Tài liệu Bất đẳng thức Cauchy ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (473.06 KB, 78 trang )
o
m
.c
Giới thiệu
w
w
w
.v
ie
t
m
a
t
h
s
A
Tài liệu này đợc soạn bằng pdfLTEX. Muốn xem tài liệu hớng dẫn sử
dụng ATEX bạn hÃy nhấn vào mấy chữ xanh xanh này, lúc đó bạn sẽ mở
L
đợc tËp tin Bai giang LaTeX.pdf.
o
m
.c
Giới thiệu
t
h
s
A
Tài liệu này đợc soạn bằng pdfLTEX. Muốn xem tài liệu hớng dẫn sử
dụng ATEX bạn hÃy nhấn vào mấy chữ xanh xanh này, lúc đó bạn sẽ mở
L
đợc tËp tin Bai giang LaTeX.pdf.
w
w
w
.v
ie
t
m
a
Néi dung chÝnh cđa tµi liƯu này là trình bày một số ví dụ về chứng minh
bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Cauchy. Muốn xem phần lý thuyết
cơ bản của bất đẳng thức bạn hÃy nhấn vào mấy chữ xanh xanh vừa rồi,
hoặc nhấn vào đây cũng đợc.
2.1 VÝ dô 1
m
a
2.2 VÝ dô 2
t
2.3 VÝ dô 3
ie
2.4 VÝ dô 4
.v
2.5 VÝ dô 5
2.8 VÝ dô 8
w
w
2.6 VÝ dụ 6
2.7 Ví dụ 7
s
t
h
1 Bất đẳng thức Cauchy
2 Các ví dụ
w
3 Bài tập áp dụng
o
m
.c
Mục lục
o
m
w
w
w
.v
ie
t
m
a
t
h
s
.c
sử dụng bất đẳng thức Cauchy
để chứng minh một số bất đẳng
thức
o
m
m
a
t
h
s
.c
sử dụng bất đẳng thức Cauchy
để chứng minh một số bất đẳng
thức
w
w
w
.v
ie
t
1 Bất đẳng thức Cauchy
o
m
m
a
t
h
s
.c
sử dụng bất đẳng thức Cauchy
để chứng minh một số bất đẳng
thức
w
w
w
.v
ie
t
1 Bất đẳng thức Cauchy
o
m
m
a
t
h
s
.c
sử dụng bất đẳng thức Cauchy
để chứng minh một số bất đẳng
thức
ie
t
1 Bất đẳng thức Cauchy
w
w
w
.v
Cho n số không âm a1 , a2 , . . . , an , khi ®ã ta cã
o
m
m
a
t
h
s
.c
sử dụng bất đẳng thức Cauchy
để chứng minh một số bất đẳng
thức
ie
t
1 Bất đẳng thức Cauchy
w
w
.v
Cho n số không âm a1 , a2 , . . . , an , khi ®ã ta cã
w
√
a1 + a2 + · · · + an
≥ n a1 a2 · · · an .
n
o
m
m
a
t
h
s
.c
sử dụng bất đẳng thức Cauchy
để chứng minh một số bất đẳng
thức
ie
t
1 Bất đẳng thức Cauchy
.v
Cho n số không âm a1 , a2 , . . . , an , khi ®ã ta cã
w
w
√
a1 + a2 + · · · + an
≥ n a1 a2 · · · an .
n
w
DÊu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
o
m
m
a
t
h
s
.c
sử dụng bất đẳng thức Cauchy
để chứng minh một số bất đẳng
thức
ie
t
1 Bất đẳng thức Cauchy
.v
Cho n số không âm a1 , a2 , . . . , an , khi ®ã ta cã
w
w
√
a1 + a2 + · · · + an
≥ n a1 a2 · · · an .
n
w
DÊu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
o
m
w
w
w
.v
ie
t
m
a
t
h
s
.c
Chú ý. Ta còn có bất đẳng thức Cauchy suy réng nh− sau:
o
m
Cho a1 , a2 , . . . , an ≥ 0 vµ m1 , m2 , . . . , mn là các số hữu tỉ
t
h
s
m1 +m2 +ÃÃÃ+mn
w
w
w
.v
ie
t
m
a
m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an
≥
m1 + m2 + Ã Ã Ã + mn
.c
dơng. Khi đó ta cã
am1 am2 · · · amn .
n
1
2
o
m
Cho a1 , a2 , . . . , an ≥ 0 vµ m1 , m2 , . . . , mn là các số hữu tỉ
w
w
.v
ie
t
s
t
h
m
2 Các ví dụ
w
m1 +m2 +···+mn
a
m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an
≥
m1 + m2 + · · · + mn
.c
dơng. Khi đó ta có
am1 am2 Ã Ã Ã amn .
n
1
2
o
m
Cho a1 , a2 , . . . , an ≥ 0 vµ m1 , m2 , . . . , mn là các số hữu tỉ
t
w
w
.v
ie
Ví dụ 1
w
s
t
h
m
2 Các vÝ dô
2.1
m1 +m2 +···+mn
a
m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an
≥
m1 + m2 + · · Ã + mn
.c
dơng. Khi đó ta có
am1 am2 Ã Ã · amn .
n
1
2
o
m
Cho a1 , a2 , . . . , an ≥ 0 vµ m1 , m2 , . . . , mn là các số hữu tỉ
s
t
h
am1 am2 Ã Ã · amn .
n
1
2
t
m
2 C¸c vÝ dơ
VÝ dơ 1
ie
2.1
m1 +m2 +···+mn
a
m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an
≥
m1 + m2 + · · · + mn
.c
d−¬ng. Khi đó ta có
w
w
.v
Cho a1 , a2 , an là các số dơng. Khi đó ta có
(a1 + a2 + Ã · · + an )
1
1
1
+
+ ··· +
a1 a2
an
≥ n2 .
w
DÊu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
(1)
o
m
Cho a1 , a2 , . . . , an ≥ 0 vµ m1 , m2 , . . . , mn là các số hữu tỉ
s
m
t
Ví dụ 1
ie
2.1
am1 am2 · · · amn .
n
1
2
a
2 C¸c vÝ dơ
m1 +m2 +···+mn
t
h
m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an
≥
m1 + m2 + · · · + mn
.c
d−¬ng. Khi đó ta có
.v
Cho a1 , a2 , an là các số dơng. Khi đó ta có
w
w
(a1 + a2 + Ã · · + an )
1
1
1
+
+ ··· +
a1 a2
an
≥ n2 .
w
DÊu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
Chøng minh
(1)
o
m
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a1 , a2 , . . . , an , ta cã
a1 a2 · · · an .
.c
√
n
w
w
w
.v
ie
t
m
a
t
h
s
a1 + a2 + · · · + an ≥
(1.1)
o
m
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a1 , a2 , . . . , an , ta cã
a1 a2 · · · an .
.c
√
n
(1.1)
s
a1 + a2 + · · Ã + an
a
t
h
1 1
1
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho
, , . . . , , ta cã
a1 a2
an
w
w
w
.v
ie
t
m
1
1
1
+
+ ··· +
≥
a1 a2
an
n
1
.
a1 a2 · · · an
(1.2)
o
m
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a1 , a2 , . . . , an , ta cã
a1 a2 · · · an .
.c
√
n
(1.1)
s
a1 + a2 + · · Ã + an
a
t
h
1 1
1
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho
, , . . . , , ta cã
a1 a2
an
t
m
1
1
1
+
+ ÃÃÃ +
a1 a2
an
n
1
.
a1 a2 Ã Ã Ã an
(1.2)
ie
Nhân các bất đẳng thức (??) và (??) vế theo vế, ta có bất
w
w
w
.v
đẳng thức (??).
o
m
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a1 , a2 , . . . , an , ta cã
a1 a2 · · · an .
.c
√
n
(1.1)
s
a1 + a2 + · · Ã + an
a
t
h
1 1
1
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho
, , . . . , , ta cã
a1 a2
an
n
1
.
a1 a2 Ã Ã Ã an
(1.2)
t
m
1
1
1
+
+ ÃÃÃ +
a1 a2
an
ie
Nhân các bất đẳng thức (??) và (??) vế theo vế, ta có bất
.v
đẳng thức (??).
w
w
Bất đẳng thức trên còn có thể viết d−íi d¹ng
w
1
1
1
n2
+
+ ··· +
≥
.
a1 a2
an
a1 + a2 + · · · + an
(1')
w
w
w
.v
a
m
t
ie
t
h
.c
s
2.2
o
m
VÝ dô 2
o
m
Ví dụ 2
.c
2.2
s
Cho x, y, z là các số thực không âm. Khi đó ta có
t
h
(x + y)(y + z)(z + x) 8xyz
w
w
w
.v
ie
t
m
a
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
(2)
o
m
Ví dụ 2
.c
2.2
s
Cho x, y, z là các số thực không âm. Khi đó ta có
t
h
(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz
w
w
.v
ie
t
VÝ dơ 3
w
2.3
m
a
DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z.
(2)
o
m
Ví dụ 2
.c
2.2
s
Cho x, y, z là các số thực không âm. Khi đó ta có
t
h
(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz
(2)
t
VÝ dơ 3
ie
2.3
m
a
DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z.
.v
Cho a, b, c là các số thực không âm. Khi đó ta cã
w
w
a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)
w
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
(3)
o
m
Ví dụ 2
.c
2.2
s
Cho x, y, z là các số thực không âm. Khi đó ta có
t
h
(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz
(2)
t
VÝ dơ 3
ie
2.3
m
a
DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z.
.v
Cho a, b, c là các số thực không âm. Khi đó ta cã
w
w
a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)
w
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Chøng minh
(3)
