóm aben tự do. Điều này vô lý.
Vậy M không là môđun xạ ảnh hay tích trực tiếp không là
môđun xạ ảnh.
Cách 2: Cách này dựa trên bổ đề 2.4
Đặt M =
Giả sử rằng M là môđun xạ ảnh.
Ta có , trong đó F là một nhóm giao hoán tự do với cơ sở .
Vì thể đếm được, nên có thể phân tích I thành một tập hợp tách
rời nhau sao cho là đếm được và P được chứa trong ( có cơ sở
).
Chú ý rằng ( vì có thể đếm được còn M thì không).
Lấy một phép chiếu từ F vào với một thích hợp, chúng ta thu được
một đồng cấu f: F với nhưng f(F
1
) = 0. Do vậy f(P) = 0( Mâu thuẫn
với bổ đề 2.4).
trang 8
Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến
mođun xạ ảnh”
Vậy M không là môđun xạ ảnh hay tích trực tiếp không là
môđun xạ ảnh.
Chứng minh:
* Chiều thuận: Giả sử P là R – mođun xạ ảnh và là một R - toàn cấu,
trong đó F là R – mođun tự do có cơ sở . Theo mệnh đề 2.3 “Mọi dãy khớp
ngắn các đồng cấu R – môđun đều chẻ ra” nên dãy khớp ngắn:
là chẻ ra.
Do đó tồn tại R - đồng cấu f sao cho .
Với mọi a thì luôn có một khai triển hữu hạn duy nhất:

, tức chỉ có hữu hạn phần tử sao cho . Khi đó rõ
ràng tương ứng xác định bởi là R – đồng cấu sao
cho với hầu hết i.
Bây giờ nếu ta đặt thì:
trang 9
2. Bài toán 2
: Chứng minh rằng R – mođun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu tồn tại một
họ các phần tử của P và các hàm tuyến tính của sao
cho với mọi a , với hầu hết i và
Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến
mođun xạ ảnh”

.
* Chiều đảo:
Giả sử có các phần tử của P và các hàm tuyến tính của
sao cho với mọi a , với hầu hết i và
Xét tập hợp S = và một ánh xạ g xác định bởi
Cho F là một R – môđun tự do trên tập hợp S. Khi đó theo tính phổ dụng của
môđun tự do tồn tại R – đồng cấu mở rộng của g(
.
Bây giờ ta định nghĩa một ánh xạ f xác định bởi
Khi đó f hoàn toàn được xác định và là R – đồng cấu. Ta suy ra, thì:

Tức là . Ta có mệnh đề:
Cho dãy khớp ngắn các khẳng định sau là tương đương:
i)Dãy khớp trên chẻ ra
ii)g có nghịch đảo phải, tức là có đồng cấu k sao cho
trang
10
Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến

mođun xạ ảnh”
Do đó dãy khớp ngắn: là chẻ ra. Điều này nói lên rằng
P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của môđun tự do F. Theo mệnh đề 2. 3 thì P là
R – mođun xạ ảnh. Bài toán được chứng minh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. N. T. Lanh, Đại số( Giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản giáo dục, 1985.
2. S. Lang, Đại số( T. V. Hạo, H. Kỳ dịch), Nhà xuất bản ĐHTHCN, 1978.
3. T. Y. Lam, Exercises in Modules and Rings, Springer, 2007.
4. T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer – Verlag, 1999.
5. Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V.V. Kirichenko, Algebras Rings and
modules, Nhà xuất bản Klwerv Acadeamic, 2004.
trang
11