TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Khoa Toán

TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

ĐỀ TÀI

PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN

Học viên thực hiện
Giảng viên hướng dẫn
Trần Thị Nhã Trang
TS. Phan Văn Thiện

Lớp Cao học Tốn K20
Chun ngành Hình học và tôpô

Huế, 4/ 2012
i


MỤC LỤC
Trang phụ bìa

i

MỤC LỤC

1

MỞ ĐẦU
1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN
1.1 Khái niệm Phạm trù . . . .
1.2 Phạm trù tích . . . . . . . .
1.3 Hàm tử, song hàm tử . . . .
1.3.1 Hàm tử . . . . . . .
1.3.2 Song hàm tử . . . . .
1.4 Phép biến đổi tự nhiên . . .

3
BỊ
. .
. .
. .
. .
. .
. .

.
.
.
.
.
.

2 BÀI TẬP VẬN DỤNG

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

4
4
5

5
5
6
6
7

KẾT LUẬN

10

TÀI LIỆU THAM KHẢO

11

1


MỞ ĐẦU
Lý thuyết tập hợp do G. Cantor xây dựng từ năm 1874 đến 1895, với các khái
niệm nguyên thủy là " tập hợp", "thuộc", "bằng nhau".
Đến năm 1908, B. Russel phát hiện ra nghịch lí: Mọi tập hợp nói chung khơng tự chứa
mình làm phần tử, ví dụ như tập hợp các số tự nhiên lại không phải là số tự nhiên.
Xét tập hợpM = {X | X ∈
/ X} gồm những tập hợp khơng tự chứa mình làm phần tử.
Nếu M ∈ M thì theo định nghĩa của M, M ∈
/ M . Mâu thuẫn. Nếu M, M ∈
/ M thì theo
định nghĩa M ∈ M . Mâu thuẫn.
Để giải quyết mâu thuẫn này ta phải quan niệm M không phải là tập hợp mà là một
lớp.

Năm 1940, Godel-Bernays đã xây dựng lại lý thuyết tiên đề về tập hợp với các khái
niệm " lớp", "thuộc", "bằng nhau" là các khái niệm nguyên thủy. Một lớp A là một
tập hợp nếu và chỉ nếu nó là một phần tử của lớp B.
Chính điều này đã kích thích sự mong muốn được tìm hiểu học phần Lý thuyết phạm
trù và hàm tử. Dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo TS Phan Văn Thiện, tơi đã chọn và
tìm hiểu đề tài "Phép biến đổi tự nhiên".
Nội dung của tiểu luận gồm có hai chương
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở có liên quan đến đề tài.
Chương 2 trình bày một số bài tập.
Vì khả năng cịn hạn chế nên chắc chắn tiểu luận khơng tránh khỏi thiếu sót, rất
mong nhận được ý kiến đóng góp của Thầy cơ và bạn đọc.
Huế, tháng 4 năm 2012
Trần Thị Nhã Trang

3


Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Khái niệm Phạm trù

Định nghĩa 1.1.1. Cho một phạm trù C có nghĩa là cho các dữ kiện sau

1. Cho một lớp ObC và một lớp M orC. Lớp ObC gọi là lớp các vật, lớp M orC gọi
là lớp các xạ (cấu xạ).
2. Với hai vật A, B ∈ ObC, ta có một tập hợp (có thể rỗng) HomC (A, B) nằm trong
MorC, HomC (A, B) gọi là tập hợp các xạ từ A đến B.
Để chỉ f ∈ HomC (A, B), ta viết f : A −→ B hay

f

A

/B

Nếu khơng có gì nhầm lẫn, ta viết Hom(A, B) thay cho HomC (A, B).
3. Với ba vật A, B, C ∈ ObC, ta có ánh xạ
Hom(B, C) × Hom(A, B) −→ Hom(A, C)
(g, f ) −→ gf
gọi là phép hợp thành của các xạ f và g.
Các điều kiện sau phải thỏa mãn
• Phép hợp thành có tính kết hợp.
Nếu
A

f

/B

g

/C

h

/D

là các xạ đã cho thì ta có h(gf ) = (hg)f .
• Với mọi A ∈ ObC ta có xạ 1A ∈ Hom(A, A) gọi là xạ đồng nhất của A sao

cho với mọi f ∈ Hom(A, B), với mọi g ∈ Hom(C, A) ta có f 1A = f, 1A g = g.
• Nếu các cặp (A, B), (A′ , B ′ ) khác nhau thì Hom(a, b) ∩ Hom(A′ , B ′ ) = ∅

4


Chú ý rằng
Xạ đồng nhất xác định bởi duy nhất vật A.
Ví dụ 1.1.1. Phạm trù R M od các R-mơ đun có lớp các vật là tất cả các R-mô đun, lớp
các xạ là lớp tất cả các đồng cấu R-mô đun.
Với M, N ∈ ObR M od, Hom(M, N ) là tập tất cả các đồng cấu R-mô đun từ M đến N .

1.2

Phạm trù tích

Định nghĩa 1.2.1. Cho C, C′ là các phạm trù, tích C × C ca chỳng c nh ngha
ã Vt ca C ì C′ là cặp vật (A, A′ ) với A ∈ ObC, A ObC .
ã Cu x ca C ì C′ là cặp cấu xạ (f, f ′ ) với f : A −→ B ∈ M orC, f ′ : A′ −→ B ′ ∈
M orC′ .
Hợp thành của hai cấu xạ
(A

(B

f

/ B, A′

f′

/ B′)

g

/ C, B ′

g′

/ C ′)

gf

/ C, A′

g′ f ′

/ C ′)

là
(A

có thể kiểm chứng các tiên đề của phạm trù được thỏa mãn.
Phạm trù C, C′ được gọi là phạm trù tích của hai phạm trù C và C′ .

1.3
1.3.1

Hàm tử, song hàm tử
Hàm tử

Định nghĩa 1.3.1. Cho C, D là các phạm trù. Hàm tử hiệp biến h từ C đến D là một
cặp ánh xạ
• Ánh xạ vật h h : ObC −→ ObD cho tương ứng mỗi vật A ∈ ObC với một vật
h(A) ∈ ObD.
• Ánh xạ cấu xạ h : M orC −→ M orD cho tương ứng mỗi cấu xạ f : A −→ B của
phạm trù C với một cấu xạ h(f ) : h(A) −→ h(B) của phạm trù D thỏa mãn các
điều kiện sau:
i) h(1A ) = 1h(A) .
ii) h(gf ) = h(g)h(f ).
Quy ước:Từ giờ ta sẽ gọi các hàm tử hiệp biến là hàm tử.

5


1.3.2

Song hàm tử

Định nghĩa 1.3.2. Cho B, C, D là các phạm trù. Hàm tử h : B × C −→ D được gọi là
song hàm tử hai lần hiệp biến (song hàm tử).
Như vậy, song hàm tử h : B ì C D l mt cp ỏnh x
ã ánh xạ vật (A, A′ ) −→ h(A, A′ ).
• ánh xạ cấu xạ (f, f ′ ) −→ h(f, f ′ ) thỏa mãn
i) h(1A , 1′A ) = (1h(A) , 1h(A′ ) ).
ii) h(gf, g ′ f ′ ) = h(g, g ′ )h(f, f ′ ).

1.4

Phép biến đổi tự nhiên

Định nghĩa 1.4.1. Cho h, k : C −→ D là hai hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù D.
Một phép biến đổi tự nhiên φ từ h đến k lỔ ánh xạ cho tương ứng một vật A ∈ ObC
một cấu xạ φ(A) : h(A) −→ k(A) của D sao cho với mỗi cấu xạ f : A −→ B ta có biểu
đồ sau giao hoán
h(A)
h(f )



h(B)

φ(A)

φ(B)

/ k(A)


k(f )

/ k(B)

tức là k(f )φ(A) = φ(B)h(f ).
Để diễn tả biểu đồ trên giao hốn ta nói φ(A) tự nhiên tại A.
Định nghĩa 1.4.2. Cho h, k, l : C −→ D là các hàm tử. Cho φ : h −→ k là phép biến đổi
tự nhiên từ h đến k và ψ : k −→ l là một phép biến đổi tự nhiên. Với mọi A ∈ ObC đặt
(ψφ)(A) = ψ(A)φ(A)
Khi đó ψφ là một phép biến đổi tự nhiên từ h đến l được gọi là phép hợp thành của
các phép biến đổi tự nhiên φ và ψ.

6


Chương 2
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1:
Cho M là một R-mô đun trái, khi đó nhóm cộng aben HomR (M, R) là một R-mô đun
phải với phép nhân vô hướng
(f r)(x) = f (x)r, ∀f ∈ HomR (M, R), ∀r ∈ R.
R-mô đun phải HomR (M, R) gọi là đối ngẫu của R-mơ đun trái M , kí hiệu M ∗ .
Nếu φ : M −→ N là một đồng cấu R-mơ đun trái thì ánh xạ
φ∗ : N ∗ −→ M ∗
f −→ φ∗ (f ) = f (φ)
là một đồng cấu, gọi là đối ngẫu của φ.
Trong trường hợp M là R-mơ đun phải thì ta có thể trang bị cho nhóm cộng aben
HomR (M, R) thêm phép tốn
(rf )(x) = rf (x), ∀f ∈ HomR (M, R), ∀r ∈ R
để có được R-mơ đun trái.
Xét các hàm tử 1R M od , h :R M od −→ M trong đó 1R M od là hàm tử đồng nhất, h là hàm
tử cho tương ứng mỗi R-mô đun trái M với song đối ngẫu M ∗∗ của nó, mỗi đồng cấu
f : M −→ N với song đối ngẫu f ∗∗ của nó.
Có thể kiểm chứng rằng ánh xạ φ : 1R M od −→ h tương ứng mỗi R-mô đun M với ánh
xạ
φ(M ) : 1R M od (M ) −→ h(M ) = M ∗∗
x −→ φ(M )(x) : N ∗ −→ R.
trong đó φ(M )(x)(f ) = f (x), ∀f ∈ M ∗ là một phép biến đổi tự nhiên.
Chứng minh. Ta có
1. Hàm tử đồng nhất của phạm trù R M od là
1R M od(M ) :R M od −→R M od

M −→ M,
f : M −→ N −→ f : M −→ N.
7


2. Hàm tử h
h :R M od −→ M
M −→ M ∗∗ = HomR (M ∗ , R),
f : M −→ N −→ f ∗∗ : M ∗∗ −→ N ∗∗
trong đó

f ∗∗ : M ∗∗ −→ N ∗∗
g : M ∗ −→ R −→ f ∗∗ (g) = gf ∗ : N ∗ −→ R

3. Ánh xạ φ : 1R M od −→ h cho tương ứng mỗi R-mô đun M với ánh xạ
φ(M ) : 1R M od (M ) −→ h(M ) = M ∗∗
x −→ φ(M )(x) : M ∗ −→ R.
trong đó φ(M )(x)(f ) = f (x), ∀f ∈ M ∗ .
Để chứng minh φ là phép biến đổi tự nhiên, ta chứng minh biểu đồ sau
1R M od (M )
1R M od (f )



1R M od (N )

φ(M )

/ h(M ) = M ∗∗

φ(N )



h(f )

/ h(N ) = N ∗∗

giao hoán với mọi f : M −→ N tức là φ(N )1R M od (f ) = h(f )φ(M ).
Với mọi f : M −→ N, ∀x ∈ M, ∀g ∈ N ∗ ta có
• h(f )φ(M )(x)(g) = f ∗∗ (φ(M )(x))(g) = φ(M )(x)f ∗ (g) = φ(M )(x)g(f ) = gf (x).
• φ(N )1R M od (f )(x)(g) = φ(N )(f (x))g = gf (x).
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Bài 2:
Cho h, k : C × C′ −→ D là các song hàm tử từ phạm trù tích C × C′ đến phạm
trù D. Cho φ là ánh xạ cho tương ứng mỗi cặp vật (A, A′ ) ∈ ObC × C′ một cấu xạ
φ(A, A′ ) : h(A, A′ ) −→ k(A, A′ ) của D. Chứng minh rằng φ là một phép biến đổi tự
nhiên từ song hàm tử h đến k khi và chỉ khi φ(A, A′ ) là tự nhiên tại A đối với mọi A′
đã cho và φ(A, A′ ) là tự nhiên tại A′ đối với mọi A đã cho.
Chứng minh. Dễ dàng thấy được rằng nếu φ là một phép biến đổi tự nhiên từ song
hàm tử h đến k thì φ(A, A′ ) là tự nhiên tại A đối với mọi A′ đã cho và φ(A, A′ ) là tự
nhiên tại A′ đối với mọi A đã cho.
Ngược lại, giả sử φ(A, A′ ) là tự nhiên tại A đối với mọi A′ đã cho và φ(A, A′ ) là tự
nhiên tại A′ đối với mọi A đã cho. Khi đó ta có các biểu đồ sau là giao hốn

8


φ(A,A′ )

/ k(A, A′ )

h(A, A′ )
h(f,1C′ )



′
′ φ(B,A )/

h(B, A )
với mọi f : A −→ B và

k(f,1C′ )



k(B, A′ )

φ(A,A′ )

/ k(A, A′ )

h(A, A′ )
h(1C ,f ′ )



φ(A,B ′ )

k(1C ,f ′ )



/ k(A, B ′ )

h(A, B ′ )
với mọi f ′ : A′ −→ B ′ .
Có nghĩa là

k(f, 1C′ ) ◦ φ(A, A′ ) = φ(B, A′ ) ◦ h(f, 1C′ ),
k(1C , f ′ ) ◦ φ(A, A′ ) = φ(A, B ′ ) ◦ h(1C , f ′ ).
Từ hai đẳng thức trên ta có
k(f, f ′ ) ◦ φ(A, A′ ) = φ(B, B ′ ) ◦ h(f, f ′ )
tức là biểu đồ sau giao hoán
h(A, A′ )
h(f,f ′ )



φ(A,A′ )

/ k(A, A′ )

φ(B,B ′ )



k(f,f ′ )

/ k(B, B ′ )

h(B, B ′ )

Vậy φ là một phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử h đến k. Bài toán kết thúc.

9


KẾT LUẬN
Thông qua tiểu luận, tác giả hi vọng người đọc phát hiện ra một vài điều lí thú.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng vẫn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả xin
chân thành cảm ơn Thầy giáo, TS Phan Văn Thiện đã tận tình giảng dạy học phần
Lý thuyết Phạm trù và hàm tử và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tiểu luận này.

10


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan Văn Thiện, Bài giảng Lý thuyết Phạm trù và hàm tử, ĐH Sư phạm Huế,
2012.

11